# ESC-EXP-11：Safe Repair Pareto Frontier

**系列：** Extensional Structural Convergence — Experimental Phase  
**文件編號：** ESC-EXP-11  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-23  
**前置：** ESC-00 ～ ESC-06、ESC-EXP-00 ～ ESC-EXP-10  
**狀態：** Multi-Objective Safe Repair Experiment / Canonical UTF-8 Source

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

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## 摘要

ESC-EXP-10 已顯示：

$$
\mathbf A'
\in
\mathcal C_{\mathrm{target}}
$$

本身不足以定義「修復」。

因為同一 chamber 可以透過：

- observation enhancement；
- structural degradation；
- accounting reweighting；

三種 epistemically 完全不同的方法達成。

本輪因此把 control 問題改寫成：

$$
\boxed{
\text{Safe Repair}
}
$$

並明確加入：

$$
\boxed{
\text{No designated epistemic loss}.
}
$$

同時，不再假造一個統一 scalar cost，而保留五個獨立 objective axes：

$$
\boxed{
(
E,
I,
B,
D,
L
)
}
$$

其中：

$$
E
=
\text{structural edit count},
$$

$$
I
=
\text{promoted information bits},
$$

$$
B
=
\text{raw residual bridge bits},
$$

$$
D
=
\text{accounting discount fraction},
$$

$$
L
=
\text{epistemic loss bits}.
$$

本輪的 repair target 仍為：

$$
\boxed{
F<C<I.
}
$$

研究三個 incomplete-support domains：

$$
K_4-e,
\quad
C_4,
\quad
P_4.
$$

結果顯示：每個 domain 的 **Strong-safe Pareto frontier 都恰有四個核心點**：

1. accounting only；
2. promote probe；
3. promote partition-count；
4. promote observer-frame。

此外，若放寬為 partition-scope safe，還會出現 support-completion branch。

所以 Safe Repair 並沒有單一「最佳解」。

真正輸出是一個多目標 Pareto frontier。

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# 1. Safety 分級

本輪把安全性分成兩級。

## 1.1 Strong-safe

只允許同一 domain 內：

- projection refinement；
- epistemically neutral accounting reweighting。

如果 promoted observation 被加入 projection key：

$$
\Pi'(x)
=
(
\Pi(x),
S(x)
),
$$

則：

$$
\Pi'(x_1)=\Pi'(x_2)
\Rightarrow
\Pi(x_1)=\Pi(x_2).
$$

因此：

$$
\ker\Pi'
\subseteq
\ker\Pi.
$$

也就是 observation partition 只會細化，不會變粗。

這是 strong-safe 的核心保證。

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## 1.2 Scoped-safe

support edit 會改 substrate / domain。

因此不能無條件宣稱：

$$
\ker\Pi'
\subseteq
\ker\Pi
$$

在全域成立。

本輪只在已經證明的 partition-recovery scope 中使用：

$$
\boxed{
\text{pairwise-complete support}
\Rightarrow
\text{F 對任意 partition 可完整恢復}.
}
$$

所以 support completion 只被標記為：

$$
\boxed{
\text{scoped-safe-partition}.
}
$$

這避免把 structural intervention 偷換成全域 projection refinement。

---

# 2. Exact F Repair Basis

EXP-10 的暴力搜尋已找出 incomplete-support domain 中 F 的最小 repair structure。

本輪不再重複掃描大量冗餘 channel subsets，而以四個 exact decompositions 重新逐一驗證 full-kernel recoverability：

### Basis 0

promotion：

$$
\varnothing
$$

residual：

$$
\{\text{observer frame}\}.
$$

### Basis 1

promotion：

$$
\{\text{probe}\}
$$

residual：

$$
\{\text{partition count}\}.
$$

### Basis 2

promotion：

$$
\{\text{partition count}\}
$$

residual：

$$
\{\text{probe}\}.
$$

### Basis 3

promotion：

$$
\{\text{observer frame}\}
$$

residual：

$$
\varnothing.
$$

四組都重新通過 full six-target recoverability check。

---

# 3. Strong-Safe Frontier：共同形狀

對：

$$
K_4-e,
\quad
C_4,
\quad
P_4,
$$

Strong-safe frontier 的四個點具有相同 promotion structure。

---

## Point A：Accounting Only

promoted information：

$$
0.
$$

structural edits：

$$
0.
$$

需要：

$$
\boxed{
D
\approx0.219606
}
$$

的 F accounting discount 才能穿越：

$$
A_F=A_C.
$$

這個點完全沒有 epistemic gain。

所以它應被理解為：

$$
\boxed{
\text{safe ranking control}
}
$$

而不是 epistemic repair。

---

## Point B：Promote Probe

promotion：

$$
\boxed{
\{\text{probe}\}
}
$$

information：

$$
1\text{ bit}.
$$

accounting distortion：

$$
0.
$$

F 的 raw residual bridge 降到：

$$
\boxed{
\text{partition-count bridge only}.
}
$$

這是上一輪找到的最低-information epistemic repair。

---

## Point C：Promote Partition Count

promotion：

$$
\boxed{
\{\text{partition count}\}
}
$$

information cost：

$$
\boxed{
1.562807\text{ bits}
}
$$

residual只剩：

$$
\{\text{probe}\}.
$$

相較 promote probe：

- 新資訊更多；
- residual bridge 更低。

所以兩者互不支配。

---

## Point D：Promote Observer Frame

promotion：

$$
\boxed{
\{\text{observer frame}\}
}
$$

information：

$$
\boxed{
2.562807\text{ bits}
}
$$

F residual：

$$
0.
$$

這是同-domain epistemic repair 中 residual bridge 最低的一端。

---

# 4. $K_4-e$ Strong-Safe Frontier

四個點：

| Action | New info | Raw residual bridge | Accounting discount |
|---|---:|---:|---:|
| Accounting only | 0 | 8.399398 | 0.219606 |
| Promote probe | 1.000000 | 7.399398 | 0 |
| Promote partition count | 1.562807 | 6.836592 | 0 |
| Promote observer frame | 2.562807 | 5.836592 | 0 |

所有點：

$$
E=0,
\quad
L=0.
$$

因此沒有一個能在全部 objective axes 上支配其餘三個。

---

# 5. $C_4$ Strong-Safe Frontier

| Action | New info | Raw residual bridge | Accounting discount |
|---|---:|---:|---:|
| Accounting only | 0 | 7.481102 | 0.219606 |
| Promote probe | 1.000000 | 6.481102 | 0 |
| Promote partition count | 1.562807 | 5.918296 | 0 |
| Promote observer frame | 2.562807 | 4.918296 | 0 |

相比 $K_4-e/P_4$，主要差異是：

$$
A_I(C_4)
$$

較低，因此整體 raw residual bridge 也較低。

這再次顯示 support shape 會改變 Pareto surface 的垂直位置，即使 repair basis 相同。

---

# 6. $P_4$ Strong-Safe Frontier

 $P_4$ 與 $K_4-e$ 在目前 cost model 下具有相同：

$$
(A_F,A_C,A_I)
$$

結構，因此 Strong-safe frontier 數值相同：

| Action | New info | Raw residual bridge | Accounting discount |
|---|---:|---:|---:|
| Accounting only | 0 | 8.399398 | 0.219606 |
| Promote probe | 1.000000 | 7.399398 | 0 |
| Promote partition count | 1.562807 | 6.836592 | 0 |
| Promote observer frame | 2.562807 | 5.836592 | 0 |

但兩個 domain 的 structural repair cost 不同，因此 Scoped-safe frontier 並不相同。

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# 7. Scoped-Safe Structural Branch

若允許 partition-scope support repair，會加入 structural branch。

## $K_4-e$

support completion：

$$
E=1.
$$

無 promotion：

$$
I=0,
$$

raw residual：

$$
7.058814.
$$

support completion + probe：

$$
E=1,
\quad
I=1,
\quad
B=6.058814.
$$

---

## $C_4$

support completion：

$$
E=2.
$$

support completion + probe：

$$
E=2,
\quad
I=1,
\quad
B=6.058814.
$$

---

## $P_4$

support completion：

$$
E=3.
$$

support completion + probe：

$$
E=3,
\quad
I=1,
\quad
B=6.058814.
$$

因此 structural distance to complete support 直接形成另一條 Pareto 軸。

---

# 8. 為什麼 Structural Branch 不一定支配 Observable Branch？

例如 $K_4-e$：

support completion：

$$
(E,I,B,D)
=
(1,0,7.058814,0).
$$

promote probe：

$$
(E,I,B,D)
=
(0,1,7.399398,0).
$$

前者 residual bridge 更低、資訊 promotion 更少，但需要一個 structural edit。

後者完全不改 substrate。

因此兩者：

$$
\boxed{
\text{互不支配}.
}
$$

這正是 Pareto formulation 必要的原因。

---

# 9. Accounting Point 為什麼仍在 Strong-Safe Frontier？

Accounting only：

$$
(E,I,L)=(0,0,0)
$$

雖然 residual bridge 最大，且沒有 epistemic gain，但它：

- 不修改 substrate；
- 不增加 observable；
- 不造成 epistemic loss。

代價全部集中在：

$$
D>0.
$$

因此如果使用者只重視「不要改系統」，它仍是合理 nondominated point。

所以 safe：

$$
\neq
$$

epistemically better。

---

# 10. Safe Control、Safe Repair、Epistemic Repair

現在需要三層術語。

## Safe Control

$$
L=0
$$

即可。

accounting-only 屬於此類。

## Safe Repair

$$
L=0
$$

且改善指定 repair objective。

例如進入 target chamber。

## Epistemic Repair

除了：

$$
L=0,
$$

還要求 observation/recoverability 真正改善：

$$
\ker\Pi'
\subsetneq
\ker\Pi
$$

或 designated target 的 ambiguity 嚴格下降。

所以：

$$
\boxed{
\text{Epistemic Repair}
\subset
\text{Safe Repair}
\subset
\text{Safe Control}.
}
$$

---

# 11. Epistemic Loss 應如何定量？

本輪 Pareto axis 中保留：

$$
L
=
\text{epistemic loss bits}.
$$

目前所有 safe frontier points 都：

$$
L=0.
$$

unsafe control 則被 safety filter 直接排除，沒有硬把不同 domain 的 loss 強行換算成一個假 bits 值。

下一階段若要真正量化 loss，應對固定 domain / target family 定義：

$$
\boxed{
L_J
=
H(J\mid\Pi')
-
H(J\mid\Pi)
}
$$

的正部份，或使用 equivalence-class coarsening measure。

---

# 12. Unsafe Controls 被排除

本輪保留兩個 explicit negative controls。

### Delete One Edge from $K_4$

會重新製造 missing-pair blind spot。

因此：

$$
\boxed{
\text{unsafe structural degradation}.
}
$$

### Hide Probe from I

使 I observation language 變粗。

因此：

$$
\boxed{
\text{unsafe projection degradation}.
}
$$

即使這些操作可以移動 chamber，也不允許進入 Safe Repair Pareto set。

---

# 13. Pareto Dominance

定義 repair vector：

$$
\boxed{
\mathbf r
=
(E,I,B,D,L).
}
$$

若候選：

$$
r_1
$$

在所有軸都不比：

$$
r_2
$$

差，且至少一軸嚴格更好，則：

$$
r_1
\prec
r_2.
$$

Safe Repair Frontier：

$$
\boxed{
\mathcal P_{\mathrm{safe}}
=
\operatorname{ND}
\left(
\{r:L=0\}
\right).
}
$$

其中：

$$
\operatorname{ND}
$$

表示 nondominated set。

---

# 14. 不要把不同 Cost 軸強行加總

structural edge：

$$
1\text{ edit}
$$

與：

$$
1\text{ bit}
$$

沒有自然交換率。

同理：

$$
21.96\%\text{ accounting discount}
$$

也不能直接說等價於：

$$
1\text{ bit}.
$$

所以本輪拒絕：

$$
\boxed{
E+\alpha I+\beta D
}
$$

這類未經論證的 scalarization。

除非未來由 application / policy 指定：

$$
\alpha,\beta.
$$

---

# 15. Exact Repair Basis 的意義

本輪的重要工程修正是停止重複窮舉：

$$
2^{10}
$$

個 channel subsets 再做二次組合。

EXP-10 已經識別出 F 的 missing-information basis：

$$
\boxed{
\text{probe}
+
\text{partition count}.
}
$$

observer-frame 只是兩者的 joint encoding。

因此本輪將 search space 收斂成四個 exact decompositions，再逐一重新驗證 full-kernel recoverability。

這不是 heuristic shortcut，而是利用已經找到的 minimal structure 做 theorem-guided search reduction。

---

# 16. Safe Repair 的第一個 Policy Set

對 incomplete-support domains，若 target 是：

$$
F<C<I,
$$

則可選：

### Policy A：Zero-change ranking control

accounting discount：

$$
D\approx0.219606.
$$

### Policy B：Minimum-information epistemic repair

promote：

$$
\text{probe}
$$

成本：

$$
1\text{ bit}.
$$

### Policy C：Lower residual bridge

promote：

$$
\text{partition count}
$$

成本：

$$
1.562807\text{ bits}.
$$

### Policy D：Zero F residual

promote：

$$
\text{observer frame}
$$

成本：

$$
2.562807\text{ bits}.
$$

### Policy E：Structural restoration

complete relation support。

成本：

$$
1,2,3
$$

edge edits，依 domain 而異。

---

# 17. 沒有「唯一最佳修復」

因此 EXP-11 的核心結論是：

$$
\boxed{
\text{Safe Repair 是 Pareto problem，不是 single-objective problem。}
}
$$

如果 application 偏好：

- 不改 substrate；
- 少傳資訊；
- 少 residual bridge；
- 不動 accounting；

會選出不同 frontier point。

所以沒有額外 preference model，就不應替使用者宣稱「這個才是最佳修法」。

---

# 18. 對 ESC 原始問題的回扣

最開始問題是三套理論能不能合法放一起。

現在已經走到：

> 如果它們在某個 target kernel 上不夠相容，應如何**安全地**補足？

而答案不是：

> 把三套全部合併。

而是：

$$
\boxed{
\text{找到 nondominated minimal bridges，
同時禁止 recoverability regression。}
}
$$

這比「統一」更精確。

---

# 19. 本輪錨點

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-11.A}
\quad
\text{Safe repair 必須把 chamber objective 與 epistemic monotonicity 同時納入。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-11.B}
\quad
\text{Strong-safe 與 structural scoped-safe 必須分級，不能混為全域安全。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-11.C}
\quad
\text{incomplete-support F repair 形成四點 exact Pareto basis：accounting / probe / partition / observer-frame。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-11.D}
\quad
\text{edge edits、information bits、accounting distortion 沒有自然交換率，因此 frontier 比 scalar optimum 更合理。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-11.E}
\quad
\text{Epistemic Repair}
\subset
\text{Safe Repair}
\subset
\text{Safe Control}.
}
$$

---

# 20. 下一輪：ESC-EXP-12

下一輪最自然的是補上本輪尚未硬算的：

$$
\boxed{
\text{Epistemic Gain / Loss Geometry}.
}
$$

也就是對固定 domain、固定 target family，直接計算：

$$
H(J\mid\Pi)
$$

在 intervention 前後如何改變。

進一步定義：

$$
\boxed{
G_J
=
H(J\mid\Pi)
-
H(J\mid\Pi')
}
$$

與：

$$
\boxed{
L_J
=
\max
\left(
0,
H(J\mid\Pi')
-
H(J\mid\Pi)
\right).
}
$$

如此 Safe Repair Frontier 就可以從目前的 qualitative：

$$
L=0
$$

升級成真正的 quantitative epistemic Pareto geometry。