# SPET Paper 02
# 空間投影不變量與持久座標框架
## Spatial Projection Invariants and Persistent Coordinate Frames

**版本：v0.1**  
**日期：2026-08-27**  
**理論定位：SPET Series Paper 02 / Spatial Semantics and Frame Persistence**  
**依賴：SPET Paper 00、SPET Paper 01**  
**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司

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## 摘要

本文延續 Stable Projection Epoch Theory（SPET），建立投影期元內的空間語義與持久座標框架理論。前述研究已指出，高維 factor-aware、spectral、attention-weighted 或 topology-dependent projection 可能對微小來源狀態變化產生大尺度座標重排，使得：

$$
\text{State Locality}
\not\Rightarrow
\text{Projection Locality}.
$$

若 projected-native computation 直接依賴 pixel、tile、region、neighbor、address 或 graph-local relation，則任意 state mutation 後立即重新計算 projection frame，將造成 operator semantic drift、cache locality 失效、provenance 模糊與多步 composition 不穩定。

本文提出 **Persistent Coordinate Frame（PCF）**，將 projection frame 從 encoder 的暫態結果提升為 projection epoch 的正式計算狀態。對第 $k$ 個 epoch，定義：

$$
\pi_k
=
\left\langle
A_k,
R_k,
T_k,
L_k,
G_k,
V_k
\right\rangle,
$$

分別描述 address mapping、region partition、tile structure、locality relation、geometric/topological contract 與 frame identity/version。本文進一步定義六類主要 Spatial Projection Invariants：

$$
\mathcal I_k^{space}
=
\left\{
I_{addr},
I_{identity},
I_{region},
I_{tile},
I_{locality},
I_{reach}
\right\}.
$$

其核心原則為：

$$
\boxed{
\text{State Mutation}
\not\Rightarrow
\text{Authoritative Frame Mutation}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{Frame Persistence}
\neq
\text{Permanent Coordinate Fixation}.
}
$$

在同一 epoch 內，frame identity 與被保護的空間關係保持穩定；跨 epoch 則允許透過 Release 與 Reprojection Certificate 建立新 frame。本文同時區分 fixed-frame semantics 與 dynamic-reprojection semantics，指出兩者不必相等：

$$
F^{\pi_k}(S)
\neq
F^{\pi_{k+1}}(S)
$$

是合法且可預期的，因為 projection frame 本身就是 operator semantics 的一部分。

本文提出 spatial debt、frame migration cost、cross-frame correspondence、region continuity、tile locality obligation 與 frame-relative operator typing，並以 HDSRC Stable Projection Epoch 實驗為初步證據：在 768D、4096D、10000D 與 65537D 等尺度中，dynamic reprojection 可產生大規模 coordinate drift，而 fixed epoch frame 可保持多步 projected-native transform 的 exact closure。本文最終將 projection frame 定義為一種具有身份、作用域、歷史與轉換證書的正式計算物件。

**關鍵詞：** Stable Projection Epoch、Persistent Coordinate Frame、Spatial Invariants、Projection Frame、Coordinate Identity、Locality、Tile Semantics、HDSRC、AI Native Computation

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# 0. 研究目的

SPET Paper 00 建立 Stable Projection Epoch 的基本形式：

$$
\Pi(t)=\Pi_k,
\qquad
t\in[\tau_k,\tau_{k+1}),
$$

而 Paper 01 回答：

> 什麼時候狀態足以 Freeze？

本文回答下一個問題：

> Freeze 之後，什麼空間性質必須在整個 epoch 內保持？

此問題不是單純 UI layout 問題。

當 projected representation 本身成為 computational substrate 時：

- pixel address；
- coordinate identity；
- tile membership；
- region boundary；
- neighbor relation；
- cross-tile reachability；

都可能具有直接的計算語義。

因此空間不能只被理解為：

$$
\text{visual arrangement}.
$$

更精確地：

$$
\boxed{
\text{Projected Space}
=
\text{Address Space}
+
\text{Computation Space}
+
\text{Semantic Geometry}
}
$$

---

# 1. Projection Frame 作為正式狀態

定義第 $k$ 個 projection frame：

$$
\boxed{
\pi_k
=
\left\langle
A_k,
R_k,
T_k,
L_k,
G_k,
V_k
\right\rangle
}
$$

其中：

- $A_k$：source coordinate 到 projected address 的 mapping；
- $R_k$：region partition；
- $T_k$：tile / page partition；
- $L_k$：locality relation；
- $G_k$：geometric / topological contract；
- $V_k$：frame identity、version 與 provenance。

因此：

$$
\pi_k
$$

不是暫時的 permutation。

它是一個具有身份的 state object。

---

# 2. Frame Identity

定義：

$$
\boxed{
\mathsf{FrameID}(\pi_k)
=
H(
A_k,
R_k,
T_k,
L_k,
G_k,
V_k
)
}
$$

其中 $H$ 可為 cryptographic digest、canonical semantic digest 或版本化 identity function。

任何 projected-native operator：

$$
F_P
$$

都必須宣告其有效 frame：

$$
\boxed{
F_P:
(P,\mathsf{FrameID})
\rightarrow
P'.
}
$$

而不能只宣告：

$$
F_P(P).
$$

---

# 3. Coordinate Identity

若來源 coordinate universe 為：

$$
\mathcal C
=
\{c_1,\ldots,c_n\},
$$

則 frame $\pi_k$ 建立：

$$
A_k:
\mathcal C_\sigma
\rightarrow
\mathcal P_k
$$

其中：

$$
\mathcal C_\sigma
\subseteq
\mathcal C
$$

是本 projection scope 中的 active coordinates。

對被保護 coordinate：

$$
c_i\in\mathcal C_k^{prot},
$$

epoch 內要求：

$$
\boxed{
A_k(c_i)=p_i
}
$$

保持不變。

這稱為 **Coordinate Identity Invariant**。

---

# 4. Address Invariant

Address invariant 要求：

$$
I_{addr}:
\quad
A_k(c_i)=p_i
$$

在 epoch 中保持一致。

更強版本可要求 injectivity：

$$
c_i\neq c_j
\Rightarrow
A_k(c_i)\neq A_k(c_j).
$$

若 projection 允許多 coordinate 聚合到同一位置，則必須改用 typed multi-address contract：

$$
A_k(c_i)
=
\langle
p,
channel,
layer,
slot
\rangle.
$$

因此 address correctness 必須相對於 carrier profile 定義。

---

# 5. State Mutation 與 Address Persistence

來源值可以改變：

$$
v_i(t+1)\neq v_i(t),
$$

但只要 epoch 尚未 Release：

$$
\boxed{
A_k(c_i,t+1)=A_k(c_i,t).
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\Delta value
\neq
\Delta identity.
}
$$

這是 persistent frame 的第一個核心區分。

---

# 6. Region Structure

定義 region partition：

$$
R_k
=
\{
\mathcal R_1,\ldots,\mathcal R_m
\}
$$

滿足：

$$
\bigcup_{j=1}^{m}\mathcal R_j
=
\mathcal P_k^{active}.
$$

根據 carrier profile，可要求：

$$
\mathcal R_i\cap\mathcal R_j
=
\varnothing
$$

或允許 overlapping typed regions。

Region 可以代表：

- semantic cluster；
- attention domain；
- graph component；
- memory block；
- operator domain；
- precision zone；
- ownership boundary。

---

# 7. Region Membership Invariant

對 protected coordinate：

$$
c_i
$$

若 Freeze 時：

$$
A_k(c_i)\in\mathcal R_a,
$$

則 epoch 內：

$$
\boxed{
A_k(c_i,t)\in\mathcal R_a
}
$$

除非 operator contract 明確允許 region migration。

因此 region migration 本身必須 typed：

$$
\mathsf{MoveRegion}
:
(c_i,\mathcal R_a,\mathcal R_b)
\rightarrow
\mathsf{Cert}.
$$

---

# 8. Tile Structure

定義 tile partition：

$$
T_k
=
\{
\mathcal T_1,\ldots,\mathcal T_q
\}.
$$

Tile 是 physical / logical materialization unit。

Region 與 Tile 不必相同：

$$
\boxed{
Region
\neq
Tile.
}
$$

一個 semantic region 可以跨多 tile；

一個 tile 也可能包含多個 semantic region。

---

# 9. Tile Membership Invariant

若 operator：

$$
F_{\mathcal T_a}
$$

宣告自己為 tile-local，則 required read set：

$$
\mathsf{ReadSet}(F_{\mathcal T_a})
$$

必須滿足：

$$
\boxed{
\mathsf{ReadSet}(F_{\mathcal T_a})
\subseteq
\mathcal T_a
}
$$

若實際 dependency 超出：

$$
\mathcal T_a,
$$

則不能仍標記為 tile-local。

這稱為 **No Hidden Cross-Tile Dependency Principle**。

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# 10. Locality Relation

定義 locality relation：

$$
L_k
\subseteq
\mathcal C_\sigma
\times
\mathcal C_\sigma.
$$

其意義不是單純 Euclidean distance。

可以是：

- geometric locality；
- graph locality；
- semantic locality；
- cache locality；
- attention locality；
- dependency locality。

因此：

$$
\boxed{
L_k
\neq
\text{one universal distance metric}.
}
$$

---

# 11. Locality Profile

定義：

$$
\boxed{
\Lambda_k
=
\left\langle
L_k^{geo},
L_k^{graph},
L_k^{sem},
L_k^{cache},
L_k^{attn}
\right\rangle
}
$$

每種 locality 可以具有不同 threshold：

$$
\delta_{geo},
\delta_{graph},
\delta_{sem},
\delta_{cache},
\delta_{attn}.
$$

因此某對 coordinate 可以：

$$
\text{geometrically far}
$$

但：

$$
\text{graph-local}.
$$

Projection correctness 必須明確指定關心哪一種 locality。

---

# 12. Locality Invariant

對 protected dependency pair：

$$
(c_i,c_j)\in L_k^{req},
$$

要求：

$$
\boxed{
d_k(A_k(c_i),A_k(c_j))
\le
\delta_k
}
$$

或更一般地：

$$
\mathsf{AccessCost}_k(c_i,c_j)
\le
B_k.
$$

這使 locality invariant 不必綁死在幾何距離，而可以直接綁定 materialization / I/O budget。

---

# 13. Reachability Invariant

若 canonical relation：

$$
c_i\leadsto c_j
$$

屬於 projection scope，則 projected representation 必須保持合法查詢：

$$
\boxed{
\mathsf{Reach}_P(A_k(c_i),A_k(c_j))
=
\mathsf{Reach}_S(c_i,c_j)
}
$$

對 exact scope 成立。

若是 approximate graph projection，則可要求：

$$
\mathsf{Reach}_P
\sim
\mathsf{Reach}_S.
$$

---

# 14. Topological Invariant

定義 canonical local topology：

$$
\mathcal T_S
$$

與 projected topology：

$$
\mathcal T_P.
$$

對指定 protected topology class：

$$
\mathfrak T_\sigma,
$$

要求：

$$
\boxed{
\mathcal T_P
\sim_{\mathfrak T_\sigma}
\mathcal T_S.
}
$$

這裡不要求所有拓撲性質都保存。

只要求 scope 宣告的 topology obligations。

例如：

- connected component count；
- path existence；
- boundary separation；
- neighborhood order；
- cycle class。

---

# 15. Spatial Projection Invariant Family

本文定義：

$$
\boxed{
\mathcal I_k^{space}
=
\left\{
I_{addr},
I_{identity},
I_{region},
I_{tile},
I_{locality},
I_{reach},
I_{topology}
\right\}.
}
$$

每個 invariant 具有：

$$
I_j
=
\left\langle
Type,
Scope,
Predicate,
Severity,
Tolerance,
Evidence
\right\rangle.
$$

因此 spatial invariant 本身也是 typed obligation。

---

# 16. Hard Spatial Invariant

若某 invariant 被標為 hard：

$$
I_j^{H},
$$

則任何 projected-native transform：

$$
F_P
$$

若導致：

$$
I_j^{H}(P')=0,
$$

必須：

$$
\boxed{
F_P=\mathsf{REJECT}.
}
$$

或：

$$
\mathsf{Release}
$$

再進行新 epoch。

---

# 17. Soft Spatial Invariant

某些 locality 或 geometric constraints 可允許：

$$
d(I_j(P'),I_j(P))
\le
\varepsilon_j.
$$

這種 invariant 可以標為：

$$
I_j^{S}(\varepsilon_j).
$$

但 soft invariant 不得被用來替代 hard coordinate identity。

---

# 18. Frame Persistence

在 epoch $\mathcal E_k$ 中：

$$
\boxed{
\forall t\in[\tau_k,\tau_{k+1}),
\quad
\mathsf{FrameID}(t)
=
\mathsf{FrameID}(\pi_k).
}
$$

這稱為 **Frame Persistence**。

它不是說 source values 不變。

而是說：

> authoritative mapping contract 不變。

---

# 19. Persistent Frame 不等於永久固定

本文明確區分：

$$
\boxed{
\text{Persistent}
\neq
\text{Permanent}.
}
$$

Persistent 的語義是：

$$
\text{stable within an epoch}.
$$

當 Release 發生：

$$
\mathcal E_k
\rightarrow
\mathsf{RELEASED},
$$

則下一個 frame：

$$
\pi_{k+1}
$$

可以與：

$$
\pi_k
$$

完全不同。

---

# 20. Dynamic Reprojection Semantics

定義 dynamic projection：

$$
\pi_t
=
\mathsf{BuildFrame}(S_t).
$$

則：

$$
P_t
=
\Phi_{\pi_t}(S_t).
$$

如果：

$$
S_t
\rightarrow
S_{t+1},
$$

立即建立：

$$
\pi_{t+1}
=
\mathsf{BuildFrame}(S_{t+1}).
$$

這種 semantics 適合：

- continuous adaptive visualization；
- manifold tracking；
- exploratory geometry；
- non-address-sensitive rendering。

但對 projected-native computation，可能產生 semantic drift。

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# 21. Fixed-Frame Semantics

在 Stable Epoch：

$$
\pi_t=\pi_k.
$$

因此：

$$
P_t
=
\Phi_{\pi_k}(S_t).
$$

即使：

$$
S_t\neq S_{t+1},
$$

仍使用同一：

$$
\pi_k.
$$

這使 coordinate identity 與 operator domain 穩定。

---

# 22. Dynamic / Fixed Non-Equivalence

存在：

$$
S',
\pi_k,
\pi'
$$

使：

$$
\boxed{
\Phi_{\pi_k}(S')
\neq
\Phi_{\pi'}(S').
}
$$

更重要的是，若 operator 使用 tile/region semantics：

$$
F^{\pi_k}(S')
\neq
F^{\pi'}(S').
$$

這不是 implementation bug。

因為：

$$
\boxed{
\pi
\text{ is part of operator semantics}.
}
$$

---

# 23. Frame-Relative Operator Typing

定義：

$$
\boxed{
F:
\mathcal P_{\pi_k}
\rightarrow
\mathcal P_{\pi_k}
}
$$

表示 $F$ 只在 frame $\pi_k$ 下合法。

若 operator frame-independent，才可標：

$$
F:
\mathcal P_{*}
\rightarrow
\mathcal P_{*}.
$$

但 frame-independent 必須證明，不能預設。

---

# 24. Frame-Relative Computational Equivalence

若：

$$
D_{\pi_k}
\left(
F_P(
\Phi_{\pi_k}(S)
)
\right)
=
F_S^{\pi_k}(S),
$$

則稱：

$$
\boxed{
F_P
\sim_{\pi_k}
F_S.
}
$$

這不是：

$$
F_P
\sim
F_S
$$

的 context-free equality。

---

# 25. Finite Composition Closure

若：

$$
F_1,\ldots,F_m
$$

皆為 $\pi_k$ -valid operators，且每一步保持：

$$
\mathcal I_k^{space},
$$

則：

$$
F_m\circ\cdots\circ F_1
$$

仍在：

$$
\mathcal P_{\pi_k}
$$

內合法。

即：

$$
\boxed{
\mathcal F_k^{native}
\text{ is finitely composable under invariant preservation}.
}
$$

---

# 26. Coordinate Drift

定義 frame drift：

$$
\boxed{
\Delta_\pi(\pi,\pi')
=
\left|
\{
c:
A_\pi(c)\neq A_{\pi'}(c)
\}
\right|.
}
$$

normalized drift：

$$
\delta_\pi
=
\frac{
\Delta_\pi
}{
|\mathcal C_\sigma|
}.
$$

這可量化 dynamic reprojection 的空間 churn。

---

# 27. Weighted Drift

若 coordinate 有 importance weight：

$$
w(c),
$$

則：

$$
\boxed{
\Delta_\pi^{w}
=
\sum_{c}
w(c)
\mathbf 1[
A_\pi(c)\neq A_{\pi'}(c)
].
}
$$

這比單純 count 更適合 attention-sensitive projection。

---

# 28. Region Drift

定義：

$$
\Delta_R
=
\left|
\{
c:
Region_{\pi}(c)
\neq
Region_{\pi'}(c)
\}
\right|.
$$

即使 address drift 大，但 region drift 小，也可能仍保留某些高層 semantic locality。

因此：

$$
\boxed{
\text{Coordinate Drift}
\neq
\text{Region Drift}.
}
$$

---

# 29. Tile Drift

定義：

$$
\Delta_T
=
\left|
\{
c:
Tile_{\pi}(c)
\neq
Tile_{\pi'}(c)
\}
\right|.
$$

Tile drift 對：

- cache invalidation；
- I/O；
- local operator semantics；
- incremental commit；

尤其重要。

---

# 30. Frame Migration

跨 epoch：

$$
\pi_k
\rightarrow
\pi_{k+1}
$$

需要 migration map：

$$
\boxed{
M_{k\to k+1}
:
\mathcal P_{\pi_k}
\rightarrow
\mathcal P_{\pi_{k+1}}.
}
$$

Migration 不等於重新 decode source 再重投影的唯一方案。

它可以是：

- direct permutation；
- tile shuffle；
- layer remap；
- sparse relocation；
- semantic reconstruction。

---

# 31. Frame Migration Cost

定義：

$$
\boxed{
C_{mig}
=
C_{move}
+
C_{reindex}
+
C_{cache}
+
C_{verify}
+
C_{attention}
+
C_{history}.
}
$$

因此重新投影的收益必須與 migration cost 比較。

---

# 32. Reprojection Benefit

定義：

$$
B_{reproj}
=
B_{locality}
+
B_{task}
+
B_{compression}
+
B_{attention}
+
B_{execution}.
$$

只有當：

$$
\boxed{
B_{reproj}
>
C_{mig}
+
C_{risk}
}
$$

且 certificate 通過時，reprojection 才有工程理由。

---

# 33. Spatial Debt

定義：

$$
\boxed{
\Delta_{space}
=
\left\{
\delta_{locality},
\delta_{tile},
\delta_{region},
\delta_{reach},
\delta_{topology}
\right\}.
}
$$

在 epoch 內，state evolution 可能累積 spatial debt。

例如：

$$
\text{semantic neighbors}
$$

逐漸被固定 frame 拉遠。

這不一定立即 invalid。

可以設定：

$$
\Delta_{space}
\le
B_{space}.
$$

超出 budget 時：

$$
\mathsf{ReleaseRequired}=1.
$$

---

# 34. Staleness

固定 frame 的代價之一是 staleness。

定義 frame staleness：

$$
\boxed{
\mathsf{Stale}_k(t)
=
d(
\pi_k,
\mathsf{BuildFrame}(S_t)
).
}
$$

這只是一個 diagnostic quantity。

它不代表：

$$
\pi_k
$$

立即非法。

是否合法仍取決於：

$$
\mathcal I_k^{space}
$$

與：

$$
\Delta_{space}.
$$

---

# 35. Stability / Freshness Trade-off

SPET 不追求：

$$
\min
\mathsf{Stale}
$$

作為唯一目標。

而是：

$$
\boxed{
\min
\left(
C_{drift}
+
C_{migration}
+
C_{staleness}
+
C_{semantic}
\right).
}
$$

因此最優 projection update frequency 不一定最大。

---

# 36. Cross-Frame Coordinate Correspondence

對：

$$
\pi_k,\pi_{k+1},
$$

定義 correspondence：

$$
\boxed{
\Gamma_{k,k+1}
=
\{
(c,A_k(c),A_{k+1}(c))
\}.
}
$$

它允許回答：

> 同一 semantic coordinate 在兩個 epoch 中搬到哪裡？

這是 history、debug、attention continuity 與 provenance 的基礎。

---

# 37. Identity Beyond Position

因為：

$$
A_k(c)\neq A_{k+1}(c)
$$

不代表：

$$
c_k\neq c_{k+1}.
$$

所以 semantic identity 必須與 spatial address 分離：

$$
\boxed{
\mathsf{SemanticID}(c)
\neq
\mathsf{SpatialAddress}_{\pi}(c).
}
$$

這避免：

> 搬位置 = 換物件

的錯誤。

---

# 38. Frame Ledger

每次 frame transition：

$$
\pi_k\rightarrow\pi_{k+1}
$$

記錄：

$$
e_k^{frame}
=
\left\langle
FrameOld,
FrameNew,
MigrationMap,
Drift,
Debt,
Cause,
Certificate,
Time
\right\rangle.
$$

形成：

$$
\boxed{
\mathsf{FrameLedger}
=
\{e_0^{frame},e_1^{frame},\ldots\}.
}
$$

---

# 39. Projection Frame Obstruction

候選 frame：

$$
\pi'
$$

可以因 spatial obstruction 被拒絕。

例如：

$$
O_{addr}
$$

表示 address collision；

$$
O_{tile}
$$

表示 cross-tile dependency explosion；

$$
O_{locality}
$$

表示 locality budget 超限；

$$
O_{reach}
$$

表示 graph reachability 無法保留。

若：

$$
O_j\triangleright\pi',
$$

則：

$$
\boxed{
\mathsf{FrameCandidate}(\pi')
=
\mathsf{REJECT}.
}
$$

---

# 40. Frame Candidate Selection

候選集合：

$$
\Pi^{cand}
=
\{
\pi_1,\ldots,\pi_r
\}.
$$

先做 hard filtering：

$$
\Pi^{adm}
=
\{
\pi_i:
\forall O_j^{H},
O_j\not\triangleright\pi_i
\}.
$$

再做 cost ranking：

$$
\pi^\star
=
\arg\min_{\pi\in\Pi^{adm}}
C(\pi).
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{Optimization}
\text{ occurs only after admissibility}.
}
$$

---

# 41. Persistent Frame 與 Attention

Attention 可以變，但若 attention 被標為 frame-layout driver：

$$
\mathsf{AttnRole}
=
\mathsf{LAYOUT},
$$

則 Freeze 時必須把其 contribution 綁定到：

$$
\pi_k.
$$

Epoch 內 attention state 若改變，但未違反 hard attention invariant：

$$
A_t\neq A_{\tau_k}
$$

仍可合法。

但不應立即重建：

$$
\pi_k.
$$

這正是：

$$
\boxed{
\text{Attention Evolution}
\neq
\text{Frame Evolution}.
}
$$

---

# 42. Persistent Frame 與記憶

對 AI memory projection，persistent frame 可以讓：

- 短期 working memory；
- semantic regions；
- retrieval hotspots；

在一段 epoch 中保持地址穩定。

這使：

$$
\text{memory identity}
$$

不必因 embedding 微小變化持續搬動。

跨 epoch 再進行：

$$
\text{memory remapping}.
$$

---

# 43. Persistent Frame 與 GPU / Tile Compute

若 frame 穩定：

$$
Tile(c)
$$

在 epoch 內不變。

因此：

- kernel mapping；
- cache placement；
- prefetch；
- DMA region；
- local integrity；
- work scheduling；

都可以利用 stable tile identity。

這是 projected-native runtime 的重要工程意義。

---

# 44. HDSRC 實驗映射

在 HDSRC factor-aware projection 中，frame 可以包含：

$$
A_k
=
\text{factor-aware coordinate permutation}.
$$

先前實驗已觀察：

單一 basis update 後 fresh reprojection 可能導致大量：

$$
A_k(c)\neq A_{k+1}(c).
$$

在部分尺度中，超過半數 coordinate 發生重排。

而 Stable Epoch：

$$
A_t=A_k
$$

在整個 epoch 內保持不變。

這使：

- point update；
- tile clamp；
- relation update；
- local query；
- finite composition；

可以具有穩定 spatial semantics。

---

# 45. 舊失敗案例的理論解釋

曾觀察某 10000D 案例：

$$
\text{point update}
\rightarrow
\text{fresh reproject}
\rightarrow
\text{tile clamp}
$$

與：

$$
\text{point update}
\rightarrow
\text{fixed-frame tile clamp}
$$

得到不同結果。

本文將其形式化為：

$$
F^{\pi'}(S')
\neq
F^{\pi_k}(S').
$$

因此失敗原因不是 clamp operator 錯誤。

而是：

$$
\boxed{
\text{tile identity changed because frame semantics changed}.
}
$$

SPET 的解法不是強迫兩者等價。

而是：

$$
\boxed{
\text{within epoch, }\pi_k\text{ is authoritative}.
}
$$

---

# 46. Spatial Invariant Certificate

定義：

$$
\boxed{
\mathsf{SICert}_k
=
\left\langle
FrameID,
AddressProof,
IdentityProof,
RegionProof,
TileProof,
LocalityBounds,
ReachabilityProof,
TopologyProfile,
Validity
\right\rangle.
}
$$

Freeze Certificate：

$$
\mathsf{FCert}_k
$$

必須引用：

$$
\mathsf{SICert}_k.
$$

---

# 47. Post-Transform Spatial Verification

對 projected-native transform：

$$
F_P(P)=P',
$$

必須驗證：

$$
\mathsf{VerifySpace}(P',\mathsf{SICert}_k).
$$

若：

$$
\mathsf{FAIL},
$$

則：

$$
P'
$$

不得成為新的 authoritative epoch state。

---

# 48. Precondition / Postcondition

每個 operator 可以定義：

$$
\mathsf{Pre}_F
$$

與：

$$
\mathsf{Post}_F.
$$

例如 tile-local clamp：

$$
\mathsf{Pre}_F:
\mathsf{FrameID}=\pi_k
$$

以及：

$$
\mathsf{Post}_F:
I_{addr}
\land
I_{tile}
\land
I_{identity}.
$$

這使 projected-native operator 可被契約化。

---

# 49. Spatial Safe Operator

定義：

$$
\boxed{
F
\in
\mathcal F_k^{space-safe}
}
$$

若：

$$
\forall P
\in
\mathcal P_{\pi_k}^{valid},
$$

都有：

$$
\mathsf{VerifySpace}(F(P),\mathsf{SICert}_k)
=
\mathsf{PASS}.
$$

這是後續 Operator Algebra 的重要基礎。

---

# 50. Spatially Unsafe but Legal Operator

某些 operator 會故意改變 region / tile：

$$
F_{move}.
$$

它不屬於：

$$
\mathcal F_k^{space-safe},
$$

但仍可能合法。

此時必須：

$$
\boxed{
F_{move}
\Rightarrow
\mathsf{Release}
\text{ or }
\mathsf{FrameMutationCert}.
}
$$

---

# 51. Frame Mutation Certificate

若允許 epoch 內極少數受控 frame mutation，可定義：

$$
\mathsf{FMCert}.
$$

但本文 v0.1 預設：

$$
\boxed{
\text{Authoritative frame mutation requires epoch transition}.
}
$$

這保持模型簡潔。

---

# 52. Piecewise-Static Spatial Semantics

整體可寫成：

$$
A(t)
=
A_k,
\qquad
t\in[\tau_k,\tau_{k+1}).
$$

$$
R(t)
=
R_k,
\qquad
t\in[\tau_k,\tau_{k+1}).
$$

$$
T(t)
=
T_k,
\qquad
t\in[\tau_k,\tau_{k+1}).
$$

只在：

$$
\tau_{k+1}
$$

允許：

$$
(A_k,R_k,T_k)
\rightarrow
(A_{k+1},R_{k+1},T_{k+1}).
$$

---

# 53. 第一批命題

## Proposition 53.1 — Coordinate Stability

若 epoch 未 Release，則 protected coordinate：

$$
c_i
$$

滿足：

$$
A_t(c_i)=A_k(c_i).
$$

## Proposition 53.2 — Local Mutation / Global Frame Separation

存在局部：

$$
\Delta S
$$

使：

$$
S'\neq S
$$

但：

$$
\pi(S')=\pi_k
$$

仍為合法 epoch representation。

## Proposition 53.3 — Dynamic Drift Can Exceed State Change

存在 projection builder：

$$
B
$$

與局部 mutation：

$$
\Delta S
$$

使：

$$
\Delta_\pi(
B(S),
B(S+\Delta S)
)
$$

為大尺度。

因此 continuous rebuilding 不保證 locality。

## Proposition 53.4 — Fixed-Frame Composition

若：

$$
F_1,\ldots,F_m
\in
\mathcal F_k^{space-safe},
$$

則：

$$
F_m\circ\cdots\circ F_1
$$

保持：

$$
\mathcal I_k^{space}.
$$

## Proposition 53.5 — Cross-Epoch Relocation Does Not Destroy Semantic Identity

若：

$$
A_k(c)\neq A_{k+1}(c),
$$

只要：

$$
\mathsf{SemanticID}_k(c)
=
\mathsf{SemanticID}_{k+1}(c),
$$

則：

$$
c
$$

保持 identity continuity。

---

# 54. SPET Paper 02 公理 / 規範 v0.1

## SPET-PF1 — Explicit Frame Identity

所有 authoritative projected spaces 必須具有 FrameID。

## SPET-PF2 — Address / Identity Separation

Spatial address 不得與 semantic identity 塌縮。

## SPET-PF3 — Epoch-Bounded Persistence

Frame persistence 僅保證 epoch 內穩定。

## SPET-PF4 — No Implicit Frame Mutation

State mutation 不得隱式修改 authoritative frame。

## SPET-PF5 — Region / Tile Separation

Region 與 tile 必須分開型別化。

## SPET-PF6 — Locality Typing

Locality 必須宣告其度量或 access-cost semantics。

## SPET-PF7 — No Hidden Cross-Tile Dependency

Tile-local operator 不得隱藏跨 tile dependency。

## SPET-PF8 — Reachability Preservation

Required relation reachability 必須依 scope 保存。

## SPET-PF9 — Spatial Certificate

Freeze 必須綁定 Spatial Invariant Certificate。

## SPET-PF10 — Post-Transform Verification

Projected-native transform 後必須驗證 hard spatial invariants。

## SPET-PF11 — Certified Reprojection

跨 frame migration 必須有 transition certificate。

## SPET-PF12 — Ledgered Frame History

Authoritative frame transition 必須可追蹤與回放。

---

# 55. 對 AI 原生計算的含義

若 AI projected state 每一次內部 activation 變動都重新：

- 排 coordinate；
- 移 tile；
- 改 locality；
- 重建 index；

則 representation churn 可能成為主要成本。

Persistent Coordinate Frame 提供另一個時間尺度：

$$
f_{state}
\gg
f_{frame}.
$$

即：

$$
\boxed{
\text{AI internal state may update frequently,
while spatial identity updates only at certified epoch boundaries}.
}
$$

這讓 projected-native computation 可以累積：

- stable cache；
- stable operator domains；
- stable graph regions；
- stable memory addresses；
- stable attention references。

---

# 56. 對 GCM 的含義

在 Global Computation Methodology 中，不同 executor、representation、resolution 與 materialization 可以共存。

Persistent Coordinate Frame 可作為：

$$
\gamma_i
$$

中的 representation-state contract。

因此 GCM router 不只選：

> 用哪個計算配置？

還可選：

> 是否沿用目前 frame，還是付出 migration cost 建立新 frame？

即：

$$
\boxed{
\mathsf{RouteDecision}
\supset
\mathsf{FrameDecision}.
}
$$

---

# 57. 對 local integrity / local commit 的含義

如果 tile identity 在 epoch 內穩定：

$$
Tile_k(c)
=
\text{constant},
$$

則 local integrity 才有穩定對象。

否則每次 state mutation 都重新 re-tile，Merkle leaf identity 也會跟著漂移。

因此：

$$
\boxed{
\text{Stable Frame}
\text{ is a prerequisite for practical local integrity}.
}
$$

這直接銜接後續 Projected-Native Runtime。

---

# 58. 未解問題

1. Frame staleness 的最佳量測方式是什麼？
2. Spatial debt 應如何與 task utility 共同最佳化？
3. 是否存在局部 frame mutation，而不需完整 epoch transition？
4. 如何對極大 $X$ 維空間維持 stable address？
5. Sparse graph page 與 dense image tile 如何共享 frame identity？
6. Cross-frame migration 能否 streaming / in-place？
7. 如何形式化 attention-driven but frame-stable layout？

---

# 59. 與 Paper 03 的接口

Paper 02 建立空間不變量。

下一篇 Paper 03 將把 attention 從：

$$
\text{layout input}
$$

提升為完整 projection invariant family：

$$
\boxed{
\mathcal I^{attn}
=
\left\{
I_{support},
I_{rank},
I_{mass},
I_{locality},
I_{reach},
I_{identity}
\right\}.
}
$$

核心問題將是：

> AI 的注意力可以持續改變，但什麼注意力語義必須在投影期元內保持，才能避免 projected-native computation 失去任務一致性？

---

# 60. 結論

本文把 projection frame 從「投影演算法的輸出副產品」提升為正式計算狀態。

核心結論為：

$$
\boxed{
\text{Projection Frame}
=
\text{Typed, Persistent, Epoch-Bounded Computational Contract}.
}
$$

並提出：

$$
\boxed{
\text{State Mutation}
\not\Rightarrow
\text{Frame Mutation}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{Persistent}
\neq
\text{Permanent}.
}
$$

在 Stable Projection Epoch 內：

$$
A(t)=A_k,
\quad
R(t)=R_k,
\quad
T(t)=T_k.
$$

跨 epoch：

$$
\pi_k
\xrightarrow{\mathsf{Release/Reproject}}
\pi_{k+1}.
$$

因此 dynamic projection 與 fixed projection 不需要被強迫成同一結果。

它們是不同 temporal semantics。

SPET 的任務不是證明：

$$
F^{\pi_k}(S)
=
F^{\pi_{k+1}}(S)
$$

永遠成立。

而是建立：

$$
\boxed{
\text{哪一個 frame 在哪一個 epoch 中具有權威性}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{什麼空間性質必須在該 frame 中保持}
}
$$

的形式規則。

這使高維 projected-native computation 能擁有穩定 coordinate identity、tile locality、region semantics、graph reachability 與可稽核 frame transitions，並為後續 attention invariants、local integrity、local commit 與 AI-native global computation 奠定空間基礎。

---

## 內部理論血統與依賴

1. SPET Paper 00 — Stable Projection Epoch Theory: Formal Foundations.
2. SPET Paper 01 — Typed Projection Scope, Closure Readiness, and Freeze Certification.
3. Closure-Space Mathematics Paper 00–02.
4. HDSRC — High-Dimensional Symbolic Relational Compilation.
5. HDSRC Native Projection Computation Equivalence experiments.
6. HDSRC Native Projection State-Transform Closure experiments.
7. HDSRC Stable Projection Epoch Feasibility experiments.

本文為上述理論與實驗之後形成的 Persistent Coordinate Frame 形式化，不回溯宣稱舊理論已完整包含本文全部定義。