# 有限活動實現與無界計算展開 v0.2
## 遞歸世界的資源受限全域計算、休眠生命週期與可恢復 Runtime

**Finite Active Realization and Unbounded Computational Expansion: Resource-Bounded Global Computation, Dormant Lifecycles, and Recoverable Runtime Semantics**

- 系列：Global Computation Methodology Series
- 文件編號：Paper-05
- 版本：v0.2
- 日期：2026-08-24
- 作者：Neo.K
- 協作：Aletheia / GPT
- 狀態：第二輪正式核心論文
- Canonical anchors：Series-00 v0.2、Paper-01 v0.2、Paper-02 v0.2、Paper-03 v0.2、Paper-04 v0.2
- 外部接口：時空可達性、可供性與控制權系列 v0.1
- 編碼：UTF-8 Markdown
- 數學 delimiter：僅使用 ` $...$ ` 與 `$$...$$`

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## 摘要

Global Computation Methodology（GCM）要求一個指定 World boundary 內的 heterogeneous computation 維持全域一致，但這不代表 Runtime 必須同時展開、求解、保留或物化全部可能存在的結構。若 World 允許遞歸生成、新 domain 建立、作用域擴張、解析度細化、長期歷史累積或 open-ended representation，則其未來可達的結構尺度可以沒有預先指定的固定有限上界；然而任何實際 Runtime 都只能使用有限記憶體、算力、I/O、網路、延遲與能源預算。

本文將第一輪命題：

$$
\boxed{
\text{Finite Active Realization}
+
\text{Unbounded Extensibility}
}
$$

升級為正式的 resource-bounded Runtime semantics。本文不把「unbounded」解讀為真實機器在某一時刻持有無限狀態，也不要求 World 必須是數學上的實無窮物件；它只表示在指定 expansion measure 下，Foundation 與 World grammar 不預先施加固定有限上界。對 expansion measure $g$，可寫為：

$$
\forall N\in\mathbb N,
\exists W_{\nu'}\in
\operatorname{FutureAdm}(W_\nu,\mathcal F^{(v)})
\text{ such that }
 g(W_{\nu'})>N.
$$

與此相對，Runtime 在 revision $\mu$ 的 active compute support $\mathsf{Act}_\mu$ 必須有限，且更強地滿足 typed resource envelope：

$$
\boxed{
|\mathsf{Act}_\mu|<\infty
}
$$

以及對所有 hard resource dimensions $k$：

$$
\boxed{
\mathsf{Use}_k(\mathsf{Act}_\mu,\Xi_\mu)
\le
B_{\mu,k}.
}
$$

本文正式區分 active、materialized、dormant、archived、potential 與 pinned 等 Runtime predicates，並指出它們不是單一互斥狀態列。Materialization 已由 Paper-04 定義為 representation realization，因此 reactivation 不得再被偷換成 materialization；Potential 亦不等於 canonical World object。本文進一步建立 active horizon、mandatory dependency closure、typed pinning、dormancy modes、archive anchor、restore/catch-up/validate/reactivate protocol、resource feasibility、churn/thrashing、support-local cost obligation、inactive boundary summary、approximation certificate 與 out-of-core locator semantics。

本文特別修正第一輪一個不足：單純滿足 $|\mathsf{Act}_\mu|\le B$ 並不能推出 Runtime cost bounded，因為 implementation 仍可能在每一步 full-scan dormant nodes、history、relations 或 archive。故本文提出：

$$
\boxed{
\text{Bounded Active Semantics}
\neq
\text{Bounded Runtime Cost}.
}
$$

並將真正的工程目標改寫為 support-local execution：在 active support 固定、無大規模 reactivation 的 steady-state 條件下，step cost 應主要依賴 active support、active frontier、changed support 與必要 index access，而不應線性依賴整個 dormant/archive lineage。

本文對 Denning working set、virtual memory / external-memory algorithms、lazy evaluation、streaming algorithms、persistent data structures、adaptive mesh refinement 與 Orleans virtual actors 等既有工作做公平定位。GCM 不宣稱發明 paging、working set、lazy evaluation、out-of-core computation、recursive refinement、actor activation collection 或 persistent structures；本文的研究主張是將這些不同領域的資源局部化思想抽象成一個 World-relative、typed、可提交、可恢復、可審計的 global Runtime lifecycle，並與 Observer、authority、history、Foundation 及 heterogeneous routing 形成共同形式系統。

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## 關鍵詞

Global Computation Methodology；finite active realization；unbounded extensibility；working set；dormancy；archive；reactivation；resource envelope；out-of-core；lazy evaluation；virtual actors；bounded support；active horizon；thrashing；recovery；global coherence

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# 1. 問題設定：有限硬體不推出有限 World grammar

若一個 Runtime 只能持有有限記憶體，最直覺的工程反應可能是：

> 那麼 World 必須先被切成固定有限大小。

這個推論並不成立。

真實計算機當然只能在任何實際時刻維持有限可實現狀態，但「目前實現有限」與「未來可擴張空間預先存在固定有限上界」是不同命題。

例如：

- lazy list 可以定義沒有預先長度上限的序列，但只求值有限 prefix；
- virtual memory 可以提供大於 physical memory 的 address space，而只讓 working pages 常駐；
- external-memory algorithm 可以處理大於主記憶體的資料集；
- stream algorithm 可以處理長期甚至概念上不封頂的 input stream，而只保留有限 summary；
- adaptive mesh refinement 可以只在需要處局部細化；
- virtual actor Runtime 可以讓 actor identity 長期存在，而只在需求出現時產生 in-memory activation。

GCM 將這些現象抽象成一個更一般的 World Runtime 問題：

> **若 World semantics 或 representation grammar 允許持續展開，有限 Runtime 如何不靠「把整個未來先完整實現」而仍維持全域一致？**

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# 2. 本文不主張什麼

本文不主張：

1. 真實機器可以同時執行無限計算；
2. 任意 World 必須是實無窮集合；
3. 所有無界程序都可由固定記憶體精確計算；
4. lazy evaluation、virtual memory、working set、streaming、AMR 或 out-of-core 是 GCM 首創；
5. 只要 active set 有界，CPU / I/O / latency cost 就必然有界；
6. dormant state 必定停止演化；
7. archived state 必定可以零成本恢復；
8. potential object 已經是 canonical World object；
9. Observer demand 自動取得 pin、activation 或 resource authority；
10. approximation resolution 提高一定單調降低 error；
11. Foundation/schema 可以為了擴張由 ordinary Runtime 靜默修改；
12. history retention 必須永久保留每一個 bit。

本文只主張：

> **Global Runtime 可以在指定 World semantics 下，讓未來可擴張性與當前有限活動實現分離；但這種分離必須伴隨可驗證的 lifecycle、resource、recovery、authority、approximation 與 history contract。**

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# 3. 既有研究定位

## 3.1 Working set 與 virtual memory

Denning 的 working set model 已經把「目前真正使用的 pages」作為 memory allocation 與 program behavior 的核心概念。GCM 不把 active support 當成新的 paging theory；本文只把「working set-like locality」抽象到 heterogeneous World domains、executors、materialized representations 與 recursive structures。

## 3.2 External-memory / I/O complexity

Aggarwal 與 Vitter 的 external-memory model 早已正式研究 internal memory 與 secondary storage 之間的 I/O complexity。GCM 的 archive / external locator 不是 external-memory algorithm 的替代物；它要求 Runtime 在使用任何 external-memory mechanism 時，仍保留 World version、Foundation version、recovery contract、authority 與 provenance。

## 3.3 Lazy evaluation

Launchbury 等 lazy evaluation 研究已給出 demand-driven evaluation 與 sharing 的正式語義。GCM 借用的只是：

$$
\text{Demand}
\rightarrow
\text{Realize More Work}
$$

的資源直覺。World domain 的 dormant evolution、history replay、cross-domain coupling、authority 與 commit 都超出一般語言層 lazy evaluation 的問題設定。

## 3.4 Streaming algorithms

Data-stream algorithmics 已長期研究 input 大於可儲存 working memory 時，以少量 pass、sublinear memory 或 sketch 處理資料。這證明「input / future extent 大於 active memory」本身並不矛盾，但 GCM 不把 streaming summary 自動當成 canonical World state。

## 3.5 Persistent data structures

Driscoll、Sarnak、Sleator 與 Tarjan 已研究 persistent data structures，使舊版本在 update 後仍可存取。GCM 的 structural sharing、version lineage 與 history interface 可使用這類技術，但 World provenance、archival retention 與 Paper-06 的 history semantics 不是由 persistent data structure 自動解決。

## 3.6 Adaptive refinement

Berger–Oliger 等 AMR 工作已證明 recursive refinement 可以只在局部高需要區域建立更細網格。Paper-04 已將這類研究定位為 adaptive resolution prior art。Paper-05 只進一步處理：當 refinement 產生更多 realization units 時，哪些 units 應 active、何時 dormant、如何 archive、以及重啟成本如何計入 resource policy。

## 3.7 Virtual actors

Orleans 將 actor 視為 virtual entity；in-memory activation 只是暫時 physical embodiment，Runtime 可以按需 activation 並回收 idle activation。這與 GCM 的「canonical identity / existence 不等於 active physical realization」非常接近。本文不宣稱這個 lifecycle 是新發明，而是把它納入更一般的 World-relative global computation contract。

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# 4. 從 00–04 匯入的 canonical 語義

本文沿用：

$$
\mathcal M_G^{(0.2)}
=
\left\langle
\mathbf W;
W_\nu,
\Xi_\mu,
O_\omega,
\mathcal F^{(v)};
\mathfrak P,
\mathfrak L,
\mathcal D,
\Gamma;
\mathcal C,
\mathsf{Reach},
\mathsf{Auth},
\mathcal S;
\Pi,
\mathsf{Mat},
\mathcal H
\right\rangle.
$$

其中本文特別關心：

- $W_\nu$：canonical committed World-state presentation；
- $\Xi_\mu$：Runtime control state；
- $O_\omega$：Observer state；
- $\mathcal F^{(v)}$：Foundation version；
- $\mathcal D_\nu$：目前 canonical domains；
- $\Gamma$：configuration assignment；
- $\mathsf{Reach}$：current reachability；
- $\mathsf{Auth}$：authority；
- $\mathsf{Mat}_\mu$：materialized representation support；
- $\mathcal H$：history / provenance。

Paper-04 已固定：

$$
\boxed{
\mathsf{Act}_\mu
\neq
\mathsf{Mat}_\mu
\neq
Y_q.
}
$$

Paper-05 從這個接口出發，不重新把 active、materialized 與 visible 合併。

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# 5. Unbounded Extensibility 的正式定義

「無界」需要相對某個 expansion measure 說明，而不是裸用 infinity。

令：

$$
g:
\mathcal W
\rightarrow
\mathbb N
$$

為指定 expansion measure，例如：

- recursive depth；
- domain count；
- addressable object count；
- refinement level；
- generated region count；
- history length；
- extensible descriptor count。

若對任意有限 $N$，在相同 Foundation version 或其明示允許的 compatible extension rule 下，都存在 admissible future state：

$$
\forall N\in\mathbb N,
\exists W_{\nu'}
\in
\operatorname{FutureAdm}(W_\nu,\mathcal F^{(v)})
$$

使：

$$
g(W_{\nu'})>N,
$$

則稱 World 在 measure $g$ 下具 **unbounded extensibility**。

這並不推出任何單一 state：

$$
W_\nu
$$

本身具有實際無限大小。

因此：

$$
\boxed{
\text{Unbounded Future Extensibility}
\neq
\text{Infinite Present Realization}.
}
$$

---

# 6. Finite Active Realization 的正式定義

令 $\mathcal X_{\nu,\mu}$ 為 Runtime 在 World version $\nu$ 、Runtime revision $\mu$ 可定址的 realization units。它可以包含：

- domain；
- solver partition；
- actor / entity activation；
- graph region；
- local model；
- cacheable representation；
- simulation patch；
- task group。

定義 active compute support：

$$
\mathsf{Act}_\mu
\subseteq
\mathcal X_{\nu,\mu}.
$$

最弱條件是：

$$
\boxed{
|\mathsf{Act}_\mu|<\infty.
}
$$

但 cardinality bounded 仍不足以描述真實資源，因此本文採更強的 typed resource feasibility。

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# 7. Runtime realization predicates：不要再硬做五態互斥列

第一輪使用 Active / Materialized / Dormant / Archived / Potential 五種狀態，對直覺很有幫助，但第二輪需要修正一點：這些概念並不全部屬於同一維度，因此不應強制互斥。

本文改用 predicates：

$$
\mathsf{Active}_\mu(x),
$$

$$
\mathsf{Materialized}_\mu(x,r),
$$

$$
\mathsf{Dormant}_\mu(x),
$$

$$
\mathsf{Archived}_\mu(x,a),
$$

$$
\mathsf{Pinned}^{c}_\mu(x),
$$

以及 potential descriptor：

$$
q\in\mathsf{Pot}_\mu.
$$

其中：

- active 與 dormant 對同一 execution layer 通常互斥；
- active 與 materialized 可以重疊，也可以不重疊；
- archived artifact 可以與 dormant canonical identity 同時存在；
- pinned 是 retention / lifecycle constraint，不是 existence state；
- potential descriptor 甚至不一定已經對應 canonical object。

因此：

$$
\boxed{
\text{Runtime Lifecycle}
\neq
\text{One Flat Enumeration}.
}
$$

---

# 8. Active 不等於 Materialized

延續 Paper-04：

$$
\boxed{
\mathsf{Act}_\mu
\neq
\mathsf{Mat}_\mu.
}
$$

可以有：

$$
x\in\mathsf{Act}_\mu
\land
x\notin\mathsf{Mat}_\mu,
$$

例如 hidden solver；也可以：

$$
x\notin\mathsf{Act}_\mu
\land
x\in\mathsf{Mat}_\mu,
$$

例如 frozen cached scene。

因此第一輪曾使用：

$$
\mathsf{Archived}
\xrightarrow{\mathsf{Materialize}}
\mathsf{Active}
$$

作直覺圖示，第二輪不再把這兩種操作合併。

正式上，reactivation 與 materialization 是兩個不同軸：

$$
\boxed{
\mathsf{Reactivate}
\neq
\mathsf{Materialize}.
}
$$

---

# 9. Potential 不等於 Canonical Existence

令：

$$
q\in\mathsf{Pot}_\mu
$$

表示 current Foundation / grammar / generator 允許某種未來 extension descriptor。

但：

$$
\boxed{
q\in\mathsf{Pot}_\mu
\not\Rightarrow
q\in\operatorname{Obj}(W_\nu).
}
$$

例如 procedural world 可以描述「下一個 region 可依 seed 生成」，但那個 region 未必已是 canonical World object。

若 instantiate 會改變 canonical World，則必須走 Paper-03 route / commit path：

$$
q
\xrightarrow{\mathsf{InstantiateProposal}}
\delta
\xrightarrow{\mathsf{Verify}}
\mathsf{Commit/Reject}.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{Potential Generation}
\neq
\text{Observer-side Materialization}.
}
$$

---

# 10. Dormant 的定義

Dormant 不應只理解成「什麼都不做」。

本文令：

$$
\mathsf{Dormant}_\mu(x)
$$

表示 $x$ 暫不參與其 normal high-cost / high-frequency active execution path，但 canonical identity、state contract 或 recoverable representation 仍被 Runtime 維持。

Dormant semantics 必須由 domain contract 指定，而不是由 Runtime 猜測。

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# 11. Archived 的定義

令：

$$
\mathsf{Archived}_\mu(x,a)
$$

表示 Runtime 目前不要求 $x$ 的完整 active realization 常駐昂貴層，但存在 archive artifact $a$ 可支援 future restore、audit、replay 或 reconstruction。

Archived 不等於 deleted：

$$
\boxed{
\mathsf{Archived}(x)
\neq
\mathsf{Deleted}(x).
}
$$

但 archived 也不自動保證 exact restoration；是否 exact、approximate 或 replay-dependent 必須寫入 archive contract。

---

# 12. Archive Anchor Contract

對 archived unit $x$，本文建議至少保存：

$$
\mathfrak C_{\mathrm{Arch}}(x)
=
\left\langle
\mathsf{ObjectID},
\mathsf{SourceWorldVersion},
\mathsf{FoundationVersion},
\mathsf{SchemaVersion},
\mathsf{Locator},
\mathsf{Checkpoint},
\mathsf{Seed},
\mathsf{Summary},
\mathsf{InvariantDigest},
\mathsf{HistoryPtr},
\mathsf{Hash},
\mathsf{RestoreMode},
\mathsf{ErrorCert}
\right\rangle.
$$

並非每個欄位都必須有值，但缺少的 restoration obligation 必須 explicit。

因此「只存 seed」不是普遍正確做法；若 generator version 改變，僅存 seed 可能無法重建同一 state。

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# 13. Active Horizon：從固定三層改成 typed dependency horizon

第一輪 DGW 使用 Focus / Inner / Frontier 三層 rolling horizon，非常適合作為 executable demonstration，但不應變成 GCM 本體。

第二輪定義 focus support：

$$
\mathsf{Focus}_\mu
\subseteq
\mathcal X_{\nu,\mu},
$$

並令 $d_\mu(x,\mathsf{Focus}_\mu)$ 為 domain-specific dependency / distance measure。

對 horizon parameter $h$：

$$
\mathsf{Hor}_\mu(h)
=
\left\{
x:
 d_\mu(x,\mathsf{Focus}_\mu)
\preceq h
\right\}.
$$

此處的 $d_\mu$ 不必是幾何距離，也不必是 scalar；它可以是：

- graph distance；
- causal distance；
- task dependency depth；
- simulation neighborhood；
- error influence region；
- authority scope；
- semantic relevance distance。

因此：

$$
\boxed{
\text{Active Horizon}
\neq
\text{Geometric Radius}.
}
$$

---

# 14. Horizon 不等於 Active Set

即使某 unit 落在 horizon 內，也不必全部 high-cost active；反之，某些 horizon 外 unit 可能因 safety 或 hard dependency 必須 active。

因此：

$$
\boxed{
\mathsf{Hor}_\mu
\neq
\mathsf{Act}_\mu.
}
$$

令：

$$
\mathsf{Mandatory}_\mu
=
\mathsf{Pin}^{\mathrm{Act}}_\mu
\cup
\mathsf{HardDep}_\mu.
$$

則最低要求：

$$
\boxed{
\mathsf{Mandatory}_\mu
\subseteq
\mathsf{Act}_\mu.
}
$$

如果 budget 甚至無法容納 mandatory support，Runtime 必須回報 budget violation、degrade contract 或 fail closed，不能偷偷 evict mandatory unit。

---

# 15. Typed Resource Envelope

第一輪用單一 budget vector：

$$
B_t=(B_{cpu},B_{mem},B_{io},B_{latency},B_{energy}).
$$

第二輪改為 typed resource envelope：

$$
\mathbf B_\mu
=
\left\{
B_{\mu,k}
\right\}_{k\in\mathcal K_R},
$$

其中 resource kind 可以包含：

$$
\mathcal K_R
=
\{
\mathsf{CPU},
\mathsf{GPU},
\mathsf{Memory},
\mathsf{IO},
\mathsf{Network},
\mathsf{Latency},
\mathsf{Energy},
\mathsf{Storage},
\mathsf{Concurrency}
\}.
$$

不同 resource dimensions 不要求可相加，也不要求化成單一 money-like objective。

定義：

$$
\mathsf{Use}_k(A,\Xi_\mu)
$$

為 support $A$ 在 resource kind $k$ 上的需求。

對 hard bounds：

$$
\boxed{
\forall k\in\mathcal K_R^{\mathrm{hard}},
\quad
\mathsf{Use}_k(\mathsf{Act}_\mu,\Xi_\mu)
\le
B_{\mu,k}.
}
$$

這比單純：

$$
|\mathsf{Act}_\mu|\le B_A
$$

更接近真正 Runtime。

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# 16. Resource Feasibility 不等於 Optimization

本文特別避免把整個 GCM 偷換成 optimization。

定義：

$$
\mathsf{Feasible}_\mu(A)
$$

當且僅當：

1. mandatory units 被包含；
2. hard resource bounds 滿足；
3. required dependency closure 滿足；
4. authority / safety constraints 滿足；
5. active lifecycle transitions 合法。

Runtime policy：

$$
\mathsf{SelectActive}_\mu:
\mathcal P(\mathcal X)
\rightharpoonup
\mathcal P(\mathcal X)
$$

只需要選出某個 feasible support。

某些實作可以再做 utility optimization，但：

$$
\boxed{
\text{Feasibility}
\neq
\text{Optimization}.
}
$$

---

# 17. Typed Pinning

第一輪以單一 $P_t$ 表示 pinned domains，與 Potential / Permission namespace 衝突。第二輪固定具名 pin classes：

$$
\mathsf{Pin}^{\mathrm{Act}}_\mu,
$$

$$
\mathsf{Pin}^{\mathrm{Mat}}_\mu,
$$

$$
\mathsf{Pin}^{\mathrm{Ret}}_\mu.
$$

分別表示：

- 必須保持 active；
- 必須保持某 materialized representation；
- 必須保持 recoverable retention，不得被 archive policy 丟棄。

它們不必相同：

$$
\boxed{
\mathsf{Pin}^{\mathrm{Act}}
\neq
\mathsf{Pin}^{\mathrm{Mat}}
\neq
\mathsf{Pin}^{\mathrm{Ret}}.
}
$$

例如 safety control loop 可能必須 active，但沒有 UI materialization；audit receipt 必須 retained，但永不 active。

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# 18. Pinning 是 Authority-sensitive Operation

Observer demand 可以成為 active-selection signal，但不能自動取得 permanent pin authority。

因此：

$$
\mathsf{RequestPin}(A,x,c)
$$

必須通過 Paper-03 的 authority gate：

$$
\boxed{
\text{Observer Demand}
\not\Rightarrow
\text{Pin Authority}.
}
$$

這可避免惡意或失控 query 將大量 domain 永久 pin 在昂貴層，形成 denial-of-resource。

---

# 19. Dormancy Modes

Dormant 期間的 World semantics 至少可區分：

## 19.1 Freeze

$$
\mathsf{DormMode}(x)=\mathsf{Freeze}.
$$

在 dormant interval 內， $x$ 的 canonical local state 不依該 domain clock自行演化。

## 19.2 Coarse Evolution

$$
\mathsf{DormMode}(x)=\mathsf{Coarse}.
$$

使用低成本 surrogate / aggregate law 繼續推進。

## 19.3 Event Accumulation / Replay

$$
\mathsf{DormMode}(x)=\mathsf{Replay}.
$$

dormant 期間只保存相關 events / deltas；reactivation 時再 catch up。

## 19.4 Delegated Surrogate

$$
\mathsf{DormMode}(x)=\mathsf{Surrogate}.
$$

由另一個 coarse model 或 aggregate domain 代表其外部 coupling effect。

這些模式不能 silent interchange。

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# 20. Dormancy Contract

本文建議：

$$
\mathfrak C_{\mathrm{Dorm}}(x)
=
\left\langle
\mathsf{Mode},
\mathsf{ClockSemantics},
\mathsf{BoundarySummary},
\mathsf{MaxLag},
\mathsf{ApproxContract},
\mathsf{CatchUpMode},
\mathsf{InvariantSet},
\mathsf{WakeTrigger},
\mathsf{ProvenanceRule}
\right\rangle.
$$

如果 domain 沒有定義 dormant semantics，Runtime 不應自行假設 Freeze。

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# 21. Reactivation Protocol

從 dormant / archive 回到 active，正式流程至少是：

$$
\boxed{
\mathsf{Locate}
\rightarrow
\mathsf{Load}
\rightarrow
\mathsf{Decode}
\rightarrow
\mathsf{Reconstruct}
\rightarrow
\mathsf{CatchUp}
\rightarrow
\mathsf{Validate}
\rightarrow
\mathsf{Rebind}
\rightarrow
\mathsf{Activate}.
}
$$

因此 reactivation cost：

$$
C_{\mathrm{wake}}
=
C_{\mathrm{locate}}
+
C_{\mathrm{load}}
+
C_{\mathrm{decode}}
+
C_{\mathrm{reconstruct}}
+
C_{\mathrm{catchup}}
+
C_{\mathrm{validate}}
+
C_{\mathrm{rebind}}.
$$

若任一步失敗，不應把 partial reconstruction 當 canonical active state。

---

# 22. Reactivation Correctness

至少需檢查：

1. object / domain identity；
2. Source World version；
3. Foundation / schema compatibility；
4. checkpoint hash / integrity；
5. dormant-period catch-up semantics；
6. required invariants；
7. dependency bindings；
8. history pointer / provenance；
9. current authority；
10. approximation certificate validity。

因此：

$$
\boxed{
\text{Load Success}
\not\Rightarrow
\text{Reactivation Success}.
}
$$

---

# 23. Inactive Boundary Summary

全域 dependency 不要求所有 dormant domain 被完整載入。

對 inactive unit $x$，Runtime 可以維持 boundary summary：

$$
\Sigma_\mu(x).
$$

若：

$$
\Sigma_\mu(x)
\models
\mathfrak C_{\partial x},
$$

表示 summary 足以滿足目前 cross-domain boundary contract。

於是 global reconciliation 可以使用：

$$
\mathsf{Reconcile}
\left(
\Delta_{\mathsf{Act}},
\Sigma_\mu(\mathsf{Dorm}),
\Sigma_\mu(\mathsf{Arch})
\right)
$$

而不必 full load 全部 inactive support。

這是：

$$
\boxed{
\text{Global Dependency}
\neq
\text{Full Materialization}
}
$$

在 resource layer 的具體形式。

---

# 24. Summary Sufficiency 是條件性的

Boundary summary 不是永久真理。

若：

- World version 前進；
- coupling contract 改變；
- approximation error 超出容許；
- foundation/schema revision；
- external event 使 dormant state invalid；

則：

$$
\Sigma_\mu(x)
\not\models
\mathfrak C_{\partial x}
$$

可能成立。

此時 Runtime 必須 refresh、refine 或 reactivate，而不是繼續假裝 summary 仍 sufficient。

---

# 25. Recursive Globality 不等於 Recursive Full Expansion

若 World 形成 recursive lineage：

$$
D_0
\supset
D_1
\supset
D_2
\supset
\cdots,
$$

每個 $D_k$ 可以相對自己的 boundary 被視為 local-global world，但 parent Runtime 不需要同時展開全部 descendants。

因此：

$$
\boxed{
\text{Recursive Globality}
\neq
\text{Recursive Full Expansion}.
}
$$

更一般地，globality 關心的是指定 boundary 的 coherence obligation，而不是 simultaneous full embodiment。

---

# 26. Bounded Active Semantics 不等於 Bounded Runtime Cost

這是第一輪 DGW 實驗暴露出的最重要負面結果之一。

即使：

$$
|\mathsf{Act}_\mu|
\le
B_A,
$$

implementation 仍可能每 step：

- scan 全部 dormant nodes；
- clone 全部 World tree；
- traverse 全部 history；
- rebuild 全部 global aggregate；
- render 全部 ancestor lineage；
- inspect 全部 archived metadata。

因此：

$$
\boxed{
\text{Bounded Active Semantics}
\neq
\text{Bounded Runtime Cost}.
}
$$

---

# 27. Step Cost Decomposition

本文將 step cost 至少拆為：

$$
C^{\mathrm{step}}_\mu
=
C^{\mathrm{exec}}_\mu
+
C^{\mathrm{reconcile}}_\mu
+
C^{\mathrm{index}}_\mu
+
C^{\mathrm{projection}}_\mu
+
C^{\mathrm{lifecycle}}_\mu
+
C^{\mathrm{history}}_\mu.
$$

active support bound 主要約束 $C^{\mathrm{exec}}$，卻不自動約束其他項。

因此真正的 Reference Runtime 必須逐項 profile。

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# 28. Support-local Cost Obligation

本文不要求所有系統都達成絕對 $O(1)$，因為 index lookup、distributed communication、reconciliation 與 storage hierarchy 本身可能依 total scale 增長。

更合理的工程目標是：在 active support 固定、無大規模 wake/evict、沒有 Foundation revision 的 steady state，step cost 不應線性依賴整個 inactive lineage。

例如理想形式：

$$
C^{\mathrm{steady}}_\mu
=
O
\left(
f(
|\mathsf{Act}_\mu|,
|E^{\mathrm{frontier}}_\mu|,
|\Delta_\mu|,
\log |\mathsf{Archive}_\mu|
)
\right).
$$

這裡的 $\log |\mathsf{Archive}|$ 只是一種可能 index target，不是 universal complexity theorem。

真正禁止的是無理由：

$$
C^{\mathrm{steady}}_\mu
=
\Theta(|\mathsf{Dorm}_\mu|+|\mathsf{Archive}_\mu|)
$$

的 full scan dependency。

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# 29. Structural Sharing

如果 World representation 使用 immutable / persistent structure，未改變 subtree 可以共享：

$$
W_{\nu+1}^{\mathrm{unchanged}}
\equiv
W_\nu^{\mathrm{unchanged}}.
$$

這不代表 canonical state 相同，而是 representation 可以保留 shared structure。

因此：

$$
\boxed{
\text{World Commit}
\not\Rightarrow
\text{Full Representation Clone}.
}
$$

Persistent data structures 已提供成熟技術基礎；GCM 只要求 representation optimization 不改變 World semantics。

---

# 30. Incremental Aggregates

若 global aggregate：

$$
G_\nu
=
\operatorname{Agg}
\left(
\{g_i\}
\right),
$$

只有 changed support $\Delta_\nu$ 影響 aggregate，則應盡可能使用 incremental maintenance，而非 full recomputation。

對 additive example：

$$
G_{\nu+1}
=
G_\nu
-
\sum_{i\in\Delta^-}g_i
+
\sum_{j\in\Delta^+}g_j.
$$

但這只是 implementation pattern；對非交換、nonlinear 或 globally coupled operator，增量更新必須符合其 composition contract。

---

# 31. Active Frontier Index

對 dependency graph：

$$
G_\nu=(V_\nu,E_\nu),
$$

可定義 active frontier edges：

$$
E^{\mathrm{frontier}}_\mu
=
\left\{
(u,v)\in E_\nu:
 u\in\mathsf{Act}_\mu
\lor
 v\in\mathsf{Act}_\mu
\right\}.
$$

這不代表每條 frontier edge 都需每 step 更新，但提供一個可局部化 reconciliation 的 index target。

---

# 32. Out-of-core World Representation

若 total retained representation 超過高成本 memory：

$$
\mathsf{Rep}
=
\mathsf{Rep}^{\mathrm{hot}}
\cup
\mathsf{Rep}^{\mathrm{warm}}
\cup
\mathsf{Rep}^{\mathrm{cold}}
\cup
\mathsf{Rep}^{\mathrm{external}}.
$$

GCM 不規定這些層一定對應 RAM / SSD / object store；它只要求 locator 與 recovery semantics explicit。

因此：

$$
\boxed{
\text{Canonical World Membership}
\neq
\text{RAM Residency}.
}
$$

---

# 33. Archive 不是免費的

即使 active memory 近似固定：

$$
M_{\mathrm{active}}=O(1)
$$

相對 recursive depth，也不能推出 total retained storage bounded。

若所有 checkpoint、receipt、delta 都永久保存：

$$
S_{\mathrm{archive}}(\nu)
\rightarrow
\infty
$$

仍可能發生。

所以：

$$
\boxed{
\text{Bounded Active Memory}
\neq
\text{Bounded Historical Storage}.
}
$$

Retention、compression、deduplication、history quotient 與 legal/audit policy 由 Paper-06 進一步處理。

---

# 34. Active-set Churn

定義 lifecycle churn：

$$
\chi_\mu
=
\left|
\mathsf{Act}_{\mu+1}
\triangle
\mathsf{Act}_\mu
\right|,
$$

其中 $\triangle$ 為 symmetric difference。

即使 active set cardinality 始終很小，若：

```text
activate
archive
reactivate
archive
...
```

高頻發生，lifecycle cost 仍可能支配 useful computation。

---

# 35. Thrashing Ratio

可定義一個 diagnostic ratio：

$$
\theta_\mu
=
\frac{
C^{\mathrm{lifecycle}}_\mu
}{
C^{\mathrm{lifecycle}}_\mu
+
C^{\mathrm{useful}}_\mu
}.
$$

當：

$$
\theta_\mu
\rightarrow1,
$$

表示 Runtime 大部分成本花在 wake / evict / migrate / reconstruct，而不是實際計算。

這與 paging thrashing、cache churn、actor activation churn 有相似結構，但 GCM 將其擴展到 heterogeneous World lifecycle。

---

# 36. Hysteresis 與 Admission Control

為避免高頻切換，可使用不同 activation / deactivation threshold：

$$
\tau_{\mathrm{on}}
>
\tau_{\mathrm{off}}
$$

或 minimum residency / cooldown window。

但 threshold 不是 GCM 公理，只是一類可用 policy。

真正 invariant 是：

> lifecycle policy 必須把 wake/evict cost 納入 resource contract，不能只最佳化 instant active cardinality。

---

# 37. Approximate Global Computation

有限 budget 下，某些 domain 可以使用 approximate / surrogate evolution：

$$
\Phi_G^{(B)}
\approx
\Phi_G^{\mathrm{ref}}.
$$

但 approximation 不應只保存一個裸 scalar $\epsilon$。

本文建議 approximation certificate：

$$
\mathfrak E_x
=
\left\langle
\mathsf{Metric},
\mathsf{Bound},
\mathsf{Confidence},
\mathsf{ValidityRegion},
\mathsf{SourceModel},
\mathsf{SourceVersion},
\mathsf{Expiry}
\right\rangle.
$$

並沿用 Paper-04：resolution refinement 不保證所有 metric 單調改善。

因此：

$$
\boxed{
\rho_b^C\succeq_C\rho_a^C
\not\Rightarrow
\operatorname{Err}(\rho_b^C)
<
\operatorname{Err}(\rho_a^C)
}
$$

在一般情況下成立。

---

# 38. Budget-relative Realization 不等於 World-relative Truth

不同 hardware / resource budget：

$$
\mathbf B^{(1)}
\neq
\mathbf B^{(2)}
$$

可以產生不同 active realization：

$$
\mathsf{Act}^{(1)}_\mu
\neq
\mathsf{Act}^{(2)}_\mu.
$$

只要它們各自在自己的 approximation / validity contract 下維持同一 World semantics 所要求的 invariants，就可以都是合法 Runtime realization。

因此：

$$
\boxed{
\text{Same World}
\not\Rightarrow
\text{Same Active Realization}.
}
$$

---

# 39. Recursive Spawn 與 World Mutation

新的 domain 可以在事件或需求下產生：

$$
\mathsf{SpawnDomainProposal}(q).
$$

但若 spawn 會成為 canonical World state 的一部分，必須走 Paper-03：

$$
\mathsf{Proposal}
\rightarrow
\mathsf{Admissibility}
\rightarrow
\mathsf{Authority}
\rightarrow
\mathsf{Execute}
\rightarrow
\mathsf{Verify}
\rightarrow
\mathsf{Commit}.
$$

不能因為 Observer zoom 到更深處，就偷偷把「未生成的 potential region」寫進 World。

所以：

$$
\boxed{
\text{Observer Focus Change}
\not\Rightarrow
\text{Canonical Domain Spawn}.
}
$$

---

# 40. Descriptor Extension 與 Foundation Boundary

第一輪曾提出「descriptor dimension 可持續增加」。第二輪需加上重要限制。

若 current schema 本來就允許 extensible key/value descriptor，增加新 instance field 可以是 ordinary state change。

但若要增加新的 semantic axis、改變 type system、修改 admissibility rule 或改寫 World grammar，則可能是：

$$
\boxed{
\text{Foundation / Schema Revision}.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{Unbounded Extensibility}
\not\Rightarrow
\text{Silent Foundation Mutation}.
}
$$

---

# 41. Observer-driven Demand 與 Resource Safety

Observer request 可以影響：

- materialization demand；
- active-selection priority；
- prefetch；
- projection refresh；
- coarse-to-fine candidate generation。

但 ordinary observation authority 不推出：

- permanent activation；
- resource budget expansion；
- pinning；
- canonical spawn；
- Foundation revision。

所以：

$$
\boxed{
\text{Observer-aware Resource Policy}
\neq
\text{Observer-owned Runtime Semantics}.
}
$$

---

# 42. Lifecycle Receipts

每次重大 lifecycle transition 應產生 receipt，例如：

$$
\mathfrak R_{\mathrm{life}}
=
\left\langle
\mathsf{ObjectID},
\mathsf{FromState},
\mathsf{ToState},
\mathsf{WorldVersion},
\mathsf{RuntimeRevision},
\mathsf{Reason},
\mathsf{Authority},
\mathsf{ResourceDelta},
\mathsf{ArchiveRef},
\mathsf{ValidationResult},
\mathsf{TimestampSet}
\right\rangle.
$$

Paper-06 將決定這些 receipts 如何進入 typed history / provenance DAG。

---

# 43. Failure Semantics

至少需明確處理：

1. archive artifact 不存在；
2. hash mismatch；
3. Foundation version incompatibility；
4. catch-up event 缺失；
5. resource budget 在 wake 中途下降；
6. dependent domain 已被修改；
7. approximation certificate expired；
8. authority revoked；
9. restore 後 invariant fail；
10. archive locator 暫時不可達。

這些情況不應被統一成 generic cache miss。

---

# 44. 最小 Active Support Contract

本文建議 Reference Runtime 至少暴露：

$$
\mathfrak C_{\mathrm{Act}}
=
\left\langle
\mathsf{UnitID},
\mathsf{Reason},
\mathsf{PriorityClass},
\mathsf{MandatoryFlag},
\mathsf{ResourceProfile},
\mathsf{DependencyClosure},
\mathsf{DormancyContract},
\mathsf{WakeCostEstimate},
\mathsf{EvictCostEstimate},
\mathsf{Authority},
\mathsf{Provenance}
\right\rangle.
$$

這讓 active set 不是一個沒有理由的布林欄位。

---

# 45. 最小 Resource Manager API

Reference Runtime 可以提供概念 API：

```text
inspect_active_support() -> active_support_receipt
inspect_resource_envelope() -> resource_snapshot
propose_activation(unit_id, reason) -> lifecycle_proposal
propose_dormancy(unit_id, mode) -> lifecycle_proposal
request_pin(unit_id, pin_class) -> authority_checked_proposal
archive(unit_id, policy) -> archive_receipt
restore(unit_id, target_mode) -> restore_receipt
estimate_wake_cost(unit_id) -> typed_cost_estimate
inspect_boundary_summary(unit_id) -> summary_receipt
validate_budget(candidate_support) -> feasibility_receipt
```

其中：

```text
request_pin(...)
```

不能繞過 authority；

```text
restore(...)
```

也不能因 load 成功就自動 World commit。

---

# 46. 最小 Resource Selection Loop

一個 deterministic Reference Runtime 可以採下列概念流程：

```text
Input:
    committed world version W_nu
    runtime state Xi_mu
    current active support Act_mu
    resource envelope B_mu

1. mandatory := active_pins + hard_dependencies + safety_requirements
2. demand := task_demand + observer_signals + scheduled_requirements
3. candidates := dependency_expand(mandatory + demand)
4. annotate each candidate with:
       resource profile
       wake/evict cost
       dormancy contract
       authority
       approximation contract
5. validate mandatory support against hard budget
6. select a feasible active support
7. for leaving units:
       validate dormancy/archive transition
       write lifecycle receipt
8. for entering units:
       locate/load/reconstruct/catch-up/validate/rebind
       write lifecycle receipt
9. execute only legal active contracts
10. reconcile using active effects + valid inactive boundary summaries
11. verify global invariants
12. commit or reject world proposal
13. update runtime indexes and receipts
```

這個 loop 不是唯一 implementation，但它表達本文要求的 type boundaries。

---

# 47. 形式命題一：有限當前活動不推出有限未來可達

若 World 在 measure $g$ 下具 unbounded extensibility，且每個 committed state 只要求有限新增 realization units，則可以同時成立：

$$
\forall\mu,
\quad
|\mathsf{Act}_\mu|<\infty
$$

以及：

$$
\forall N,
\quad
\exists W_{\nu'}:
 g(W_{\nu'})>N.
$$

兩者沒有邏輯矛盾。

**說明。** 前式是每個 Runtime revision 的當前 resource property；後式是 future extension space 的無固定上界性質，量詞不同。

---

# 48. 形式命題二：bounded cardinality 不推出 bounded cost

即使：

$$
|\mathsf{Act}_\mu|\le B_A,
$$

只要每 step 存在：

$$
\Theta(|\mathsf{Archive}_\mu|)
$$

的 full scan，則 total step cost 仍可隨 archive size 無界增長。

因此 active cardinality bound 是必要資源條件之一，但不是完整 complexity guarantee。

---

# 49. 形式命題三：Dormancy 不推出 Freeze

存在合法 contract：

$$
\mathsf{DormMode}(x)=\mathsf{Coarse}
$$

或：

$$
\mathsf{DormMode}(x)=\mathsf{Replay},
$$

使 $x$ 在不屬 high-cost active path 時仍具有可定義演化語義。

所以：

$$
\boxed{
\mathsf{Dormant}(x)
\not\Rightarrow
\text{No Semantic Evolution}(x).
}
$$

---

# 50. 形式命題四：Global Dependency 不要求 Full Load

若對每個 inactive domain $x$，存在足以滿足 current boundary contract 的 summary：

$$
\Sigma_\mu(x)
\models
\mathfrak C_{\partial x},
$$

則 global reconciliation 可在不 full load $x$ 的情況下進行，直到 summary sufficiency 失效。

這不是說所有 World 都一定存在這種 summary，而是指出 full materialization 不是 globality 的邏輯必要條件。

---

# 51. 形式命題五：Potential 不推出 Existence

由：

$$
q\in\mathsf{Pot}_\mu
$$

不能推出：

$$
q\in\operatorname{Obj}(W_\nu).
$$

因此 demand-driven generation 若會增加 canonical object，必須產生 explicit World proposal。

---

# 52. 形式命題六：Bounded Active Memory 不推出 Bounded History

若每個 commit 都新增 non-deletable receipt：

$$
|\mathcal H_\nu|
\ge
\nu,
$$

則即使：

$$
\sup_\mu |\mathsf{Act}_\mu|<\infty,
$$

history storage 仍可持續增長。

因此 Paper-05 與 Paper-06 必須分開。

---

# 53. Canonical Invariants Registry：Paper-05

## I-05-01 Finite Active Realization

$$
\boxed{
|\mathsf{Act}_\mu|<\infty.
}
$$

## I-05-02 Hard Resource Feasibility

$$
\boxed{
\forall k\in\mathcal K_R^{\mathrm{hard}},
\quad
\mathsf{Use}_k(\mathsf{Act}_\mu,\Xi_\mu)
\le B_{\mu,k}.
}
$$

## I-05-03 Mandatory Support Preservation

$$
\boxed{
\mathsf{Mandatory}_\mu
\subseteq
\mathsf{Act}_\mu.
}
$$

除非 explicit safety / degradation contract 宣告失效或 fail closed。

## I-05-04 Active / Materialized Separation

$$
\boxed{
\mathsf{Act}_\mu
\neq
\mathsf{Mat}_\mu.
}
$$

## I-05-05 Reactivation / Materialization Separation

$$
\boxed{
\mathsf{Reactivate}
\neq
\mathsf{Materialize}.
}
$$

## I-05-06 Potential / Canonical Existence Separation

$$
\boxed{
\mathsf{Potential}
\neq
\mathsf{CanonicalExistence}.
}
$$

## I-05-07 Dormancy Mode Explicitness

Dormant semantics 必須有 explicit contract；不得 silent assume Freeze。

## I-05-08 Archive Recoverability Typing

Archived 必須聲明 exact / approximate / replay-dependent / unavailable 等 restore class。

## I-05-09 Pin Class Separation

$$
\boxed{
\mathsf{Pin}^{\mathrm{Act}}
\neq
\mathsf{Pin}^{\mathrm{Mat}}
\neq
\mathsf{Pin}^{\mathrm{Ret}}.
}
$$

## I-05-10 Pin Authority

$$
\boxed{
\text{Demand}
\not\Rightarrow
\text{Pin Authority}.
}
$$

## I-05-11 Recursive Globality / Full Expansion Separation

$$
\boxed{
\text{Recursive Globality}
\neq
\text{Recursive Full Expansion}.
}
$$

## I-05-12 Bounded Active Semantics / Runtime Cost Separation

$$
\boxed{
\text{Bounded Active Semantics}
\neq
\text{Bounded Runtime Cost}.
}
$$

## I-05-13 Global Dependency / Full Materialization Separation

$$
\boxed{
\text{Global Dependency}
\neq
\text{Full Materialization}.
}
$$

## I-05-14 Archive / Delete Separation

$$
\boxed{
\mathsf{Archive}
\neq
\mathsf{Delete}.
}
$$

## I-05-15 Load / Reactivation Separation

$$
\boxed{
\text{Load Success}
\not\Rightarrow
\text{Reactivation Success}.
}
$$

## I-05-16 Active Memory / Historical Storage Separation

$$
\boxed{
\text{Bounded Active Memory}
\neq
\text{Bounded Historical Storage}.
}
$$

## I-05-17 Unbounded Extensibility / Foundation Mutation Separation

$$
\boxed{
\text{Unbounded Extensibility}
\not\Rightarrow
\text{Silent Foundation Mutation}.
}
$$

## I-05-18 Observer Demand / World Spawn Separation

$$
\boxed{
\text{Observer Focus Change}
\not\Rightarrow
\text{Canonical Domain Spawn}.
}
$$

---

# 54. Reference Runtime MVP 實驗

## Experiment 05-A：Fixed Active Support / Growing Lineage

持續增加 recursive lineage depth，但保持 active support 與 frontier 大小近似固定。

驗證：

$$
C^{\mathrm{steady}}
$$

不應線性跟 total lineage depth 增長。

## Experiment 05-B：Dormancy Mode Differential

同一 domain 分別採：

$$
\mathsf{Freeze},
\mathsf{Coarse},
\mathsf{Replay}.
$$

比較 reactivation 後 state、cost、error 與 history。

## Experiment 05-C：Archive Exactness

測試 checkpoint + version + hash 能否 exact restore；再故意更換 generator / schema version，驗證 incompatible archive 被拒絕。

## Experiment 05-D：Pin Safety

嘗試 evict：

$$
\mathsf{Pin}^{\mathrm{Act}}
$$

unit，確認 Runtime fail closed；再測 Observer-only user 是否可未授權新增 pin。

## Experiment 05-E：Materialized but Dormant

保留 cached scene materialization，但讓 solver dormant，驗證：

$$
\mathsf{Mat}
\not\Rightarrow
\mathsf{Act}.
$$

## Experiment 05-F：Active but Unmaterialized

hidden solver active，但 UI 不 materialize，驗證：

$$
\mathsf{Act}
\not\Rightarrow
\mathsf{Mat}.
$$

## Experiment 05-G：Boundary Summary Sufficiency

讓大量 dormant domains 只提供 boundary summary，驗證 global reconciliation 可通過；再使 summary expired，確認 Runtime 要求 refresh / reactivate。

## Experiment 05-H：Thrashing

設計 oscillating demand，使：

$$
\chi_\mu
$$

很高；比較無 hysteresis 與有 hysteresis policy 的 lifecycle cost。

## Experiment 05-I：Out-of-core Restore

把 archive 移到 external store，量測：

$$
C_{\mathrm{load}},
C_{\mathrm{reconstruct}},
C_{\mathrm{catchup}},
C_{\mathrm{validate}}.
$$

確認 external residency 不改 canonical identity。

## Experiment 05-J：Potential / Spawn Boundary

建立 procedural potential descriptor，但不 commit spawn；確認 Observer 可看到 preview，卻不增加 canonical object count。之後以 authorized spawn proposal commit，確認 World version 才改變。

## Experiment 05-K：Budget Violation

讓 mandatory support 的 hard memory requirement 超過 budget，確認 Runtime 不偷偷 evict safety unit，而產生 explicit budget violation / degradation decision。

## Experiment 05-L：History Growth Independence

保持 active memory bounded，但持續 commit receipts，確認 historical storage 仍增長，作為 Paper-06 的接口實驗。

---

# 55. 與 DGW executable substrate 的關係

DGW 第一輪已經幫忙暴露：

- recursive active horizon；
- bounded active support；
- materialization；
- inactive lineage；
- hidden full-scan cost；
- history growth；
- Observer rebind 與 World epoch 分離。

第二輪不再以「增加更多幾何功能」作為主要研究方向。

DGW 現在應被定位為：

$$
\boxed{
\text{Executable Demonstration Substrate}
}
$$

它可以繼續作為 Paper-05 的 regression workload，但不代表 active horizon 必須是幾何三層結構。

---

# 56. 與 Paper-06 的邊界

Paper-05 回答：

> **哪些 state 需要在昂貴活動層？哪些可以 dormant/archive？如何恢復？如何控制 resource cost？**

Paper-06 回答：

> **不同 execution / commit / revision 序列如何形成 history？何時可 quotient？如何 replay、retain、compress 與證明 provenance？**

因此本文只定義：

- history pointer；
- lifecycle receipt；
- archive provenance requirement；
- bounded active memory 不推出 bounded history。

不在本文決定完整 history equivalence。

---

# 57. Open Problems

1. 如何對 heterogeneous resource dimensions 建立可組合 feasibility calculus，而不強迫 scalarization？
2. 如何形式證明某 boundary summary 對某 coupling contract sufficient？
3. dormant surrogate 的 error certificate 如何跨 domain composition？
4. active selection 在 hard real-time system 中如何提供 deadline guarantee？
5. distributed Runtime 中 simultaneous activation / migration race 如何處理？
6. archive reconstruction 遇到 Foundation revision 時，何時 migration、fork 或 reject？
7. 如何定義 support-local cost 的跨平台 conformance threshold？
8. active set churn 與 Observer workload prediction 如何安全結合 AI policy？
9. potential descriptor 的 preview materialization 如何避免被誤當 canonical object？
10. retention / privacy / legal deletion 與 immutable provenance 如何協調？
11. long-lived World 如何避免 archive metadata 本身成為新的 full-scan bottleneck？
12. 若 dormant domain 具有 autonomous external effects，GCM 的 dormant abstraction應如何約束？

---

# 58. 結論

本文要阻止兩個對稱錯誤。

第一個錯誤是：

$$
\text{Finite Hardware}
\Rightarrow
\text{Fixed Finite World Grammar}.
$$

第二個錯誤是：

$$
\text{Unbounded World Extensibility}
\Rightarrow
\text{Infinite Simultaneous Runtime Realization}.
$$

兩者都不成立。

GCM 的中介原則是：

$$
\boxed{
\text{Finite Active Realization}
+
\text{Unbounded Extensibility}.
}
$$

但第二輪進一步指出，這個公式若沒有 lifecycle 與 cost semantics 仍不夠。

真正完整的 Runtime obligation 是：

$$
\boxed{
\begin{aligned}
&\text{Finite Active Support}\\
+&\text{Typed Resource Feasibility}\\
+&\text{Explicit Dormancy Semantics}\\
+&\text{Recoverable Archive Contracts}\\
+&\text{Authority-sensitive Pinning}\\
+&\text{Boundary-summary Global Coherence}\\
+&\text{Support-local Cost Discipline}\\
+&\text{Auditable Lifecycle Provenance}.
\end{aligned}
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{Recursive Globality}
\neq
\text{Recursive Full Expansion},
}
$$

$$
\boxed{
\text{Global Dependency}
\neq
\text{Full Materialization},
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{Bounded Active Semantics}
\neq
\text{Bounded Runtime Cost}.
}
$$

有限 Runtime 不必先把整個 World 關進固定大小的盒子；它需要的是一套可驗證的機制，決定什麼現在必須存在於昂貴活動層、什麼可以被摘要、休眠、封存、重建，以及何時因 dependency、authority、error 或 history obligation 必須重新展開。

這使 GCM 從「全域計算可以不 full materialize」進一步推進成：

> **全域一致性可以由有限、可移動、可恢復、可審計的 active frontier 持續承載，而不要求將所有潛在 World 結構同時實現。**

---

## 參考文獻與相關工作

1. Denning, P. J. (1968). *The Working Set Model for Program Behavior*. Communications of the ACM, 11(5), 323–333. DOI: 10.1145/363095.363141.
2. Aggarwal, A., & Vitter, J. S. (1988). *The Input/Output Complexity of Sorting and Related Problems*. Communications of the ACM, 31(9), 1116–1127. DOI: 10.1145/48529.48535.
3. Launchbury, J. (1993). *A Natural Semantics for Lazy Evaluation*. Proceedings of POPL 1993, 144–154. DOI: 10.1145/158511.158618.
4. Muthukrishnan, S. (2005). *Data Streams: Algorithms and Applications*. Foundations and Trends in Theoretical Computer Science, 1(2), 117–236. DOI: 10.1561/0400000002.
5. Driscoll, J. R., Sarnak, N., Sleator, D. D., & Tarjan, R. E. (1989). *Making Data Structures Persistent*. Journal of Computer and System Sciences, 38(1), 86–124. DOI: 10.1016/0022-0000(89)90034-2.
6. Berger, M. J., & Oliger, J. (1984). *Adaptive Mesh Refinement for Hyperbolic Partial Differential Equations*. Journal of Computational Physics, 53(3), 484–512. DOI: 10.1016/0021-9991(84)90073-1.
7. Bernstein, P. A., Bykov, S., Geller, A., Kliot, G., & Thelin, J. (2014). *Orleans: Distributed Virtual Actors for Programmability and Scalability*. Microsoft Research Technical Report MSR-TR-2014-41.
8. Microsoft Orleans documentation. *Activation Collection* and *Activation Lifecycle and Migration*. Current documentation accessed 2026-08-24.
9. Gupta, A., & Mumick, I. S. (1995). *Maintenance of Materialized Views: Problems, Techniques, and Applications*. IEEE Data Engineering Bulletin, 18(2), 3–18. Used here only as adjacent materialization prior art; Paper-04 contains the primary positioning.
10. Global Computation Methodology Series-00 and Papers 01–04 v0.2, EveMissLab, 2026.

---

## Canonical status

本文完成後，GCM 主線為：

$$
\boxed{
00
\rightarrow
01
\rightarrow
02
\rightarrow
03
\rightarrow
04
\rightarrow
05.
}
$$

下一篇 Paper-06 將正式處理：

$$
\boxed{
\text{State Equality}
\not\Rightarrow
\text{History Equality}
}
$$

以及 execution order、causal order、commit order、Foundation revision lineage、receipt DAG、replay、retention、compression 與 history quotient。