# ESC-EXP-14：Epistemic-Effect Quotient and Minimal Realization

**系列：** Extensional Structural Convergence — Experimental Phase  
**文件編號：** ESC-EXP-14  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-23  
**前置：** ESC-00 ～ ESC-06、ESC-EXP-00 ～ ESC-EXP-13  
**狀態：** Epistemic Quotient + Minimal Realization Experiment / Canonical UTF-8 Source

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

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## 摘要

ESC-EXP-13 已經證明：

> repair action 的成本結構與 epistemic effect 必須分開保存。

兩個 repair 可以：

- 使用完全不同的 structural / informational resources；
- 但產生完全相同的 target-wise epistemic gain / loss。

因此本輪正式定義 repair action 上的 epistemic-effect equivalence：

$$
\boxed{
r_1
\equiv_{\mathrm{epi}}
r_2
}
$$

若：

$$
\boxed{
\mathbf G(r_1)=\mathbf G(r_2)
}
$$

且：

$$
\boxed{
\mathbf L(r_1)=\mathbf L(r_2).
}
$$

接著先 quotient：

$$
\boxed{
\mathcal R
\longrightarrow
\mathcal R/\equiv_{\mathrm{epi}},
}
$$

再對每一個 epistemic-effect class：

$$
[e]_{\mathrm{epi}}
$$

求其 cost-Pareto minimal realizations：

$$
\boxed{
\operatorname{MinReal}(e)
=
\operatorname{ND}
\left(
\{r:[r]_{\mathrm{epi}}=e\}
\right).
}
$$

結果非常乾淨。

EXP-13 的六種 repair actions，在三個 tested domains：

$$
K_4-e,
\quad
C_4,
\quad
P_4
$$

中全部 quotient 成恰好：

$$
\boxed{
4
}
$$

個 epistemic-effect classes：

1. zero effect；
2. probe effect；
3. partition effect；
4. partition + probe effect。

而這四個 effect classes 的 gain-support order 在三個 domains 中全部形成同一個：

$$
\boxed{
B_2
}
$$

型菱形偏序。

更重要的是，在本 benchmark 中：

$$
\boxed{
\mathbf G_{\mathrm{partition+probe}}
=
\mathbf G_{\mathrm{partition}}
+
\mathbf G_{\mathrm{probe}}
}
$$

componentwise **精確成立**，joint gain 也精確可加。

因此，本輪第一次把原本高維 repair frontier 收斂成：

$$
\boxed{
\text{先選 epistemic effect，
再選其 minimal realization。}
}
$$

---

# 1. Runtime 狀態

EXP-14 新增 regression：

```text
5 passed
```

測試包括：

- 三個 domains 均恰有四個 epistemic-effect classes；
- partition effect 有兩種 realization；
- combined effect 有兩種 realization；
- effect-poset 為菱形；
- partition + probe gain componentwise additive；
- zero-effect class 僅含 accounting-only。

---

# 2. Epistemic-Effect Equivalence

repair space：

$$
\mathcal R
$$

中的每個 action：

$$
r
$$

都有：

$$
\mathbf G(r)
$$

與：

$$
\mathbf L(r).
$$

定義：

$$
\boxed{
r_1
\equiv_{\mathrm{epi}}
r_2
\iff
\mathbf G(r_1)=\mathbf G(r_2)
\land
\mathbf L(r_1)=\mathbf L(r_2).
}
$$

這把：

> 「怎麼做到」

與：

> 「最後學到了什麼」

正式拆開。

---

# 3. Quantitative 與 Qualitative 兩層 Quotient

本輪保留兩種 equivalence。

## 3.1 Quantitative Effect Equivalence

要求完整：

$$
\mathbf G,
\mathbf L
$$

數值相同。

這是：

$$
\equiv_{\mathrm{epi}}^{\mathrm{quant}}.
$$

## 3.2 Qualitative Effect Equivalence

只要求正 gain 出現在哪些 target axes 相同。

例如：

$$
\{\text{probe}\}
$$

與：

$$
\{\text{partition count},\text{partition sizes}\}.
$$

這是：

$$
\equiv_{\mathrm{epi}}^{\mathrm{support}}.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{quantitative quotient}
}
$$

保留 gain magnitude，

而：

$$
\boxed{
\text{qualitative quotient}
}
$$

保留 effect type。

---

# 4. 四個 Epistemic-Effect Classes

三個 domains 全部出現同一組 effect types。

## $E_0$：Zero Effect

$$
\boxed{
\mathbf G=\mathbf0,
\quad
\mathbf L=\mathbf0.
}
$$

唯一 member：

$$
\boxed{
\text{accounting only}.
}
$$

它改變 ranking cost，但不改 knowledge state。

---

## $E_P$：Probe Effect

gain support：

$$
\boxed{
\{\text{probe mode}\}.
}
$$

唯一 member：

$$
\boxed{
\text{promote probe}.
}
$$

在三個 domains 都有：

$$
G_{\mathrm{probe}}=1\text{ bit}.
$$

---

## $E_\pi$：Partition Effect

gain support：

$$
\boxed{
\{
\text{partition block count},
\text{partition block sizes}
\}.
}
$$

members：

$$
\boxed{
\text{promote partition count}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{support completion}.
}
$$

兩個 actions 在 matched benchmark 中 epistemic effect 完全相同。

---

## $E_{\pi P}$：Partition + Probe Effect

gain support：

$$
\boxed{
\{
\text{partition block count},
\text{partition block sizes},
\text{probe mode}
\}.
}
$$

members：

$$
\boxed{
\text{promote observer frame}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{support completion + probe}.
}
$$

兩者同樣具有完全相同的 target-wise gain vector。

---

# 5. Repair Actions 從 6 種收斂成 4 種 Effect

原本 action space：

$$
\{
A,
P,
\pi,
OP,
S,
SP
\}
$$

其中：

- $A$：accounting；
- $P$：probe promotion；
- $\pi$：partition promotion；
- $OP$：observer-frame promotion；
- $S$：support completion；
- $SP$：support completion + probe。

quotient 後：

$$
\boxed{
\{A,P,\pi,OP,S,SP\}
/\equiv_{\mathrm{epi}}
}
$$

只剩：

$$
\boxed{
\{
E_0,
E_P,
E_\pi,
E_{\pi P}
\}.
}
$$

也就是：

$$
\boxed{
6\text{ implementations}
\rightarrow
4\text{ epistemic effects}.
}
$$

---

# 6. $K_4-e$ Effect Magnitudes

## Zero

$$
G_{\mathrm{joint}}=0.
$$

## Probe

$$
G_{\mathrm{joint}}=1.
$$

## Partition

$$
G_{\mathrm{joint}}
=
0.266667.
$$

## Partition + Probe

$$
G_{\mathrm{joint}}
=
1.266667.
$$

因此：

$$
\boxed{
1.266667
=
1
+
0.266667.
}
$$

---

# 7. $C_4$

partition effect：

$$
G_\pi=0.4.
$$

combined：

$$
G_{\pi P}=1.4.
$$

所以：

$$
\boxed{
1.4=1+0.4.
}
$$

---

# 8. $P_4$

partition effect：

$$
G_\pi
\approx0.856984.
$$

combined：

$$
G_{\pi P}
\approx1.856984.
$$

所以：

$$
\boxed{
1.856984
=
1
+
0.856984.
}
$$

---

# 9. Componentwise Additivity

更強的是，不只是 joint gain 相加。

對所有 tested target axes：

$$
\boxed{
\mathbf G_{\pi P}
=
\mathbf G_\pi
+
\mathbf G_P.
}
$$

本輪三個 domains 的 residual vector 全部：

$$
\boxed{
\mathbf0.
}
$$

這表示在本 benchmark 中：

$$
\boxed{
\text{probe ambiguity}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{partition ambiguity}
}
$$

在 epistemic gain 上呈現完全可分離結構。

---

# 10. 這不是一般獨立性定理

需要保守。

本輪只能說：

> 在目前 matched latent benchmark、target family、projection semantics 下，probe effect 與 partition effect componentwise additive。

不能直接推出：

$$
I(P;\pi)=0
$$

或一般 probabilistic independence。

真正得到的是：

$$
\boxed{
\text{repair-effect additivity on the tested finite domain}.
}
$$

---

# 11. Effect Poset

依 gain-support inclusion：

$$
E_a
\preceq
E_b
$$

若：

$$
\operatorname{supp}\mathbf G(E_a)
\subseteq
\operatorname{supp}\mathbf G(E_b).
$$

則 Hasse covers：

$$
E_0
\prec
E_P,
$$

$$
E_0
\prec
E_\pi,
$$

$$
E_P
\prec
E_{\pi P},
$$

$$
E_\pi
\prec
E_{\pi P}.
$$

形成：

$$
\boxed{
\begin{array}{c}
E_{\pi P}\\
/\quad\backslash\\
E_P\quad E_\pi\\
\backslash\quad/\\
E_0
\end{array}
}
$$

即四元素 Boolean lattice：

$$
\boxed{
B_2.
}
$$

---

# 12. Effect Lattice 的意義

這不是 repair implementation 的偏序。

它是：

$$
\boxed{
\text{knowledge effect}
}
$$

本身的偏序。

 $E_P$ 與 $E_\pi$：

$$
\boxed{
\text{不可比較}.
}
$$

因為它們改善不同 target axes。

而：

$$
E_{\pi P}
$$

同時包含兩者。

---

# 13. 第一個 Epistemic Join

在此 finite effect lattice 中：

$$
\boxed{
E_P
\vee
E_\pi
=
E_{\pi P}.
}
$$

而：

$$
\boxed{
E_P
\wedge
E_\pi
=
E_0.
}
$$

所以 probe / partition 兩個 primitive effect 在這個 benchmark 中具有清楚的 join / meet 結構。

---

# 14. Effect-First Design

因此 repair planning 可以改成兩階段。

原本：

$$
\text{choose action}
\rightarrow
\text{observe effect}.
$$

現在：

$$
\boxed{
\text{choose desired epistemic effect}
\rightarrow
\text{choose realization}.
}
$$

也就是：

$$
\boxed{
e
\in
\mathcal R/\equiv_{\mathrm{epi}}
}
$$

先選 effect class，

再求：

$$
\boxed{
\operatorname{MinReal}(e).
}
$$

---

# 15. Minimal Realization Fiber

對 effect：

$$
e,
$$

定義其 realization fiber：

$$
\boxed{
\mathcal R_e
=
\{r\in\mathcal R:[r]_{\mathrm{epi}}=e\}.
}
$$

再定義：

$$
\boxed{
\operatorname{MinReal}(e)
=
\operatorname{Pareto}_{E,I,B,D}
(\mathcal R_e).
}
$$

本輪所有 class 都成功求出 minimal realization set。

---

# 16. Zero Effect 的 Minimal Realization

$$
\mathcal R_{E_0}
=
\{
\text{accounting only}
\}.
$$

所以：

$$
\boxed{
|\operatorname{MinReal}(E_0)|=1.
}
$$

---

# 17. Probe Effect

$$
\mathcal R_{E_P}
=
\{
\text{promote probe}
\}.
$$

所以：

$$
\boxed{
|\operatorname{MinReal}(E_P)|=1.
}
$$

---

# 18. Partition Effect：Realization Duality

$$
\mathcal R_{E_\pi}
=
\{
\text{promote partition count},
\text{support completion}
\}.
$$

兩者 epistemic effect 完全相同，但 resource profile 不同。

### Representation-side realization

$$
\text{promote partition count}
$$

需要：

$$
E=0,
$$

$$
I\approx1.562807\text{ bits}.
$$

### World/support-side realization

$$
\text{support completion}
$$

需要：

$$
I=0,
$$

但：

$$
E=1,2,3
$$

依 domain 而定。

所以：

$$
\boxed{
\text{same knowledge effect}
}
$$

可以從：

$$
\boxed{
\text{change representation}
}
$$

或：

$$
\boxed{
\text{change observed structure}
}
$$

兩條路得到。

---

# 19. Combined Effect：第二組 Realization Duality

$$
\mathcal R_{E_{\pi P}}
=
\{
\text{promote observer frame},
\text{support completion + probe}
\}.
$$

representation-side：

$$
E=0,
$$

$$
I\approx2.562807.
$$

structural-hybrid：

$$
E=1,2,3,
$$

$$
I=1.
$$

兩者：

$$
\boxed{
\mathbf G
\text{ 完全相同}.
}
$$

但 realization cost 不同。

---

# 20. Epistemic Effect 與 Mechanism 正式解耦

因此：

$$
\boxed{
\text{epistemic effect}
\neq
\text{repair mechanism}.
}
$$

這是 EXP-14 最核心的形式分離。

同一 effect 可以透過：

- representation edit；
- structural edit；
- hybrid edit；

實現。

---

# 21. Cross-Domain Stable Effect Types

雖然 partition gain magnitude：

$$
0.266667,
\quad
0.4,
\quad
0.856984
$$

隨 support geometry 改變，

但 effect type：

$$
\boxed{
E_\pi
}
$$

在三個 domains 都保持相同 gain-support signature。

同理：

$$
E_P,
\quad
E_{\pi P},
\quad
E_0.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{qualitative effect type 穩定，
quantitative effect magnitude domain-dependent}.
}
$$

---

# 22. 兩層 Epistemic Typing

因此可以把 repair effect 寫成：

$$
\boxed{
\operatorname{Eff}(r)
=
\left(
\tau(r),
\mathbf g(r)
\right)
}
$$

其中：

$$
\tau(r)
$$

是 qualitative effect type，

$$
\mathbf g(r)
$$

是 quantitative gain vector。

例如：

$$
\tau
=
E_\pi
$$

但：

$$
\mathbf g
$$

隨：

$$
K_4-e,
C_4,
P_4
$$

改變。

---

# 23. Effect Class 可以比 Action 更穩定

repair action 的成本：

$$
E,I,B,D
$$

會隨 domain 改變。

甚至 implementation feasibility 也可能改變。

但 effect class：

$$
E_\pi
$$

可以跨 domain 保持同一 qualitative semantics。

所以對 higher-level planning：

$$
\boxed{
\text{effect class}
}
$$

可能比 action name 更適合作為穩定介面。

---

# 24. Effect Contract

因此可定義：

$$
\boxed{
\text{Epistemic Effect Contract}
}
$$

只聲明：

- 哪些 target uncertainty 必須下降；
- 哪些 target 不得受損；
- gain 至少多少。

而不先指定：

- 要加哪個 channel；
- 要改哪條 edge；
- 要使用哪個 realization。

runtime 再從：

$$
\operatorname{MinReal}(e)
$$

選實作。

---

# 25. 這開始像 Compiler / Planner 問題

高層要求：

$$
\boxed{
E_\pi
}
$$

低層 planner 可以選：

$$
\text{partition promotion}
$$

或：

$$
\text{support completion}.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{epistemic effect}
\rightarrow
\text{minimal realization}
}
$$

非常像：

$$
\boxed{
\text{semantic IR}
\rightarrow
\text{physical plan}.
}
$$

這使 ESC 開始具有明確的 agent / runtime engineering 對應。

---

# 26. Representation-Preserving Planning

這個方向特別符合 ESC 的母命題。

planner 不需要把所有 systems 改造成同一 representation。

它只需要知道：

1. 想得到哪個 epistemic effect；
2. 每個 system 有哪些合法 realizations；
3. 哪些 realizations 最便宜；
4. 哪些會造成 forbidden loss。

即：

$$
\boxed{
\text{preserve local representations,
compile shared epistemic effects}.
}
$$

---

# 27. Repair Quotient 的新理解

原本 quotient 常常被理解成：

> 把不同東西視為相同。

ESC 在這裡反而給出一個更安全的 quotient：

只有在：

$$
\boxed{
(\mathbf G,\mathbf L)
}
$$

完全相同時，

才把 repair mechanisms quotient 在同一 effect class。

而 implementation 差異仍保存在 realization fiber 中。

所以：

$$
\boxed{
\text{quotient effect,
preserve mechanism provenance}.
}
$$

這正是 representation-preserving quotient。

---

# 28. 一個新的兩層資料結構

未來 ESC repair runtime 可以直接保存：

$$
\boxed{
\text{EffectClass}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{RealizationSet}.
}
$$

例如：

```text
E_partition
  effect:
    partition_count_gain > 0
    partition_size_gain > 0
    loss = 0

  realizations:
    - promote_partition_count
    - support_completion
```

而不是把兩個 actions 當成毫無關係的 repair choices。

---

# 29. 本輪真正的結構收束

EXP-10～13 的 repair line 原本逐漸變得高維：

$$
\text{action}
+
\text{cost}
+
\text{chamber}
+
\text{gain}
+
\text{loss}
+
\text{Pareto}.
$$

EXP-14 現在重新壓縮成：

$$
\boxed{
\text{Effect}
\rightarrow
\text{Realization Fiber}
\rightarrow
\text{Cost Pareto}.
}
$$

但這個壓縮沒有丟掉 mechanism provenance。

所以它是一個：

$$
\boxed{
\text{loss-aware structural compression}.
}
$$

---

# 30. 系列錨點

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-14.A}
\quad
r_1\equiv_{\mathrm{epi}}r_2
\iff
(\mathbf G_1,\mathbf L_1)
=
(\mathbf G_2,\mathbf L_2).
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-14.B}
\quad
\text{六個 repair implementations 在三個 tested domains 均 quotient 成四個 effect classes。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-14.C}
\quad
\{E_0,E_P,E_\pi,E_{\pi P}\}
\text{ 的 gain-support order 形成 }B_2\text{ 菱形。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-14.D}
\quad
\mathbf G_{\pi P}
=
\mathbf G_{\pi}
+
\mathbf G_P
}
$$

在本 finite benchmark 中 componentwise 成立。

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-14.E}
\quad
\text{同一 epistemic effect 可以具有 representation-side 與 world-side 的不同 minimal realizations。}
}
$$

---

# 31. 這對 ESC 母框架的意義

到這一步，ESC 已經不只是：

> 不同 representations 如何比較。

而開始形成：

> **如何把跨 representation 的共同「知識效果」抽象成穩定語義層，再將它編譯成每個 representation 自己合法的最低成本實現。**

形式可以寫成：

$$
\boxed{
\text{Representation}
\rightarrow
\text{Epistemic Effect IR}
\rightarrow
\text{Local Realization}.
}
$$

這比要求所有 representations 共享同一 internal form 更弱，也更一般。

---

# 32. 下一輪：ESC-EXP-15

下一輪最自然的是研究：

$$
\boxed{
\text{Effect Composition Algebra}.
}
$$

既然本輪已經得到：

$$
E_P
\vee
E_\pi
=
E_{\pi P}
$$

而且 finite benchmark 中：

$$
\mathbf G_{\pi P}
=
\mathbf G_\pi+\mathbf G_P,
$$

下一步可以問：

- effect composition 是否交換？
- 是否結合？
- effect join 與 sequential intervention 是否一致？
- 重複施加 effect 是否冪等？
- effect conflict / interference 何時出現？
- 一般化到三個以上 primitive effects 後，是 Boolean lattice、distributive lattice，還是會因 interaction 失敗？

這會開始建立真正的：

$$
\boxed{
\text{Epistemic Effect Algebra}.
}
$$

而那會是 ESC 從「比較／修復理論」再往「可組合 representation protocol」前進的關鍵一步。