# SPET Paper 04
# 認證式重新投影、釋放、重開與期元轉移
## Certified Reprojection, Release, Reopening, and Epoch Transition

**版本：v0.1**  
**日期：2026-08-27**  
**理論定位：SPET Series Paper 04 / Transition Semantics and Certified Reprojection**  
**依賴：SPET Paper 00、SPET Paper 01、SPET Paper 02、SPET Paper 03**  
**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司

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## 摘要

本文延續 Stable Projection Epoch Theory（SPET），建立跨投影期元的正式轉移理論。前述研究已分別定義 projection readiness、persistent coordinate frame、spatial invariants 與 attention projection invariants，但仍缺少一個關鍵部分：當現有 epoch 不再適合時，系統應如何合法離開現有 frame、重開相關作用域、重新計算狀態、建立新 frame，並保留 identity、history、provenance 與可稽核性？

本文將四個常被混用的操作正式分離：

$$
\boxed{
\mathsf{Release}
\neq
\mathsf{Reopen}
\neq
\mathsf{Recompute}
\neq
\mathsf{Reproject}
}
$$

其中，Release 解除目前 epoch 的 authoritative projection contract；Reopen 使先前閉合或 Freeze 的作用域重新進入 OPEN / ACTIVE 狀態；Recompute 在來源空間或其他合法計算空間中產生新的候選狀態；Reproject 則依新狀態、新作用域、新規則與新不變量建立下一個 projection frame。

本文定義 Epoch Transition：

$$
\mathcal E_k
\xrightarrow{\mathsf{Release}}
\mathcal R_k
\xrightarrow{\mathsf{Reopen}}
\mathcal O_{k+1}
\xrightarrow{\mathsf{Recompute}}
S_{k+1}^{\star}
\xrightarrow{\mathsf{Freeze/Reproject}}
\mathcal E_{k+1}.
$$

並提出 Reprojection Certificate：

$$
\boxed{
\mathsf{RPCert}_{k\to k+1}
=
\left\langle
Cause,
ScopeDiff,
StateDiff,
FrameDiff,
SpatialDiff,
AttentionDiff,
Debt,
Obstructions,
MigrationPlan,
Validity,
Provenance
\right\rangle
}
$$

只有在 hard transition obligations 通過、blocking debt 清除、候選 frame 無阻斷性 obstruction、cross-frame identity correspondence 可建立、migration cost 與 semantic risk 受控時，才允許建立新的 authoritative epoch。

本文同時提出：

$$
\boxed{
\text{Reprojection}
\neq
\text{Correction}
}
$$

因為舊 frame 不必是錯的；它可能只是對新 task、新 attention regime、新 topology 或新 computation state 不再是最合適的 authoritative representation。SPET 因此把跨 epoch 變化視為**受證書控制的語義版本轉移**，而不是每次 state mutation 的自動重排。

本文最後定義 transition obstruction、frame migration、cross-epoch identity continuity、release safety、rollback semantics、transition ledger、transition debt 與 epoch lineage，並與 HDSRC Stable Projection Epoch 實驗對接。

**關鍵詞：** Stable Projection Epoch、Certified Reprojection、Release、Reopening、Epoch Transition、Frame Migration、Projection Ledger、HDSRC、CSM

---

# 0. 研究目的

SPET Paper 00–03 已經建立：

$$
\mathsf{ProjReady},
$$

$$
\pi_k,
$$

$$
\mathcal I_k^{space},
$$

以及：

$$
\mathcal I_k^{attn}.
$$

這些物件讓一個 Stable Projection Epoch 可以被建立並維持。

但任何實際 AI / high-dimensional runtime 都不能永遠停在同一個 epoch。

因此本文處理：

> 當目前 epoch 不再合適時，怎麼合法離開它？

以及：

> 怎麼建立下一個 frame，而不破壞 cross-epoch identity、history 與 provenance？

---

# 1. Transition Non-Collapse

SPET 首先禁止把四種操作塌縮成「更新」。

$$
\boxed{
\mathsf{Release}
\neq
\mathsf{Reopen}
\neq
\mathsf{Recompute}
\neq
\mathsf{Reproject}.
}
$$

其差異如下。

## 1.1 Release

解除目前 epoch 的 authoritative contract。

## 1.2 Reopen

將先前 READY / FROZEN / CLOSED 的 scope 或 obligation 重新打開。

## 1.3 Recompute

在來源空間或其他合法計算空間重新計算。

## 1.4 Reproject

依新的穩定狀態建立新的 projection frame。

因此：

$$
\boxed{
\text{Release does not imply immediate Reprojection}.
}
$$

---

# 2. Epoch Transition

定義：

$$
\boxed{
\mathsf{Transition}_{k\to k+1}
:
\mathcal E_k
\rightarrow
\mathcal E_{k+1}.
}
$$

完整標準流程：

$$
\mathcal E_k
\xrightarrow{\mathsf{Release}}
\mathcal R_k
\xrightarrow{\mathsf{Reopen}}
\mathcal O_{k+1}
\xrightarrow{\mathsf{Recompute}}
S_{k+1}^{\star}
\xrightarrow{\mathsf{Freeze}}
F_{k+1}
\xrightarrow{\mathsf{Reproject}}
\mathcal E_{k+1}.
$$

---

# 3. Release

定義：

$$
\boxed{
\mathsf{Release}
:
\mathcal E_k
\rightarrow
\mathcal R_k.
}
$$

Release 後：

$$
\mathsf{Authority}(\pi_k)=0
$$

對未來 authoritative computation 成立。

但：

$$
\boxed{
\pi_k
\text{ remains historically valid for epoch }k.
}
$$

所以 Release 不是刪除 frame。

---

# 4. Release Safety

Release 不應使未提交或未驗證狀態失去可追蹤性。

定義：

$$
\mathsf{ReleaseSafe}(\mathcal E_k)=1
$$

若：

1. authoritative state 已有 anchor；
2. pending transaction 已 commit / abort / escrow；
3. outstanding debt 已 ledgered；
4. frame / attention / spatial certificates 可追溯；
5. next transition cause 已記錄。

因此：

$$
\boxed{
\mathsf{Release}
\text{ requires a safety boundary}.
}
$$

---

# 5. Release Cause

合法 Release 原因：

$$
\mathsf{Cause}_{release}
\in
\{
\mathsf{TASK\_CHANGE},
\mathsf{ATTN\_CHANGE},
\mathsf{SPATIAL\_DEBT},
\mathsf{TOPOLOGY\_CHANGE},
\mathsf{OBSTRUCTION},
\mathsf{STALE\_FRAME},
\mathsf{RESOURCE\_CHANGE},
\mathsf{EXPLICIT\_REQUEST}
\}.
$$

因此 Release 是 typed event。

---

# 6. Reopening

定義：

$$
\boxed{
\mathsf{Reopen}
:
X^{closed}
\rightarrow
X^{open}.
}
$$

其中 $X$ 可以是：

- domain；
- relation；
- attention scope；
- projection scope；
- closure obligation；
- route；
- frame candidate set。

---

# 7. Reopening 不等於錯誤修正

若：

$$
X
$$

之前合法 CLOSED / FROZEN，

新 evidence 使其 reopen：

$$
X^{closed}
\rightarrow
X^{open},
$$

不代表原 closure 錯誤。

它可能只是：

$$
\boxed{
\text{valid under old evidence / scope}
}
$$

但不再適用於新 context。

---

# 8. Reopen Certificate

定義：

$$
\boxed{
\mathsf{ROCert}
=
\left\langle
Target,
Cause,
OldScope,
NewScope,
NewEvidence,
InvalidatedAssumptions,
Debt,
Provenance
\right\rangle.
}
$$

沒有 Reopen Certificate，不應靜默改寫 closure status。

---

# 9. Recompute

Recompute 是 projection-independent operation。

定義：

$$
\boxed{
\mathsf{Recompute}
:
(S_k,\Delta_k,\sigma_{k+1})
\rightarrow
S_{k+1}^{\star}.
}
$$

其中 $\Delta_k$ 可能包含：

- new data；
- new task；
- attention change；
- relation update；
- topology update；
- resource constraint；
- obstruction resolution。

---

# 10. Recompute 不要求使用舊 frame

Release 後：

$$
\pi_k
$$

可以只作為歷史參考。

Recompute 可以：

- 回 canonical state；
- 在其他 representation 上運算；
- 使用 hybrid carrier；
- 使用新的 attention profile；
- 使用新的 GCM computational configuration。

因此：

$$
\boxed{
\text{Recompute Space}
\neq
\text{Old Projection Space}.
}
$$

---

# 11. Reprojection

定義：

$$
\boxed{
\mathsf{Reproject}
:
(S_{k+1}^{\star},\sigma_{k+1},\mathcal I_{k+1})
\rightarrow
\pi_{k+1}.
}
$$

Reprojection 的輸出不是單純 image。

真正輸出是：

$$
\left\langle
\pi_{k+1},
\mathsf{SICert}_{k+1},
\mathsf{AICert}_{k+1},
\mathsf{FCert}_{k+1}
\right\rangle.
$$

---

# 12. Reprojection 不等於 Correction

$$
\boxed{
\text{Reprojection}
\neq
\text{Correction}.
}
$$

舊 frame：

$$
\pi_k
$$

可能對 epoch $k$ 完全正確。

只是：

$$
\pi_k
$$

不再對：

$$
\sigma_{k+1}
$$

最合適。

所以跨 epoch 不是：

> 修正錯誤畫面。

而是：

> 建立新的 authoritative computational representation。

---

# 13. Reprojection Candidate Set

建立候選 frames：

$$
\boxed{
\Pi_{k+1}^{cand}
=
\{
\pi^{(1)},
\ldots,
\pi^{(r)}
\}.
}
$$

每個 candidate 都必須通過 admissibility gate。

---

# 14. Transition Admissibility

定義：

$$
\boxed{
\mathsf{Admissible}
(
\pi^{(i)},
S_{k+1}^{\star},
\sigma_{k+1}
)
}
$$

至少要求：

1. hard spatial invariants 可滿足；
2. hard attention invariants 可滿足；
3. addressability 成立；
4. no blocking obstruction；
5. migration path 存在；
6. identity correspondence 可建立；
7. certificate 可生成。

---

# 15. Reprojection Certificate

定義：

$$
\boxed{
\mathsf{RPCert}_{k\to k+1}
=
\left\langle
Cause,
ScopeDiff,
StateDiff,
FrameDiff,
SpatialDiff,
AttentionDiff,
Debt,
Obstructions,
MigrationPlan,
Validity,
Provenance
\right\rangle.
}
$$

只有：

$$
\mathsf{RPCert}_{k\to k+1}
=
\mathsf{PASS}
$$

才允許：

$$
\pi_k
\rightarrow
\pi_{k+1}.
$$

---

# 16. Scope Diff

定義：

$$
\boxed{
\Delta_\sigma
=
\sigma_{k+1}
\ominus
\sigma_k.
}
$$

其內容可包含：

- added domains；
- removed domains；
- new tasks；
- changed query set；
- changed validity；
- changed rule set；
- changed constraints。

---

# 17. State Diff

定義：

$$
\boxed{
\Delta_S
=
S_{k+1}^{\star}
\ominus
S_k^{\star}.
}
$$

State diff 不等於 raw byte diff。

可以是：

- semantic diff；
- typed field diff；
- graph diff；
- relation diff；
- attention diff；
- topology diff。

---

# 18. Frame Diff

定義：

$$
\boxed{
\Delta_\pi
=
\pi_{k+1}
\ominus
\pi_k.
}
$$

包含：

$$
\Delta_A,
\quad
\Delta_R,
\quad
\Delta_T,
\quad
\Delta_L,
\quad
\Delta_G.
$$

---

# 19. Spatial Diff

沿用 Paper 02：

$$
\boxed{
\mathbf\Delta_{space}
=
\left\langle
\Delta_{addr},
\Delta_{region},
\Delta_{tile},
\Delta_{locality},
\Delta_{reach},
\Delta_{topology}
\right\rangle.
}
$$

---

# 20. Attention Diff

沿用 Paper 03：

$$
\boxed{
\mathbf\Delta_A
=
\left\langle
\Delta_A^{support},
\Delta_A^{rank},
\Delta_A^{mass},
\Delta_A^{locality},
\Delta_A^{reach},
\Delta_A^{pos}
\right\rangle.
}
$$

---

# 21. Transition Obstruction

定義：

$$
\boxed{
O_T
=
\left\langle
TargetTransition,
Type,
Scope,
Mechanism,
Severity,
Certificate
\right\rangle.
}
$$

可能包括：

- identity-loss obstruction；
- migration-impossible obstruction；
- attention-preservation obstruction；
- topology-break obstruction；
- authority obstruction；
- integrity obstruction；
- resource obstruction。

---

# 22. Blocking Transition Obstruction

若：

$$
\exists O_T^{H}
$$

作用於候選：

$$
\pi^{(i)},
$$

則：

$$
\boxed{
\pi^{(i)}
\notin
\Pi^{adm}.
}
$$

---

# 23. Transition Debt

定義：

$$
\boxed{
\Delta_T^{debt}
=
\{
\delta_1,\ldots,\delta_m
\}.
}
$$

例如：

- deferred relation remap；
- approximate cross-frame identity；
- pending cache rebuild；
- incomplete locality optimization；
- soft attention drift。

Blocking debt 必須先清除。

---

# 24. Cross-Epoch Semantic Identity

定義 semantic identity map：

$$
\boxed{
\Gamma_{id}^{k,k+1}
:
\mathcal C_k
\rightarrow
\mathcal C_{k+1}.
}
$$

若 semantic object 未消失，要求：

$$
\mathsf{SemanticID}_k(c)
=
\mathsf{SemanticID}_{k+1}
(
\Gamma_{id}^{k,k+1}(c)
).
$$

---

# 25. Position Change 不等於 Identity Change

即使：

$$
A_k(c)\neq A_{k+1}(c),
$$

仍可以：

$$
\mathsf{SemanticID}_k(c)
=
\mathsf{SemanticID}_{k+1}(c).
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{Relocation}
\neq
\text{Replacement}.
}
$$

---

# 26. Identity Split / Merge

某些 transition 可能發生 semantic split：

$$
c
\rightarrow
\{c_1',c_2'\}
$$

或 merge：

$$
\{c_1,c_2\}
\rightarrow
c'.
$$

則 correspondence 必須改用 relation：

$$
\boxed{
\Gamma_{id}
\subseteq
\mathcal C_k
\times
\mathcal C_{k+1}.
}
$$

不能假設 one-to-one。

---

# 27. Frame Migration

定義：

$$
\boxed{
M_{k\to k+1}
:
P_k
\rightarrow
P_{k+1}.
}
$$

Migration 可以：

- direct remap；
- partial decode/re-encode；
- tile shuffle；
- sparse relocation；
- streaming transform；
- canonical reconstruction。

---

# 28. Migration Plan

定義：

$$
\boxed{
\mathsf{MPlan}
=
\left\langle
SourceFrame,
TargetFrame,
AffectedRegions,
Order,
BufferBudget,
IntegrityPlan,
RollbackPlan
\right\rangle.
}
$$

---

# 29. Migration Cost

$$
\boxed{
C_{mig}
=
C_{move}
+
C_{reindex}
+
C_{cache}
+
C_{integrity}
+
C_{attention}
+
C_{history}
+
C_{downtime}.
}
$$

---

# 30. Migration Risk

$$
\boxed{
C_{risk}
=
C_{semantic-loss}
+
C_{identity-loss}
+
C_{integrity-failure}
+
C_{rollback}
+
C_{staleness}.
}
$$

---

# 31. Reprojection Benefit

$$
\boxed{
B_{reproj}
=
B_{locality}
+
B_{task}
+
B_{attention}
+
B_{compression}
+
B_{resource}
+
B_{execution}.
}
$$

---

# 32. Economic / Computational Gate

工程層可以要求：

$$
B_{reproj}
>
C_{mig}
+
C_{risk}.
$$

但這個 inequality 不能覆蓋 hard admissibility。

因此：

$$
\boxed{
\text{Admissibility before optimization}.
}
$$

---

# 33. Transition Trigger

定義 trigger：

$$
\boxed{
\mathsf{Trigger}
\in
\{
\mathsf{HARD\_VIOLATION},
\mathsf{DEBT\_OVERFLOW},
\mathsf{TASK\_CHANGE},
\mathsf{ATTN\_CHANGE},
\mathsf{TOPOLOGY\_CHANGE},
\mathsf{RESOURCE\_CHANGE},
\mathsf{UTILITY\_GAIN},
\mathsf{MANUAL}
\}.
}
$$

---

# 34. Hard Violation Trigger

如果 epoch hard invariant FAIL：

$$
\mathsf{VerifyEpoch}= \mathsf{FAIL},
$$

則：

$$
\boxed{
\mathsf{ReleaseRequired}=1.
}
$$

---

# 35. Debt Overflow Trigger

若：

$$
\Delta_{space}>B_{space}
$$

或：

$$
\Delta_{attn}>B_{attn},
$$

則可以觸發：

$$
\mathsf{ReleaseRequired}=1.
$$

---

# 36. Utility Trigger

即使目前 epoch 仍合法，若候選新 frame 顯著改善：

$$
B_{reproj}
\gg
C_{mig},
$$

系統也可以主動 Release。

因此：

$$
\boxed{
\text{Epoch Transition}
\text{ can be corrective or opportunistic}.
}
$$

---

# 37. Release / Reproject Temporal Separation

Release 時刻：

$$
\tau_R
$$

與 Reproject 時刻：

$$
\tau_P
$$

不必相同。

可以：

$$
\tau_R<\tau_P.
$$

中間存在：

$$
[\tau_R,\tau_P)
$$

的 recompute interval。

這正是：

> 先停止投影，完成下一段思考，再一次投影。

---

# 38. Projection-Free Interval

定義：

$$
\boxed{
\mathcal J_k
=
[\tau_R,\tau_P).
}
$$

在 $\mathcal J_k$ 中：

$$
\mathsf{AuthoritativeProjection}= \varnothing
$$

可以是合法狀態。

因此：

$$
\boxed{
\text{A system need not always have an active projection epoch}.
}
$$

---

# 39. Reprojection Readiness

新 state：

$$
S_{k+1}^{\star}
$$

必須再次通過 Paper 01：

$$
\mathsf{ProjReady}
(
S_{k+1}^{\star},
\sigma_{k+1}
)
=
\mathsf{PASS}.
$$

才可建立新 epoch。

因此 transition 不是：

$$
\mathsf{Release}
\rightarrow
\mathsf{ImmediateProject}.
$$

---

# 40. Reprojection Schedule

定義：

$$
\boxed{
\Sigma_{RP}
=
(
\mathsf{Release},
\mathsf{Reopen},
\mathsf{Recompute},
\mathsf{ReadyCheck},
\mathsf{CandidateBuild},
\mathsf{ObstructionCheck},
\mathsf{Certify},
\mathsf{Migrate},
\mathsf{Freeze}
).
}
$$

操作順序不可任意交換。

---

# 41. Non-Commutativity

一般而言：

$$
\mathsf{Reproject}
\circ
\mathsf{Recompute}
\neq
\mathsf{Recompute}
\circ
\mathsf{Reproject}.
$$

同樣：

$$
\mathsf{Freeze}
\circ
\mathsf{Migrate}
\neq
\mathsf{Migrate}
\circ
\mathsf{Freeze}.
$$

因此 transition 是 typed schedule，而不是 unordered checklist。

---

# 42. Epoch Lineage

定義：

$$
\boxed{
\mathcal L_E
=
(
\mathcal E_0,
\mathcal E_1,
\ldots,
\mathcal E_n
).
}
$$

以及 parent relation：

$$
\mathsf{Parent}
(
\mathcal E_{k+1}
)
=
\mathcal E_k.
$$

---

# 43. Branching Epochs

可以存在：

$$
\mathcal E_k
\rightarrow
\{
\mathcal E_{k+1}^{(1)},
\mathcal E_{k+1}^{(2)}
\}.
$$

例如兩個候選 task / attention regime 並行。

因此 epoch history 可以是 DAG，而不一定是單鏈。

---

# 44. Epoch Merge

兩個 branches 也可能：

$$
\{
\mathcal E_a,
\mathcal E_b
\}
\rightarrow
\mathcal E_c.
$$

但 merge 必須建立：

- semantic conflict resolution；
- frame reconciliation；
- attention reconciliation；
- provenance merge certificate。

---

# 45. Transition Ledger

定義：

$$
\boxed{
\mathsf{TLedger}
=
\{e_0^T,e_1^T,\ldots\}.
}
$$

其中：

$$
e_k^T
=
\left\langle
EpochOld,
EpochNew,
ReleaseCause,
ReopenCause,
StateDiff,
FrameDiff,
AttentionDiff,
MigrationPlan,
Certificates,
Time
\right\rangle.
$$

---

# 46. Rollback

Rollback 不等於刪除新 epoch。

定義：

$$
\boxed{
\mathsf{Rollback}
:
\mathcal E_{k+1}
\rightarrow
\mathcal E_k^{restored}.
}
$$

但 history 保留：

$$
\mathcal E_{k+1}
$$

曾存在。

---

# 47. Rollback Safety

rollback 需要：

- source state snapshot / anchor；
- old frame；
- old certificates；
- inverse migration 或 reconstruction path；
- ledger continuity。

---

# 48. Transition Failure

如果 migration 中途 FAIL：

$$
\mathsf{Migrate}
\rightarrow
\mathsf{FAIL},
$$

不得產生 partially authoritative：

$$
\mathcal E_{k+1}.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{No Partial Epoch Promotion}.
}
$$

---

# 49. Atomic Epoch Promotion

候選新 epoch 只有在：

$$
\mathsf{RPCert}
=
\mathsf{PASS}
$$

且：

$$
\mathsf{Migration}
=
\mathsf{PASS}
$$

以及：

$$
\mathsf{FCert}_{k+1}
=
\mathsf{PASS}
$$

後才：

$$
\boxed{
\mathcal E_{k+1}^{cand}
\rightarrow
\mathcal E_{k+1}^{authoritative}.
}
$$

---

# 50. Transition Certificate Stack

完整 transition 可以包含：

$$
\boxed{
\mathsf{CertStack}
=
\{
\mathsf{ROCert},
\mathsf{RPCert},
\mathsf{SICert},
\mathsf{AICert},
\mathsf{FCert}
\}.
}
$$

不同 certificate 處理不同責任，不能全部壓成單一 PASS bit。

---

# 51. Transition Authority

即使 AI 建議：

$$
\pi_{k+1},
$$

也不表示它自動 authority promotion。

因此：

$$
\boxed{
\text{Candidate}
\neq
\text{Certified}
\neq
\text{Authoritative}.
}
$$

---

# 52. AI Proposal

可定義：

$$
\mathsf{AIPropose}
:
(S,\sigma,\mathcal H)
\rightarrow
\Pi^{cand}.
$$

之後仍需：

$$
\mathsf{Validate}
\rightarrow
\mathsf{Certify}
\rightarrow
\mathsf{Promote}.
$$

---

# 53. HDSRC 映射

對 HDSRC：

$$
\pi_k
$$

可以是 factor-aware coordinate frame。

當：

- attention profile 需要變；
- tile semantics 不再適合；
- spatial debt 過高；
- task scope 改變；

則：

$$
\mathsf{Release}
$$

解除舊 frame authority。

接著：

$$
\mathsf{Recompute}
$$

完成新 state，

最後才：

$$
\mathsf{Reproject}
$$

建立新的 factor-aware frame。

---

# 54. HDSRC Stable Epoch 實驗的理論解釋

先前實驗中：

$$
\pi_k
$$

在 epoch 內固定，

直到 Release 後才：

$$
\pi_k
\rightarrow
\pi_{k+1}.
$$

這使：

$$
F^{\pi_k}
$$

與：

$$
F^{\pi_{k+1}}
$$

的不同不再造成語義混亂。

因為兩者分別屬於不同 epoch。

---

# 55. Reprojection 不是 Continuous Tracking

SPET 不採：

$$
\pi_{t+\delta}
=
\mathsf{BuildFrame}(S_{t+\delta})
$$

作為預設。

而是：

$$
\boxed{
\pi(t)
=
\pi_k
\quad
t\in[\tau_k,\tau_{k+1}).
}
$$

transition 只發生在 certified boundaries。

---

# 56. Transition Cost Amortization

如果：

$$
C_{mig}
$$

很高，

但 epoch 內可執行：

$$
N_k
$$

次 native operations，

則平均 migration cost：

$$
\boxed{
\bar C_{mig}
=
\frac{C_{mig}}{N_k}.
}
$$

這提供「保持 frame 一段時間」的工程理由。

---

# 57. Epoch Duration

epoch duration：

$$
\Delta\tau_k
=
\tau_{k+1}-\tau_k.
$$

太短：

$$
\Delta\tau_k\rightarrow0
$$

會退化成 dynamic tracking。

太長則：

$$
C_{stale}
$$

可能上升。

所以應最佳化：

$$
\boxed{
J_k
=
C_{migration}
+
C_{staleness}
+
C_{semantic}
+
C_{resource}.
}
$$

---

# 58. Transition Policy

可定義：

$$
\boxed{
\mathsf{Policy}_{trans}
:
\mathcal E_k
\rightarrow
\{
\mathsf{KEEP},
\mathsf{RELEASE},
\mathsf{REOPEN},
\mathsf{REPROJECT}
\}.
}
$$

但 Policy 只能做 proposal。

Hard certificate 仍有最終否決權。

---

# 59. 第一批命題

## Proposition 59.1 — Release Does Not Erase Historical Validity

若：

$$
\mathcal E_k
$$

被合法 Release，則：

$$
\pi_k
$$

仍然是 epoch $k$ 的合法歷史 frame。

## Proposition 59.2 — Reopening Does Not Imply Previous Error

存在：

$$
X^{closed}
\rightarrow
X^{reopened}
$$

且原 closure 在舊 scope 下仍正確。

## Proposition 59.3 — Reprojection Requires New Readiness

Release 後不能直接推出：

$$
\mathcal E_{k+1}.
$$

必須重新：

$$
\mathsf{ProjReady}
=
\mathsf{PASS}.
$$

## Proposition 59.4 — Cross-Epoch Frame Difference Is Admissible

即使：

$$
\pi_k\neq\pi_{k+1},
$$

只要 identity correspondence 與 certificates 合法，epoch transition 可成立。

## Proposition 59.5 — No Partial Epoch Promotion

若 transition certificate stack 任一 hard component FAIL，candidate epoch 不得成為 authoritative。

---

# 60. SPET Paper 04 公理 / 規範 v0.1

## SPET-TR1 — Release / Reopen / Recompute / Reproject Non-Collapse

四者必須分開型別化。

## SPET-TR2 — Release Safety

Release 必須在可稽核 safety boundary 上發生。

## SPET-TR3 — Reopening Certification

任何 reopening 必須留下原因、scope 與 provenance。

## SPET-TR4 — Reprojection Requires Fresh Readiness

新 epoch 必須重新通過 Projection Readiness。

## SPET-TR5 — Candidate / Certified / Authoritative Separation

候選 frame 不自動成為 authoritative frame。

## SPET-TR6 — Transition Obstruction Dominance

Hard obstruction 必須拒絕 candidate transition。

## SPET-TR7 — Cross-Epoch Identity Continuity

Frame relocation 不得默認為 semantic replacement。

## SPET-TR8 — Migration Explicitness

跨 frame transition 必須有明確 migration plan。

## SPET-TR9 — No Partial Epoch Promotion

未完成 certificate stack 不得提升新 epoch。

## SPET-TR10 — Ledgered Transition

所有 authoritative epoch transition 必須可回放與稽核。

## SPET-TR11 — Rollback Preserves History

Rollback 不得抹除 failed / abandoned epoch history。

## SPET-TR12 — Admissibility Before Optimization

成本與效益最佳化不得覆蓋 hard correctness gate。

---

# 61. 對 AI 原生計算的含義

AI 系統可以形成不同時間尺度：

$$
f_{state}
\gg
f_{attn}
\ge
f_{projection}.
$$

一個 epoch 中進行大量 native compute，

只有在：

- hard invariant 破壞；
- debt overflow；
- task change；
- attention regime change；
- topology change；

時才進入：

$$
\mathsf{Release}
\rightarrow
\mathsf{Recompute}
\rightarrow
\mathsf{Reproject}.
$$

---

# 62. 對 GCM 的接口

GCM router 未來可把：

$$
\mathsf{TransitionPolicy}
$$

納入 computational configuration。

它可以評估：

$$
B_{reproj},
\quad
C_{mig},
\quad
C_{risk},
\quad
C_{stale}.
$$

但：

$$
\boxed{
\text{AI/GCM route proposal}
\neq
\text{transition authority}.
}
$$

---

# 63. 對 Local Integrity / Local Commit 的接口

Stable Epoch 已提供固定 tile identity。

Paper 04 再提供：

$$
\text{epoch boundary}.
$$

因此 integrity system 可以把：

$$
Root_k
$$

綁定 epoch $k$，

跨 epoch：

$$
Root_k
\rightarrow
Root_{k+1}.
$$

這為 Merkle / hierarchical local commit 提供自然版本邊界。

---

# 64. 未解問題

1. Transition policy 是否可學習？
2. Reprojection benefit / cost 如何準確估計？
3. 多 candidate frames 如何做 Pareto selection？
4. Branching epochs 如何合併？
5. Cross-frame semantic identity 在 split / merge 下如何證明？
6. Migration 是否可以完全 streaming？
7. 是否允許 partial epoch transition？
8. GPU / distributed runtime 如何做 atomic promotion？
9. Rollback 與 external side effects 如何協調？
10. Epoch lineage 如何與 GCM global history 統一？

---

# 65. 與 Paper 05 的接口

Paper 04 完成跨 epoch transition semantics 後，

下一篇 Paper 05 將正式把：

$$
\mathcal F_k^{space-safe},
$$

$$
\mathcal F_k^{attn-safe},
$$

$$
\mathcal F_k^{epoch-safe}
$$

整合成：

$$
\boxed{
\text{Projected-Native Computation under Stable Epochs}.
}
$$

核心問題是：

> 哪些 operator family 可以直接在 projected representation 內計算與變換，且在 Stable Epoch 下保持 exact、class-equivalent 或 task-equivalent semantics？

---

# 66. 結論

本文建立 Stable Projection Epoch Theory 的跨期元轉移層。

核心流程：

$$
\boxed{
\mathcal E_k
\xrightarrow{\mathsf{Release}}
\mathcal R_k
\xrightarrow{\mathsf{Reopen}}
\mathcal O_{k+1}
\xrightarrow{\mathsf{Recompute}}
S_{k+1}^{\star}
\xrightarrow{\mathsf{Freeze/Reproject}}
\mathcal E_{k+1}.
}
$$

並正式提出：

$$
\boxed{
\mathsf{Release}
\neq
\mathsf{Reopen}
\neq
\mathsf{Recompute}
\neq
\mathsf{Reproject}.
}
$$

SPET 不把重新投影理解為：

> 舊 frame 錯了，所以修正它。

更精確地：

$$
\boxed{
\text{Reprojection}
=
\text{Certified change of authoritative representation semantics}.
}
$$

舊 frame 可以對舊 epoch 完全正確，

新 frame 則對新的 scope、attention、task、topology 與 computation state 更合適。

因此 cross-epoch dynamics 必須同時保存：

- semantic identity；
- frame history；
- attention history；
- spatial correspondence；
- migration provenance；
- transition certificate；
- rollback path。

這使 Projection Epoch 不再是臨時快照，而成為具有 lineage、certificate、transition semantics 與歷史可回放性的正式計算狀態。

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## 內部理論血統與依賴

1. SPET Paper 00 — Stable Projection Epoch Theory: Formal Foundations.
2. SPET Paper 01 — Typed Projection Scope, Closure Readiness, and Freeze Certification.
3. SPET Paper 02 — Spatial Projection Invariants and Persistent Coordinate Frames.
4. SPET Paper 03 — Attention Projection Invariants.
5. Closure-Space Mathematics Paper 00–02.
6. HDSRC — High-Dimensional Symbolic Relational Compilation.
7. HDSRC Stable Projection Epoch Feasibility experiments.
8. HDSRC Native Projection State-Transform Closure experiments.

本文中的 Certified Reprojection 與 Epoch Transition 為上述理論與實驗後形成的新形式化層，不回溯宣稱舊理論已完整包含本文全部定義。