# ESC-EXP-02：Complementarity、Ablation、Counterexample 與 Growth Test

**系列：** Extensional Structural Convergence — Experimental Phase  
**文件編號：** ESC-EXP-02  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-22  
**前置：** ESC-EXP-00、ESC-EXP-01  
**狀態：** Executable Finite-Model Evidence / Canonical UTF-8 Source

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

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## 摘要

本輪將 ESC-EXP-01 的 finite runtime 從「三路 projection 是否互補」推進到四個更嚴格的問題：

1. $F,C,I$ 任兩條路徑的 pairwise complementarity 有多大？
2. 每條 projection 中哪些資訊分量對辨識能力真正必要？
3. projection 壓縮造成的最小反例屬於什麼類型？
4. 從 $n=2$ 增長到 $n=4$ 時，finite CER 與 $Q_1$ 候選是否穩定？

Runtime：

```text
9 passed
```

本輪最重要結果是兩種尺度行為被正式分開：

$$
\boxed{
CER_n
}
$$

在目前 $n=2,3,4$ bounded domains 中持續成立；然而：

$$
\boxed{
Q_1\text{ candidate stability}
}
$$

沒有跟著持續。

在 $n=3$：

$$
DP(FI)=1,
$$

但到 $n=4$：

$$
DP(FI)\approx0.571429,
$$

必須加入 C 才恢復：

$$
DP(FCI)=1.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{projection complementarity is itself scale-dependent}.
}
$$

---

# 1. 實驗域

Growth test 採用：

$$
|\mathcal R|=2,
$$

兩個 guard modes、兩個 formation contexts、兩個 probe modes，且共同子域要求每個 node 至少參與一條 relation。

三個尺度：

$$
n=2,\quad |R|\leq1,
$$

$$
n=3,\quad |R|\leq2,
$$

$$
n=4,\quad |R|\leq2.
$$

本輪 growth test 不加入 history：

$$
L_{\max}=0.
$$

---

# 2. Growth Test

## 2.1 $n=2$

canonical substrate classes：

$$
24.
$$

$$
DP(F)=0.5,
$$

$$
DP(C)=0.25,
$$

$$
DP(I)\approx0.166667,
$$

$$
DP(FCI)=1.
$$

bounded $n=2$ 出現兩個非平凡 shared recoverable invariants：

$$
\boxed{
\text{partition block count}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{partition block sizes}.
}
$$

---

## 2.2 $n=3$

canonical substrate classes：

$$
264.
$$

$$
DP(F)\approx0.348485,
$$

$$
DP(C)=0.25,
$$

$$
DP(I)\approx0.026515,
$$

$$
DP(FCI)=1.
$$

但目前 invariant catalog 中：

$$
\boxed{
\text{沒有非平凡 shared recoverable invariant}.
}
$$

這不等於一般 $Q_1$ 被反駁，只表示在此 bounded domain 與目前 catalog 中尚未找到 growth-stable shared invariant。

---

## 2.3 $n=4$

canonical substrate classes：

$$
224.
$$

$$
DP(F)\approx0.116071,
$$

$$
DP(C)=0.25,
$$

$$
DP(I)=0.0625,
$$

$$
DP(FCI)=1.
$$

同樣：

$$
\boxed{
\text{目前 catalog 中沒有非平凡 shared recoverable invariant}.
}
$$

---

# 3. CER Growth

本輪：

$$
CER_2=1,
$$

$$
CER_3=1,
$$

$$
CER_4=1.
$$

也就是三條 projection 的聯合 key 在目前三個 finite domains 中都能完整分離 substrate classes。

但：

$$
\boxed{
CER_n=1
\not\Rightarrow
Q_1(n)\text{ 存在非平凡共同 invariant}.
}
$$

這是本輪第一個重要分離結果。

---

# 4. Pairwise Complementarity： $n=3$

$$
DP(FC)=0.5,
$$

$$
DP(CI)=0.5,
$$

$$
DP(FI)=1.
$$

因此：

$$
CG_{FC}\approx0.151515,
$$

$$
CG_{CI}=0.25,
$$

$$
CG_{FI}\approx0.651515.
$$

所以在 $n=3$：

$$
\boxed{
F+I
}
$$

已足以完整分離所有 substrate classes。

---

# 5. Pairwise Complementarity： $n=4$

到 $n=4$：

$$
DP(FC)=0.5,
$$

$$
DP(CI)=0.5,
$$

$$
DP(FI)\approx0.571429.
$$

而：

$$
DP(FCI)=1.
$$

因此：

$$
\boxed{
F+I
\text{ 在 }n=4\text{ 不再完整。}
}
$$

C 在結構規模上升後重新提供不可替代資訊。

這支持：

$$
\boxed{
\text{representation necessity is scale-dependent}.
}
$$

---

# 6. Ablation：F projection

 $n=4$：

$$
DP(F)\approx0.116071.
$$

刪除 relation type：

$$
\Delta DP\approx0.080357.
$$

刪除 endpoint distinction：

$$
\Delta DP=0.0625.
$$

刪除 formation context：

$$
\Delta DP\approx0.058036.
$$

刪除 guard：

$$
\Delta DP\approx0.026786.
$$

所以目前 F 的主要辨識來源包括：

$$
\boxed{
\text{relation type},
\quad
\text{endpoint distinction},
\quad
\text{formation context}.
}
$$

---

# 7. Ablation：C projection

 $n=4$：

$$
DP(C)=0.25.
$$

刪除 partition：

$$
\Delta DP\approx0.223214.
$$

刪除 relation type：

$$
\Delta DP\approx0.174107.
$$

刪除 guard：

$$
\Delta DP\approx0.084821.
$$

因此目前有限模型中，C 最依賴：

$$
\boxed{
\text{global distinction structure}.
}
$$

---

# 8. Ablation：I projection

 $n=4$：

$$
DP(I)=0.0625.
$$

刪除 probe mode：

$$
\Delta DP=0.03125.
$$

但單獨刪除 membership、pairwise incidence、containment、maximal higher-order simplex 時：

$$
\Delta DP=0.
$$

這不能解讀成它們數學上沒有用。

原因是目前 I projection 已直接保存完整 probe sets：

$$
\{A_i\}.
$$

由 probe sets 可重新計算：

$$
\text{membership},
\quad
\text{pairwise incidence},
\quad
\text{containment},
\quad
\text{higher-order intersection}.
$$

所以這是：

$$
\boxed{
\text{representation redundancy},
}
$$

而不是：

$$
\boxed{
\text{mathematical irrelevance}.
}
$$

---

# 9. 最小反例

bounded static $n=3$ 中找到八組最小 projection/invariant 反例。

分類：

- `GLOBAL_DISTINCTION_LOSS`：2；
- `PROBE_FRAME_HIDDEN`：2；
- `CONTEXT_HIDDEN`：2；
- `RELATION_TYPE_LOSS`：1；
- `GUARD_HIDDEN`：1。

所有反例均已輸出完整 substrate pair 與 invariant 差異。

---

# 10. F 的最小盲點

F projection 出現：

$$
\boxed{
\text{GLOBAL\_DISTINCTION\_LOSS}.
}
$$

即兩個 substrate 可具有相同 F-visible formed pairs，卻有不同 global partition structure。

因此：

$$
\boxed{
\text{local formation-role distinction}
\neq
\text{complete global distinction}.
}
$$

---

# 11. C 的最小盲點

C 看不到：

$$
\boxed{
\text{formation context}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{probe frame}.
}
$$

因此兩個底層 state 可以擁有相同 C-visible distinction / typed relation / guard，仍因 context 或 observation frame 不同而具有不同 substrate identity。

---

# 12. I 的最小盲點

I 明確丟失：

$$
\boxed{
\text{relation type}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{guard semantics}.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{incidence equality}
\not\Rightarrow
\text{formation identity}.
}
$$

---

# 13. 對 EXP-01 的修正理解

ESC-EXP-01 在 full static $n=3$ 中取得 finite：

$$
Q_1@E_2
$$

候選，包括：

- undirected edge count；
- undirected degree multiset；
- cycle existence。

EXP-02 顯示，在 bounded relation-covered growth protocol 中，這些 invariant 並未形成跨 $n=3,4$ 穩定的非平凡三路共同 invariant。

所以真正結論是：

$$
\boxed{
Q_1
\text{ evidence is domain-sensitive}.
}
$$

未來任何 $Q_1$ 主張都必須攜帶：

$$
\boxed{
\text{domain specification}.
}
$$

---

# 14. 目前最強有限證據

目前更穩定的是：

$$
\boxed{
CER_2=CER_3=CER_4=1
}
$$

於本輪 bounded substrate domains。

但仍只能記為：

$$
\boxed{
CER@E_3
\text{ bounded finite evidence}.
}
$$

---

# 15. $Q_1$ 的目前狀態

目前不能寫：

$$
Q_1@E_3.
$$

較精確的是：

$$
\boxed{
Q_1@E_2
\text{ exists in selected finite domains},
}
$$

但：

$$
\boxed{
Q_1
\text{ growth stability is not established}.
}
$$

---

# 16. 新的重要區分

本輪正式迫使 ESC 區分：

$$
\boxed{
\text{joint identifiability}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{shared invariant recoverability}.
}
$$

即：

$$
\boxed{
CER
\neq
Q_1.
}
$$

三個 representation 合起來可以唯一識別底層，但未必存在某個非平凡 invariant 能由三者各自獨立完整恢復。

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# 17. Pairwise completeness 不等於 growth-stable completeness

 $n=3$：

$$
CER_{FI}=1.
$$

 $n=4$：

$$
CER_{FI}<1,
$$

但：

$$
CER_{FCI}=1.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{pairwise completeness}
\not\Rightarrow
\text{growth-stable completeness}.
}
$$

---

# 18. ESC-EXP-02 結論

本輪讓 ESC 更精確，而不是更強行統一：

1. 三條 projection 的盲點可以被最小反例指出；
2. 互補性會隨結構規模改變；
3. joint CER 與 shared invariant $Q_1$ 是不同性質；
4. $Q_1$ 證據依賴 domain；
5. I representation 含有可壓縮衍生冗餘；
6. C 的 distinction layer 在 $n=4$ 開始顯示不可替代性。

因此現在第一次能正式說：

$$
\boxed{
\text{哪裡相同},
\quad
\text{哪裡不同},
\quad
\text{哪裡互補},
\quad
\text{哪裡只是表示冗餘}.
}
$$

---

# 19. 本輪錨點命題

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-02.A}
\quad
CER_n
\text{ 與 }Q_1(n)
\text{ 必須分開測量。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-02.B}
\quad
F+I
\text{ 在 }n=3\text{ 完整但在 }n=4\text{ 不完整，顯示 representation necessity 具尺度依賴。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-02.C}
\quad
\text{C projection 的 global distinction 在 }n=4\text{ 成為 joint completeness 的必要補充。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-02.D}
\quad
Q_1\text{ finite evidence 必須附帶 domain specification。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-02.E}
\quad
\text{I projection 中部分 incidence artifacts 在目前 representation 下是 probe family 的可重建衍生物。}
}
$$

---

# 20. 下一輪：ESC-EXP-03

下一輪不建議立刻把 $n$ 推到 $5$。

更有價值的是：

第一，對 I projection 做 minimal sufficient signature：

$$
\operatorname{Ext}_{I}^{\min}.
$$

第二，建立 domain-conditioned invariant search：

$$
Q_1(\mathcal C),
$$

自動找出：

> 某個 invariant 在什麼結構子域成立，而最小失敗邊界在哪裡？

這會直接開始逼近 ESC-01 所提出的「最小充分外延簽章」問題。