# 全域計算方法論 v0.2
## 異質計算的全域一致組合：World-relative Coherence、Typed Runtime 與 Commit Semantics

**Global Computation Methodology: Globally Coherent Composition of Heterogeneous Computation**

- 系列：Global Computation Methodology Series
- 文件編號：Paper-01
- 版本：v0.2
- 日期：2026-08-24
- 作者：Neo.K
- 協作：Aletheia / GPT
- 狀態：第二輪正式核心論文
- Canonical anchor：Series-00 v0.2
- 編碼：UTF-8 Markdown
- 數學 delimiter：僅使用 ` $...$ ` 與 `$$...$$`

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## 摘要

現代計算系統早已不是單一處理器、單一程式模型、單一資料表示或單一時間尺度的封閉機器。CPU、GPU、FPGA、AI accelerator、edge、cloud、distributed runtime、dataflow、discrete-event simulation、continuous solver、probabilistic inference、symbolic engine 與其他 domain-specific executor 可以同時存在於一個系統中。既有 heterogeneous computing、task/dataflow runtime、actor-oriented modeling、hybrid systems、contract-based design 與 co-simulation 已分別建立大量成熟成果；因此，單純主張「異質模型可以被組合」或「Runtime 可以動態選擇執行資源」並不足以構成新的理論貢獻。

Global Computation Methodology（GCM，全域計算方法論）研究的是另一個層次的問題：在指定 World boundary 下，當不同 domain 採取不同 computational configuration、transition law、representation、resolution、resource binding、clock discipline 與 observation interface 時，如何在不要求全域同質、全域同步、all-to-all coupling 或完整物化的前提下，形成可驗證、可提交、可回退與可追溯的全域一致計算。

本文將第一輪的最小 Runtime tuple 升級為 typed formal core，明確分離 World primitive、canonical executable world state、Runtime control state、Observer state 與 Foundation version：

$$
\boxed{
\mathbf W
\neq
W_\nu
\neq
\Xi_\nu
\neq
O_\nu
\neq
\mathcal F^{(v)}
}
$$

其中不要求這些對象彼此屬於同一 state space；上式表示其語義角色不可互相偷換。本文進一步將 local execution 從「直接修改世界」改寫為 proposal semantics：局部 executor 先產生 typed effect proposal，再由 reconciliation、global verification 與 commit gate 決定是否形成新版本 $W_{\nu+1}$。因此：

$$
\boxed{
\text{Local Success}
\not\Rightarrow
\text{Global Commit}
}
$$

本文定義 World-relative globality、heterogeneous local configuration、global coherence predicate、ordinary Runtime transition 與 explicit Foundation revision，並建立一組 GCM-compliant Runtime 的最低形式義務。本文不宣稱 GCM 是第 73 種計算範式，也不宣稱 24／72 configuration basis 窮盡所有計算；GCM 是位於 configuration spaces 之上的 composition methodology。

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## 關鍵詞

Global Computation Methodology；heterogeneous computation；models of computation；runtime composition；global coherence；World boundary；typed runtime；commit semantics；observer separation；foundation versioning；computational configuration space

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# 1. 問題設定

## 1.1 從「使用哪個計算模型」到「如何讓多種計算共同構成一個世界」

任何計算形式都會選擇某些 primitive。典型例子包括：

- state transition；
- tape / memory；
- actor / message；
- task / dependency；
- dataflow token；
- graph rewriting；
- differential equation；
- stochastic kernel；
- logical inference；
- quantum channel；
- database transaction；
- event / clock / scheduler。

這些 formalism 各自具有自己的優勢、限制、可驗證性與工程生態。對單一問題而言，把所有計算壓入單一 formalism 有時很有價值；但對大型、遞歸、跨域或可動態重配置的系統而言，強迫所有局部結構共享完全相同的 primitive，未必是必要條件。

因此本文不問：

> 哪一種計算模型應該統治全部系統？

而問：

> 在指定 World boundary 中，不同計算形式能否保留自身語義，同時形成一個可判定其合法性、一致性與提交結果的全域 Runtime？

GCM 的第一核心命題是：

$$
\boxed{
\text{Global Computation}
\neq
\text{One Computation Everywhere}
}
$$

而本文採用的正面定義是：

$$
\boxed{
\text{Global Computation}
=
\text{Globally Coherent Heterogeneous Computation}
}
$$

---

## 1.2 本文不處理什麼

本文不宣稱：

1. 提出新的 Church–Turing 型可計算性定理；
2. 證明存在對所有 heterogeneous systems 皆最優的 scheduler；
3. 首次提出 heterogeneous Models of Computation 的組合；
4. 首次提出 CPU/GPU/accelerator heterogeneous task scheduling；
5. 首次提出 privilege、coherence、assume–guarantee contract、co-simulation 或 representation conversion；
6. 24／72 是所有計算可能性的完整列表；
7. GCM 是「第 73 種計算範式」。

本文的目標是建立一個上層方法論，使上述既有技術與其他 future executor 可以在共同的 World-relative composition semantics 下被定址、約束、驗證與追溯。

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# 2. 相關研究與定位

## 2.1 Heterogeneous Models of Computation

Ptolemy II 長期研究 actor-oriented hierarchical modeling，不同 hierarchy level 可以具有不同 director，而 director 定義不同 Model of Computation。Goderis 等人更直接分析 heterogeneous composition of Models of Computation，展示 dataflow、finite-state machine 與其他 MoC 的組合條件。[1,2]

因此：

$$
\boxed{
\text{Heterogeneous MoC Composition}
\text{ is prior art.}
}
$$

GCM 不以「可以混合不同 MoC」作為首創性主張。GCM 的問題域更寬：MoC 只是 computational configuration 的一部分；Global coherence 還包括 World boundary、Foundation、cross-domain constraints、operation type、materialization、Observer separation、active realization 與 history/provenance。

## 2.2 Heterogeneous task runtime

StarPU 等 heterogeneous runtime 已能管理 task dependencies、不同 CPU/GPU implementations、data transfer、asynchronous execution 與動態 scheduling。2026 年的 task-based data-flow 研究也持續處理多 accelerator APIs 的共同編排。[3,4,11]

因此：

$$
\boxed{
\text{Dynamic resource scheduling}
\neq
\text{GCM's claimed novelty}.
}
$$

GCM 可把這類 runtime 視為 executor/resource layer，而不是重新發明其 scheduler。

## 2.3 Logical regions、privileges 與 mapping separation

Legion 使用 logical regions、privileges、coherence 與 mapping interface。其重要啟示之一，是 correctness-relevant requirements 與 performance-oriented mapping 可以被分離；privilege 亦不是單純 metadata，而會約束合法存取。

GCM 吸收這個一般性教訓，但把 scope 從 memory/data region 擴張到 World-relative operation、authority 與 commit。[5,6]

## 2.4 Representation conversion 與 legality

MLIR Dialect Conversion 已提供 conversion target legality、type conversion、partial/full conversion、materialization 與 rollback/backtracking 等成熟機制。這說明 representation bridge 不應被當成「只要能轉格式就算成功」。

GCM 後續的 bridge contract 應公平地站在這些既有成果之上，並處理跨 executor / domain representation 的 legality、information loss 與 invariant preservation。[8]

## 2.5 Co-simulation 與 Scheduled Execution

FMI 3.0.2 支援 Co-Simulation、Scheduled Execution、model partitions 與 Clocks，並允許 importer scheduler 控制 model partition 的 activation。這已證明 external scheduling、partition activation 與 multi-clock coupling 具有成熟工程基礎。

因此 GCM 不宣稱 external scheduler 或 clocked partition 是新概念；Paper-04 將進一步處理 World evolution、Runtime clock、Observer time 與 commit order 的型別分離。[7]

## 2.6 Contract-based composition

Assume–guarantee contracts 與 contract-based design 已廣泛用於 cyber-physical systems 的 decomposition、verification、simulation 與 synthesis。近年研究仍持續發展 compositional synthesis 與 layered control contracts。

GCM 的 composition contract 將借鑑這些思想，但不把 GCM 約化成單一 contract formalism。GCM 需要同時處理 computational configuration、World-relative admissibility、authority、materialization 與 history，且允許 domain-specific proof obligations。[9,10]

## 2.7 Dynamic runtime composition

Dynamic Systems of Systems 的 runtime composition 已是活躍研究領域。2025 年的 systematic review 將其主要挑戰整理為 modeling / analysis、resilient operations、system orchestration 與 constituent-system heterogeneity，並指出 interoperability、cross-toolchain workflow 與 standardized evaluation 仍是重要缺口。[12]

因此 GCM 不把「系統可在 Runtime 動態發現、整合或重組 constituent systems」當作新概念。本文的區別在於：GCM 以指定 World boundary 為 coherence 判定域，並把 executable world state、Runtime control、Observer、Foundation、proposal、verification 與 commit 放進同一 typed methodology。

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# 3. Canonical 分層：World、Runtime、Observer 與 Foundation

## 3.1 World primitive

令：

$$
\boxed{\mathbf W}
$$

表示研究或系統所指定的 World primitive / ontological target。

關鍵限制是：

$$
\boxed{
\mathbf W
\neq
\text{any single Runtime representation}
}
$$

因此 graph、tensor、field、database、scene graph、ledger、state machine、simulation state 或 object store 都可以是對 World 的表示，但不能在沒有明示前提下被偷換成 World 本身。

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## 3.2 Canonical executable world state

令：

$$
W_\nu
$$

表示 Runtime 在 commit/version index $\nu$ 下的 canonical executable world-state presentation。

這裡：

$$
\boxed{
\nu
\neq
\text{physical time by definition}
}
$$

 $\nu$ 首先只是版本／提交序號。若某一 domain 的 World model 具有 physical time、logical time、simulation time 或多個 clocks，必須另外型別化，而不是把它們默默壓入 $\nu$。

---

## 3.3 Runtime control state

令：

$$
\Xi_\nu
$$

表示 Runtime control state，例如：

- scheduler state；
- routing cache；
- resource availability；
- active support；
- materialization cache；
- deferred work；
- executor health；
- checkpoint metadata；
- current policy state。

因此 Runtime 可以發生：

$$
\Delta\Xi\neq0
$$

而不必推出：

$$
\Delta W\neq0.
$$

---

## 3.4 Observer state

令：

$$
O_\nu
$$

表示 Observer-associated state，例如 focus、query context、viewport、projection parameters、requested representation 或 interaction state。

這建立：

$$
\boxed{
\text{Observer Operation}
\neq
\text{World Operation}
}
$$

一個純 projection / inspection operation 可以改變 $O_\nu$，甚至改變部分 $\Xi_\nu$ 中的 materialization cache，但若它未被明確型別為 intervention，則：

$$
\boxed{
\Delta W=0.
}
$$

---

## 3.5 Foundation version

令：

$$
\mathcal F^{(v)}
$$

表示 Foundation / axiom / schema / invariant-definition version。

普通 Runtime transition 必須保持：

$$
\boxed{
\mathcal F^{(v)}
\rightarrow
\mathcal F^{(v)}
}
$$

Foundation revision 必須是 explicit、versioned operation：

$$
\boxed{
\mathsf{ReviseFoundation}:
\mathcal F^{(v)}
\rightarrow
\mathcal F^{(v+1)}.
}
$$

因此 scheduler tuning、AI planning、ordinary executor、Observer interaction、resource optimization 或 local solver convergence 都不得偷偷修改 Foundation。

---

## 3.6 分層不可偷換

本文採用語義角色分離：

$$
\boxed{
\mathbf W,
W_\nu,
\Xi_\nu,
O_\nu,
\mathcal F^{(v)}
\text{ are distinct typed roles.}
}
$$

這不要求五者一定是數學上互斥的 underlying sets；要求的是 formal semantics 不得將某一層的 mutation 無標註地解釋為另一層的 mutation。

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# 4. Globality 是 World-boundary-relative typed notion

## 4.1 指定 World boundary

令：

$$
B_W
$$

表示目前 GCM 判定 global coherence 的 World boundary。

定義：

$$
\operatorname{Global}_{B_W}(x)
$$

表示 $x$ 的 legality、dependency、invariant 或 commit status 必須相對 $B_W$ 判定。

Global 不表示：

- 整個宇宙；
- 所有機器；
- 所有節點互相連線；
- all-to-all communication；
- 所有狀態同時 materialize；
- 所有 domain 共享單一 clock。

所以：

$$
\boxed{
\text{Global Computation}
\neq
\text{All-to-All Computation}
}
$$

---

## 4.2 Nested globality

若：

$$
B_0\supset B_1\supset B_2,
$$

則某 operation $o$ 可以同時：

$$
\operatorname{Global}_{B_2}(o)
\land
\operatorname{Local}_{B_1}(o).
$$

因此 global/local 不是互斥本體類別，而是 boundary-indexed relation。

這使 GCM 可以自然處理：

- recursive sub-world；
- nested simulation；
- organization / subsystem；
- edge / cluster / cloud hierarchy；
- agent 內部子系統；
- multi-level scene / environment；
- compositional scientific models。

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# 5. Domains 與 heterogeneous local configurations

## 5.1 Domain family

令：

$$
\mathcal D_\nu
=
\{D_1,\ldots,D_n\}
$$

表示版本 $\nu$ 下 Runtime 使用的 domain family。

Domain 是 computation scope，不預設為物理空間。

因此：

$$
\boxed{
D_i
\not\Rightarrow
\text{physical spatial region}.
}
$$

 $D_i$ 可以是：

- graph substructure；
- database partition；
- logical region；
- process；
- task group；
- agent；
- service；
- physical field region；
- symbolic theory module；
- recursive sub-world；
- remote accelerator context。

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## 5.2 Computational configuration space

令：

$$
\mathfrak P
$$

為 computational configuration space。

本文接受 Series-00 的：

$$
\mathfrak P_{24}
=
\mathfrak B_2
\times
\mathfrak U_4
\times
\mathfrak O_3,
$$

以及：

$$
\mathfrak P_{72}
=
\mathfrak P_{24}
\times
\mathfrak L_3.
$$

但本文再次固定：

$$
\boxed{
24/72
\neq
\text{exhaustive ontology of computation}.
}
$$

它們是 extensible configuration basis。

Paper-02 將正式處理 configuration space 的完整 addressing、extension rule 與 routing profile；本文只需要知道每個 domain 可以被綁定到不同 configuration。

---

## 5.3 Configuration assignment

令：

$$
\Gamma_\nu:
\mathcal D_\nu
\rightarrow
\mathfrak G
$$

為 configuration assignment，其中 $\mathfrak G$ 是完整 configuration record space。

最小可寫為：

$$
\Gamma_\nu(D_i)
=
\gamma_i
=
\left\langle
p_i,
\ell_i,
\rho_i^C,
r_i,
\chi_i
\right\rangle,
$$

其中：

- $p_i\in\mathfrak P$：computational form / configuration；
- $\ell_i\in\mathfrak L$：transition-law family；
- $\rho_i^C$：compute resolution；
- $r_i$：resource binding or resource class；
- $\chi_i$：domain-specific execution contract reference。

完整 contract、reachability、authority 與 routing semantics 由 Paper-03 深化。

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# 6. Local executor 不直接等於 World mutation

## 6.1 Proposal semantics

第一輪直觀表示常寫：

$$
W_{t+1}
=
\Phi_G(W_t).
$$

這在高層描述上仍可使用，但第二輪若要支援 heterogeneous executor、rollback、global verification 與 history，就需要把 local execution 與 canonical commit 分開。

對 domain $D_i$，定義 local executor：

$$
E_i
$$

接收 local view / input context，產生 effect proposal：

$$
\boxed{
E_i:
\left(
W_\nu\vert_{D_i},
\Xi_\nu,
\gamma_i,
u
\right)
\rightarrow
\delta_i.
}
$$

 $\delta_i$ 不是 $W_{\nu+1}$，而是 candidate effect / proposal。

因此：

$$
\boxed{
\text{Executor Output}
\neq
\text{Canonical World Commit}.
}
$$

---

## 6.2 Proposal set

令：

$$
\Delta_\nu
=
\{\delta_1,\ldots,\delta_k\}
$$

為當前 global step 中被選取的 proposals。

Proposals 可能：

- 作用於互斥 domains；
- 作用於重疊 domains；
- 可交換；
- 不可交換；
- 有 dependency；
- 有 priority；
- 要求 representation bridge；
- 具有不同 local time / cadence；
- 具有不同 failure modes。

因此一般不能寫成：

$$
\Phi_G
=
\sum_i\Phi_i.
$$

---

# 7. 全域一致組合

## 7.1 Constraints 與 couplings

令：

$$
\mathcal C_\nu
$$

表示指定 World boundary 下的 constraints / couplings。

它可以包含：

- cross-domain dependency；
- overlap constraints；
- conserved quantity；
- transaction constraints；
- schema constraints；
- safety invariant；
- causal / ordering constraint；
- resource exclusivity；
- domain interface contract；
- Foundation-derived proof obligation。

注意：

$$
\mathcal C
$$

不再表示 configuration；configuration 使用 $\Gamma$。

---

## 7.2 Reconciliation

定義 reconciliation operator：

$$
\mathsf{Reconcile}_{B_W,\mathcal C_\nu}
$$

其輸入為：

$$
(W_\nu,\Delta_\nu),
$$

輸出 candidate state：

$$
\widetilde W_{\nu+1}
$$

或 conflict / rejection result。

形式上：

$$
\boxed{
\mathsf{Reconcile}_{B_W,\mathcal C_\nu}
:
(W_\nu,\Delta_\nu)
\rightharpoonup
\widetilde W_{\nu+1}.
}
$$

使用 partial map $\rightharpoonup$ 是因為不是每組 proposals 都必然存在合法 reconciliation。

---

## 7.3 Global coherence predicate

令：

$$
\mathsf{Coh}_{B_W}^{(v)}
\left(
W_\nu,
\Delta_\nu,
\widetilde W_{\nu+1}
\right)
\in
\{0,1\}
$$

表示 candidate 是否在 Foundation $\mathcal F^{(v)}$ 、World boundary $B_W$ 與 constraints $\mathcal C_\nu$ 下滿足 global coherence。

其最低條件可抽象為：

$$
\mathsf{Coh}
=
\mathsf{TypeOK}
\land
\mathsf{InterfaceOK}
\land
\mathsf{ConflictResolved}
\land
\mathsf{InvariantOK}
\land
\mathsf{CommitOK}.
$$

這些 predicate 的具體 proof system 可以依 domain 不同而不同。GCM 不要求所有 domain 使用同一 theorem prover 或同一 verification formalism。

---

## 7.4 Global coherence 不要求 homogeneity

若：

$$
p_i\neq p_j,
$$

或：

$$
\ell_i\neq\ell_j,
$$

並不妨礙：

$$
\mathsf{Coh}_{B_W}^{(v)}=1.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{Global Coherence}
\not\Rightarrow
\text{Computational Homogeneity}.
}
$$

同理：

$$
\boxed{
\text{Global Coherence}
\not\Rightarrow
\text{Global Synchronization}.
}
$$

同步只是部分 Runtime 的可能策略，不是 globality 的定義。

---

# 8. Verify 與 Commit semantics

## 8.1 Verify 不等於 Optimization

令：

$$
\mathsf{Verify}^{(v)}_{B_W}
\left(
W_\nu,
\widetilde W_{\nu+1}
\right)
$$

判定 candidate 是否符合 Foundation 與 World-level invariants。

這不是 optimization objective。

因此：

$$
\boxed{
\text{Mathematics}
\neq
\text{Optimization}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\mathsf{Verify}
\neq
\mathsf{Optimize}.
}
$$

某一 Runtime 可以完全沒有 optimization，只要其 configuration 與 execution path 已被指定，仍可執行合法 global computation。

---

## 8.2 Commit gate

定義：

$$
\mathsf{Commit}^{(v)}_{B_W}
\left(
W_\nu,
\widetilde W_{\nu+1},
\Delta_\nu
\right).
$$

若：

$$
\mathsf{Coh}_{B_W}^{(v)}=1
$$

且 required verification obligations 全部成立，則：

$$
\boxed{
W_{\nu+1}
:=
\widetilde W_{\nu+1}.
}
$$

否則 canonical World state 不應因 local executor 已完成就被默默更新。

因此：

$$
\boxed{
\text{Local Success}
\not\Rightarrow
\text{Global Commit}.
}
$$

---

## 8.3 Ordinary Runtime transition

普通 Runtime transition 可以抽象為：

$$
\boxed{
\mathsf T_{\mathrm{run}}^{(v)}:
(
W_\nu,
\Xi_\nu,
O_\nu
)
\rightarrow
(
W_{\nu+1},
\Xi_{\nu+1},
O_{\nu+1}
)
}
$$

且 Foundation 不變：

$$
\mathcal F^{(v)}
\rightarrow
\mathcal F^{(v)}.
$$

若 candidate 被拒絕，仍可能有：

$$
W_{\nu+1}=W_\nu,
$$

但：

$$
\Xi_{\nu+1}\neq\Xi_\nu
$$

或 history 中新增 failure / rejection receipt。

這一點對 debug、audit 與 adaptive routing 非常重要。

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# 9. Operation type 與權限邊界

本文不完整展開 Paper-03 的 authority algebra，但為避免層次偷換，先固定 operation kinds：

$$
\mathsf{OpKind}
\in
\left\{
\begin{array}{l}
\mathsf{Observe},\\
\mathsf{Compute},\\
\mathsf{Materialize},\\
\mathsf{ModifyState},\\
\mathsf{Commit},\\
\mathsf{ModifyRule},\\
\mathsf{ModifyFoundation}
\end{array}
\right\}.
$$

至少必須滿足：

$$
\boxed{
\mathsf{Observe}
\neq
\mathsf{ModifyState}
}
$$

$$
\boxed{
\mathsf{ModifyState}
\neq
\mathsf{ModifyRule}
}
$$

$$
\boxed{
\mathsf{ModifyRule}
\neq
\mathsf{ModifyFoundation}.
}
$$

所以即使某 Agent 技術上可以執行某 function，也不能只因為 capability 存在就推出其具有 commit 或 Foundation revision 權限。

詳細的：

$$
\mathsf{Reach}
$$

與：

$$
\mathsf{Auth}
$$

由 Paper-03 正式展開。

---

# 10. GCM v0.2 typed core

Series-00 保留第一輪 compact signature：

$$
\mathcal M_G^{(0.1)}
=
\langle
W,
\mathfrak P,
\mathfrak L,
\mathcal D,
\Lambda,
\mathcal C,
\mathcal S,
\Pi,
\mathcal H
\rangle.
$$

本文採用 expanded typed core：

$$
\boxed{
\mathcal M_G^{(0.2)}
=
\left\langle
\mathbf W;
W_\nu,
\Xi_\nu,
O_\nu,
\mathcal F^{(v)};
\mathfrak P,
\mathfrak L,
\mathcal D,
\Gamma_\nu;
\mathcal C,
\mathsf{Reach},
\mathsf{Auth},
\mathcal S;
\Pi,
\mathsf{Mat},
\mathcal H
\right\rangle.
}
$$

本文只對其中與 global composition core 直接相關者給出 formal semantics；其餘分配如下：

- $\mathfrak P$ 、 $\mathfrak L$ 、 $\Gamma$：Paper-02；
- $\mathsf{Reach}$ 、 $\mathsf{Auth}$ 、 $\mathcal S$ 、executor / bridge contract：Paper-03；
- $\Pi$ 、 $\mathsf{Mat}$ 、compute/observer resolution、clock/domain relativity：Paper-04；
- bounded active support / horizon / resources：Paper-05；
- $\mathcal H$ 、receipt DAG、partial order、replay：Paper-06。

而且始終：

$$
\boxed{
\mathcal M_G^{(0.2)}
\neq
\mathbf W.
}
$$

---

# 11. Computation、Observation、Materialization 的上層分離

Paper-04 將完整形式化三者，但 Paper-01 必須先固定：

$$
\boxed{
\text{Computation}
\neq
\text{Observation}
\neq
\text{Materialization}.
}
$$

令：

$$
Y_O
=
\Pi_O(W_\nu;O_\nu)
$$

為 Observer projection。

則：

$$
\boxed{
\text{Local Observation}
\not\Rightarrow
\text{Local-only Computation}.
}
$$

同時：

$$
\boxed{
\text{Global Dependency}
\neq
\text{Full Materialization}.
}
$$

因此一個 globally coherent Runtime 可以只 materialize 當前 active / requested subset，而以 summary、seed、checkpoint、dependency、latent representation 或其他合法 representation 保留未展開部分。

---

# 12. History 是 Global Computation 的獨立語義層

如果 local operations 不交換：

$$
\phi_a\circ\phi_b
\neq
\phi_b\circ\phi_a,
$$

則 execution ordering 可能具有語義。

即使：

$$
W_n^{(1)}
=
W_n^{(2)},
$$

也不能推出：

$$
\mathcal H_n^{(1)}
=
\mathcal H_n^{(2)}.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{State Equality}
\not\Rightarrow
\text{History Equality}.
}
$$

Paper-06 將完整處理 typed receipt DAG、causal order、execution order、commit order、replay、rollback 與 history quotient；本文只固定 history 不是可由 endpoint state 自動抹除的附帶資料。

---

# 13. GCM-compliant Global Step

綜合本文，單一 global step 的抽象結構可寫為：

$$
\boxed{
\begin{aligned}
&(W_\nu,\Xi_\nu,O_\nu;\mathcal F^{(v)})\\
&\xrightarrow{\mathsf{Select/Bind}}
\{(D_i,\gamma_i,E_i)\}\\
&\xrightarrow{\mathsf{LocalPropose}}
\Delta_\nu\\
&\xrightarrow{\mathsf{Reconcile}}
\widetilde W_{\nu+1}\\
&\xrightarrow{\mathsf{Verify}}
\mathsf{Coh}_{B_W}^{(v)}\\
&\xrightarrow{\mathsf{Commit/Reject}}
(W_{\nu+1},\Xi_{\nu+1},O_{\nu+1};\mathcal F^{(v)}).
\end{aligned}
}
$$

這不是唯一實作流程；它是 semantic obligations 的 reference decomposition。

不同 Runtime 可以：

- pipeline 各階段；
- 進行 speculative execution；
- 使用 optimistic concurrency；
- 使用 deterministic scheduling；
- 使用 distributed reconciliation；
- 在部分 domain 採用 static configuration；
- 省略 optimization；
- 以 proof、test、contract、type checker 或 domain verifier 完成 verification。

只要不破壞本文的 canonical separation 與 commit semantics，就不要求實作完全相同。

---

# 14. 形式命題

以下命題作為第二輪可驗證／可反駁的核心。

## 命題 1：Heterogeneity Preservation

若 GCM composition 合法，則不要求：

$$
p_i=p_j
$$

或：

$$
\ell_i=\ell_j.
$$

因此：

$$
\boxed{
\mathsf{Coh}_{B_W}^{(v)}=1
\not\Rightarrow
\text{Homogeneous Configuration}.
}
$$

---

## 命題 2：Boundary-relative Globality

若：

$$
B_a\subset B_b,
$$

則某 operation 可以：

$$
\operatorname{Global}_{B_a}(o)
\land
\operatorname{Local}_{B_b}(o).
$$

故 globality 不是 absolute universe-wide predicate。

---

## 命題 3：Observer Non-Mutation under Projection-only Operation

對被型別為 projection-only 的 Observer operation $o$：

$$
\mathsf{OpKind}(o)=\mathsf{Observe}
$$

應滿足：

$$
\boxed{
\Delta W=0.
}
$$

若某觀察行為確實對 World 造成 intervention，則必須改以 World operation 明示建模，而不是保留 Observer-only 標籤。

---

## 命題 4：Foundation Constancy of Ordinary Runtime

對普通 Runtime transition：

$$
\boxed{
\mathcal F^{(v)}
\text{ remains fixed}.
}
$$

任何 Foundation change 必須產生 explicit versioned revision。

---

## 命題 5：Local Success Does Not Entail Global Commit

即使：

$$
E_i
\text{ returns success},
$$

若：

$$
\mathsf{Coh}_{B_W}^{(v)}=0,
$$

則：

$$
W_{\nu+1}
\neq
\widetilde W_{\nu+1}
$$

作為 canonical commit result。

---

## 命題 6：Full Materialization Is Not Required for Global Dependency

若未 materialize domain $D_j$ 的全部細節，但 Runtime 仍保存足以維持 dependency、invariant 與合法重建的 representation，則：

$$
\operatorname{Depends}(D_i,D_j)
$$

不要求：

$$
\operatorname{FullyMaterialized}(D_j)=1.
$$

---

## 命題 7：Optimization Is Optional to Semantics

若 routing / execution path 已被合法指定，GCM semantics 不要求存在：

$$
\arg\min
$$

或：

$$
\arg\max.
$$

故：

$$
\boxed{
\text{Admissible Global Computation}
\not\Rightarrow
\text{Optimization Problem}.
}
$$

---

# 15. 失敗條件與可反駁性

若一個實作宣稱自己是 GCM-compliant Runtime，但出現以下情況，則至少表示本文核心尚未實現：

1. **World / Runtime collapse**：把某個 runtime tuple 直接宣稱為 World primitive，且無 representation boundary；
2. **Local auto-commit**：local executor success 自動成為 canonical world mutation，沒有 reconciliation / verification gate；
3. **Observer leakage**：單純切換 viewport、query、zoom 或 projection 會無標註推進 world state；
4. **Foundation leakage**：ordinary scheduler / optimizer / AI planner 可無版本紀錄修改 Foundation；
5. **Homogeneity requirement**：所有 domain 必須先翻譯成同一 computational form 才能被視為 global；
6. **Globality inflation**：把 global 說成宇宙級 all-to-all，而沒有指定 World boundary；
7. **Optimization collapse**：將 legality、proof obligation、authority 或 history truth 全部當作一個 objective function；
8. **History erasure**：只因 endpoint state 相同就宣稱 execution history 等價；
9. **Materialization collapse**：把「未完整展開」等同「不存在」或「未計算」。

這些失敗條件使 GCM 不只是一組形容詞，而具有可以被 implementation test 反駁的結構。

---

# 16. Reference Runtime 的最低義務

本文不指定唯一 architecture，但任何 Reference Runtime 至少應提供以下能力或可驗證等價物：

```text
Foundation Registry
World State Store
Runtime Control State
Domain Registry
Configuration Registry
Local Executor Interface
Constraint / Coupling Registry
Reconciliation
Verification
Commit / Reject / Rollback Boundary
Observer Projection Boundary
History / Receipt Interface
```

後續 TW-02 將把這些義務落成完整 Reference Runtime Architecture。

---

# 17. 與 02–06 的依賴關係

Paper-01 是整套六篇正式論文的 formal core，但不企圖獨占後續問題。

## 17.1 Paper-02

回答：

> computational configurations 如何被系統化定址、擴張與比較？

重點是 $\mathfrak P_{24}$ 、 $\mathfrak P_{72}$ 、transition-law family 與 extensible configuration basis。

## 17.2 Paper-03

回答：

> Runtime 如何決定某 configuration / executor 是否可達、可用、合法、有權並可組合？

重點是 reachability、affordance、admissibility、authority、routing、executor / bridge contracts。

## 17.3 Paper-04

回答：

> computation、observation、materialization、resolution、clock 與 domain relativity 如何分離？

## 17.4 Paper-05

回答：

> 如何用有限 active support 承載可無界擴張的 World dependency？

## 17.5 Paper-06

回答：

> 如何保存 noncommutative execution、provenance、partial order、replay、rollback 與 Foundation lineage？

---

# 18. 討論

## 18.1 GCM 是 methodology，而不是 mega-model

若 GCM 強迫所有局部系統先翻譯成一個統一 mega-state machine，則它反而失去 heterogeneous composition 的價值。

GCM 的統一性主要存在於：

- addressing；
- typing；
- scope；
- composition contract；
- admissibility；
- commit semantics；
- provenance；
- governance boundary。

而不是要求所有 executor 共享一種內部數學。

---

## 18.2 全域一致不等於中央控制

本文的 global coherence predicate 不要求存在單一中央 scheduler。

未來可以研究：

- centralized reconciliation；
- distributed consensus-like commit；
- hierarchical commit；
- federated verification；
- optimistic local execution；
- decentralized contract checking。

只要最終相對指定 World boundary 的 coherence obligations 能被滿足即可。

因此：

$$
\boxed{
\text{Global Coherence}
\neq
\text{Centralized Control}.
}
$$

---

## 18.3 World primitive 必須允許 domain-specific ontology

GCM 不指定所有 World 都是物理時空。

World 可以是：

- simulation world；
- software world；
- data world；
- game world；
- mathematical structure；
- physical model；
- organizational workflow；
- agent environment。

因此來自時空本體論的 temporal/spatial structure，只能在對應 World ontology 中成為 module，不得反向綁架 GCM 的一般定義。

---

# 19. 限制與未解問題

本文仍留下重要 open problems：

1. Global coherence predicate 是否可分解成一般性的最小 contract algebra？
2. 不同 domain verifier 的 proof evidence 如何組合？
3. bridge information loss 的可接受界線如何型別化？
4. 若 domains 動態產生／消失，boundary coherence 如何增量維護？
5. Foundation migration 如何驗證 backward compatibility？
6. distributed commit 是否需要特定 consistency model？
7. speculative execution 與 rollback 的 history semantics 如何定義？
8. local clock / physical time / logical time 與 commit index 如何組合？
9. bounded active realization 是否可能保持語義 bounded、但 runtime cost 隨 dormant history 無界成長？
10. AI Router 是否能在不取得 Foundation revision 權限的情況下自主擴張 execution strategy？

這些問題分別由 02–06、三份技術白皮書與 Reference Runtime MVP 推進。

---

# 20. 最終定義

本文將 Global Computation 定義為：

$$
\boxed{
\begin{aligned}
\text{Global Computation}
:=
&\text{the World-boundary-relative, constraint-consistent,}\\
&\text{typed composition, verification, and committed evolution}\\
&\text{of heterogeneous computational domains.}
\end{aligned}
}
$$

中文：

> **全域計算，是在指定 World boundary 下，對異質計算域進行型別化的組合、約束、一致性驗證與可追溯提交，使局部計算可以異質而整體演化仍維持指定的不變量與合法性。**

因此最核心的公式不是：

$$
\Phi_G
=
\sum_i\Phi_i,
$$

而是：

$$
\boxed{
\text{Local Proposals}
\rightarrow
\text{Reconciliation}
\rightarrow
\text{Global Verification}
\rightarrow
\text{Commit / Reject}.
}
$$

這也正式確立：

$$
\boxed{
\text{Global Computation}
\neq
\text{The 73rd Computational Paradigm}.
}
$$

GCM 是操作、組合與驗證 computational configuration spaces 的方法論，而不是在既有範式後面再增加一格。

---

# 參考文獻

1. Goderis, A., Brooks, C., Altintas, I., Lee, E. A., & Goble, C. (2009). *Heterogeneous composition of models of computation*. Future Generation Computer Systems, 25(5), 552–560. DOI: 10.1016/j.future.2008.06.014.
2. Ptolemy Project. *Ptolemy II: Heterogeneous Concurrent Modeling and Design*. University of California, Berkeley. https://ptolemy.berkeley.edu/ptolemyII/
3. Augonnet, C., Thibault, S., Namyst, R., & Wacrenier, P.-A. (2009). *StarPU: A Unified Platform for Task Scheduling on Heterogeneous Multicore Architectures*. Euro-Par 2009, LNCS 5704, 863–874. DOI: 10.1007/978-3-642-03869-3_80.
4. StarPU Project. *StarPU: A Unified Runtime System for Heterogeneous Multicore Architectures*. https://starpu.gitlabpages.inria.fr/
5. Bauer, M., Treichler, S., Slaughter, E., & Aiken, A. (2012). *Legion: Expressing Locality and Independence with Logical Regions*. SC 2012. DOI: 10.1109/SC.2012.71.
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7. Modelica Association. *Functional Mock-up Interface Specification 3.0.2*. https://fmi-standard.org/docs/3.0.2/
8. LLVM Project. *MLIR Dialect Conversion*. https://mlir.llvm.org/docs/DialectConversion/
9. Yu, S.-J. (2025). *Automating Contract-based Design for Cyber-Physical Systems*. Technical Report UCB/EECS-2025-84, University of California, Berkeley.
10. Ghasemi, K., Sadraddini, S., & Belta, C. (2024). *Compositional synthesis for linear systems via convex optimization of assume-guarantee contracts*. Automatica, 170, 111816. DOI: 10.1016/j.automatica.2024.111816.
11. Boné, A., Aguirre, A., Álvarez, D., Martínez-Ferrer, P. J., & Beltran, V. (2026). *A task-based data-flow methodology for programming heterogeneous systems with multiple accelerator APIs*. Future Generation Computer Systems, 180, 108383. DOI: 10.1016/j.future.2026.108383.
12. Ashfaq, M., Sadik, A. R., Das, T., Waseem, M., Mäkitalo, N., & Mikkonen, T. (2025). *Runtime Composition in Dynamic System of Systems: A Systematic Review of Challenges, Solutions, Tools, and Evaluation Methods*. arXiv:2510.12616.

---

# Canonical Handoff

後續文件不得無標註破壞以下 Paper-01 核心：

$$
\boxed{
\mathcal M_G\neq\mathbf W
}
$$

$$
\boxed{
\text{Global Computation}
=
\text{Globally Coherent Heterogeneous Computation}
}
$$

$$
\boxed{
\text{Globality is relative to a designated World boundary}
}
$$

$$
\boxed{
\text{Local Success}
\not\Rightarrow
\text{Global Commit}
}
$$

$$
\boxed{
\text{Observer Operation}
\neq
\text{World Operation}
}
$$

$$
\boxed{
\text{State Edit}
\neq
\text{Rule Edit}
\neq
\text{Foundation Revision}
}
$$

若後續實驗要求修改上述定義，應先修改 Series-00 canonical anchor 並留下 explicit versioned revision。