# 多智能體計算的時間拓樸：時間包絡、切分收益、驗證配置與動態重分區

**Temporal Topology of Multi-Agent Computation: Temporal Envelopes, Decomposition Gain, Verification Placement, and Dynamic Repartitioning**

**系列**：FCAO / Fractal Conversational Agent Organization  
**文件編號**：EML-FCAO-2026-02-v0.1  
**文件類型**：Theory / Computation / Scheduling Paper  
**作者**：Neo.K  
**協作**：Aletheia / GPT-5.6 Sol  
**機構**：EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**版本**：v0.1  
**日期**：2026-08-24  
**狀態**：Research Draft / Canonical UTF-8 Source  
**直接前置**：`EML-FCAO-2026-00-v0.1`、`EML-FCAO-2026-01-v0.1`、ANDO、CTCL-ITR、Software Spacetime、SEDB  
**後續預定**：FCAO Twin-Core Reference Architecture、FCAO × OpenHarness Integration Architecture and MVP Specification  
**新穎性聲明**：本文不主張 task scheduling、critical path、parallel speedup、work/span、cost-aware scheduling、fault-tolerant verification、dynamic scheduling 或 multi-agent planning 本身為首創。本文提出的是一個待比較與待實驗的統合命題：在 Conversation-local / project-local AI 計算域中，將「是否切分、如何切分、何時驗證、在哪裡合流、是否重分區」視為可隨世界狀態持續更新的時間—拓樸決策，而不是預先固定的工作流步驟。

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## 生成與保真聲明

本文為正式 UTF-8 Markdown source。數學原始碼只使用 ` $...$ ` 與 `$$...$$` 作為 canonical delimiter；不以 Unicode 數學字元替代 LaTeX source，不進行 unicode escape 類 round-trip。正式 package 附帶 machine-readable schema、YAML profile、驗證報告與 SHA-256 指紋。

本文刻意區分：

1. **已有計算理論與工程能力**：critical path、parallelism、scheduling、verification、dynamic task assignment、multi-agent execution 等；
2. **FCAO 的統合抽象**：Temporal Envelope、Decomposition Gain、Verification Placement、Dynamic Repartition、Topology Closure 與 Primary–Twin 雙向控制；
3. **尚待實驗驗證的強主張**：在特定 task geometry、error propagation、verification cost 與 orchestration overhead 下，時間—拓樸式決策是否能比固定切分、固定 verifier、單 Root merge 更有效率。

本文不要求保存或暴露 hidden chain-of-thought。正式治理與驗證資料以 task state、artifact、receipt、estimate、certificate、decision summary、dependency、authority 與 measurement 為主。

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# 摘要

多智能體系統常把「分解任務」視為天然正向操作：一個大型任務被拆成多個子任務，平行 Agent 同時處理，再由上層彙整。此直覺在許多場合成立，但不是一般定理。任務可被語義切分，不代表其切分後具有足夠並行度；可平行執行，不代表 verification、communication、integration 與 rework 成本不會吞噬收益；子 Agent 數量增加，也不代表 project makespan、token cost、error risk 或 topology closure 會單調改善。

本文提出 **Temporal-Topological Computation（時間—拓樸計算）** 作為 FCAO 的第三個理論支柱。其核心命題為：

$$
\boxed{
Decomposable
\not\Rightarrow
WorthDecomposing.
}
$$

對任何任務 $Q$，系統在切分前應建立第一代 **Temporal Envelope（時間包絡）**：

$$
\boxed{
\mathcal T(Q)
=
[T_Q^{-},T_Q^{+}],
}
$$

其中 $T_Q^{-}$ 表示在目前資源、依賴與最佳可行條件下的合理完成時間下界， $T_Q^{+}$ 表示在已知不確定性、verification、retry、integration 與 blocking 條件下的合理上界。這不是精確預言，而是可版本化、可修正、可回測的調度物件。

對一個候選 decomposition：

$$
D(Q)
=
\{Q_1,\ldots,Q_n\},
$$

本文不使用：

$$
T(D)
=
\max_i T(Q_i)
$$

作為完整成本，而加入：

$$
\boxed{
T_D
=
T_{plan}
+
T_{spawn}
+
T_{critical}
+
T_{communication}
+
T_{verification}
+
T_{integration}
+
T_{rework}.
}
$$

並將總資源成本寫為：

$$
C_D
=
C_{plan}
+
C_{spawn}
+
C_{execution}
+
C_{communication}
+
C_{verification}
+
C_{integration}
+
C_{rework}
+
C_{governance}.
$$

本文進一步定義 **Decomposition Gain（切分收益）**。由於 AI 系統通常同時關心時間、金錢 / token、品質、風險、覆蓋率與可恢復性，本文不把 gain 壓成唯一純量，而首先定義多目標向量：

$$
\Delta(D)
=
(
\Delta T,
\Delta C,
\Delta Q,
\Delta R,
\Delta K,
\Delta L
),
$$

其中 $K$ 表示 topology coverage / closure quality， $L$ 表示 integration / information loss。只有在某一既定 policy 下，才將其投影成標量 utility：

$$
G(D)
=
U(D)-U(Single).
$$

這使「更多 Agent」不再被默認為更好的架構選擇，而成為一個條件式計算決策。

本文同時提出 **Verification Placement（驗證配置）**：verification 不應被視為執行後的固定最後一步，而應是 task topology 中的第一級節點與邊。對節點 $v$，驗證位置可以位於 local、branch、merge、global 或 commit boundary。Primary–Twin 雙核心透過 risk、centrality、uncertainty、failure impact、verification cost 與 error propagation depth，決定何時插入 fresh verifier、何時只檢查 Local Closure Certificate、何時進行 meta-verification。

本文最後提出 **Dynamic Repartition（動態重分區）**。Decomposition 並非在 $t_0$ 一次決定後固定不變，而應寫為：

$$
\boxed{
D_t
=
D(Q,S_t,\mathcal R_t,\mathcal G_t),
}
$$

其中 $S_t$ 為當前 project state， $\mathcal R_t$ 為資源與預算狀態， $\mathcal G_t$ 為目前 task / verification topology。若執行後發現錯誤耦合、等待時間、重複工作、驗證瓶頸或新的可並行區域，系統可以 `SPLIT`、`MERGE`、`REASSIGN`、`REOPEN` 或 `REPARTITION`，並將每次改動寫入 CTCL-ITR receipt。

本文因此將多智能體 orchestration 的核心從：

$$
Plan
\rightarrow
Split
\rightarrow
Run
\rightarrow
Merge
$$

改寫為：

$$
\boxed{
Observe
\rightarrow
Estimate
\rightarrow
ChooseTopology
\rightarrow
Execute
\rightarrow
Measure
\rightarrow
Repartition
\rightarrow
Verify
\rightarrow
Close.
}
$$

整個循環可反覆執行，直到 topology closure、budget stop、risk stop 或 external escalation。

**關鍵詞**：Temporal Topology、Multi-Agent Computation、Temporal Envelope、Decomposition Gain、Critical Path、Verification Placement、Dynamic Repartition、FCAO、Twin Agent、CTCL-ITR、Software Spacetime、Agent Scheduling、Topology Closure

---

# 0. 理論定位：問題不是「能不能拆」，而是「拆了值不值得」

FCAO Foundation 已將 Conversation 定義為 temporary local computational world，並將 task completion 從 step completion 改寫為 topology closure。Twin-Agent Governance 又將單 Root 擴張為 Primary–Twin 雙核心，使 bottom-up aggregation 與 top-down probe / reopen / repartition 形成雙向治理圈。

本文處理剩下的一個基本問題：

> **在任何一次 delegation 之前，系統如何知道此刻值得切分？**

傳統工作流容易把 decomposition 當作 planning 的自然結果：

$$
Q
\rightarrow
\{Q_1,\ldots,Q_n\}
\rightarrow
ParallelRun.
$$

但真正的成本取決於：

- dependency；
- coupling；
- communication；
- verification；
- integration；
- model / tool availability；
- context construction；
- expected rework；
- resource contention；
- result compatibility；
- external latency；
- uncertainty。

因此本文第一條命題為：

$$
\boxed{
SemanticSeparability
\neq
ComputationalSeparability.
}
$$

第二條為：

$$
\boxed{
ComputationalSeparability
\neq
EconomicBenefit.
}
$$

第三條為：

$$
\boxed{
Parallelizable
\neq
FasterUnderCurrentResources.
}
$$

---

# 1. 三種時間必須區分

多 Agent 系統至少同時存在三種不同時間。

## 1.1 Agent execution time

對 Agent $A_i$：

$$
\tau_i
=
\text{其局部執行時間}.
$$

## 1.2 Aggregate work

全部 Agent 消耗的總工作量：

$$
W
=
\sum_i \tau_i
$$

只是第一代近似，實際還需加入 model cost、tool latency 與 resource class。

## 1.3 Project makespan

使用者真正感受到的完成時間：

$$
T_W
=
\text{從 project 開始到 closure / commit 的牆鐘時間}.
$$

一般情況下：

$$
T_W
\neq
\sum_i\tau_i.
$$

也不等於：

$$
T_W
=
\max_i\tau_i
$$

因為還有 dependency、join、verification、retry 與 integration。

這與 Software Spacetime 的 multi-time-domain viewpoint 相容：

$$
\{\tau_P,\tau_T,\tau_1,\ldots,\tau_n\}
\rightarrow
T_W.
$$

---

# 2. Temporal Envelope

本文定義 Temporal Envelope：

$$
\boxed{
\mathcal T_x
=
[T_x^{-},T_x^{+}]
}
$$

對任務、branch、verification stage、merge stage 或整個 project 都可以建立。

其中：

$$
T_x^{-}
$$

不是理論上的零延遲極限，而是基於目前已知資源、dependency 與可用 execution topology 的合理下界。

$$
T_x^{+}
$$

也不是不可計算的絕對最壞情況，而是基於目前已知 failure mode、retry budget、verification policy、external latency 與 uncertainty 的 operational upper envelope。

因此：

$$
\boxed{
TemporalEnvelope
\neq
ExactPrediction.
}
$$

它是一個 governance estimate。

---

# 3. 時間包絡必須版本化

令第 $k$ 次估計：

$$
\mathcal T_x^{(k)}
=
[T_{x,k}^{-},T_{x,k}^{+}].
$$

當新資訊出現：

$$
S_k
\rightarrow
S_{k+1},
$$

允許：

$$
\mathcal T_x^{(k)}
\rightarrow
\mathcal T_x^{(k+1)}.
$$

CTCL-ITR 應記錄：

$$
EstimateReceipt
=
(
Target,
Estimate,
Assumptions,
Evidence,
Estimator,
Time,
Confidence
).
$$

這使系統可以事後回測：

$$
CalibrationError
=
ObservedTime
-
PredictedEnvelope.
$$

---

# 4. 時間包絡的第一代來源

對任務 $Q_i$，可估：

$$
T_i^{-}
=
f(
HistoricalRuns,
TaskClass,
ModelClass,
InputSize,
ToolAvailability,
DependencyReadiness
).
$$

$$
T_i^{+}
=
T_i^{-}
+
U_i
+
V_i
+
B_i
+
R_i,
$$

其中：

- $U_i$：uncertainty allowance；
- $V_i$：verification allowance；
- $B_i$：blocking / external latency allowance；
- $R_i$：retry / rework allowance。

v0.1 不要求所有項目都有精確統計模型。允許：

- historical percentile；
- heuristic bucket；
- model self-estimate；
- external benchmark；
- task-class default；
- human supplied range。

重點是：

$$
\boxed{
UnknownEstimate
}
$$

也比假裝：

$$
T_i=0
$$

或完全不估更好。

---

# 5. 候選拓樸而不是唯一拆法

對一個任務 $Q$，不應只建立一個 decomposition。

建立候選集合：

$$
\mathfrak D(Q)
=
\{
D_0,D_1,\ldots,D_m
\}.
$$

其中：

$$
D_0
=
SingleAgent
$$

也必須被保留為合法候選。

這非常重要，因為多 Agent scheduler 不應預先排除：

$$
\boxed{
DoNotSplit.
}
$$

---

# 6. Decomposition representation

候選 decomposition $D_j$ 定義為：

$$
D_j
=
(
V_j,
E_j^{dep},
E_j^{join},
E_j^{verify},
E_j^{resource}
).
$$

其中：

- $V_j$：工作節點；
- $E_j^{dep}$：先後 / 因果依賴；
- $E_j^{join}$：何處必須合流；
- $E_j^{verify}$：verification relation；
- $E_j^{resource}$：共享資源與互斥關係。

因此 decomposition 不只是 task list。

---

# 7. Critical path

令 task topology 為 DAG 的局部近似時，可定義：

$$
CP(D)
=
\max_{p\in Paths(D)}
\sum_{v\in p}
w(v),
$$

其中 $w(v)$ 是節點的 temporal weight。

若有 verification node：

$$
v_{verify}
$$

它必須直接進入 path calculation。

因此：

$$
\boxed{
Verification
}
$$

不是圖外 overhead，而是圖內計算節點。

---

# 8. 非 DAG 情況

FCAO 允許：

- reopen；
- retry；
- repartition；
- repair loop。

因此完整 project graph 不一定是 DAG。

對運行時可使用：

$$
\mathcal G_t
$$

的當前 acyclic execution projection：

$$
\Pi_{exec}(\mathcal G_t)
$$

計算 local critical path。

而歷史循環則由 CTCL-ITR 保存：

$$
History(\mathcal G)
=
\{
G_0,G_1,\ldots,G_t
\}.
$$

這避免為了使用 critical path 而假裝整個系統永遠無環。

---

# 9. 分散時間成本

對 decomposition $D$：

$$
\boxed{
T_D
=
T_{plan}
+
T_{spawn}
+
T_{critical}
+
T_{communication}
+
T_{verification}
+
T_{integration}
+
T_{rework}.
}
$$

但其中某些項目可以彼此重疊。

因此更精確地， $T_D$ 應由 schedule simulation / runtime observation 得出，而不是機械相加。

上述式子的作用是提醒：

$$
\boxed{
\max_i T_i
}
$$

不是完整 makespan。

---

# 10. Resource cost

總成本：

$$
C_D
=
C_{plan}
+
C_{spawn}
+
C_{exec}
+
C_{comm}
+
C_{verify}
+
C_{integrate}
+
C_{rework}
+
C_{governance}.
$$

其中 $C$ 可表示：

- token；
- API money；
- GPU time；
- CPU time；
- network；
- storage；
- human review；
- external service；
- opportunity cost。

在第一代實作中不需要把它們轉成同一貨幣。

可以保留成本向量：

$$
\mathbf C
=
(
Token,
Money,
GPUTime,
WallTime,
HumanTime
).
$$

---

# 11. Communication cost

Agent 越多，不一定越有效。

若有 $n$ 個 Agent，最壞情況 peer communication 可能接近：

$$
O(n^2).
$$

FCAO 不要求全連接。

透過 topology-limited messaging：

$$
E_{comm}
\subset
V\times V.
$$

只允許真正相關的資訊邊。

Communication cost：

$$
C_{comm}
=
\sum_{e\in E_{comm}}
Cost(e).
$$

因此：

$$
\boxed{
MoreAgents
\not\Rightarrow
MoreUsefulCommunication.
}
$$

---

# 12. Context construction cost

生成 child Agent 不是免費。

對每個 child：

$$
C_{spawn,i}
=
C_{identity}
+
C_{context}
+
C_{toolSetup}
+
C_{stateProjection}.
$$

若任務很小：

$$
C_{spawn,i}
>
C_{task,i}
$$

可能成立。

這正是許多細碎任務不值得切的原因。

---

# 13. Integration cost

若 $n$ 個輸出彼此高度異質：

$$
C_{integration}
$$

可能隨：

- output diversity；
- semantic mismatch；
- schema mismatch；
- conflicting assumptions；
- artifact overlap；

增加。

因此 decomposition 還應估：

$$
Compatibility(Q_i,Q_j).
$$

高耦合低相容的節點不應為了表面平行而硬拆。

---

# 14. Verification cost

對節點 $v$：

$$
C_V(v)
=
Cost(
EvidenceRead,
ArtifactCheck,
Test,
Reproduction,
FreshVerifier,
MetaVerification
).
$$

若：

$$
C_V(v)
\approx
C_E(v),
$$

則「派一個 child，再由 parent 完整重算一次」可能不值得。

因此：

$$
\boxed{
ParentVerification
\neq
DefaultFullRecomputation.
}
$$

Local Closure Certificate 與 typed receipt 的目的，就是降低：

$$
C_V.
$$

---

# 15. Verification recomputation ratio

定義：

$$
VRR
=
\frac{
C_{verify}^{recompute}
}{
C_{verify}^{total}
}.
$$

理想上，FCAO 希望對可證書化工作：

$$
VRR
\downarrow.
$$

但對某些不可壓縮、高風險工作，完整 independent reproduction 仍可能必要。

因此：

$$
VRR=0
$$

不是普遍目標。

---

# 16. Decomposition Gain 向量

對候選 $D$ 與 Single baseline $S$：

$$
\Delta(D)
=
(
\Delta T,
\Delta C,
\Delta Q,
\Delta R,
\Delta K,
\Delta L
).
$$

定義：

$$
\Delta T
=
T_S-T_D,
$$

$$
\Delta C
=
C_S-C_D.
$$

品質：

$$
\Delta Q
=
Q_D-Q_S.
$$

風險改善：

$$
\Delta R
=
R_S-R_D.
$$

拓樸覆蓋：

$$
\Delta K
=
K_D-K_S.
$$

資訊 / integration loss：

$$
\Delta L
=
L_S-L_D.
$$

因此同一 decomposition 可以：

- 更快；
- 更貴；
- 更高品質；
- 更低風險。

不存在先驗唯一排序。

---

# 17. Scalar utility 只在 policy 已知時使用

若 governance policy 給定：

$$
\mathbf w
=
(w_T,w_C,w_Q,w_R,w_K,w_L),
$$

可以定義：

$$
G(D)
=
w_T\Delta T
+
w_C\Delta C
+
w_Q\Delta Q
+
w_R\Delta R
+
w_K\Delta K
+
w_L\Delta L.
$$

但本文強調：

$$
\boxed{
Weights
\text{ are policy, not nature.}
}
$$

不同專案應有不同 trade-off。

---

# 18. Pareto frontier

當不存在合理單一 utility 時，保留：

$$
\mathcal P
=
ParetoFrontier(\mathfrak D(Q)).
$$

例如候選：

- $D_1$ 最快；
- $D_2$ 最便宜；
- $D_3$ 最低風險。

Primary–Twin 可以依 project policy 選擇，而不是假裝其中一個全域最優。

---

# 19. Decomposition decision

第一代 decision rule：

$$
Choose(D_j)
$$

需要至少滿足：

$$
Feasible(D_j)=1.
$$

Feasibility 包含：

- required agents available；
- required tools available；
- dependency satisfiable；
- authority valid；
- budget sufficient；
- expected join possible。

再於可行集合：

$$
\mathfrak D_F
\subseteq
\mathfrak D
$$

中選擇。

---

# 20. 預估本身也有成本

若為了決定如何拆而花過多推理：

$$
C_{estimate}
>
ExpectedGain,
$$

則 optimization 失去意義。

因此 temporal-topology planner 也需要停止條件：

$$
StopEstimating
\iff
ExpectedValueOfMorePlanning
<
PlanningCost.
$$

這是第一代 bounded planning 原則。

---

# 21. 何時不應切

本文明確列出 `NO_SPLIT` 條件。

例如：

1. task 太小；
2. coupling 高；
3. spawn cost 高；
4. verification cost 高；
5. integration cost 高；
6. state highly sequential；
7. external resource 只有一份；
8. output 無法局部證書化；
9. context projection 損失大；
10. available model capability 不足。

形式上：

$$
Choose(Single)
$$

不是失敗，而是 scheduler 的合法結果。

---

# 22. 何時適合先做一部分再切

有些問題在 $t_0$ 結構未知：

$$
Uncertainty(D_0)
\gg 0.
$$

Primary 先做前導探索：

$$
Explore(Q)
\rightarrow
S_1.
$$

此時：

$$
D_1
=
D(Q,S_1)
$$

才變得穩定。

因此：

$$
\boxed{
ExploreBeforeSplit
}
$$

可以比：

$$
SplitImmediately
$$

更省。

---

# 23. Dynamic Decomposition

本文將 decomposition 改寫為：

$$
\boxed{
D_t
=
D(
Q,
S_t,
\mathcal R_t,
\mathcal G_t,
\mathcal E_t
).
}
$$

其中：

- $S_t$：project state；
- $\mathcal R_t$：resource / budget；
- $\mathcal G_t$：task / verification topology；
- $\mathcal E_t$：目前 evidence / estimate。

所以 decomposition 本身是一個 stateful policy。

---

# 24. Repartition primitives

v0.1 定義：

$$
SPLIT(v)
$$

將節點拆開；

$$
MERGE(v_i,v_j)
$$

將高耦合節點合併；

$$
REASSIGN(v,A_j)
$$

更換執行 Agent；

$$
REORDER(v_i,v_j)
$$

改變合法先後；

$$
REOPEN(v)
$$

重新打開已 closure 節點；

$$
CANCEL(v)
$$

停止低收益分支。

這些操作都應產生 receipt。

---

# 25. Repartition trigger

觸發條件可以包括：

$$
ObservedTime
>
T^{+},
$$

$$
ObservedCost
>
C^{budget},
$$

$$
ConflictRate
>
\theta_c,
$$

$$
IdleFraction
>
\theta_i,
$$

$$
VerificationQueue
>
\theta_v,
$$

$$
IntegrationRisk
>
\theta_r.
$$

也可以由 Twin structural inspection 主動觸發。

---

# 26. Repartition 不是免費

每次 repartition 都有：

$$
C_{repart}
=
C_{stateTransfer}
+
C_{contextRebuild}
+
C_{coordination}
+
C_{invalidatedWork}.
$$

因此：

$$
ExpectedGain(Repartition)
>
C_{repart}
$$

才值得執行。

否則保持現有 topology。

---

# 27. Thrashing

若：

$$
D_0
\rightarrow
D_1
\rightarrow
D_2
\rightarrow
D_1
\rightarrow\cdots
$$

系統可能進入 topology thrashing。

定義 repartition count：

$$
N_D(Q).
$$

若：

$$
N_D(Q)\ge\theta_D,
$$

則：

$$
Escalate
$$

或 freeze topology for a bounded interval。

因此動態不等於無限制改變。

---

# 28. Verification Placement

本文將 verification 定義為 graph-native object。

對工作節點 $v$：

$$
VPlace(v)
\in
\{
local,
branch,
merge,
global,
commit
\}.
$$

不同 object type 可採不同 placement。

例如：

- code unit test：local；
- API compatibility：merge；
- citation validity：branch / global；
- public release：commit；
- schema invariant：merge / commit。

---

# 29. Local verification

Local verification 優點：

$$
ErrorPropagationDepth
\downarrow.
$$

缺點：

$$
C_{verify}
$$

可能增加。

因此適合：

- cheap test；
- high propagation risk；
- deterministic invariant；
- local artifact。

---

# 30. Merge verification

Merge boundary 是常被忽略的地方。

即使：

$$
Verify(A)=1
$$

且：

$$
Verify(B)=1,
$$

也不保證：

$$
Verify(A\oplus B)=1.
$$

因此：

$$
\boxed{
LocalCorrectness
\not\Rightarrow
IntegrationCorrectness.
}
$$

Merge node 應有自己的 verification contract。

---

# 31. Global verification

Global verification 不應重新驗證所有 leaf。

它主要檢查：

$$
Coverage
+
CrossBranchConsistency
+
OpenGap
+
GlobalInvariant
+
Closure.
$$

因此：

$$
GlobalVerify
=
MetaVerify
+
SelectiveRecheck.
$$

---

# 32. Commit verification

世界作用越不可逆：

$$
Risk_{commit}
\uparrow,
$$

verification requirement 應提高。

與 Twin Paper 一致：

$$
R_0
\rightarrow
Light,
$$

$$
R_4
\rightarrow
Strict.
$$

這使 verification placement 與 world-commit class 連接。

---

# 33. Twin 的 temporal role

Primary 主要提出：

$$
D_t^{P}.
$$

Twin 不需要建立完整第二套 schedule，而可以建立：

$$
Audit(D_t^{P}).
$$

Twin 檢查：

- critical path 是否遺漏；
- verification bottleneck；
- high-risk dependency；
- suspiciously narrow envelope；
- excessive parallel fan-out；
- unbounded integration；
- missing merge check。

若需要才提出：

$$
D_t^{T}.
$$

因此雙生保持 asymmetric economy。

---

# 34. Bottom-up measurement

每個 Agent 返回 usage：

$$
Usage_i
=
(
WallTime,
Tokens,
ToolTime,
Retries,
WaitTime,
ArtifactSize
).
$$

以及：

$$
LCC_i.
$$

這些資料向上修正：

$$
\mathcal T^{(k)}
\rightarrow
\mathcal T^{(k+1)}.
$$

Temporal topology 是 learning scheduler，而不是一次性 planner。

---

# 35. Wait time 是第一級變數

Agent 可能不是在計算，而是在等待：

- API；
- build；
- remote job；
- human approval；
- dependency；
- rate limit。

令：

$$
\tau_i
=
\tau_i^{compute}
+
\tau_i^{wait}.
$$

若：

$$
\tau_i^{wait}
\gg
\tau_i^{compute},
$$

則 scheduler 可以利用等待區間安排其他工作。

這是 Software Spacetime 與 multi-time-domain scheduling 的直接接口。

---

# 36. Resource contention

平行 Agent 共用：

- GPU；
- browser；
- file lock；
- repo worktree；
- database；
- API quota。

因此即使 task 無語義依賴，也可能有：

$$
E^{resource}.
$$

若：

$$
ResourceConflict(v_i,v_j)=1,
$$

則兩者不能真正零成本並行。

---

# 37. Agent capability topology

不同 Agent 能力不同。

定義：

$$
Cap(A_i)
=
\{
c_1,\ldots,c_k
\}.
$$

任務需求：

$$
Req(Q_j).
$$

只有：

$$
Req(Q_j)
\subseteq
Cap(A_i)
$$

時才是基本可行 assignment。

但 capability 只是必要條件，不代表 cost optimal。

---

# 38. Assignment score

第一代 assignment：

$$
Score(A_i,Q_j)
=
f(
CapabilityFit,
ExpectedTime,
ExpectedCost,
Reliability,
ContextLocality,
ToolLocality
).
$$

其中 ContextLocality 表示：

> 這個 Agent 是否已經掌握相關局部 world state？

頻繁重新建立 context 可能很貴。

---

# 39. Context locality

對 task $Q$：

$$
L_c(A,Q)
$$

表示 Agent 與所需 context 的局部性。

若：

$$
L_c
\downarrow,
$$

則：

$$
C_{context}
\uparrow.
$$

這使「把任務交給另一個看似更強模型」不一定更省。

---

# 40. Temporal locality

若某 Agent 剛完成高度相關工作：

$$
TemporalLocality(A,Q_{next})
\uparrow.
$$

延續同一 Agent 可能比重新 spawn 更便宜。

因此：

$$
ReuseAgent
$$

必須是 scheduler 的合法選項。

---

# 41. Named Ephemeral Agent 與重新指派

FCAO 使用：

$$
(
AgentID,
Name,
TaskName
).
$$

Reassignment 時：

$$
TaskIdentity
$$

不應與：

$$
AgentIdentity
$$

綁死。

例如：

```yaml
task_id: task-17
task_name: Storage Audit
old_agent: Atlas
new_agent: Kepler
reason: "Atlas exceeded temporal upper envelope."
```

這使 task continuity 與 Agent replaceability 同時成立。

---

# 42. Geometry：為什麼不只叫 topology

Topology 主要關心：

- connectedness；
- dependency；
- reachability；
- closure；
- articulation；
- cycle。

當加入：

- time；
- cost；
- risk；
- latency；
- information loss；
- capability distance；

edge 與 node 具有權重後，可以進一步形成 **Agent Computational Geometry**。

對 edge：

$$
e_{ij}
=
(
dependency,
latency,
cost,
risk,
loss
).
$$

因此本文使用「時間拓樸」作 v0.1 核心，而把完整幾何保留為後續工程 / 理論擴張。

---

# 43. 拓樸完備與時間最優不是同一件事

一個 project 可以：

$$
Closure(\mathcal G)=1
$$

但非常慢。

也可以：

$$
T
$$

很短，但：

$$
Closure(\mathcal G)=0.
$$

因此：

$$
\boxed{
CorrectClosure
\neq
FastExecution.
}
$$

FCAO 的目標不是用速度取代完備，而是在 closure constraints 下做更好的時間—成本選擇。

---

# 44. Constrained optimization

可表達為：

$$
\min
(
T,
C,
R,
L
)
$$

subject to：

$$
Closure(\mathcal G)\ge\theta_K,
$$

$$
Quality\ge\theta_Q,
$$

$$
AuthorityValid=1.
$$

對高風險 commit：

$$
\theta_K
\rightarrow
1.
$$

---

# 45. Closure budget

有些探索型任務不需要：

$$
Closure=1.
$$

可設定：

$$
ClosureTarget
=
\theta_K<1.
$$

但未閉合節點必須：

$$
ExplicitlyDeferred
$$

或：

$$
Externalized.
$$

因此：

$$
PartialClosure
\neq
SilentOmission.
$$

---

# 46. Time budget

若 project deadline：

$$
T_{deadline},
$$

scheduler 必須比較：

$$
T_D^{+}
\le
T_{deadline}
$$

是否成立。

若所有候選都不成立：

$$
\forall D,\ T_D^{+}>T_{deadline},
$$

系統不應假裝「再多派幾個 Agent 就好」。

應：

$$
Escalate
$$

或降低 scope / closure target。

---

# 47. Budget-aware degradation

當資源下降：

$$
Budget_t
\downarrow,
$$

系統可以：

- 降低 audit coverage；
- 合併低風險 branch；
- 使用 cheaper model；
- defer non-critical node；
- 停止 speculative branch。

但 governance-critical invariant 不應被偷偷移除。

因此：

$$
BudgetPressure
\not\Rightarrow
SilentSafetyRemoval.
$$

---

# 48. Temporal confidence

每個 envelope 應帶：

$$
Conf(\mathcal T)\in[0,1].
$$

低 confidence 的窄包絡是不可信的。

因此 scheduler 可以使用：

$$
EffectiveWidth
=
(T^{+}-T^{-})\cdot g(Conf).
$$

confidence 越低，風險 allowance 應越大。

---

# 49. Probability distribution 是可選擇擴張，不是 v0.1 必需

未來可以把：

$$
[T^{-},T^{+}]
$$

升級為：

$$
P(T\mid State,Topology,Resources).
$$

但 v0.1 故意先使用 envelope，因為：

- 更容易建立；
- 更容易 audit；
- 對少量歷史資料仍可用；
- 不假裝已知真實分布。

---

# 50. Expected makespan

若已有機率估計：

$$
\mathbb E[T_D]
$$

可以成為 scheduler 指標。

但仍要保留 tail risk：

$$
P(T_D>T_{deadline}).
$$

對高風險工作只優化平均值是不夠的。

---

# 51. Fan-out limit

子 Agent 數量應有：

$$
n\le n_{max}.
$$

 $n_{max}$ 可以由：

- token budget；
- coordination budget；
- API quota；
- topology complexity；
- Twin monitoring capacity；

決定。

因此 FCAO 不把 recursion 誤解成無限 fan-out。

---

# 52. Fan-in limit

如果一個 merge node 同時接收過多 branch：

$$
deg^{-}(v_{merge})
\gg 1,
$$

integration cost 可能爆增。

因此允許 hierarchical merge：

$$
Leaves
\rightarrow
LocalMerge
\rightarrow
RegionalMerge
\rightarrow
GlobalMerge.
$$

這與之前提出的 distributed verification graph 相容。

---

# 53. Balanced merge tree

若所有 branch 狀態可比較，balanced merge 可以降低單點 integration burden。

但若 semantic coupling 不均，應依 relation cluster 合流，而不是機械平衡。

因此：

$$
MergeTopology
=
f(
Dependency,
SemanticCoupling,
VerificationContract
).
$$

---

# 54. False parallelism

若：

$$
Q_1
\rightarrow
Q_2
\rightarrow
Q_3
$$

具有強 sequential dependency，硬派三個 Agent 同時開始只會造成：

- speculation；
- invalidation；
- duplicate work。

稱為：

$$
FalseParallelism.
$$

因此 scheduler 必須區分：

$$
PotentialParallelism
$$

與：

$$
RealizableParallelism.
$$

---

# 55. Speculative execution

有些情況 speculative branch 仍值得。

若：

$$
P(branch\ needed)\cdot ExpectedBenefit
>
SpeculationCost,
$$

可以提前執行。

但 speculative task 必須標記：

$$
status=speculative
$$

避免被誤認為 mandatory work。

---

# 56. Verification queue bottleneck

如果 worker 很多，但 verifier 少：

$$
\lambda_{work}
>
\mu_{verify},
$$

驗證 queue 會累積。

此時增加 worker 只會：

$$
Queue_{verify}
\uparrow.
$$

Twin 應能發現並：

- spawn verifier；
- 降低低風險 verification；
- 暫停新 fan-out；
- 重排 commit。

這是雙生架構與時間拓樸真正交會的位置。

---

# 57. Integration queue bottleneck

同樣：

$$
\lambda_{result}
>
\mu_{integrate}
$$

會使 Primary 成為 bottleneck。

解法包括：

- hierarchical merge；
- branch integrator；
- typed artifact schema；
- LCC；
- Twin selective inspection。

因此：

$$
MoreWorkers
$$

不一定提升 throughput。

---

# 58. Throughput 與 makespan 不同

對持續性組織：

$$
Throughput
=
\frac{
CompletedTasks
}{
Time
}.
$$

對單一 project：

$$
Makespan
=
T_{close}-T_{start}.
$$

某種 topology 可以提高 throughput，但不降低某一 critical project makespan。

Scheduler 應知道使用者真正優化的是哪一個。

---

# 59. Time economics 與 ANDO

ANDO 的 Agentic Organizational Temporal Economics 已討論：

- intelligent time density；
- delegation leverage；
- sedimentation。

本文補上：

$$
\boxed{
DelegationLeverage
}
$$

不是只由子 Agent 產出量決定，也取決於：

$$
Verification
+
Integration
+
Rework.
$$

因此真正 leverage：

$$
\Lambda_D
=
\frac{
UsefulVerifiedIntegratedWork
}{
PrimaryHumanOrRootTime
}.
$$

---

# 60. Effective parallelism

定義：

$$
P_{eff}
=
\frac{
UsefulParallelWork
}{
TotalParallelWork
}.
$$

若大量工作後來被 invalidated：

$$
P_{eff}
\downarrow.
$$

所以「同時跑了 20 個 Agent」不是好的性能指標。

---

# 61. Useful work

本文將 useful work 定義為：

$$
W_{useful}
=
W_{executed}
-
W_{invalidated}
-
W_{duplicated}
-
W_{unintegrable}.
$$

可進一步估：

$$
Efficiency
=
\frac{
W_{useful}
}{
W_{total}
}.
$$

---

# 62. Verification placement gain

比較兩種 placement $V_1,V_2$：

$$
G_V
=
ExpectedCost(V_1)-ExpectedCost(V_2).
$$

例如早驗證增加局部 cost，但減少 downstream invalidation。

因此 verification placement 本身就是 optimization problem。

---

# 63. Error propagation graph

對 defect / error $e$：

$$
Desc(e)
=
\{
v_j
\mid
e\leadsto v_j
\}.
$$

其 propagation impact：

$$
I(e)
=
\sum_{v_j\in Desc(e)}
Cost_{invalidate}(v_j).
$$

Twin 可以優先 audit：

$$
\arg\max_e
P(e)\cdot I(e).
$$

這比平均檢查每個節點更省。

---

# 64. Structural centrality 與 audit priority

對 task node $v$：

$$
Centrality(v)
$$

可使用：

- dependency fan-out；
- betweenness 類近似；
- merge importance；
- commit reachability。

Twin Paper 中：

$$
\Pi(v)
=
f(
Risk,
Uncertainty,
Centrality,
FailureImpact,
DependencyDepth,
VerificationCost
).
$$

本文把它進一步連到 scheduling。

---

# 65. Topology shock

執行過程中可能出現：

- dependency failure；
- API unavailable；
- model unavailable；
- critical artifact invalid；
- external deadline changed。

稱為：

$$
TopologyShock.
$$

shock 後：

$$
\mathcal G_t
\rightarrow
\mathcal G_{t+1}
$$

並立即重算 temporal envelope。

---

# 66. Shock recovery

Recovery 不是一定全局重規劃。

可以：

$$
LocalRepair
$$

若 affected region 小；

$$
RegionalRepartition
$$

若一個 branch 失效；

$$
GlobalReplan
$$

只有在 core assumptions 被破壞時。

遵守：

$$
\boxed{
MinimalNecessaryReplanning.
}
$$

---

# 67. Temporal debt

若為趕 deadline 而 defer 驗證：

$$
VerificationDebt
$$

會形成未來成本。

定義：

$$
D_T
=
\sum_i
DeferredVerification_i
\cdot
Risk_i.
$$

它必須進入 ledger，不能從 project state 消失。

---

# 68. Integration debt

同樣，暫時允許多個 branch 保持 provisional：

$$
IntegrationDebt.
$$

若 debt 過高：

$$
D_I>\theta_I,
$$

應降低 fan-out 或強制 merge checkpoint。

---

# 69. State projection cost

在 SEDB / canonical state 下，Agent 不必載入全部 project world。

對 task $Q_i$ 投影：

$$
S_i
=
\pi_i(S).
$$

projection 太窄：

$$
ContextLoss
\uparrow.
$$

projection 太寬：

$$
ContextCost
\uparrow.
$$

所以 context projection 本身也屬於 topology optimization。

---

# 70. Local-global balance

一個良好的 decomposition 應同時保持：

$$
LocalAutonomy
$$

與：

$$
GlobalCoherence.
$$

太局部：

$$
IntegrationCost\uparrow.
$$

太全域：

$$
Parallelism\downarrow.
$$

這是 FCAO 所謂 Local-Global AI Domain 的計算意義之一。

---

# 71. Primary–Twin temporal loop

完整雙核心 temporal loop：

$$
\boxed{
\begin{aligned}
Primary:
&\ Observe
\rightarrow
Estimate
\rightarrow
ProposeTopology
\rightarrow
Dispatch\\
Twin:
&\ Inspect
\rightarrow
AuditEstimate
\rightarrow
WatchBottlenecks
\rightarrow
Probe\\
Runtime:
&\ Execute
\rightarrow
Measure
\rightarrow
Receipt\\
Primary+Twin:
&\ Repartition
\rightarrow
Verify
\rightarrow
Close.
\end{aligned}
}
$$

不是每一輪都必須 Twin 介入。

Twin 可以：

$$
IDLE.
$$

---

# 72. 決策頻率

若 scheduler 每個 token 都重算 topology，overhead 太高。

定義 reevaluation trigger：

$$
\mathcal R_{eval}
=
\{
task\_complete,
estimate\_breach,
conflict,
resource\_shock,
merge\_ready,
risk\_change
\}.
$$

只有事件觸發或 bounded interval 才更新。

---

# 73. Event-driven scheduling

因此推薦：

$$
Event
\rightarrow
Reevaluate
$$

而不是：

$$
ContinuousFullReplan.
$$

這與 CTCL-ITR 的 event ledger 相容。

---

# 74. Minimal scheduler v0.1

最小 scheduler 只需要：

1. task graph；
2. dependency；
3. temporal envelope；
4. resource assignment；
5. verification node；
6. join node；
7. execution receipt；
8. repartition trigger；
9. closure state。

不必一開始建立完整 stochastic optimizer。

---

# 75. 最小 decision algorithm

概念上：

```text
Observe project state
Generate {Single, Split-2, Split-k, ExistingTopology}
Reject infeasible candidates
Estimate time/cost/risk envelope
Select candidate under project policy
Dispatch
Collect receipts
If estimate breached or topology anomaly:
    reevaluate
If verification / merge conditions satisfied:
    close or commit
```

這是方法論，不限定特定程式語言。

---

# 76. Machine-readable Temporal Envelope

第一代物件：

$$
TE
=
(
Target,
Lower,
Upper,
Confidence,
Assumptions,
Basis,
Observed
).
$$

其中 basis 可以是：

- historical；
- heuristic；
- model_estimate；
- benchmark；
- measured_partial。

---

# 77. Machine-readable Decomposition Decision

$$
DD
=
(
Candidates,
Chosen,
Reason,
ExpectedGain,
Constraints,
RejectedReasons,
Timestamp
).
$$

這讓 scheduler 的決策可以 audit。

---

# 78. Repartition Receipt

$$
DR
=
(
OldTopology,
NewTopology,
Trigger,
ExpectedBenefit,
InvalidatedWork,
Authority,
Time
).
$$

後續可以分析：

> 哪些 repartition 真正省錢？

---

# 79. Calibration

若 envelope 長期太樂觀：

$$
P(T>T^{+})
\gg \epsilon,
$$

scheduler 必須修正。

若長期太保守：

$$
T^{+}-T^{-}
$$

過寬，則 envelope 沒有決策價值。

因此應追蹤：

$$
CoverageRate
$$

與：

$$
EnvelopeWidth.
$$

---

# 80. Benchmark 指標

後續 MVP 至少測：

$$
Makespan,
$$

$$
TotalTokens,
$$

$$
TotalCost,
$$

$$
UsefulWorkRatio,
$$

$$
LateRework,
$$

$$
FalseClosure,
$$

$$
VerificationRecomputeRatio,
$$

$$
RepartitionCount,
$$

$$
EstimateCalibration.
$$

---

# 81. Benchmark baseline

建議至少比較：

## Baseline A

Single Agent。

## Baseline B

Fixed decomposition + multi-agent + root merge。

## Baseline C

Fixed decomposition + fresh verifier。

## Baseline D

FCAO Primary–Twin + dynamic temporal topology。

如此才能知道收益來自：

- multi-agent 本身；
- verifier；
- Twin；
- dynamic repartition；
- temporal estimate。

---

# 82. Ablation

至少移除：

- Temporal Envelope；
- Twin audit；
- Local Closure Certificate；
- Dynamic Repartition；
- Verification Placement；
- hierarchical merge；
- context locality；
- resource edge。

觀察性能變化。

---

# 83. 假說 H1：切分不是單調收益

存在 task family：

$$
\exists Q:
n_1<n_2
$$

但：

$$
T(n_2)>T(n_1)
$$

或：

$$
C(n_2)>C(n_1)
$$

且 quality 無顯著改善。

---

# 84. 假說 H2：先估再切可以降低無效 fan-out

Temporal Envelope + decomposition candidate comparison 可降低：

$$
W_{invalidated}
+
W_{duplicated}.
$$

---

# 85. 假說 H3：Verification placement 影響 late rework

適當 local / merge verification 可降低：

$$
LateReworkCost.
$$

---

# 86. 假說 H4：Dynamic repartition 優於固定拓樸

對具不確定 dependency 的長任務：

$$
AdaptiveTopology
$$

比：

$$
StaticTopology
$$

具有更佳：

$$
Cost/Quality/Makespan
$$

Pareto 表現。

---

# 87. 假說 H5：Twin 的價值取決於 topology observability

若 project state、receipt、dependency 不可觀察：

$$
TwinValue\downarrow.
$$

所以雙生治理與 canonical state / ledger 是耦合的。

---

# 88. 假說 H6：Hierarchical merge 可降低 Root bottleneck

對高 fan-in project：

$$
HierarchicalMerge
$$

可降低：

$$
PrimaryIntegrationLoad.
$$

但不保證總 cost 一定下降。

---

# 89. 與經典平行計算概念的關係

本文與 work / span、critical path、parallel scheduling 等概念相容，但 FCAO 多出幾個 AI-native 條件：

1. task graph 可以被模型在運行中重寫；
2. verification topology 是動態的；
3. Agent capability 非同質；
4. context projection 有成本；
5. result semantic compatibility 不保證；
6. closure 可以 reopen；
7. authority / commit 是圖的一部分；
8. task estimate 由 AI 與 measurement 共同更新。

因此本文不是替代經典 scheduling，而是把它帶入 Agentic project world。

---

# 90. 與分散式系統的關係

分散式系統早已處理：

- failure；
- latency；
- partial order；
- consensus；
- retry；
- distributed state。

FCAO 借用其精神，但不把 Agent 當作純 deterministic service。

Agent 可能輸出：

- uncertain claim；
- partial artifact；
- semantic proposal；
- alternative decomposition。

因此 verification 與 epistemic status 比普通 RPC scheduling 更重要。

---

# 91. 與 workflow engine 的差異

傳統 workflow 常事先定義：

$$
G_{workflow}.
$$

本文強調：

$$
G_t
$$

可以由 project state 動態演化。

所以：

$$
WorkflowExecution
$$

只是 FCAO 的一個特例。

---

# 92. 與 planner-agent 的差異

Planner agent 通常：

$$
PlanOnce
\rightarrow
Execute.
$$

本文要求：

$$
Plan
\rightarrow
Measure
\rightarrow
Replan
$$

在 topology event 發生時反覆進行。

---

# 93. 與「多開幾個 AI」的根本差異

本文不是：

$$
N\ Agents
>
1\ Agent.
$$

而是：

$$
\boxed{
ChooseN
+
ChooseEdges
+
ChooseVerification
+
ChooseMerge
+
ChooseWhenToChange.
}
$$

這才是時間—拓樸計算的核心。

---

# 94. FCAO 三篇理論的閉合

Foundation Paper：

$$
Conversation
\rightarrow
LocalGlobalDomain
\rightarrow
FractalOrganization
\rightarrow
TopologyClosure.
$$

Twin Paper：

$$
Primary
\parallel
Twin
\rightarrow
BidirectionalGovernance.
$$

本文：

$$
Estimate
\rightarrow
ChooseTopology
\rightarrow
DynamicRepartition.
$$

三者共同形成：

$$
\boxed{
World
+
Governance
+
Computation.
}
$$

因此理論系列在 v0.1 到此停止擴張。

---

# 95. 對 Reference Architecture 的直接要求

後續技術白皮書至少必須提供：

1. canonical task graph；
2. Primary / Twin runtime；
3. temporal envelope service；
4. decomposition candidate service；
5. verification placement engine；
6. repartition controller；
7. LCC；
8. CTCL-ITR receipt；
9. SEDB state projection；
10. protocol adapter；
11. cost / timing telemetry；
12. closure engine。

---

# 96. 對 OpenHarness Integration 的直接要求

實作白皮書不應問：

> OpenHarness 是否等於 FCAO？

而應問：

$$
Capability_{OpenHarness}
\cap
Requirement_{FCAO}
$$

有多大。

對每個 requirement 分成：

$$
Reuse,
Extend,
Patch,
Fork.
$$

只有當 extension surface 無法承載核心 semantics 時才考慮 fork。

---

# 97. MVP 的第一個實驗不需要最優演算法

第一代 MVP 可以只有三個候選：

$$
Single,
Split2,
SplitK.
$$

每個估：

$$
[T^{-},T^{+}]
$$

以及：

$$
C,
R,
V.
$$

先證明：

> 系統能在執行中觀察 estimate breach，並改變 topology。

比一開始追求 mathematically optimal scheduler 更重要。

---

# 98. 第一代成功條件

MVP 成功不是：

> 跑很多 Agent。

而是至少能展示：

1. 有一個 task 被判定 `NO_SPLIT`；
2. 有一個 task 被判定 `SPLIT`；
3. 一個 temporal upper envelope 被突破；
4. Twin 發現 bottleneck；
5. topology 發生 `REPARTITION`；
6. local verification 防止 downstream rework；
7. final closure 有完整 receipt。

---

# 99. 核心不變量

## Invariant 1：可切分不等於值得切分

$$
Decomposable
\not\Rightarrow
WorthDecomposing.
$$

## Invariant 2：Single Agent 永遠是合法候選

$$
Single
\in
\mathfrak D(Q).
$$

## Invariant 3：Verification 是 topology 的一部分

$$
VerificationTopology
\subseteq
TaskTopology.
$$

## Invariant 4：時間估計必須可修正

$$
Estimate
\neq
ImmutableTruth.
$$

## Invariant 5：Repartition 必須有成本

$$
Repartition
\not\Rightarrow
Free.
$$

## Invariant 6：More Agents 不保證更快

$$
N\uparrow
\not\Rightarrow
T\downarrow.
$$

## Invariant 7：Parent merge 不應預設 full recomputation

$$
Integration
\neq
RedoAll.
$$

## Invariant 8：Topology closure 優先於表面步驟完成

$$
StepsDone
\not\Rightarrow
Closure.
$$

## Invariant 9：Budget pressure 不可默默移除治理約束

$$
LowBudget
\not\Rightarrow
SilentInvariantRemoval.
$$

## Invariant 10：所有強效率主張必須經 benchmark 驗證

$$
EfficiencyClaim
\Rightarrow
Measurement.
$$

---

# 100. 結論

FCAO 的第一篇論文將 Conversation 提升為 temporary local computational world，並以 recursive Named Ephemeral Agents 與 topology closure 描述分形式 AI 組織；第二篇建立 Primary–Twin 雙生治理，使 bottom-up evidence aggregation 與 top-down challenge / reopen / repartition 形成雙向控制圈。本文完成第三個缺口：多 Agent 本身並不是優化策略，真正的優化對象是 **任務、時間、驗證、合流與重分區共同形成的動態計算拓樸**。

因此，FCAO 不再把 decomposition 當作一次性 planning output，而是：

$$
\boxed{
D_t
=
D(
Q,
S_t,
Resources_t,
Graph_t,
Evidence_t
).
}
$$

也不再把時間估計成單一點值，而使用：

$$
\boxed{
\mathcal T
=
[T^{-},T^{+}]
}
$$

作為可更新的 operational envelope。

當候選 decomposition 產生後，系統比較：

$$
\Delta(D)
=
(
\Delta T,
\Delta C,
\Delta Q,
\Delta R,
\Delta K,
\Delta L
),
$$

而不是默認：

$$
MoreAgents=Better.
$$

執行中，Primary–Twin 持續利用 receipt、LCC、resource state、verification queue 與 observed latency 修正原估計；必要時透過：

$$
SPLIT,
MERGE,
REASSIGN,
REOPEN,
REPARTITION
$$

重新塑造 project topology。Verification 不再是最後一步，而是可以被放置在 local、branch、merge、global 與 commit 邊界的 graph-native structure。

本文因此把多智能體 orchestration 從固定流程：

$$
Plan
\rightarrow
Split
\rightarrow
Run
\rightarrow
Merge
$$

改寫為：

$$
\boxed{
Observe
\rightarrow
Estimate
\rightarrow
Choose
\rightarrow
Execute
\rightarrow
Measure
\rightarrow
Repartition
\rightarrow
Verify
\rightarrow
Close.
}
$$

這個循環允許持續修正，卻不允許無限制 thrashing；允許更多 Agent，也允許 `NO_SPLIT`；允許 Twin challenge，也允許 Twin `IDLE`；允許高併發，也把 verification queue、integration queue、context locality 與 resource contention 視為第一級成本。

到此，FCAO v0.1 的三篇理論文已形成：

$$
\boxed{
\text{Foundation}
+
\text{Twin Governance}
+
\text{Temporal-Topological Computation}.
}
$$

下一階段不再擴張理論篇數，而應把這三篇壓縮成一份可實作的 Twin-Core Reference Architecture，再以 OpenHarness 等現有 agent harness 作為候選 execution substrate，完成 Fit-Gap、adapter、plugin / patch boundary 與 MVP。

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# 附錄 A：Temporal Envelope Example

```yaml
estimate_id: te-task-017-v3
target:
  type: task
  id: task-017
lower_ms: 180000
upper_ms: 720000
confidence: 0.68
basis:
  - historical_percentile
  - partial_measurement
assumptions:
  - "Repository dependency scan completes without external outage."
verification_allowance_ms: 120000
retry_allowance_ms: 180000
observed:
  elapsed_ms: 210000
  progress_ratio: 0.42
ctcl:
  estimated_at: "2026-08-24T14:59:00+08:00"
  causal_parent: event://dispatch-017
```

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# 附錄 B：Decomposition Decision Example

```yaml
decision_id: dd-root-004
task_id: task-root
candidates:
  - id: single
    feasible: true
    temporal_envelope_ms: [900000, 1800000]
  - id: split-3
    feasible: true
    temporal_envelope_ms: [420000, 1050000]
  - id: split-8
    feasible: true
    temporal_envelope_ms: [360000, 1500000]
chosen: split-3
reason:
  - "split-8 has lower optimistic bound but materially higher integration and verification tail."
expected_gain:
  time: positive
  token_cost: neutral
  risk: positive
  closure_coverage: positive
```

---

# 附錄 C：Repartition Receipt Example

```yaml
receipt_id: repart-007
event_type: REPARTITION
old_topology: topo-v4
new_topology: topo-v5
trigger:
  type: temporal_upper_breach
  target: task-017
  observed_ms: 760000
  previous_upper_ms: 720000
action:
  - split:
      task: task-017
      into: [task-017a, task-017b]
  - spawn_verifier:
      task: task-017a
expected_benefit:
  reduce_critical_path: true
  isolate_verification_bottleneck: true
invalidated_work:
  task_ids: []
authority:
  actor: twin-root-001
  class: project_governance
ctcl:
  occurred_at: "2026-08-24T15:21:00+08:00"
```

---

# 附錄 D：最小事件集合

```yaml
events:
  - ESTIMATE
  - CHOOSE_TOPOLOGY
  - DISPATCH
  - START
  - RESULT
  - VERIFY
  - MERGE
  - ESTIMATE_BREACH
  - SPLIT
  - REASSIGN
  - REOPEN
  - REPARTITION
  - CLOSE
  - COMMIT
```

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# 參考文獻與相關脈絡

以下文獻用於定位本文相對於既有平行計算、分散式系統、排程與多智能體研究的關係；本文並不宣稱其列舉構成完整 prior-art search。

1. Graham, R. L. (1966). *Bounds for Certain Multiprocessing Anomalies*. Bell System Technical Journal.
2. Graham, R. L. (1969). *Bounds on Multiprocessing Timing Anomalies*. SIAM Journal on Applied Mathematics.
3. Brent, R. P. (1974). *The Parallel Evaluation of General Arithmetic Expressions*. Journal of the ACM.
4. Lamport, L. (1978). *Time, Clocks, and the Ordering of Events in a Distributed System*. Communications of the ACM.
5. Ramadge, P. J., & Wonham, W. M. (1989). *The Control of Discrete Event Systems*. Proceedings of the IEEE.
6. Cormen, T. H., Leiserson, C. E., Rivest, R. L., & Stein, C. *Introduction to Algorithms*. MIT Press.
7. Wooldridge, M. (2009). *An Introduction to MultiAgent Systems*, 2nd ed. Wiley.
8. FCAO Foundation / Integration Paper v0.1, EveMissLab, 2026.
9. FCAO Twin-Agent Governance Paper v0.1, EveMissLab, 2026.
10. AI-Native Distributed Organization Reference Architecture v0.1, EveMissLab, 2026.
11. CTCL-ITR / Addressable Cognitive Runtime × CTCL documents, EveMissLab, 2026.
12. Software Spacetime research line, EveMissLab, 2026.

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**End of canonical source.**