# SPET Paper 05
# 穩定投影期元下的投影原生計算
## Projected-Native Computation under Stable Epochs

**版本：v0.1**  
**日期：2026-08-27**  
**理論定位：SPET Series Paper 05 / Projected-Native Operator Theory**  
**依賴：SPET Paper 00、01、02、03、04**  
**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司

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## 摘要

本文完成 Stable Projection Epoch Theory（SPET）第一階段核心理論系列，研究一個直接決定 projected representation 是否能從「載體」升格為「計算空間」的問題：**哪些計算可以直接在投影後 representation 中執行，而不必先完整解碼回來源狀態？**

前述 SPET Paper 00–04 已依序建立 projection epoch、typed readiness、persistent coordinate frame、attention projection invariants 與 certified epoch transition。本文進一步定義 projected-native operator：

$$
F_P:
\mathcal P_{\pi_k}
\rightarrow
\mathcal P_{\pi_k}
$$

或查詢型：

$$
Q_P:
\mathcal P_{\pi_k}
\rightarrow
\mathcal Y,
$$

並以來源空間 operator：

$$
F_S:
\mathcal S
\rightarrow
\mathcal S
$$

作為 canonical oracle。本文區分三種主要等價型態：

$$
\boxed{
\text{Exact Equivalence},
\quad
\text{Class Equivalence},
\quad
\text{Task Equivalence}
}
$$

其中 exact frame-relative transform equivalence 定義為：

$$
D_{\pi_k}
\circ
F_P
\circ
\Phi_{\pi_k}
=
F_S^{\pi_k},
$$

而更一般的 class-relative equivalence 為：

$$
D_{\pi_k}
\left(
F_P(
\Phi_{\pi_k}(S)
)
\right)
\sim_{\mathcal C}
F_S^{\pi_k}(S).
$$

Task equivalence 則只要求對宣告任務集合：

$$
\mathcal Q_\sigma
$$

產生等價判定、查詢結果、決策或效用。

本文提出 projected-native operator family：

$$
\mathcal F_k^{native}
$$

以及其空間安全、注意力安全與期元安全子集：

$$
\mathcal F_k^{epoch-safe}
=
\mathcal F_k^{space-safe}
\cap
\mathcal F_k^{attn-safe}
\cap
\mathcal F_k^{scope-safe}.
$$

本文進一步將 operator 分為 pointwise、tile-local、region-local、graph-local、reduction、cross-tile、global、frame-mutating 與 transition operators，並定義 operator read set、write set、dependency set、materialization set 與 certificate set。核心命題為：**projection-native computation 是否成立，不應由「檔案能不能被解碼」判斷，而應由 projected operator 是否能在不重建完整 canonical state 的前提下，對指定 semantics 保持 exact 或受控等價來判斷。**

HDSRC 初步實驗已對 basis/address query、relation graph query、two-hop traversal、basis point update、tile clamp、relation qsim update 與 multi-step stable-epoch composition 建立第一批正結果；同時 dynamic reprojection 的 10000D 反例顯示 operator correctness 必須是 frame-relative，而非無條件 context-free。本文因此提出：

$$
\boxed{
\text{Projected Representation}
+
\text{Stable Frame}
+
\text{Certified Invariants}
+
\text{Native Operators}
=
\text{Candidate Computational Substrate}.
}
$$

本文不主張所有算子都能在 projected space 原生執行，也不主張 projected-native computation 一定優於 tensor、graph、sequence 或其他表示。SPET Paper 05 的目標，是建立一套可以精確分類、驗證與逐步擴張 projected-native operator domain 的形式理論。

**關鍵詞：** Projected-Native Computation、Stable Projection Epoch、Operator Equivalence、Frame-Relative Semantics、Native Operator、HDSRC、Image-Native Computation、AI Native Computation

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# 0. 研究地位

SPET Paper 00–04 回答了：

1. 何謂 projection epoch；
2. 何時可以 Freeze；
3. Freeze 後哪些 spatial properties 必須保持；
4. 哪些 attention semantics 必須保持；
5. 何時可以 Release / Reopen / Reproject。

本文開始回答：

> 在這樣一個穩定 projection epoch 中，究竟可以直接算什麼？

這是 representation 與 computation 之間的分界。

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# 1. Carrier 與 Computational Substrate 的非坍縮

一個 representation 可以被完整 encode / decode：

$$
D(\Phi(S))=S,
$$

仍然不代表它是 computational substrate。

若每個操作都必須：

$$
\Phi(S)
\rightarrow
D
\rightarrow
S
\rightarrow
F_S
\rightarrow
\Phi,
$$

則：

$$
\boxed{
\Phi(S)
\text{ is still primarily a carrier}.
}
$$

真正 projected-native computation 要求存在：

$$
F_P
$$

使計算可直接作用於：

$$
\Phi(S).
$$

---

# 2. Projected-Native Query

定義 projected-native query：

$$
\boxed{
Q_P:
\mathcal P_{\pi_k}
\rightarrow
\mathcal Y.
}
$$

若 canonical query：

$$
Q_S:
\mathcal S
\rightarrow
\mathcal Y
$$

滿足：

$$
\boxed{
Q_P(
\Phi_{\pi_k}(S)
)
=
Q_S^{\pi_k}(S),
}
$$

則稱 $Q_P$ 對 frame $\pi_k$ exact native。

---

# 3. Projected-Native Transform

定義：

$$
\boxed{
F_P:
\mathcal P_{\pi_k}
\rightarrow
\mathcal P_{\pi_k}.
}
$$

若：

$$
D_{\pi_k}
\left(
F_P(
\Phi_{\pi_k}(S)
)
\right)
=
F_S^{\pi_k}(S),
$$

則稱：

$$
\boxed{
F_P
\equiv_{\pi_k}
F_S.
}
$$

---

# 4. Frame-Relative Oracle

本文不使用每一步 fresh reprojection 作為唯一 oracle。

canonical oracle 寫成：

$$
F_S^{\pi_k}.
$$

表示：

> 來源空間 operator 依照 epoch $\pi_k$ 所宣告的空間／tile／region semantics 執行。

因此：

$$
F_S^{\pi_k}
$$

與：

$$
F_S^{\pi_{k+1}}
$$

可以不同。

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# 5. Exact Equivalence

定義：

$$
\boxed{
F_P
\equiv_{\pi_k}^{exact}
F_S
}
$$

若：

$$
\forall S\in\Omega_k^{adm},
$$

都有：

$$
D_{\pi_k}
\left(
F_P(
\Phi_{\pi_k}(S)
)
\right)
=
F_S^{\pi_k}(S).
$$

這是最強版本。

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# 6. Class Equivalence

存在 equivalence relation：

$$
\sim_{\mathcal C}
$$

使：

$$
\boxed{
D_{\pi_k}
\left(
F_P(
\Phi_{\pi_k}(S)
)
\right)
\sim_{\mathcal C}
F_S^{\pi_k}(S).
}
$$

例如：

- same connected component；
- same decision class；
- same ordering class；
- same bounded-error semantic state；
- same observational equivalence class。

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# 7. Task Equivalence

對 task family：

$$
\mathcal Q_\sigma
=
\{q_1,\ldots,q_m\},
$$

若：

$$
\forall q_i\in\mathcal Q_\sigma,
$$

都有：

$$
q_i(
D(F_P(\Phi(S)))
)
=
q_i(
F_S(S)
),
$$

則：

$$
\boxed{
F_P
\equiv_{\mathcal Q_\sigma}^{task}
F_S.
}
$$

Task equivalence 不要求完整 state equality。

---

# 8. Observational Equivalence

對 observer family：

$$
\mathcal O,
$$

若：

$$
\forall O\in\mathcal O,
$$

都有：

$$
O(
D(F_P(\Phi(S)))
)
=
O(
F_S(S)
),
$$

則稱：

$$
\boxed{
F_P
\equiv_{\mathcal O}^{obs}
F_S.
}
$$

---

# 9. Executable Equivalence

若兩種 representation / operator path 對 downstream executable contract 產生同一合法行為：

$$
\mathsf{Exec}(P')
=
\mathsf{Exec}(S'),
$$

可定義：

$$
\boxed{
P'
\equiv^{exec}S'.
}
$$

這不要求 byte equality。

---

# 10. Byte Equality / Semantic Equality / Computational Equality Non-Collapse

本文明確區分：

$$
\boxed{
\text{Byte Equality}
\neq
\text{Semantic Equality}
\neq
\text{Computational Equivalence}
\neq
\text{History Equality}.
}
$$

同樣 byte count 更不能推出任何上述等價。

---

# 11. Operator Signature

定義 projected-native operator：

$$
\boxed{
F
=
\left\langle
Name,
FrameType,
Scope,
ReadSet,
WriteSet,
DepSet,
InvSet,
CertSet,
Cost,
Effect
\right\rangle.
}
$$

---

# 12. Read Set

$$
\boxed{
\mathsf{ReadSet}(F)
\subseteq
\mathcal P_{\pi_k}.
}
$$

表示 operator 必須 materialize / access 的 projected units。

---

# 13. Write Set

$$
\boxed{
\mathsf{WriteSet}(F)
\subseteq
\mathcal P_{\pi_k}.
}
$$

對 query：

$$
\mathsf{WriteSet}(Q)=\varnothing.
$$

---

# 14. Dependency Set

$$
\boxed{
\mathsf{DepSet}(F)
}
$$

表示 operator 正確執行所需的 semantic dependencies。

因此：

$$
\mathsf{DepSet}(F)
$$

可以大於：

$$
\mathsf{ReadSet}(F)
$$

若某 dependency 已被 certificate 或 aggregate summary 代替。

---

# 15. Materialization Set

定義：

$$
\boxed{
\mathsf{MatSet}(F,S)
}
$$

表示某次 invocation 實際 materialize 的 carrier portion。

Native locality ratio：

$$
\boxed{
\lambda_F
=
\frac{
|\mathsf{MatSet}(F,S)|
}{
|P|
}.
}
$$

若：

$$
\lambda_F\ll1,
$$

則 operator 具有 strong partial-materialization locality。

---

# 16. Certificate Set

$$
\boxed{
\mathsf{CertSet}(F)
\subseteq
\{
\mathsf{FCert},
\mathsf{SICert},
\mathsf{AICert},
\mathsf{IntegrityCert},
\mathsf{AuthorityCert}
\}.
}
$$

Operator 只能在 required certificates 有效時執行。

---

# 17. Operator Effect Type

定義：

$$
\boxed{
\mathsf{EffectType}(F)
\in
\{
\mathsf{QUERY},
\mathsf{LOCAL\_WRITE},
\mathsf{REGION\_WRITE},
\mathsf{GLOBAL\_WRITE},
\mathsf{FRAME\_MUTATION},
\mathsf{EPOCH\_TRANSITION}
\}.
}
$$

Effect type 影響所需 certificate 與 commit semantics。

---

# 18. Pointwise Operator

若：

$$
F(c_i)
$$

只依賴：

$$
c_i,
$$

則稱 pointwise。

例如：

$$
v_i'
=
\operatorname{clip}(v_i,a,b).
$$

---

# 19. Tile-Local Operator

若：

$$
\mathsf{ReadSet}(F)
\cup
\mathsf{WriteSet}(F)
\subseteq
T_j,
$$

則：

$$
\boxed{
F\in\mathcal F^{tile}.
}
$$

並必須符合 Paper 02 的 No Hidden Cross-Tile Dependency。

---

# 20. Region-Local Operator

若 operator 作用域是 semantic region：

$$
R_j,
$$

可跨多 physical tiles，但不跨 region boundary，則：

$$
\boxed{
F\in\mathcal F^{region}.
}
$$

---

# 21. Graph-Local Operator

若 operator 只需某節點：

$$
v
$$

的有限 hop neighborhood：

$$
N_h(v),
$$

則：

$$
\boxed{
F\in\mathcal F^{graph-local}_h.
}
$$

---

# 22. Reduction Operator

例如：

$$
\sum_i v_i,
$$

$$
\max_i v_i,
$$

$$
\|v\|_1.
$$

Reduction 可以 streaming，不一定完整 materialize source。

---

# 23. Cross-Tile Operator

若：

$$
\mathsf{ReadSet}(F)
$$

跨多 tile，但只需有限 tiles：

$$
|T_F|\ll|T|,
$$

則為 bounded cross-tile operator。

---

# 24. Global Operator

若正確性要求：

$$
\mathsf{ReadSet}(F)
\approx P,
$$

則 operator 是 global。

Projected-native 不等於所有 operator 都 local。

---

# 25. Frame-Mutating Operator

若 operator 直接改變：

$$
\pi_k,
$$

則：

$$
\boxed{
F\in\mathcal F^{frame-mut}.
}
$$

SPET v0.1 預設這類 operator 需要 Release / Epoch Transition。

---

# 26. Transition Operator

Paper 04 的：

$$
\mathsf{Release},
\mathsf{Reopen},
\mathsf{Reproject}
$$

不是普通 epoch-local operators。

它們屬於：

$$
\boxed{
\mathcal F^{transition}.
}
$$

---

# 27. Spatial-Safe Operator

沿用 Paper 02：

$$
F
\in
\mathcal F_k^{space-safe}
$$

若：

$$
\mathsf{VerifySpace}
(
F(P),
\mathsf{SICert}_k
)
=
\mathsf{PASS}.
$$

---

# 28. Attention-Safe Operator

沿用 Paper 03：

$$
F
\in
\mathcal F_k^{attn-safe}
$$

若：

$$
\mathsf{VerifyAttn}
(
F(P),
\mathsf{AICert}_k
)
=
\mathsf{PASS}.
$$

---

# 29. Scope-Safe Operator

定義：

$$
\boxed{
F
\in
\mathcal F_k^{scope-safe}
}
$$

若其：

$$
\mathsf{DepSet}(F)
$$

全部落在：

$$
\sigma_k
$$

已宣告、Ready 或合法 deferred 的 dependency contract 中。

---

# 30. Epoch-Safe Operator

定義：

$$
\boxed{
\mathcal F_k^{epoch-safe}
=
\mathcal F_k^{space-safe}
\cap
\mathcal F_k^{attn-safe}
\cap
\mathcal F_k^{scope-safe}.
}
$$

---

# 31. Integrity-Safe Operator

未來加入 local integrity 後，可再定義：

$$
\mathcal F_k^{integrity-safe}.
$$

因此完整版：

$$
\boxed{
\mathcal F_k^{runtime-safe}
=
\mathcal F_k^{epoch-safe}
\cap
\mathcal F_k^{integrity-safe}
\cap
\mathcal F_k^{authority-safe}.
}
$$

---

# 32. Native Operator Domain

對 epoch：

$$
\mathcal E_k,
$$

定義：

$$
\boxed{
\mathfrak F_k^{native}
=
\{
F:
F
\text{ has a valid projected-native implementation under }\pi_k
\}.
}
$$

這個集合不必等於所有 canonical operators。

---

# 33. Native Coverage

若 canonical operator family：

$$
\mathfrak F_S
$$

大小為：

$$
|\mathfrak F_S|,
$$

native coverage：

$$
\boxed{
\eta_k
=
\frac{
|\mathfrak F_k^{native}|
}{
|\mathfrak F_S|
}.
}
$$

對無限 operator family 可使用 typed subset / measure，而非單純 cardinality。

---

# 34. Closure under Composition

若：

$$
F,G
\in
\mathfrak F_k^{epoch-safe},
$$

不必自動推出：

$$
G\circ F
\in
\mathfrak F_k^{epoch-safe}.
$$

因為中間 state：

$$
P'
=
F(P)
$$

可能使：

$$
G
$$

的 precondition 失效。

---

# 35. Certified Composition

定義 sequence：

$$
\Sigma_F
=
(F_1,\ldots,F_m).
$$

如果每一步：

$$
\mathsf{Pre}_{F_i}
=
\mathsf{PASS},
$$

執行後：

$$
\mathsf{Post}_{F_i}
=
\mathsf{PASS},
$$

且：

$$
\mathsf{VerifyEpoch}
=
\mathsf{PASS},
$$

則：

$$
\boxed{
\Sigma_F
\text{ is certified epoch composition}.
}
$$

---

# 36. Composition Closure

若 operator set：

$$
\mathcal G_k
$$

對任意有限合法 composition 都保持在：

$$
\mathcal G_k,
$$

則稱：

$$
\boxed{
\mathcal G_k
\text{ is composition-closed under epoch }k.
}
$$

這是一個需要證明或實驗驗證的性質，不是預設。

---

# 37. Query Closure

Query operators：

$$
Q_i
$$

因不寫入 projected state，較容易構成安全 family。

但仍可能有 hidden dependency 或 frame semantics。

因此 read-only 不等於 automatically native-safe。

---

# 38. State-Transform Closure

對 transform family：

$$
\mathcal T_k,
$$

若：

$$
F_P(P)\in\mathcal P_{\pi_k}^{valid}
$$

且：

$$
D(F_P(P))
\equiv
F_S(D(P)),
$$

則具有 projected state-transform closure。

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# 39. Fixed-Frame Closure

SPET 的第一階段 transform closure 是：

$$
\boxed{
\Phi_{\pi_k}(S)
\xrightarrow{F_P}
\Phi_{\pi_k}(S').
}
$$

而不是：

$$
\Phi_{\pi_k}(S)
\xrightarrow{}
\Phi_{\pi_{k+1}}(S').
$$

---

# 40. Dynamic Reprojection Non-Equivalence

存在 operator：

$$
F
$$

使：

$$
F^{\pi_k}(S')
\neq
F^{\pi'}(S').
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{operator equivalence must declare frame semantics}.
}
$$

---

# 41. Frame-Invariant Operator

若對任意合法：

$$
\pi_a,\pi_b
$$

都有：

$$
F^{\pi_a}(S)
=
F^{\pi_b}(S),
$$

則：

$$
\boxed{
F
\in
\mathcal F^{frame-invariant}.
}
$$

這是一個強性質。

---

# 42. Frame-Covariant Operator

更一般地，若存在 transport：

$$
M_{a\to b}
$$

使：

$$
M_{a\to b}
\circ
F^{\pi_a}
=
F^{\pi_b}
\circ
M_{a\to b},
$$

則稱：

$$
\boxed{
F
\text{ is frame-covariant}.
}
$$

---

# 43. Frame-Dependent Operator

如果不存在上述 invariant / covariant 關係，則 operator 是 frame-dependent。

例如以 fixed tile index 定義的 clamp。

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# 44. Operator Algebra

定義 projected-native algebra：

$$
\boxed{
\mathfrak A_k
=
\left\langle
\mathcal P_{\pi_k},
\mathfrak F_k^{native},
\circ,
\mathsf{Cert},
\mathsf{Eq}
\right\rangle.
}
$$

其中：

- $\mathcal P_{\pi_k}$：epoch projected state space；
- $\mathfrak F_k^{native}$：native operators；
- $\circ$：composition；
- $\mathsf{Cert}$：operator/certificate rules；
- $\mathsf{Eq}$：equivalence family。

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# 45. Multi-Equivalence Algebra

不是所有 operator 使用同一 equality。

可以有：

$$
\mathsf{Eq}
=
\{
=,
\sim_{\mathcal C},
\sim_{\mathcal Q},
\sim_{\mathcal O},
\sim_{exec}
\}.
$$

每個 operator 必須聲明自己的 correctness relation。

---

# 46. Exact Operator

若使用：

$$
=
$$

作 correctness relation，稱 exact operator。

---

# 47. Approximate Operator

若：

$$
d(
D(F_P(P)),
F_S(S)
)
\le
\varepsilon,
$$

稱：

$$
\boxed{
\varepsilon\text{-approximate native operator}.
}
$$

---

# 48. Task-Native Operator

若只對：

$$
\mathcal Q_\sigma
$$

保持等價，稱：

$$
\boxed{
\mathcal Q_\sigma\text{-native operator}.
}
$$

這對 AI inference 尤其重要。

---

# 49. Learnability Equivalence

對 model family：

$$
\mathcal M,
$$

如果從 projected representation 學習所得模型：

$$
M_P
$$

對 task distribution：

$$
\mathcal D
$$

表現：

$$
\mathsf{Perf}(M_P,\mathcal D)
\approx
\mathsf{Perf}(M_S,\mathcal D),
$$

可定義：

$$
\boxed{
\text{learnability equivalence}.
}
$$

本文只定義，不宣稱已證明。

---

# 50. Compute Without Full Decode

Projected-native 的最低工程要求：

$$
\boxed{
\text{No full canonical state reconstruction before operator execution}.
}
$$

部分 metadata decode、tile decode 或 certificate lookup 是允許的。

否則幾乎任何 format 都會被錯稱為 native。

---

# 51. Native Decode Boundary

定義：

$$
\boxed{
B_{decode}(F)
=
\frac{
|\text{canonical information reconstructed before }F|
}{
|S|
}.
}
$$

strong-native operator 期望：

$$
B_{decode}(F)\ll1.
$$

---

# 52. Materialization Ratio

沿用：

$$
\lambda_F
=
\frac{
|\mathsf{MatSet}(F,S)|
}{
|P|
}.
$$

對 strong-local operator：

$$
\lambda_F\ll1.
$$

---

# 53. Memory Residency

若 operator 只需 bounded working set：

$$
B_F,
$$

可研究：

$$
\boxed{
M_{peak}
=
M_{runtime}
+
O(B_F)
}
$$

而不是：

$$
O(|P|).
$$

---

# 54. I/O Amplification

定義：

$$
\boxed{
A_{IO}
=
\frac{
\text{bytes read + bytes written}
}{
\text{semantic bytes affected}
}.
}
$$

Projected-native local compute 應盡可能降低：

$$
A_{IO}.
$$

---

# 55. Commit Amplification

定義：

$$
\boxed{
A_{commit}
=
\frac{
\text{bytes rehashed / recommitted}
}{
\text{semantic bytes changed}
}.
}
$$

現有 HDT1 global digest 可能使：

$$
A_{commit}\gg1.
$$

這正是 local integrity 的下一個工程問題。

---

# 56. Semantic Locality / Physical Locality Non-Collapse

即使 operator semantic scope 很小：

$$
|\Delta S|\ll|S|,
$$

若 carrier commit 需要全域 rewrite，physical cost 仍可能很高。

因此：

$$
\boxed{
\text{Semantic Locality}
\neq
\text{Physical Commit Locality}.
}
$$

---

# 57. Native Query Cost

對 query：

$$
Q,
$$

可以評估：

$$
C_Q
=
C_{read}
+
C_{decode-local}
+
C_{compute}
+
C_{verify}.
$$

---

# 58. Native Transform Cost

對 transform：

$$
F,
$$

$$
C_F
=
C_{read}
+
C_{compute}
+
C_{write}
+
C_{verify}
+
C_{commit}.
$$

---

# 59. HDSRC Basis-Local Query

HDSRC 實驗已測：

- coordinate-weighted sum；
- coordinate predicate；
- absolute sum；
- coordinate checksum。

native path 直接讀 basis + address projected pages，

不完整重建：

$$
SymbolicState.
$$

結果與 canonical oracle exact。

---

# 60. HDSRC Relation-Native Query

已測：

- outgoing neighbors；
- out-degree；
- mutual edge count；
- qsim sum。

直接從：

$$
relation\_kind
$$

與：

$$
relation\_qsim
$$

pages 計算。

---

# 61. HDSRC Two-Hop Traversal

已測 thresholded two-hop traversal：

$$
qsim\ge\tau.
$$

Projected-native frontier 與 canonical graph frontier exact。

---

# 62. HDSRC Partial Materialization

在 65537D basis query 中，native query 僅 materialize carrier 的小比例。

因此支持：

$$
\boxed{
\lambda_Q\ll1
}
$$

在至少部分 operator 上成立。

---

# 63. HDSRC Point Transform

已測 projected basis point update。

直接修改 projected basis cell，

最後 independent decode：

$$
D(P')
=
F_S(S).
$$

---

# 64. HDSRC Tile Transform

已測固定 frame 下的 tile clamp。

結果在 Stable Epoch 內 exact。

---

# 65. HDSRC Relation Transform

已測 existing-edge：

$$
qsim
$$

update。

Projected transform 後 canonical decode exact。

---

# 66. Multi-Step Composition

在 Stable Projection Epoch 中，point transform、tile transform 等可以 finite composition，

並保持：

- FrameID；
- spatial invariants；
- attention invariants；
- canonical equivalence。

---

# 67. Dynamic Reprojection Counterexample

10000D 已觀察：

$$
\text{point update}
\rightarrow
\text{fresh reproject}
\rightarrow
\text{tile clamp}
$$

與 fixed-frame semantics 產生不同結果。

這支持：

$$
\boxed{
\text{tile operator is frame-dependent}.
}
$$

---

# 68. Stable Epoch Resolution

Stable Epoch 不要求兩種結果相等。

而宣告：

$$
\boxed{
\pi_k
\text{ is authoritative during epoch }k.
}
$$

所以 native operator 的 correctness 由：

$$
F_S^{\pi_k}
$$

判定。

---

# 69. Operator Certificate

定義：

$$
\boxed{
\mathsf{OpCert}
=
\left\langle
OperatorID,
Version,
FrameType,
Scope,
EquivalenceType,
ReadSetContract,
WriteSetContract,
InvariantContract,
Preconditions,
Postconditions,
Evidence,
Validity
\right\rangle.
}
$$

---

# 70. Operator Promotion

候選 native operator：

$$
F^{cand}
$$

要成為 certified operator，至少需要：

1. canonical oracle；
2. positive cases；
3. negative controls；
4. invariant tests；
5. composition tests；
6. scope declaration；
7. equivalence declaration。

---

# 71. No Premature Native Promotion

若只證明：

$$
D(\Phi(S))=S,
$$

不得提升為：

$$
F\in\mathfrak F^{native}.
$$

若只證明一個 sample exact，也不能宣稱全域 operator theorem。

---

# 72. Tested Domain

每個 operator 必須聲明：

$$
\boxed{
\Omega_F^{tested}.
}
$$

例如：

- dimensions；
- value bounds；
- relation profiles；
- tile sizes；
- frame type；
- attention profile。

---

# 73. Admissible Domain

理論 admissible domain：

$$
\Omega_F^{adm}
$$

可能大於：

$$
\Omega_F^{tested}.
$$

不得把：

$$
\Omega_F^{tested}
$$

偷換成：

$$
\Omega_F^{adm}.
$$

---

# 74. Evidence Ladder

本文建議 native operator evidence 分級：

$$
\boxed{
E_0<E_1<E_2<E_3<E_4.
}
$$

其中：

- $E_0$：format round-trip；
- $E_1$：single query equivalence；
- $E_2$：state-transform equivalence；
- $E_3$：finite composition under invariants；
- $E_4$：general operator family theorem / broad empirical closure。

目前 HDSRC 已達部分：

$$
E_3.
$$

但尚未宣稱：

$$
E_4.
$$

---

# 75. Query-Native / Transform-Native / Runtime-Native

區分：

$$
\boxed{
\text{Query-Native}
\neq
\text{Transform-Native}
\neq
\text{Runtime-Native}.
}
$$

Runtime-Native 還需要：

- local commit；
- integrity；
- scheduling；
- concurrency；
- authority；
- fault recovery。

---

# 76. Computational Substrate Criterion

本文提出一個最低 criterion。

若 representation $P$ 存在非平凡 operator family：

$$
\mathcal F_P
$$

使：

1. 不完整解碼回 canonical state；
2. 對指定 semantics 保持等價；
3. 能 compose 至少兩步；
4. invariants 可驗證；
5. state transform 可留在 projected space；

則可稱：

$$
\boxed{
P
\text{ is a candidate computational substrate for }\mathcal F_P.
}
$$

---

# 77. Candidate 不等於 Universal Substrate

這不表示：

$$
P
$$

適合所有 computation。

因此：

$$
\boxed{
\text{Candidate Computational Substrate}
\neq
\text{Universal Computation Representation}.
}
$$

---

# 78. Heterogeneous Native Computation

不同 operator 可以選不同 representation：

$$
F_1
\rightarrow
Tensor,
$$

$$
F_2
\rightarrow
Graph,
$$

$$
F_3
\rightarrow
ProjectedImage.
$$

SPET 與 GCM 可以共同管理：

$$
\boxed{
\text{representation-relative native compute}.
}
$$

---

# 79. Representation Bridge

若：

$$
R_a
\rightarrow
R_b,
$$

需 bridge：

$$
B_{a\to b}.
$$

Bridge cost：

$$
C_B
$$

應納入 routing。

如果 projected-native operator 足夠多，可以降低頻繁 bridge。

---

# 80. Native Residency Window

定義某 representation 的 native residency interval：

$$
\boxed{
\mathcal W_R
=
[\tau_{enter},\tau_{exit}).
}
$$

在：

$$
\mathcal W_R
$$

內盡量使用該 representation 的 native operator family。

這和 Stable Epoch 的 temporal semantics 相容。

---

# 81. Representation Thrashing

若：

$$
R_a
\rightarrow
R_b
\rightarrow
R_a
\rightarrow
R_b
$$

高頻切換，

可能產生：

$$
C_{thrash}.
$$

因此 GCM future router 可考慮：

$$
\boxed{
\text{representation residency}
}
$$

而不是每個 operator 都獨立選最優 format。

---

# 82. SPET Native Compute Schedule

完整 schedule：

$$
\boxed{
\Sigma_{PN}
=
(
\mathsf{Ready},
\mathsf{Freeze},
\mathsf{Project},
\mathsf{Verify},
F_1,
\mathsf{ReCert},
\ldots,
F_m,
\mathsf{ReCert},
\mathsf{Commit},
\mathsf{Release}
).
}
$$

---

# 83. Computation / Commit Non-Collapse

$$
\boxed{
\text{Compute}
\neq
\text{Commit}.
}
$$

Operator 可以完成計算，但 commit 可以延遲。

這允許 transaction-like epoch computation。

---

# 84. Speculative Native Compute

可以建立：

$$
P^{spec}
=
F(P)
$$

但不 promotion。

只有：

$$
\mathsf{VerifyEpoch}(P^{spec})=\mathsf{PASS}
$$

才：

$$
P^{spec}
\rightarrow
P^{auth}.
$$

---

# 85. Abort

若：

$$
\mathsf{VerifyEpoch}
=
\mathsf{FAIL},
$$

則：

$$
\boxed{
\mathsf{Abort}(P^{spec}).
}
$$

舊 authoritative state 保留。

---

# 86. Transactional Epoch Step

定義：

$$
\boxed{
\mathsf{Txn}_F
=
\mathsf{Read}
\rightarrow
\mathsf{Compute}
\rightarrow
\mathsf{Verify}
\rightarrow
\mathsf{Commit/Abort}.
}
$$

---

# 87. Concurrency

若：

$$
F_a
$$

與：

$$
F_b
$$

具有 disjoint write sets：

$$
\mathsf{WriteSet}(F_a)
\cap
\mathsf{WriteSet}(F_b)
=
\varnothing,
$$

且 dependency 不衝突，

可以 parallel。

---

# 88. Conflict

若：

$$
\mathsf{WriteSet}(F_a)
\cap
\mathsf{WriteSet}(F_b)
\neq
\varnothing,
$$

則需 conflict policy。

這將在 runtime whitepaper 展開。

---

# 89. Native Operator Scheduling

未來 scheduler 可以基於：

- tile locality；
- attention priority；
- dependency graph；
- resource profile；
- commit cost；

排序 native operators。

---

# 90. AI-Native Operator Selection

AI 可提出：

$$
\mathsf{AIChooseOperator}
:
(Task,P,\mathcal E)
\rightarrow
F^{cand}.
$$

但仍需：

$$
\boxed{
\text{Proposal}
\neq
\text{Execution Authority}.
}
$$

---

# 91. Operator Learning

未來甚至可以學習：

$$
F_P
$$

使：

$$
F_P
\approx
\Phi
\circ
F_S
\circ
D.
$$

但這是 learned native operator，不等於 exact compiled operator。

必須分型。

---

# 92. Compiled Native Operator

若 $F_P$ 由 formal rule / compiler 直接生成，稱：

$$
\boxed{
F_P^{compiled}.
}
$$

---

# 93. Learned Native Operator

由模型學得：

$$
F_P^{learned}.
$$

其 correctness 通常是：

$$
\sim_{\mathcal Q}
$$

或：

$$
\varepsilon\text{-bounded}.
$$

---

# 94. Hybrid Native Operator

可以：

$$
F_P^{hybrid}
=
F_P^{compiled}
+
F_P^{learned}.
$$

例如 deterministic address manipulation + learned semantic routing。

---

# 95. Operator Provenance

每次 operator execution 記錄：

$$
\boxed{
e_F
=
\left\langle
OperatorID,
EpochID,
FrameID,
InputAnchor,
OutputAnchor,
ReadSet,
WriteSet,
Certs,
Cost,
Time
\right\rangle.
}
$$

---

# 96. Computation Ledger

形成：

$$
\boxed{
\mathsf{ComputeLedger}_k
=
\{
e_{F_1},\ldots,e_{F_m}
\}.
}
$$

---

# 97. History Equality

即使兩個最終 states：

$$
P_a=P_b,
$$

也可能：

$$
H_a\neq H_b.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{State Equality}
\not\Rightarrow
\text{Computation History Equality}.
}
$$

---

# 98. First Theorem Schema

若：

1. $\mathcal E_k$ valid；
2. $F_P\in\mathcal F_k^{epoch-safe}$ ；
3. $F_P\equiv_{\pi_k}^{exact}F_S$ ；
4. post-transform certificates PASS；

則：

$$
\boxed{
D_{\pi_k}
(
F_P(
\Phi_{\pi_k}(S)
)
)
=
F_S^{\pi_k}(S)
}
$$

且：

$$
F_P(
\Phi_{\pi_k}(S)
)
\in
\mathcal P_{\pi_k}^{valid}.
$$

---

# 99. Finite Composition Theorem Schema

若：

$$
F_1,\ldots,F_m
$$

逐步滿足上述條件，

則：

$$
\boxed{
D_{\pi_k}
\left(
F_m^P
\circ\cdots\circ
F_1^P
(
\Phi_{\pi_k}(S)
)
\right)
=
F_m^S
\circ\cdots\circ
F_1^S
(S)
}
$$

在 frame-relative semantics 與所有 intermediate certificates PASS 的條件下成立。

---

# 100. Class-Relative Composition

若每一步只有：

$$
\sim_{\mathcal C},
$$

composition 是否保持：

$$
\sim_{\mathcal C}
$$

需要額外證明。

不能自動推導。

---

# 101. Error Accumulation

Approximate operators：

$$
F_i^{\varepsilon_i}
$$

可能累積：

$$
\varepsilon_{total}.
$$

需要 bound：

$$
\boxed{
\varepsilon_{total}
\le
B_{\mathcal E}.
}
$$

否則 Release。

---

# 102. Task Drift

即使 state error 小，

也可能 task error 大。

所以 approximate operator 必須同時監控：

$$
\varepsilon_{state}
$$

與：

$$
\varepsilon_{task}.
$$

---

# 103. Operator Obstruction

定義：

$$
\boxed{
O_F
=
\left\langle
Operator,
Scope,
Mechanism,
Invariant,
FailureMode,
Certificate
\right\rangle.
}
$$

若 operator 無法在 projected space 保留需要語義，

可以正式列為 native obstruction。

---

# 104. Obstruction Propagation

如果一整類 operator 共享必要條件：

$$
K,
$$

而：

$$
K
$$

在某 projection profile 中不可能成立，

則 obstruction 可傳播到 operator family。

這直接接 CSM。

---

# 105. Native Closure Frontier

定義：

$$
\boxed{
\partial\mathfrak F_k^{native}
}
$$

為：

> 已知 native operators 與尚未證明／被 obstruction 阻擋 operators 的邊界。

這使研究目標變成：

$$
\text{expand native closure frontier}.
$$

---

# 106. Research-State Classification

每個 operator route 可以標：

$$
\mathsf{PROVEN},
\quad
\mathsf{EMPIRICAL},
\quad
\mathsf{PARTIAL},
\quad
\mathsf{OPEN},
\quad
\mathsf{NO\text{-}GO}.
$$

---

# 107. SPET Paper 05 規範 v0.1

## SPET-NC1 — Carrier / Computational Substrate Non-Collapse

可逆 carrier 不自動等於 native compute substrate。

## SPET-NC2 — Frame-Relative Operator Semantics

Native operator correctness 必須宣告 frame semantics。

## SPET-NC3 — Explicit Equivalence Type

Operator 必須聲明 exact / class / task / observational / executable equivalence。

## SPET-NC4 — No Full-Decode Shortcut

Native operator 不得以完整 canonical reconstruction 作為主要 execution path。

## SPET-NC5 — Read / Write / Dependency Explicitness

Operator 必須聲明 read、write、dependency contract。

## SPET-NC6 — Invariant-Safe Execution

Authoritative operator 必須維持 required spatial / attention invariants。

## SPET-NC7 — Post-Transform Certification

每個 authoritative transform 後必須重新 certification。

## SPET-NC8 — No Automatic Composition Closure

個別 safe 不推出任意 composition safe。

## SPET-NC9 — Tested / Admissible Domain Separation

實驗 domain 不得偷換成理論全域。

## SPET-NC10 — Query / Transform / Runtime Native Separation

三種 native 成熟度必須分開。

## SPET-NC11 — Computation / Commit Separation

完成計算不自動等於已 commit。

## SPET-NC12 — Ledgered Native Computation

Authoritative native operator execution 必須可追蹤與稽核。

---

# 108. 對 AI 原生計算的直接含義

若 AI 可以直接在：

$$
P=\Phi_{\pi_k}(S)
$$

中完成一批：

$$
\mathcal F_k^{native}
$$

而不需：

$$
P\rightarrow S
$$

完整解碼，

則 representation 可以成為 AI 的中間 computational residency space。

因此：

$$
\boxed{
\text{AI Representation}
\text{ need not be only an input/output encoding}.
}
$$

---

# 109. 對序列計算的替代可能

傳統 pipeline 可能：

$$
S
\rightarrow
M_1
\rightarrow
M_2
\rightarrow
\cdots
\rightarrow
M_n.
$$

若：

$$
M_i
$$

都需完整 materialization，

RAM / VRAM / I/O 成本可能高。

Projected-native route 可以探索：

$$
\boxed{
P_i
\xrightarrow{F_i}
P_{i+1}
}
$$

並只 materialize active tiles / regions。

---

# 110. 原生投影計算

本文將：

$$
\boxed{
\text{Native Projection Computation}
}
$$

定義為：

> computation 的合法工作表示本身就是 projected representation，而不是「先完成傳統 computation，再把結果轉成 projection」。

也就是：

$$
\boxed{
F_P
\text{ is primary execution}
}
$$

而不是：

$$
\Phi
\circ
F_S
\circ
D
$$

的包裝。

---

# 111. Fused Compute-Projection

更進一步，可存在：

$$
C_\Phi
$$

使：

$$
\boxed{
C_\Phi(S)
=
\Phi(C(S)).
}
$$

但 implementation 不 materialize：

$$
C(S)
$$

完整中間態。

這是未來 GPU / streaming native computation 的研究方向。

---

# 112. SPET 與 GCM 的統合位置

GCM 管理：

- heterogeneous computation；
- compute resolution；
- executor；
- resource；
- routing；
- materialization。

SPET 管理：

- projection epochs；
- frame stability；
- projected operator semantics；
- attention / spatial invariants；
- transition。

因此：

$$
\boxed{
\text{GCM}
+
\text{SPET}
}
$$

可形成 representation-aware global computation control。

---

# 113. Representation-Native Routing

對 operator：

$$
F,
$$

router 可以選：

$$
R^\star
=
\arg\min_R
C(F,R)
$$

subject to：

$$
F
\in
\mathfrak F_R^{safe}.
$$

因此 routing 不是只選硬體：

$$
\boxed{
\text{Route}
=
\text{Representation}
+
\text{Operator}
+
\text{Executor}
+
\text{Resource}.
}
$$

---

# 114. 對 HDSRC 的總結性判斷

目前 HDSRC image-native carrier 已具有：

1. exact carrier round-trip；
2. semantic-scope equivalence；
3. native queries；
4. native graph traversal；
5. native state transforms；
6. finite multi-step composition；
7. stable frame / attention invariant enforcement。

因此可以保守地稱：

$$
\boxed{
\text{HDSRC projected carrier is a candidate computational substrate
for the tested operator family.}
}
$$

尚不能稱為 universal native runtime。

---

# 115. 下一個工程門檻

目前最大的 engineering obstruction 是：

$$
\boxed{
\text{Local Semantic Transform}
+
\text{Global Integrity / Rewrite Cost}.
}
$$

所以：

$$
\text{semantic locality}=PASS
$$

但：

$$
\text{physical commit locality}=OPEN.
$$

---

# 116. Local Commit 作為下一個必要條件

真正 runtime-native 還需要：

$$
\boxed{
\text{Local Compute}
+
\text{Local Verify}
+
\text{Local Integrity}
+
\text{Local Commit}.
}
$$

這將在技術白皮書與後續 runtime 實驗中處理。

---

# 117. 未解問題

1. 哪些 operator family 可以形成完整 composition-closed algebra？
2. Approximate equivalence 的 error bound 如何 composition？
3. GPU-native projected operator 如何設計？
4. Sparse / dense hybrid carrier 如何共享 operator algebra？
5. local integrity 如何避免全域 digest barrier？
6. distributed projected-native compute 如何維持 frame identity？
7. learned native operator 如何 formal certify？
8. AI 能否直接學習 projected representation，而不 decode？
9. task equivalence 是否能在更複雜 reasoning 中維持？
10. GCM router 如何自主決定 representation residency window？

---

# 118. 系列整合

SPET 第一階段六篇核心論文形成：

$$
\boxed{
\begin{aligned}
P00 &: \text{Epoch Formal Foundations}\\
P01 &: \text{Readiness and Freeze}\\
P02 &: \text{Spatial Frame Invariants}\\
P03 &: \text{Attention Invariants}\\
P04 &: \text{Certified Epoch Transition}\\
P05 &: \text{Projected-Native Computation}
\end{aligned}
}
$$

其共同流程：

$$
\boxed{
\text{Compute}
\rightarrow
\text{Scoped Closure}
\rightarrow
\text{Freeze}
\rightarrow
\text{Project}
\rightarrow
\text{Native Compute}
\rightarrow
\text{Verify}
\rightarrow
\text{Commit}
\rightarrow
\text{Release}
\rightarrow
\text{Reproject}.
}
$$

---

# 119. 結論

本文完成 SPET 第一階段 projected-native operator theory。

最核心判準不是：

> 這張圖能不能被完整解碼？

而是：

$$
\boxed{
\text{Can useful computation remain inside the projected representation?}
}
$$

若存在非平凡 operator family：

$$
\mathfrak F_k^{native}
$$

使：

$$
D_{\pi_k}
\circ
F_P
\circ
\Phi_{\pi_k}
\sim
F_S^{\pi_k},
$$

並且：

- 不需完整 canonical decode；
- frame semantics 明確；
- spatial invariants 保持；
- attention invariants 保持；
- operator 可有限 composition；
- state transform 可留在 projected space；

則 projected representation 已不只是 storage / serialization format。

它可以被保守地稱為：

$$
\boxed{
\text{candidate computational substrate for the certified operator domain}.
}
$$

Stable Projection Epoch 為這種計算提供必要的 temporal semantics：

$$
\pi(t)=\pi_k
$$

在一段 epoch 中保持權威，使 operator identity、tile semantics、attention contract 與 addressability 可以持續穩定。

當目前 projection 不再合適時：

$$
\mathsf{Release}
\rightarrow
\mathsf{Recompute}
\rightarrow
\mathsf{Reproject}
$$

再進入新 epoch。

因此 SPET 所提出的不是「永遠固定的高維圖像」，而是一個更一般的計算模式：

$$
\boxed{
\text{piecewise-static projected computational spaces
with certified native operators and certified transitions}.
}
$$

這使高維 symbolic-relational state、image-native carrier、attention semantics、local computation 與 global heterogeneous routing 可以被放進同一套可驗證架構中。

---

## 內部理論血統與依賴

1. SPET Paper 00 — Stable Projection Epoch Theory: Formal Foundations.
2. SPET Paper 01 — Typed Projection Scope, Closure Readiness, and Freeze Certification.
3. SPET Paper 02 — Spatial Projection Invariants and Persistent Coordinate Frames.
4. SPET Paper 03 — Attention Projection Invariants.
5. SPET Paper 04 — Certified Reprojection, Release, Reopening, and Epoch Transition.
6. Closure-Space Mathematics Paper 00–02.
7. HDSRC — High-Dimensional Symbolic Relational Compilation.
8. HDSRC Native Projection Computation Equivalence experiments.
9. HDSRC Native Projection State-Transform Closure experiments.
10. HDSRC Stable Projection Epoch Feasibility experiments.

本文中的 projected-native computation theory 為上述理論與實驗後形成的新形式化層，不回溯宣稱舊理論已完整包含本文全部定義。