# 計算形態空間 v0.2
## 從 24 範式與 72 格動力學到可路由、可擴張的 Runtime 計算配置

**Computational Configuration Space: From 24 Computational Forms and 72-Grid Dynamics to Routable and Extensible Runtime Configurations**

- 系列：Global Computation Methodology Series
- 文件編號：Paper-02
- 版本：v0.2
- 日期：2026-08-24
- 作者：Neo.K
- 協作：Aletheia / GPT
- 狀態：第二輪正式核心論文
- Canonical anchor：Series-00 v0.2、Paper-01 v0.2
- 編碼：UTF-8 Markdown
- 數學 delimiter：僅使用 ` $...$ ` 與 `$$...$$`

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## 摘要

「計算 24 範式」與「72 格計算動力學」最初容易被閱讀成一張封閉的計算分類表。然而，當研究問題從單一模型分類推進到 Global Computation Methodology（GCM）的 heterogeneous Runtime composition 時，這種閱讀方式會產生兩個錯誤：第一，把有限格子誤認成所有可能計算的完備 ontology；第二，把一個真實系統誤認為在任何時刻只能「屬於某一格」。本文因此正式將 24／72 重定位為 **有限、可尋址、可比較、可擴張的 computational configuration basis**。

本文保留第一輪核心乘積：

$$
\mathfrak P_{24}
=
\mathfrak B_2
\times
\mathfrak U_4
\times
\mathfrak I_3,
$$

以及：

$$
\mathfrak P_{72}
=
\mathfrak P_{24}
\times
\mathfrak L_3.
$$

其中 $\mathfrak I_3$ 是第一輪 $\mathfrak O_3$ 的 canonical semantic alias，表示 output / measurement / interface organization，而不是 Runtime Observer 本身。本文進一步區分 **basis cell**、**composite computational profile** 與 **full Runtime configuration record**。一個 basis cell 只是有限 basis 中的座標，不宣稱完整描述 executor；複合系統可同時使用多個 cell、分層嵌套多個 cell，或在 Runtime 中切換 cell。完整 Runtime record 還必須包含 compute resolution、resource binding、execution contract 等資訊，因此：

$$
\boxed{
\text{Basis Cell}
\neq
\text{Executor}
\neq
\text{Full Runtime Configuration}.
}
$$

本文同時提出 versioned addressing、configuration identity、contract-relative equivalence、extension registry 與 compatibility projection，使 24／72 可以在保持既有 address lineage 的情況下擴張，而不必把新發現硬塞進原本 72 格。最後，本文將 domain-to-configuration assignment 定義為：

$$
\Gamma_\nu:
\mathcal D_\nu
\rightarrow
\mathfrak G^{(v)},
$$

其中 $\mathfrak G^{(v)}$ 為受 Foundation/specification version $v$ 管理的完整 configuration record space， $\nu$ 是 commit/version index，而不是物理時間。這使 24／72 從「分類結果」轉變為 GCM Runtime 可直接引用的計算配置地址層。

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## 關鍵詞

computational configuration space；24 computational forms；72-grid dynamics；models of computation；heterogeneous computation；runtime routing；configuration addressing；configuration registry；dynamic reconfiguration；interface semantics；transition law；Global Computation Methodology

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# 1. 問題設定：分類表為什麼不夠

## 1.1 計算系統早已跨越單一分類軸

一個現代系統可能同時具有：

- continuous numerical solver；
- discrete state machine；
- event-driven subsystem；
- parallel accelerator kernel；
- retrieval / database / content-addressable subsystem；
- stochastic inference；
- symbolic transformation；
- quantum operation；
- streaming or dataflow component；
- asynchronous actor / task subsystem。

如果分類方法只能回答：

> 「這個系統到底屬於哪一類？」

那麼對 heterogeneous Runtime 而言通常太弱。

GCM 更需要回答：

> 「指定 domain 現在採取哪一組 computational semantics？這組配置如何被定址、比較、切換、組合與驗證？」

因此本文將研究對象從 taxonomy 改為 configuration space：

$$
\boxed{
\text{24/72}
:
\text{Taxonomy}
\rightarrow
\text{Addressable Configuration Basis}.
}
$$

---

## 1.2 本文不主張什麼

本文不主張：

1. 24／72 是 Church--Turing 意義下的新可計算性分類定理；
2. 72 格窮盡所有 classical、probabilistic、quantum、analog、concurrent 或 future computation；
3. GCM 是第 73 種計算範式；
4. continuous / discrete 是所有 state ontology 的完備二分；
5. sequential / jump / parallel / retrieval 是彼此絕對互斥的自然種類；
6. heterogeneous Models of Computation 的組合是本文首次提出；
7. dynamic reconfiguration、design-space exploration 或 runtime switching 是本文首次提出；
8. 任何落在同一 cell 的兩個 executor 都具有相同語義或相同性能；
9. computational interface axis 等同 Runtime Observer；
10. configuration routing 本身就保證 admissibility、authority 或 global commit。

因此本文最重要的限制是：

$$
\boxed{
24/72
\neq
\text{Exhaustive Ontology of Computation}.
}
$$

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# 2. 既有研究與本文定位

## 2.1 分類學本身不是新事物

Flynn 的經典 taxonomy 以 instruction stream 與 data stream 區分 SISD、SIMD、MISD、MIMD，展示有限分類軸如何成為 computer architecture 的共同語言。[1] 其研究對象與 24／72 不同，但提供一個重要教訓：有限分類可以非常有用，而不代表它必須成為所有計算行為的完整 ontology。

本文因此不以「提出有限格子分類」作為主要創新主張。

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## 2.2 Models of Computation 已存在豐富 family

Ptolemy II 長期研究 heterogeneous concurrent modeling，並實作多種 Models of Computation（MoC）；其 director 機制使不同 hierarchy 可以具有不同 interaction semantics。[2,3] Lee 對 concurrent models of computation 的整理也清楚展示 process networks、dataflow、discrete event、synchronous models 等 family 之間具有不同 concurrency 與 time semantics。[4]

因此：

$$
\boxed{
\text{Multiple MoC Families}
\text{ and }
\text{Heterogeneous MoC Composition}
\text{ are prior art}.
}
$$

24／72 的角色不是取代這些 formal models，而是提供一個上層、有限、可尋址的 Runtime basis，使 existing MoC 或 future MoC 可以被描述成單格、跨格、嵌套 profile，或註冊為擴張 family。

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## 2.3 Concurrent 與 dataflow models 已有獨立語義

Hoare 的 Communicating Sequential Processes、Kahn-style process networks、synchronous dataflow 等研究已建立不同 concurrency / communication semantics。[5,6] 因此本文的 $\mathsf P$ （parallel）或 $\mathsf S$ （sequential）不能被理解成對這些 model 的替代定義。

更精確地說：

$$
\boxed{
\text{Basis Axis}
\neq
\text{Full Formal Semantics}.
}
$$

一個 CSP、process-network 或 SDF system 可以被投影到 24／72 basis 以提供 Runtime address，但完整正確性仍由其自身 formal semantics 與 GCM contract 決定。

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## 2.4 Hybrid systems 已處理 continuous / discrete 組合

Hybrid automata 長期研究 discrete mode 與 continuous dynamics 的組合、guards、invariants、reachability 與 verification。[7] 因此本文不把 hybrid system 定義為「第三種底空間」並宣稱新發現。

本文選擇保持最小 basis：

$$
\mathfrak B_2
=
\{\mathsf C,\mathsf D\},
$$

而把 hybrid structure 表示成 composition、nesting 或 multi-cell profile。

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## 2.5 Tagged signals 與跨 MoC comparison

Lee 與 Sangiovanni-Vincentelli 的 tagged-signal framework 用共同 signal/tag language 比較多種 Models of Computation，顯示建立跨 MoC 的比較層並不是新問題。[8] GCM 的 configuration basis 與 tagged-signal model 並不相同：前者不是統一 denotational semantics，而是 Runtime-facing address basis；但本文必須公平承認「建立跨模型共同比較框架」具有成熟先例。

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## 2.6 Dynamic reconfiguration 已有長期研究

Distributed software architecture 的 dynamic configuration / reconfiguration 至少自 1980 年代已形成持續研究，重點包括執行中修改 component / connection、保持 consistency、quiescence 與 state integrity。[9,10] 因此：

$$
\boxed{
\text{Runtime Configuration Switching}
\text{ is prior art}.
}
$$

本文真正增加的是：把切換對象從 module / deployment / resource configuration 擴展到 **computational-form address 與 transition-law profile**，並要求這些 profile 受 GCM 的 World-relative contract、bridge、verification 與 history lineage 約束。

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## 2.7 Representation legality 已有成熟工程機制

MLIR Dialect Conversion 已具備 conversion target legality、rewrite patterns、TypeConverter 與 materialization 等機制。[11] 這提醒 GCM：從一個 configuration 切換到另一個 configuration，不能假設 representation 自然相容。

因此 Paper-02 只建立 address 與 switching record；真正 representation bridge 的 legality 與 invariant preservation 由 Paper-03 的 composition contract 負責。

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# 3. Canonical 定義：24 格 computational form basis

## 3.1 三軸乘積

本文採用：

$$
\boxed{
\mathfrak P_{24}
=
\mathfrak B_2
\times
\mathfrak U_4
\times
\mathfrak I_3
}
$$

其中：

$$
\mathfrak B_2
=
\{\mathsf C,\mathsf D\},
$$

$$
\mathfrak U_4
=
\{\mathsf S,\mathsf J,\mathsf P,\mathsf R\},
$$

$$
\mathfrak I_3
=
\{\mathsf C,\mathsf D,\mathsf X\}.
$$

因此：

$$
|\mathfrak P_{24}|
=
2\times4\times3
=
24.
$$

一個 basis cell 記為：

$$
p
=
(b,u,i)
\in
\mathfrak P_{24}.
$$

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# 4. 第一軸：representation substrate profile

## 4.1 Continuous-like profile

令：

$$
b=\mathsf C.
$$

它表示該 computational form 的主要 state / representation semantics 具有 continuous-like 性質，例如：

- real-valued state；
- ODE / PDE field；
- continuous geometry；
- analog-like signal；
- continuous latent variable；
- continuous optimization trajectory。

這裡的 continuous-like 是 **Runtime representation profile**，不是對 World ontology 的宣告。

因此：

$$
\boxed{
\text{Continuous Representation}
\not\Rightarrow
\text{World Is Fundamentally Continuous}.
}
$$

---

## 4.2 Discrete-like profile

令：

$$
b=\mathsf D.
$$

它可包含：

- finite state；
- token；
- graph node / edge；
- symbolic term；
- discrete event；
- integer-indexed state；
- database row / key；
- object or entity identifier。

同樣：

$$
\boxed{
\text{Discrete Representation}
\not\Rightarrow
\text{World Is Fundamentally Discrete}.
}
$$

這條限制直接服從 Series-00 的：

$$
\mathcal M_G
\neq
\mathbf W.
$$

---

## 4.3 Hybrid 不增設第三個 primitive cell

一個 hybrid system 可由 continuous-like 與 discrete-like computational components 組成：

$$
\mathsf{Hybrid}
=
\operatorname{Compose}
(\mathsf C,\mathsf D,\chi_{\mathrm{switch}}).
$$

本文沒有主張這是 hybrid systems 的新定義；它只是說明在 24／72 basis 中，不必為每個複合型 family 重新新增一個 primitive axis value。

如果未來某 family 無法合理由現有 basis 表示，則應透過 explicit extension registry 擴張，而不是強迫錯誤投影。

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# 5. 第二軸：update organization profile

定義：

$$
\mathfrak U_4
=
\{\mathsf S,\mathsf J,\mathsf P,\mathsf R\}.
$$

這四個值不是聲稱所有演算法只有四種，而是為 Runtime 提供低成本的 update-organization basis。

## 5.1 Sequential profile $\mathsf S$

典型形式：

$$
x_0
\rightarrow
x_1
\rightarrow
x_2
\rightarrow
\cdots.
$$

可對應：

- instruction sequence；
- iterative solver；
- serial state machine；
- ordered symbolic derivation。

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## 5.2 Jump / selective profile $\mathsf J$

 $\mathsf J$ 表示 computation 以事件、稀疏作用、guard、threshold、selective mutation 或非逐步 materialization 的更新為主要組織方式。

例如：

$$
x_\nu
\rightarrow
x_{\nu'}
$$

不要求 Runtime 把所有中間表示逐一物化。

注意 $\nu$ 、 $\nu'$ 是 index notation，不自動等於 physical time。

---

## 5.3 Parallel profile $\mathsf P$

典型形式：

$$
\{\Phi_1,\ldots,\Phi_k\}
$$

具有可並行、並發或分散執行結構。

但是：

$$
\boxed{
\mathsf P
\neq
\text{one specific concurrency semantics}.
}
$$

SIMD、MIMD、tasks、actors、dataflow、threads 等都可能投影到 $\mathsf P$，但它們的同步、通信、determinism 與 memory semantics 仍然不同。

---

## 5.4 Retrieval / recognition profile $\mathsf R$

定義代表性形式：

$$
q
\mapsto
\operatorname{Retrieve}(q,\mathcal M),
$$

或：

$$
q
\mapsto
\operatorname{Recognize}(q,\mathcal M).
$$

可包含：

- indexed database lookup；
- nearest-neighbor retrieval；
- content-addressable memory；
- symbol matching；
- cache / memoization hit；
- retrieval-augmented knowledge access。

將 $\mathsf R$ 保留為 basis value 的理由，是現代 Runtime 中大量有效工作不是「從零逐步生成」，而是對已存在結構進行定位、重用、匹配或辨識。

但 $\mathsf R$ 仍不是完整 search theory，也不等於 AI retrieval architecture。

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# 6. 第三軸：interface / measurement organization

## 6.1 從 $\mathfrak O_3$ 到 $\mathfrak I_3$

第一輪使用：

$$
\mathfrak O_3.
$$

但 GCM 第二輪已正式建立：

$$
\boxed{
\text{Computation}
\neq
\text{Observation}
\neq
\text{Materialization}.
}
$$

為避免把 computational interface axis 偷換成 Runtime Observer ontology，本文使用 canonical alias：

$$
\boxed{
\mathfrak I_3
:=
\mathfrak O_3.
}
$$

legacy 文件仍可讀取 $\mathfrak O_3$，但新 canonical source 優先使用 $\mathfrak I_3$。

---

## 6.2 Continuous interface $\mathsf C$

代表 output / measurement surface 主要呈現為：

- continuous signal；
- curve；
- field；
- spectrum；
- continuous coordinate；
- real-valued stream。

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## 6.3 Discrete interface $\mathsf D$

代表 output / measurement surface 主要呈現為：

- event；
- symbol；
- class；
- token；
- graph relation；
- finite label；
- discrete state report。

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## 6.4 Cross / mixed interface $\mathsf X$

代表同一 computational profile 可能暴露多種 measurement / output organization，例如：

- continuous signal + discrete event；
- numeric + symbolic；
- image + text；
- geometry + topology；
- state + provenance pointer。

 $\mathsf X$ 只是 mixed-interface basis，不表示某個人類或 AI Observer 已實際觀察。

因此：

$$
\boxed{
\mathfrak I_3
\neq
\Pi_O
\neq
O_\nu.
}
$$

其中 $\Pi_O$ 是 Observer projection， $O_\nu$ 是 Observer state。

---

# 7. 24 格不是「24 種完整計算機」

## 7.1 Basis cell 的語義

對：

$$
p=(b,u,i)
\in
\mathfrak P_{24},
$$

本文只主張 $p$ 是一個 **computational-form address**。

例如：

$$
p=(\mathsf D,\mathsf R,\mathsf D)
$$

可表示離散 representation、retrieval-oriented update、離散 interface。

而：

$$
p=(\mathsf C,\mathsf P,\mathsf C)
$$

可表示 continuous-like representation、parallel organization、continuous interface。

但是同一 cell 中可以存在大量不同 executor、演算法、資料結構、語言與 hardware mapping。

因此：

$$
\boxed{
\text{Same Cell}
\not\Rightarrow
\text{Same Algorithm}.
}
$$

$$
\boxed{
\text{Same Cell}
\not\Rightarrow
\text{Same Semantics}.
}
$$

$$
\boxed{
\text{Same Cell}
\not\Rightarrow
\text{Same Cost Profile}.
}
$$

---

# 8. 第四軸：transition-law reference family

定義：

$$
\mathfrak L_3
=
\{\mathsf F,\mathsf K,\mathsf Q\}.
$$

## 8.1 Deterministic function-like family $\mathsf F$

代表性形式：

$$
x'
=
f(x).
$$

它不要求所有 deterministic computation 都真的實作成單一 mathematical function； $\mathsf F$ 是 transition-law profile。

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## 8.2 Classical stochastic-kernel family $\mathsf K$

代表性形式：

$$
x'
\sim
K(\cdot\mid x).
$$

可對應 classical probabilistic state transition、Markov-like kernels 或其他以 conditional distribution 為主要 transition semantics 的 family。

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## 8.3 Quantum-channel family $\mathsf Q$

代表性形式：

$$
\rho'
=
\mathcal E(\rho),
$$

其中 $\mathcal E$ 在標準 quantum-information setting 中可由 completely positive trace-preserving map 表示。[12]

本文保留 $\mathsf Q$ 的目的，是讓 transition semantics 的 quantum family 不被強行降成 classical deterministic / stochastic cell。

但：

$$
\boxed{
\mathsf Q
\neq
\text{Complete Classification of Quantum Computation}.
}
$$

---

## 8.4 為什麼 transition law 必須獨立

兩個 computational forms 都可能具有：

$$
p=(\mathsf D,\mathsf S,\mathsf D),
$$

但一個採：

$$
x'
=
f(x),
$$

另一個採：

$$
x'
\sim
K(\cdot\mid x).
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{Computational Organization}
\neq
\text{Transition Semantics}.
}
$$

---

# 9. 72 格 configuration basis

定義：

$$
\boxed{
\mathfrak P_{72}
=
\mathfrak P_{24}
\times
\mathfrak L_3
}
$$

且：

$$
|\mathfrak P_{72}|
=
24\times3
=
72.
$$

令：

$$
\beta
=
(p,\ell)
=
(b,u,i,\ell)
\in
\mathfrak P_{72}
$$

為一個 72-basis cell。

例：

$$
\beta
=
(\mathsf D,\mathsf R,\mathsf D,\mathsf K).
$$

這可以表示 discrete representation、retrieval-oriented update、discrete interface、classical stochastic transition profile。

---

# 10. Basis cell、composite profile 與 full configuration 必須分離

## 10.1 Basis cell

$$
\beta
\in
\mathfrak P_{72}
$$

只提供一個有限 address。

---

## 10.2 Composite computational profile

真實 subsystem 往往同時具有多個 basis characteristics。

因此定義一個最小 composite profile：

$$
\mathcal P^\star
=
\{\beta_1,\ldots,\beta_m\},
$$

並允許附加 relation：

$$
\mathcal R_{\mathcal P}
\subseteq
\mathcal P^\star
\times
\mathcal P^\star.
$$

例如一個 hybrid simulation 可以同時包含：

$$
\beta_C
=
(\mathsf C,\mathsf S,\mathsf C,\mathsf F),
$$

與：

$$
\beta_D
=
(\mathsf D,\mathsf J,\mathsf D,\mathsf F),
$$

並由 switching relation 連接。

因此：

$$
\boxed{
\text{Composite System}
\not\Rightarrow
\text{Must Be Forced Into One Cell}.
}
$$

---

## 10.3 Full Runtime configuration record

依 Paper-01，令：

$$
\mathfrak G^{(v)}
$$

表示某 configuration schema version 下的完整 Runtime record space。

最小 record 可寫為：

$$
\gamma_i
=
\left\langle
\beta_i,
\rho_i^C,
r_i,
\chi_i
\right\rangle,
$$

等價地：

$$
\gamma_i
=
\left\langle
p_i,
\ell_i,
\rho_i^C,
r_i,
\chi_i
\right\rangle,
$$

其中：

- $\beta_i=(p_i,\ell_i)$：24／72 basis address；
- $\rho_i^C$：compute resolution；
- $r_i$：resource binding or resource class；
- $\chi_i$：execution / composition contract reference。

後續 schema 可以附加 clock discipline、materialization policy、bridge references、cost profile、evidence status 等欄位，但它們不應被硬塞成 24／72 新軸，除非研究證明其確實屬於 computational-form basis。

因此應定義一個 basis projection：

$$
\operatorname{basis}_v:
\mathfrak G^{(v)}
\rightarrow
\mathfrak P^{(v)},
$$

使 full configuration record 可以回報其 computational-form basis profile。這表示 72 basis 是 full configuration 的一個 typed component，而不是整份 Runtime contract；本文不把兩個不同 record spaces 粗略寫成集合包含關係。

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# 11. 為什麼 basis 軸不要求絕對互斥

第一輪最容易被誤讀的地方，是把 Cartesian product 當成「自然世界存在 72 個互斥盒子」。

本文明確否定此解讀。

Cartesian product 的功能是建立：

$$
\boxed{
\text{Finite Coordinate Basis}
}
$$

而不是建立：

$$
\boxed{
\text{Exhaustive Mutually Exclusive Ontology}.
}
$$

一個 executor 可以：

1. 具有 dominant cell；
2. 同時註冊多個 compatible cells；
3. 由多 cell composite profile 表示；
4. 在不同 domain / phase 使用不同 cells；
5. 無法合理投影時，要求 registry extension。

因此 basis 的有限性不必透過犧牲真實計算的多重性來維持。

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# 12. Versioned canonical addressing

## 12.1 人類可讀 address

canonical human-readable address 建議採：

```text
GCM:v0.2/B:D/U:R/I:D/L:K
```

其中 `I` 表示 interface axis。

legacy 第一輪 address：

```text
B:D/U:R/O:D/L:K
```

可保留 parser compatibility，但 canonical emitter 應輸出 `I` 而不是 `O`。

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## 12.2 Registry-local numeric address

對 schema version $v$：

$$
\operatorname{addr}_v:
\mathfrak P^{(v)}
\rightarrow
\mathsf{ID}_v.
$$

Runtime 可以用 integer、compact token、hash 或 interned symbol 實作。

但是：

$$
\boxed{
\text{Numeric ID}
\neq
\text{Semantic Identity Across Versions}.
}
$$

因此正式 provenance 必須同時保留 schema version 與 canonical coordinates。

---

## 12.3 Stable identity tuple

可定義：

$$
\operatorname{Key}_v(\beta)
=
\left\langle
v,b,u,i,\ell
\right\rangle.
$$

這比單一 ordinal 更適合作為長期 lineage key。

---

# 13. Configuration identity 與 equivalence

## 13.1 Address equality

若：

$$
\beta_1
=
\beta_2,
$$

只表示 basis coordinates 相同。

它不保證 executor、algorithm、precision、resource 或 result 相同。

---

## 13.2 Contract-relative semantic equivalence

對指定 contract $\chi$，可以定義：

$$
\beta_1
\equiv_{\chi}
\beta_2
$$

表示兩種 configuration 在 $\chi$ 所關心的 observable / invariant / error bound 下可視為等價。

此 equivalence 必須是 typed、relative、explicit，而不能只憑「最後數字看起來差不多」。

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## 13.3 Cost equivalence 不等於 semantic equivalence

可能有：

$$
\operatorname{Cost}(\beta_1)
\approx
\operatorname{Cost}(\beta_2),
$$

但：

$$
\beta_1
\not\equiv_{\chi}
\beta_2.
$$

反之亦然。

因此：

$$
\boxed{
\text{Configuration Equivalence}
\neq
\text{Performance Similarity}.
}
$$

這也再次避免把 Mathematics 等同 Optimization。

---

# 14. Extensible configuration basis

## 14.1 一般化 axis registry

令 version $v$ 的 basis schema 為：

$$
\mathfrak A^{(v)}
=
\left\langle
\mathfrak A_1^{(v)},
\ldots,
\mathfrak A_{k_v}^{(v)}
\right\rangle.
$$

則一般 configuration basis：

$$
\boxed{
\mathfrak P^{(v)}
=
\prod_{j=1}^{k_v}
\mathfrak A_j^{(v)}.
}
$$

目前：

$$
\mathfrak P_{72}
=
\mathfrak B_2
\times
\mathfrak U_4
\times
\mathfrak I_3
\times
\mathfrak L_3
$$

只是 canonical base profile。

---

## 14.2 合法 extension 的三種類型

### Type A：新增 axis value

例如：

$$
\mathfrak L_3
\rightarrow
\mathfrak L_n.
$$

可用於加入 nondeterministic relation、memory kernel、adversarial transition 或其他 future transition family。

### Type B：新增 orthogonal axis

若未來確認某一 computational dimension 無法合理作為 contract metadata，而應成為 configuration basis，可加入新 axis：

$$
\mathfrak P^{(v+1)}
=
\mathfrak P^{(v)}
\times
\mathfrak A_{k_v+1}^{(v+1)}.
$$

### Type C：註冊 domain-specific profile

不修改 canonical basis，而建立 profile package：

$$
\mathsf{Profile}_X
=
\left\langle
\mathcal P_X^\star,
\chi_X,
B_X
\right\rangle.
$$

這通常比無限制增加 global axis 更安全。

---

## 14.3 Extension 不等於 ordinary Runtime mutation

修改 configuration registry schema 屬於 specification / Foundation-level governance，不應由普通 Runtime execution 靜默完成。

因此：

$$
\boxed{
\text{Select Existing Configuration}
\neq
\text{Revise Configuration Ontology}.
}
$$

Runtime 可以在已授權 registry 中選擇 $\beta$ ；若要修改 canonical axes、value semantics 或 compatibility rule，必須 explicit、versioned、auditable。

這與：

$$
\text{State Edit}
\neq
\text{Rule Edit}
\neq
\text{Foundation Revision}
$$

保持一致。

---

# 15. Backward compatibility 與 compatibility projection

對新 schema $v'$ 與舊 schema $v$，定義 partial compatibility projection：

$$
\pi_{v'\rightarrow v}:
\mathfrak P^{(v')}
\rightharpoonup
\mathfrak P^{(v)}.
$$

若新 configuration 可無歧義降投影到舊 basis，則：

$$
\pi_{v'\rightarrow v}(\beta')
=
\beta.
$$

若 projection 會遺失 contract-critical semantics，則函數必須未定義：

$$
\pi_{v'\rightarrow v}(\beta')
\uparrow.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{Backward Compatibility}
\neq
\text{Forced Lossy Projection}.
}
$$

---

# 16. Domain-relative configuration assignment

## 16.1 Configuration field

依 Paper-01，定義：

$$
\boxed{
\Gamma_\nu:
\mathcal D_\nu
\rightarrow
\mathfrak G^{(v)}
}
$$

其中 $\nu$ 是 commit/version index。

對 domain $D_i$：

$$
\Gamma_\nu(D_i)
=
\gamma_i.
$$

因此一個 Global Computation Runtime 不需要「整個 World 選一格」，而可以：

$$
\Gamma_\nu(D_1)
\neq
\Gamma_\nu(D_2).
$$

---

## 16.2 Domain 不是物理空間的同義詞

 $D_i$ 可以是：

- physical region；
- simulation subsystem；
- database partition；
- task scope；
- agent scope；
- semantic module；
- graph region；
- device-local computation；
- logical service boundary。

因此：

$$
\boxed{
D_i
\not\Rightarrow
\text{Physical Spatial Region}.
}
$$

這防止 DGW 的 geometric demonstration substrate 反過來綁架 GCM ontology。

---

# 17. Dynamic switching

## 17.1 Configuration switching

對同一 domain：

$$
\Gamma_\nu(D_i)
=
\gamma_i^{-},
$$

在合法 transition 後：

$$
\Gamma_{\nu+1}(D_i)
=
\gamma_i^{+}.
$$

但是 configuration switch 本身不自動表示 World ontology 改變。

例如：

$$
(\mathsf C,\mathsf P,\mathsf C,\mathsf F)
\rightarrow
(\mathsf D,\mathsf J,\mathsf X,\mathsf K)
$$

可以只是 Runtime 改變 representation、update organization、interface 與 transition-law approximation。

因此：

$$
\boxed{
\text{Configuration Change}
\not\Rightarrow
\text{World Primitive Change}.
}
$$

---

## 17.2 Switch receipt

最小 switching receipt 可記為：

$$
\mathsf{CfgReceipt}_\nu
=
\left\langle
D_i,
\gamma_i^{-},
\gamma_i^{+},
\mathsf{reason},
\mathsf{bridgeRef},
\mathsf{contractRef},
\nu
\right\rangle.
$$

Paper-03 將再加入完整 admissibility、authority、verification 與 commit semantics。

---

# 18. Cross-grid composition

一個 Runtime 可以同時具有：

$$
D_1:
(\mathsf C,\mathsf P,\mathsf C,\mathsf F),
$$

$$
D_2:
(\mathsf D,\mathsf R,\mathsf D,\mathsf K),
$$

$$
D_3:
(\mathsf D,\mathsf J,\mathsf X,\mathsf F).
$$

因此：「使用 72 格」最不應該被理解成「挑一格統治全世界」。

正確理解是：

$$
\boxed{
\text{A Global Runtime May Maintain a Configuration Field}
}
$$

而 Global coherence 由 Paper-01 的 reconciliation / verification / commit semantics 與 Paper-03 的 composition contract 決定。

---

# 19. Configuration candidate 不等於合法 route

Paper-02 的 registry 可以回答：

- 有哪些 configuration；
- 它們的 address 是什麼；
- 某 executor 宣告支援哪些 cells；
- 某 domain 當前綁定哪個 configuration；
- 哪些 version compatibility projection 存在。

但 registry 本身不能回答：

- 執行者是否有 authority；
- World constraints 是否允許；
- resource 是否可達；
- bridge 是否保 invariant；
- local result 是否可 global commit。

因此：

$$
\boxed{
\text{Configuration Candidate}
\not\Rightarrow
\text{Admissible Route}.
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{Addressable}
\not\Rightarrow
\text{Executable}.
}
$$

這些問題由 Paper-03 接手。

---

# 20. Resource routing 與 configuration routing 的關係

若 Runtime 只決定：

$$
\text{task}
\mapsto
\text{CPU/GPU/accelerator},
$$

這主要是 resource routing。

GCM configuration routing 可以同時決定：

$$
\text{domain/task}
\mapsto
\left
(\text{computational form},
\text{transition family},
\text{resolution},
\text{contract},
\text{resource}
\right).
$$

因此可寫成方法論上的 proper-subproblem 關係：

$$
\boxed{
\text{Resource Routing}
\text{ is a proper subproblem of }
\text{Full Configuration Routing}.
}
$$

這是 scope 關係，而不是把兩種 routing 當成數學集合；同時也不是歷史首創聲明。

---

# 21. AI-native Router 的正確位置

AI 可以依據：

- task intent；
- domain state；
- uncertainty；
- resource availability；
- latency / energy budget；
- required fidelity；
- previous receipts；
- available executors；
- representation bridge；
- contract obligations；

提出 configuration candidate。

但是：

$$
\boxed{
\text{AI Proposal}
\neq
\text{Authority}
\neq
\text{Commit}.
}
$$

AI-native Router 是 GCM 的可能 implementation，不是理論必要條件。

即使沒有 AI，也可以由 deterministic policy、static table、formal rule 或 human-selected profile 使用同一 configuration registry。

---

# 22. 最小 Registry / API 契約

Paper-02 建議未來 Reference Runtime 至少暴露：

```text
register_basis_schema(version, axes)
register_profile(profile, contract_ref)
resolve_address(canonical_key)
query_candidates(domain, task_signature)
bind_configuration(domain, configuration_ref)
project_compatibility(from_version, to_version)
record_switch(domain, old_ref, new_ref, reason)
```

而下列操作不屬 Paper-02 單獨決定：

```text
authorize(...)
validate_bridge(...)
reconcile(...)
verify_global(...)
commit(...)
rollback(...)
```

它們屬 Paper-03 / Paper-06 的 contract、commit 與 history layer。

---

# 23. 可驗證命題與實驗假說

## 命題 A：basis address 可重現

若 schema version 與 canonical coordinates 相同，Runtime 應產生相同 semantic key：

$$
\operatorname{Key}_v(\beta)
=
\operatorname{Key}_v(\beta).
$$

Reference Runtime 可透過 deterministic registry test 驗證。

---

## 命題 B：同 cell 不代表同性能

存在 executor $E_a,E_b$：

$$
\operatorname{Cell}(E_a)
=
\operatorname{Cell}(E_b),
$$

但：

$$
\operatorname{Cost}(E_a)
\neq
\operatorname{Cost}(E_b).
$$

因此 72 basis 不取代 benchmark / profiling。

---

## 命題 C：同 task 可合法具有多個 configuration candidates

對 task $T$，可能有：

$$
|\operatorname{Candidates}(T)|>1.
$$

真正選擇需要 Paper-03 的 admissibility / authority / resource / contract checks。

---

## 命題 D：configuration switch 可不改變 World primitive

存在：

$$
\gamma^-
\neq
\gamma^+,
$$

同時：

$$
\mathbf W^-
=
\mathbf W^+.
$$

這是 GCM 對 World primitive 與 Runtime representation 分離的直接可測試結果。

---

## 命題 E：lossy compatibility projection 必須可拒絕

若：

$$
\pi_{v'\rightarrow v}
$$

無法保持 contract-critical semantics，Runtime 應返回 incompatibility，而不是強行投影。

---

## 命題 F：multi-cell profile 比 forced single-cell classification 更忠實

對至少一類 hybrid / multi-stage workload，可建立：

$$
\mathcal P^\star
=
\{\beta_1,\beta_2,\ldots\}
$$

使其保留比任何單一 $\beta$ 更多的 execution-relevant structure。

此命題可由 Reference Runtime 的 heterogeneous executor test 驗證。

---

# 24. 與 01、03、04、05、06 的邊界

## 24.1 Paper-01

Paper-01 定義：

$$
\text{World-relative global coherence}
$$

以及 proposal / reconciliation / verification / commit semantics。

Paper-02 不重新定義 global commit，只提供 configuration address layer。

---

## 24.2 Paper-03

Paper-03 將回答：

> 哪些 configuration candidate 在指定 World、domain、authority、resource 與 bridge 條件下可以合法執行？

因此 routing legality 不在 Paper-02 內偷渡完成。

---

## 24.3 Paper-04

Paper-04 將分離 computation、observation、materialization、Runtime clock、Observer projection 與 resolution。

Paper-02 的 $\mathfrak I_3$ 只是一個 computational interface basis。

---

## 24.4 Paper-05

Paper-05 將處理有限活動實現、active support、dormancy、resource envelope 與無界擴張。

Paper-02 不把「目前不可 active realization」誤寫成「configuration 不存在」。

---

## 24.5 Paper-06

Paper-06 將處理 configuration switch、bridge、commit 與 Foundation revision 的 provenance / history。

Paper-02 只定義最小 receipt reference。

---

# 25. Canonical invariants for Paper-02

本文固定以下 invariants：

### INV-P02-01

$$
\boxed{
\mathfrak P_{24},\mathfrak P_{72}
=
\text{Configuration Basis},
\text{ not exhaustive ontology}.
}
$$

### INV-P02-02

$$
\boxed{
\mathfrak I_3
\neq
\Pi_O
\neq
O_\nu.
}
$$

### INV-P02-03

$$
\boxed{
\text{Basis Cell}
\neq
\text{Full Runtime Configuration}.
}
$$

### INV-P02-04

$$
\boxed{
\text{Same Cell}
\not\Rightarrow
\text{Same Semantics or Performance}.
}
$$

### INV-P02-05

$$
\boxed{
\text{Composite System}
\not\Rightarrow
\text{Single Cell}.
}
$$

### INV-P02-06

$$
\boxed{
\text{Configuration Change}
\not\Rightarrow
\text{World Primitive Change}.
}
$$

### INV-P02-07

$$
\boxed{
\text{Configuration Candidate}
\not\Rightarrow
\text{Admissible Route}.
}
$$

### INV-P02-08

$$
\boxed{
\text{Select Existing Configuration}
\neq
\text{Revise Configuration Ontology}.
}
$$

### INV-P02-09

$$
\boxed{
\text{Backward Compatibility}
\neq
\text{Forced Lossy Projection}.
}
$$

### INV-P02-10

$$
\boxed{
\nu
\neq
\text{Physical Time by Default}.
}
$$

---

# 26. Open problems

Paper-02 完成後仍保留以下研究問題：

1. $\mathfrak U_4$ 中的 dominant profile 應採 exclusive label、multi-label 還是 fuzzy / weighted membership？
2. 何時一個新 computational family 應該成為新 axis value，而不是 composite profile？
3. 何時應新增 global axis，何時只應新增 domain-specific profile？
4. 如何定義 contract-relative equivalence，使 configuration switching 可做 formal refinement proof？
5. 如何表示非 Markov、history-dependent、nondeterministic、adversarial 或 higher-order transition family？
6. quantum-classical hybrid computation 應以 multi-cell profile、bridge contract 或新 transition family 表示？
7. 如何對 basis registry 做 canonical hashing，同時保留 human-readable lineage？
8. AI Router 如何提出未知 configuration family，而不越權修改 Foundation schema？
9. configuration profile 是否需要 confidence / evidence level，而不是 binary membership？
10. 如何用最小 MVP 實證 multi-cell profile 比 forced single-cell assignment 更穩定？

這些問題不否定 24／72；相反，它們定義了其作為 extensible basis 應具備的邊界。

---

# 27. 第二輪的核心重定位

第一輪可以寫成：

$$
24
=
\text{Computational Form Basis},
$$

$$
72
=
\text{Form + Transition-Law Basis}.
$$

第二輪進一步加入 full configuration record 與 basis projection：

$$
\boxed{
\operatorname{basis}_v:
\mathfrak G^{(v)}
\rightarrow
\mathfrak P^{(v)}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\Gamma_\nu:
\mathcal D_\nu
\rightarrow
\mathfrak G^{(v)}.
}
$$

所以 GCM 不是：

$$
\text{choose one of 72 and run everything there}.
$$

而是：

$$
\boxed{
\text{Assign, Compose, Switch, Verify and Trace
Typed Computational Configurations
Across a World Boundary}.
}
$$

其中 Paper-02 專門負責前四個字中的 configuration typing / addressing 基礎，而 composition legality、verification 與 trace 分別由後續論文完成。

---

# 28. 結論

24／72 的價值不在於聲稱「世界上只有 72 種計算」，而在於將 computational form 從模糊敘述轉化為 Runtime 可以穩定引用的有限座標。

本文因此正式建立：

$$
\boxed{
\text{Classification}
\rightarrow
\text{Addressable Basis}
\rightarrow
\text{Composite Profile}
\rightarrow
\text{Versioned Runtime Configuration}.
}
$$

其中：

$$
\mathfrak P_{24}
=
\mathfrak B_2
\times
\mathfrak U_4
\times
\mathfrak I_3,
$$

$$
\mathfrak P_{72}
=
\mathfrak P_{24}
\times
\mathfrak L_3,
$$

但：

$$
\boxed{
\text{24/72 Is a Beginning Address Space,
Not the End of Computation Theory}.
}
$$

一旦 basis、address、extension、composite profile 與 full Runtime record 被分離，GCM 就不必在「有限可操作性」與「真實計算的開放性」之間二選一。

這使下一篇 Paper-03 可以真正開始處理更困難的問題：

> 已經有了可尋址 configuration 之後，Runtime 憑什麼判定某個 route 可達、合法、有權、可組合，並最終形成 global commit？

---

# 參考文獻

[1] M. J. Flynn, “Very High-Speed Computing Systems,” *Proceedings of the IEEE*, vol. 54, no. 12, pp. 1901--1909, 1966.

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[3] Ptolemy Project, “Ptolemy II,” UC Berkeley, current project documentation, accessed 2026-08-24.

[4] E. A. Lee, “Concurrent Models of Computation for Embedded Software,” 2004.

[5] C. A. R. Hoare, “Communicating Sequential Processes,” *Communications of the ACM*, vol. 21, no. 8, pp. 666--677, 1978.

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[8] E. A. Lee and A. Sangiovanni-Vincentelli, “The Tagged Signal Model: A Preliminary Version of a Denotational Framework for Comparing Models of Computation,” UC Berkeley, 1996.

[9] J. Kramer and J. Magee, “Dynamic Configuration for Distributed Systems,” *IEEE Transactions on Software Engineering*, vol. 11, no. 4, pp. 424--436, 1985.

[10] C. R. Hofmeister, *Dynamic Reconfiguration of Distributed Applications*, University of Maryland technical report / dissertation lineage, 1993--1998.

[11] LLVM Project, “MLIR Dialect Conversion,” official documentation, accessed 2026-08-24.

[12] J. Watrous, *The Theory of Quantum Information*, Cambridge University Press, 2018.

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## Canonical publication note

本文是 Global Computation Methodology Series 的正式 Paper-02 v0.2。若後續研究擴張 24／72 basis，應透過 explicit versioned registry 更新，而不得回頭把本文中的有限 basis 誤宣稱為 exhaustive theorem。任何新版正式 source 必須保留 UTF-8 Markdown、canonical LaTeX delimiters 與版本 lineage。