# CODT-09
# 受控預測域：以作用後的未來世界反應定義認知－世界域
## Controlled Predictive Domains: Defining Cognition-World Regions by Future Responses to Action

**系列：** Cognitive Operator-Domain Theory, CODT / 認知算子-域理論  
**系列篇次：** 09 / 10  
**版本：** v1.0  
**日期：** 2026-08-21  
**作者：** Neo.K  
**機構脈絡：** EveMissLab / 一言諾科技有限公司  
**文件性質：** 理論論文 / Controlled Predictive Domain 篇  
**前篇：** CODT-08〈認知－世界邊界：從意圖、請求到世界轉移〉

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## 摘要

CODT-07 已建立 Observable-Predictive-Atlas Separation：

$$
S_t^{obs}
\neq
S_t^{pred}
\neq
\pi_R^{dst},
$$

CODT-08 又建立 Cognition-World Boundary，使：

$$
Think
\neq
Intend
\neq
Request
\neq
Authorize
\neq
Invoke
\neq
Commit
\neq
OutcomePresentation.
$$

因此，CODT 現在第一次具備一個合法條件來問：**若對兩個 observer-relative Presentations 提出相同的 world-facing requests，並讓它們真正經過 CWB、World transition 與 outcome presentation，兩者對未來的回應是否足夠相似，以至於可以被視為同一個受控預測作用區？**

本文提出 **Controlled Predictive Domain, CPD** 與其有限工程近似 **Controlled Action-Presentation Interface States, CAPIS**。其最小直覺不是：

$$
P(O_{t+1}\mid O_t),
$$

而是：

$$
\boxed{
P(
O_{t+1}
\mid
O_t,
A_t,
CWB
).
}
$$

更完整地，本文將受控測試定義為一串 world-facing requests 與回傳 presentations：

$$
\tau
=
(
r_1,o_1,
r_2,o_2,
\ldots,
r_k,o_k
),
$$

並提出多步 controlled predictive signature：

$$
\boxed{
\Phi_{\mathcal T}^{(k)}(h_t,o_t)
=
\bigoplus_{\tau\in\mathcal T_k}
P(
Y_{1:k}
\mid
h_t,
o_t,
R_{1:k}=\tau_R
),
}
$$

其中 $Y_i$ 不只包含下一個 Presentation，也可以包含 CWB legality/authorization/outcome record。這使「一個 request 在某 state 被拒絕、在另一 state 被允許」本身成為可觀察的 world-facing 差異，而不會因只比較共同合法 actions 的交集而被消去。

本文因此區分兩種 equivalence。

第一，**post-authorization action-response equivalence**：

$$
o_i
\sim_{act}
o_j
$$

當兩者在共同合法 action family 下產生近似相同 future Presentation distributions。

第二，本文更推薦的 **boundary-aware request-response equivalence**：

$$
\boxed{
o_i
\sim_{req}
o_j
}
$$

當對同一 well-formed request-test family，CWB decision、World commit/failure 與 future Presentations 的 joint distributions 都近似相同。後者把 legality、capability、World-state precondition 與 outcome 一起保留，因此更適合 CODT 的 cognition-world interface。

CDD Phase 0.11 的 synthetic controlled World 提供第一批支持。Main normal 中 passive Presentation coder 為：

$$
Bits_{passive}
=
5.7867,
$$

加入 exact action 後：

$$
Bits_{exact\ obs+action}
=
3.9936,
$$

action conditioning 本身改善：

$$
\boxed{
1.7932
\text{ bits/transition}.
}
$$

CAPIS 再降到：

$$
Bits_{CAPIS}
=
3.8866,
$$

相對 exact Presentation+action 再改善：

$$
0.1069
\text{ bits/transition}.
$$

五個 normal splits 全部為正，平均 gain：

$$
0.1091.
$$

六個 regime-adapted runs 為 $6/6$ 正 gain，六個 leave-one-regime-out 也為 $6/6$ 正 gain，平均跨 regime gain 約：

$$
0.0533
\text{ bits/transition}.
$$

Action-shuffle falsification 更顯示，將 test actions 打亂後，CAPIS code length 從約 $3.8866$ 惡化到平均 $10.3822$，支持其結構確實依賴 action-conditioned future，而非普通 observation clustering。

然而本文拒絕把 CAPIS 升格成 World state 或 promoted domain。hidden-state oracle 仍比 CAPIS 好約 $1.2417$ bits/transition；CAPIS 與 hidden full state 的 NMI 約 $0.5503$，顯示非隨機關聯但遠非 identity。CAPIS 目前也只有 one-step、finite-data、factorized future-Presentation approximation，action alphabet 人工設計，World 為 synthetic，且仍無真實 human / AI world-interaction replication。

因此本文的核心不是「已找到真實認知－世界域」，而是提出一個更嚴格的 domainization principle：

$$
\boxed{
\text{World-facing domain membership should be earned by
action-conditioned predictive equivalence,
not assigned by topic or static appearance.}
}
$$

本文最後將 Cognitive Atlas 與 Controlled World Interface 分離：

$$
\boxed{
\text{Cognitive Atlas}
\neq
\text{Controlled Predictive Domain}.
}
$$

前者主要是 operator-space / transition geometry 的 derived quotient；後者是 observer-relative Presentation 在 CWB-mediated controlled futures 下的 predictive quotient。兩者可以透過 action routing、operator selection 與 World outcome 形成 coupling map，但不應被強制合併成單一 partition。

---

## 關鍵詞

Controlled Predictive Domain；CAPIS；CODT；action-conditioned prediction；CWB；World Presentation；predictive state；PSR；bisimulation；epsilon-transducer；world coupling；cognitive domain

---

# 1. 問題：Passive Similarity 不足以定義 World-Facing Domain

兩個 Presentations：

$$
o_i,
o_j
$$

看起來很像。

這是否表示它們屬於同一 World-facing domain？

不一定。

例如兩個門看起來都「關著」。

但：

- 一個可以被 `OpenGate` 合法打開；
- 一個沒有權限；
- 一個 mechanism failure；
- 一個其實已 lock；
- 一個 action 成功後會進入不同 future state。

因此：

$$
\boxed{
ObservationSimilarity
\not\Rightarrow
OperationalEquivalence.
}
$$

如果 domain 要真正接到 World，它不能只看：

$$
\text{what the World looks like}.
$$

還要看：

$$
\boxed{
\text{how the World responds when acted upon}.
}
$$

---

# 2. 從 OPAS 到 Controlled Prediction

CODT-07 已經指出 passive predictive state：

$$
S_t^{passive}
$$

主要壓縮：

$$
P(
Future
\mid
History,
Observation
).
$$

但真正受控 state 應考慮：

$$
P(
FutureObservations
\mid
History,
Observation,
ActionSequence
).
$$

因此：

$$
\boxed{
PassivePredictiveState
\neq
ControlledPredictiveState.
}
$$

CODT-09 正式把這個 distinction 升格為 domain theory。

---

# 3. 從 CWB 到真正 Action

CODT-08 已經固定：

$$
ActionRequest
\neq
WorldTransition.
$$

所以本文所謂 action-conditioned prediction 不能用：

> cognition 說自己做了什麼。

而必須用：

$$
\boxed{
\text{request}
\rightarrow
CWB
\rightarrow
\text{commit/failure}
\rightarrow
\text{outcome}.
}
$$

只有這樣：

$$
A_t
$$

才是 world-facing controlled variable，而不是內部 simulation label。

---

# 4. Core Loop

受控 cognition-world loop：

$$
\boxed{
P_t
\rightarrow
A_t^{request}
\rightarrow
CWB_t
\rightarrow
\mathbf W_{t+1}
\rightarrow
P_{t+1}.
}
$$

其中：

$$
P_t
=
\rho_{O,t}(
\mathbf W_t
).
$$

所以：

- cognition 看到的是 Presentation；
- cognition 發出的是 request；
- CWB 決定 legality / authority；
- World mutation 發生在 commit；
- cognition 再取得新 Presentation。

這形成第一個真正雙向 closed loop。

---

# 5. Action-Conditioned Predictive Signature

對 Presentation：

$$
o,
$$

一階 controlled predictive signature：

$$
\boxed{
\Phi_{ctrl}^{(1)}(o)
=
\bigoplus_{a\in\mathcal A}
P(
O_{t+1}
\mid
O_t=o,
A_t=a,
CWB
).
}
$$

這比：

$$
P(
O_{t+1}
\mid
O_t=o
)
$$

包含更多結構。

因為同一個 observation 在不同 actions 下可以產生不同 future。

---

# 6. 為什麼 Action 是一級資料

Phase 0.11 Main：

$$
Bits_{passive}
=
5.7867,
$$

$$
Bits_{exact\ obs+action}
=
3.9936.
$$

所以只加入 action：

$$
\boxed{
\Delta_{action}
=
1.7932
\text{ bits/transition}.
}
$$

這比 Phase 0.10 passive state engineering 的 gain 大得多。

因此在目前 controlled World 中：

$$
\boxed{
ActionContext
\text{ is structurally important}.
}
$$

---

# 7. Action-Shuffle Falsification

如果 action 只是附帶 label，

把 test action 順序打亂不應大幅影響 prediction。

實際：

$$
Bits_{CAPIS}
=
3.8866,
$$

action-shuffled mean：

$$
E[
Bits_{shuffle}
]
=
10.3822.
$$

100 permutations：

$$
\boxed{
p_{lower}
=
0.009901.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
CAPIS
\text{ depends on action-conditioned future structure}.
}
$$

這比單純 co-occurrence evidence 強。

---

# 8. 但「Action」本身還需要再拆

CODT-08 已說：

$$
Request
\neq
Authorize
\neq
Invoke
\neq
Commit.
$$

所以本文不能把：

$$
A_t
$$

當成一個沒有 boundary semantics 的 symbol。

更完整的 controlled test 應考慮：

$$
\boxed{
R_t
\rightarrow
CWBDecision_t
\rightarrow
WorldEffect_t
\rightarrow
OutcomePresentation_t.
}
$$

其中 $R_t$ 是 well-formed request。

---

# 9. Legal-Action Equivalence 的問題

Phase 0.11 候選曾寫：

$$
\forall a\in\mathcal A_{legal},
\quad
P(
O_{t+1}\mid o_i,a
)
\approx
P(
O_{t+1}\mid o_j,a
).
$$

這很自然。

但有一個 subtle problem：

如果：

$$
\mathcal A_{legal}(o_i)
\neq
\mathcal A_{legal}(o_j),
$$

只比較兩者共同合法 actions：

$$
\mathcal A_{legal}(o_i)
\cap
\mathcal A_{legal}(o_j)
$$

可能把最重要差異消掉。

---

# 10. Legality Difference 本身就是 World-Facing Information

例如：

$$
OpenGate
$$

在：

$$
o_i
$$

被 CWB 授權，

但在：

$$
o_j
$$

因 capability / precondition 被拒絕。

那麼：

$$
\boxed{
AuthorizationResponse(o_i)
\neq
AuthorizationResponse(o_j).
}
$$

這個差異本身就是 predictive interface 的一部分。

所以：

$$
\boxed{
\text{different legal-action sets}
\text{ should not automatically be hidden by intersection}.
}
$$

---

# 11. Request-Test Family

本文因此把 action alphabet 提升成：

$$
\boxed{
\mathcal R
=
\text{well-formed request-test family}.
}
$$

request 可以被：

- Authorized；
- Denied；
- Undetermined；
- Conflicted；
- Mapped；
- InvocationFailed；
- Committed；
- PartiallyCommitted。

所以 test outcome 不只是一個 future observation。

還包括 boundary response。

---

# 12. Boundary-Aware Outcome

定義：

$$
\boxed{
Y_{t+1}
=
(
CWBOutcome_t,
CommitStatus_t,
O_{t+1}
).
}
$$

這使：

$$
P(
Y_{t+1}
\mid
O_t,
R_t
)
$$

同時描述：

- legality；
- capability；
- execution；
- World response；
- observer presentation。

這比只看：

$$
P(
O_{t+1}\mid O_t,A_t
)
$$

更符合 CODT-08。

---

# 13. Request-Response Predictive Signature

因此本文推薦：

$$
\boxed{
\Phi_{req}^{(1)}(o)
=
\bigoplus_{r\in\mathcal R}
P(
Y_{t+1}
\mid
O_t=o,
R_t=r
).
}
$$

若：

$$
\Phi_{req}^{(1)}(o_i)
\approx
\Phi_{req}^{(1)}(o_j),
$$

則兩者才有更強理由被視為同一 controlled interface state。

---

# 14. 第一版 Boundary-Aware Equivalence

定義：

$$
\boxed{
o_i
\sim_{req}^{(\epsilon)}
o_j
}
$$

若：

$$
D(
\Phi_{req}(o_i),
\Phi_{req}(o_j)
)
\leq
\epsilon.
$$

其中：

$$
D
$$

可以是 JS divergence、total variation、Wasserstein、task-weighted divergence 或其他 calibrated distance。

CODT 不固定唯一 metric。

---

# 15. Exact Equivalence 與 Approximate Equivalence

理論極限可以寫：

$$
o_i
\sim_{req}
o_j
$$

若所有 tests distribution 完全相同。

但實際 finite data 只能做：

$$
\boxed{
o_i
\sim_{req}^{(\epsilon,\mathcal T,B)}
o_j.
}
$$

其中：

- $\epsilon$：approximation tolerance；
- $\mathcal T$：test family；
- $B$：resource / sample budget。

所以：

$$
\boxed{
ControlledEquivalence
\text{ is finite-resolution in practice}.
}
$$

---

# 16. Controlled Predictive Domain Candidate

令：

$$
\mathcal P_{obs}
$$

為 Presentation space。

則：

$$
\boxed{
\mathfrak D_{ctrl}^{(\epsilon,\mathcal T,B)}
=
\mathcal P_{obs}
/\sim_{req}^{(\epsilon,\mathcal T,B)}.
}
$$

這是本文的核心 quotient candidate。

但：

$$
\boxed{
\mathfrak D_{ctrl}
\neq
\text{PromotedWorldOntology}.
}
$$

它首先只是 observer-relative operational quotient。

---

# 17. Domain 不再依照「看起來像什麼」

傳統 taxonomy 可能把：

- doors；
- files；
- users；
- messages；

按 topic 分類。

Controlled Predictive Domain 問的是：

> 對同一族 requests，哪些 Presentations 的 boundary responses 與 future observations近似相同？

因此：

$$
\boxed{
TopicSimilarity
\neq
ControlledDomainSimilarity.
}
$$

兩個不同 object type 甚至可能在某 task-relative action family 下具有相似 operational response。

---

# 18. Domain 也不等於 Affordance List

「可做哪些 action」比靜態 topic 更接近 operational domain。

但仍不夠。

因為兩個 states 可以允許同樣 actions，卻產生完全不同 future distributions。

因此：

$$
\boxed{
SameActionSet
\not\Rightarrow
SameControlledState.
}
$$

要比較的是：

$$
\boxed{
Action/Request
+
FutureResponseDistribution.
}
$$

---

# 19. Domain 也不等於 Policy

一個 policy：

$$
\pi(a\mid o)
$$

說明 agent 想選什麼。

Controlled domain：

$$
\mathfrak D_{ctrl}
$$

說明 World interface 如何回應 actions / requests。

因此：

$$
\boxed{
Policy
\neq
ControlledPredictiveDomain.
}
$$

即使 behavior policy 改變，World response structure可能仍相同。

---

# 20. Exploration Policy 只是 Data Collection Layer

Phase 0.11 behavior policy 保留：

$$
0.65
$$

random exploration probability。

其目的：

> 避免 action coverage 被單一 heuristic policy 鎖死。

但：

$$
\boxed{
BehaviorPolicy
\neq
ControlledDomainDefinition.
}
$$

policy 只決定我們觀察到哪些 tests。

domain definition 應基於 response law。


---

# 21. CAPIS：One-Step Engineering Approximation

Phase 0.11 的 CAPIS 只建立：

$$
\boxed{
\Phi_{CAPIS}(o)
=
\bigoplus_{a\in\mathcal A}
\bigoplus_j
P(
O_{t+1}^{(j)}
\mid
O_t=o,
A_t=a
).
}
$$

其中 future Presentation 被 factorized 成 fields。

這是：

$$
\boxed{
\text{one-step finite approximation}.
}
$$

不是完整：

$$
P(
O_{t+1:t+k}
\mid
A_{t:t+k-1},
H_t,
O_t
).
$$

---

# 22. CAPIS Selection

Phase 0.11 使用：

- JS divergence；
- minimum support；
- train / validation MDL selection；
- test-only frozen evaluation。

Main selected：

$$
\delta_{JS}=0.08,
$$

$$
MinSupport=8,
$$

$$
K_{CAPIS}=36.
$$

observed Presentation contexts：

$$
333.
$$

這表示 CAPIS 把大量 raw contexts 壓成較少 predictive states。

---

# 23. Main CAPIS Gain

Main test：

$$
Bits_{exact\ obs+action}
=
3.9936,
$$

$$
Bits_{CAPIS}
=
3.8866.
$$

因此：

$$
\boxed{
\Delta_{CAPIS}
=
0.1069
\text{ bits/transition}.
}
$$

這表示：

> 即使 action 已知，raw Presentation identity 仍存在可以由 predictive-response similarity 壓縮的 redundancy。

---

# 24. Normal Robustness

五個 normal splits：

$$
ExactMean
=
3.9580,
$$

$$
CAPISMean
=
3.8489.
$$

平均：

$$
\boxed{
MeanGain
=
0.1091.
}
$$

且：

$$
\boxed{
PositiveGain
=
5/5.
}
$$

因此 Main gain 不是單一 split artifact。

---

# 25. Regime-Adapted Robustness

六個 regime-adapted CAPIS gains：

$$
0.0852,
0.7007,
0.2629,
0.1584,
0.3041,
0.5160.
$$

全部：

$$
\boxed{
6/6>0.
}
$$

平均：

$$
\boxed{
0.3379
\text{ bits/transition}.
}
$$

特別是 noisy observation / mixed regime，predictive pooling gain 較大。

這支持一個候選：

$$
\boxed{
\text{controlled predictive quotient can absorb some observation noise / regime variation}.
}
$$

但仍限 synthetic data。

---

# 26. Leave-One-Regime-Out

更嚴格地，held-out regime 不參與 CAPIS selection。

六個 gains：

$$
0.0533,
0.0859,
0.0392,
0.0064,
0.0309,
0.1040.
$$

得到：

$$
\boxed{
6/6>0.
}
$$

平均：

$$
\boxed{
0.0533
\text{ bits/transition}.
}
$$

跨 regime gain 比 within-regime 小很多。

這是應該被保留的限制，而不是壞消息。

---

# 27. Cross-Regime Transfer 不等於 Universal State

雖然：

$$
6/6
$$

為正，

最低 gain 只有：

$$
0.0064.
$$

因此不能宣告：

$$
\boxed{
CAPIS
=
UniversalControlledState.
}
$$

更保守：

$$
\boxed{
CAPIS
\text{ shows regime-transferable signal under current synthetic family}.
}
$$

---

# 28. Hidden-State Oracle Gap

Main hidden-state action oracle：

$$
Bits_{oracle}
=
2.6449.
$$

CAPIS：

$$
3.8866.
$$

差：

$$
\boxed{
1.2417
\text{ bits/transition}.
}
$$

所以 CAPIS 遠不是完整 hidden World state。

這個 gap 是非常重要的 anti-overclaim evidence。

---

# 29. State Count Coincidence 不是 Recovery

Main：

$$
K_{CAPIS}=36.
$$

synthetic hidden World cardinality 也剛好：

$$
36.
$$

這個數字非常容易造成錯覺：

> CAPIS recovered the hidden World.

但 NMI：

$$
\boxed{
0.5503.
}
$$

permutation mean：

$$
0.0536.
$$

表示：

$$
\boxed{
\text{non-random relation}
\land
\text{non-identity}.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
SameCardinality
\not\Rightarrow
SameStateSpace.
}
$$

---

# 30. Presentation Non-Identity 再次成立

CAPIS 是從：

$$
Presentation
+
Action
+
FuturePresentation
$$

學得。

不是從 hidden World primitive。

因此：

$$
\boxed{
CAPIS
\neq
HiddenWorldState.
}
$$

這和 MWT：

$$
\boxed{
\text{No single presentation is World by default}
}
$$

一致。

---

# 31. Controlled Predictive Domain 不是 Hidden-State Reconstruction

本文的目標不是：

$$
\boxed{
Recover(
W_t^{hidden}
).
}
$$

而是：

$$
\boxed{
Compress(
\text{World-facing response behavior under controlled tests}
).
}
$$

hidden-state recovery 和 controlled response equivalence 是不同研究問題。

---

# 32. Predictive Sufficiency 仍然是 Task-Relative

一個 controlled state 對：

$$
\text{next Presentation}
$$

有用，

不表示對：

- long-horizon reward；
- safety；
- planning；
- causal identification；
- social effect；

都 sufficient。

因此：

$$
\boxed{
ControlledSufficiency
\text{ is target-relative}.
}
$$

---

# 33. Multi-Step Controlled Test

真正更接近 PSR / input-output state 的版本需要：

$$
\boxed{
\tau_k
=
(
r_1,y_1,
r_2,y_2,
\ldots,
r_k,y_k
).
}
$$

其中：

$$
r_i
$$

是 request，

$$
y_i
$$

是 CWB/world/presentation response。

則：

$$
\boxed{
\Phi_{\mathcal T}^{(k)}(h_t,o_t)
=
\bigoplus_{\tau\in\mathcal T_k}
P(
Y_{1:k}
\mid
h_t,o_t,R_{1:k}
).
}
$$

這是 CODT-09 的理論主體。

CAPIS 只是：

$$
k=1
$$

的有限近似。

---

# 34. Test Family

不可能測所有 possible requests。

因此需要：

$$
\boxed{
\mathcal T_k
=
\text{bounded controlled test family}.
}
$$

test family 應記：

- request types；
- parameter ranges；
- legality policy；
- horizon；
- observer；
- resource budget；
- World regime；
- sampling policy。

所以 controlled equivalence 永遠要標明：

$$
\boxed{
\mathcal T,
k,
B,
O,
R.
}
$$

---

# 35. Test Coverage

如果兩個 Presentations 只在一小組 actions 上看起來相同，

不能直接 generalize 到所有 actions。

因此：

$$
\boxed{
EquivalenceUnder(\mathcal T_1)
\not\Rightarrow
EquivalenceUnder(\mathcal T_2).
}
$$

當：

$$
\mathcal T_1
\subsetneq
\mathcal T_2.
$$

test family 擴張可能 split 原 state。

---

# 36. Controlled Relative Atomicity

因此 controlled state 也具有 relative atomicity。

若：

$$
C^{ctrl}_t
$$

在 current tests 下不可區分，

新增 action tests 後可能 split：

$$
C^{ctrl}_t
\rightarrow
C_{t+1}^{ctrl,1}
\cup
C_{t+1}^{ctrl,2}.
$$

所以：

$$
\boxed{
ControlledStateAtomic_t
\not\Rightarrow
ControlledStateAtomic_{t+1}.
}
$$

這直接連回 CODT-02。

---

# 37. Domain Promotion 必須隨 Test Family Version

若：

$$
\mathfrak D_{ctrl}^{v1}
$$

基於 test family：

$$
\mathcal T^{v1},
$$

而：

$$
\mathcal T^{v2}
$$

新增重要 actions，

domain identity 必須重新 review。

因此：

$$
\boxed{
ControlledDomainVersion
=
f(
TestFamilyVersion,
WorldVersion,
CWBVersion,
ObserverVersion
).
}
$$

---

# 38. World Version 也會改變 Controlled Domain

如果 World dynamics 改變：

$$
K_R^{World}
\rightarrow
K_{R'}^{World},
$$

相同 request family 可能產生不同 response distribution。

因此：

$$
\boxed{
ControlledDomain
\text{ is World-regime conditioned}.
}
$$

這和 Flow-Atlas Separation 的 regime conditioning 相容。

---

# 39. CWB Version 也會改變 Controlled Domain

如果 authorization policy 改變：

$$
CWB^{v1}
\rightarrow
CWB^{v2},
$$

同一 Presentation / request 可能從：

$$
Denied
$$

變成：

$$
Authorized.
$$

所以：

$$
\boxed{
ControlledDomain
\text{ depends on boundary semantics}.
}
$$

這不是缺陷。

因為 cognition-world interface 本來就包含 legality。

---

# 40. Observer Version 也會改變 Controlled Domain

如果 observation map：

$$
\rho_O
$$

改變，

Presentation resolution 也改變。

因此：

$$
\boxed{
\mathfrak D_{ctrl}
=
\mathfrak D_{ctrl}(
O,
R,
CWB,
\mathcal T,
B
).
}
$$

這是 observer-embedded controlled domain。

---

# 41. Controlled Domain 不是 Absolute World Partition

因為：

$$
\mathfrak D_{ctrl}
$$

依 observer / tests / boundary / regime 而變，

所以：

$$
\boxed{
ControlledDomain
\neq
AbsolutePartitionOfWorld.
}
$$

它是 World-facing operational quotient。

不是上帝視角 ontology。

---

# 42. Bisimulation 的外部類比

MDP bisimulation 研究問：

> 哪些 states 在 rewards 與 action-conditioned transition distributions 上具有相同行為？

Ferns、Panangaden、Precup 的 bisimulation metrics 更將「行為接近」量化成 state distance。

這和 CPD 有很強的外部方法學相似性：

$$
\boxed{
\text{compare states by consequences under actions}.
}
$$

但 CPD 不等同 bisimulation quotient。

---

# 43. 為什麼不是 Exact Bisimulation

差異包括：

1. CPD base object 是 observer-relative Presentation，不一定是 MDP Markov state；
2. CWB legality / denial 是一級 interface outcome；
3. 不預設 reward function；
4. partial observability 仍存在；
5. CAPIS 是 finite empirical approximation；
6. World 可以不是 stationary finite MDP；
7. domain promotion還需要 CODT 的 boundary / history / complexity evidence。

因此：

$$
\boxed{
CPD
\neq
ExactBisimulation.
}
$$

---

# 44. PSR 是最接近的方法學種子之一

Predictive Representations of State 提出：

$$
\boxed{
\text{multi-step action-conditioned predictions of future observations}
}
$$

可以作 dynamical-system state representation。

這和 CODT-09 的：

$$
P(
O_{1:k}
\mid
A_{1:k},
H_t,O_t
)
$$

非常接近。

但 CODT 額外要求：

- CWB-mediated action；
- request / authorization / commit separation；
- observer-relative Presentation；
- domain / atlas separation；
- promotion gate；
- explicit World boundary.

因此：

$$
\boxed{
CPD
\neq
PSR.
}
$$

PSR 是方法學近鄰，不是同一理論。

---

# 45. Epsilon-Transducer 的外部類比

epsilon-transducer 研究 stochastic input-output processes 的 predictive causal states。

這與：

$$
RequestSequence
\rightarrow
OutcomeSequence
$$

的 controlled interface 很接近。

它提醒 CODT：

> input-output memory structure 可以被視為一級 predictive object。

但 CAPIS 不是 exact epsilon-transducer reconstruction。

因此：

$$
\boxed{
CAPIS
\neq
\epsilon\text{-transducer}.
}
$$

---

# 46. Controlled Prediction 不等於 Causal Identification

如果：

$$
P(
O_{t+1}
\mid
do(A_t=a),O_t
)
$$

可以被介入式估計，會更接近 causal effect。

但 Phase 0.11 的 synthetic behavior policy 只是具有 random exploration，不代表建立了普遍 causal-identification guarantees。

因此：

$$
\boxed{
ActionConditionalPrediction
\neq
CausalIdentification.
}
$$

即使 action 是真的 commit，也仍需考慮 confounding、selection、policy dependence 等問題。

---

# 47. CWB-Mediated Action 仍比 Retrospective Label 更強

雖然不等於 causal identification，

但：

$$
\boxed{
\text{logged committed action}
}
$$

仍比：

> 從 outcome 反推「好像做了 action」

更可信。

Phase 0.11 runtime contract 明確要求 action labels 是 first-class predictive inputs，不能從 outcomes retroactively infer。

這是 controlled domain 的最低資料條件。

---

# 48. Action Coverage 和 Confounding 必須分開

random exploration 可以改善 action coverage。

但：

$$
Coverage
\neq
Unconfoundedness.
$$

如果 action choice 仍依 observable context：

$$
\pi(a\mid o),
$$

估計：

$$
P(O'\mid o,a)
$$

仍應清楚標明 behavior policy 與 support。

所以：

$$
\boxed{
ControlledDomainEvidence
\text{ must carry policy provenance}.
}
$$

---

# 49. Unsupported Action 不可外插

如果：

$$
P(A=a\mid O=o)
\approx0,
$$

那麼：

$$
P(O'\mid o,a)
$$

估計可能極不可靠。

因此 controlled state clustering 必須知道：

$$
\boxed{
ActionSupport(o,a).
}
$$

不能把沒有資料的 action response 當成相同。

---

# 50. Unknown Response 應保持 Unknown

若某 request 在兩個 states 都沒有足夠 support，

應標：

$$
Unknown,
$$

不是：

$$
Equivalent.
$$

所以：

$$
\boxed{
MissingEvidence
\neq
EqualResponse.
}
$$

這延續 CODT 的四態 legality / uncertainty discipline。


---

# 51. Controlled Predictive Distance

在 approximate setting 中，可定義：

$$
\boxed{
d_{ctrl}(o_i,o_j)
=
D(
\Phi_{\mathcal T}(o_i),
\Phi_{\mathcal T}(o_j)
).
}
$$

這個 distance 可以成為：

- clustering；
- nearest-neighbor；
- state aggregation；
- exploration；
- anomaly detection；

的 derived control variable。

但：

$$
\boxed{
Distance
\neq
DomainTruth.
}
$$

distance 只是 evidence carrier。

---

# 52. Task-Weighted Controlled Distance

若某些 requests 對 task 更重要，

可以定義：

$$
\boxed{
d_{ctrl}^{G}(o_i,o_j)
=
\sum_{r\in\mathcal T}
w_G(r)
D_r(
o_i,o_j
).
}
$$

其中：

$$
w_G(r)
$$

由 task / safety / control objective 指定。

因此：

$$
\boxed{
ControlledSimilarity
\text{ can be task-relative}.
}
$$

這和 CODT-07 的 task-relative predictive sufficiency 相容。

---

# 53. Safety-Weighted Test Family

對 high-risk domain，不能只平均所有 actions。

可以對：

- irreversible actions；
- permission-sensitive actions；
- boundary-critical actions；

提高權重。

因此：

$$
\boxed{
SafetyCriticalDifference
}
$$

不應被大量低風險相似 response 平均掉。

---

# 54. Legality Signature

對 Presentation $o$，

定義：

$$
\boxed{
\Lambda_{req}(o)
=
\{
P(
CWBOutcome
\mid
o,r
)
:
r\in\mathcal R
\}.
}
$$

這是 boundary-facing legality signature。

若：

$$
\Lambda_{req}(o_i)
\neq
\Lambda_{req}(o_j),
$$

即使 future observations 很像，

兩者仍可能不應 merge。

---

# 55. World-Response Signature

對成功 commit actions：

$$
\boxed{
\Psi_{world}(o)
=
\{
P(
O_{t+1}
\mid
o,r,
Commit
)
\}.
}
$$

所以 controlled state 可以拆成：

$$
\boxed{
\Phi_{req}(o)
=
(
\Lambda_{req}(o),
\Psi_{world}(o)
).
}
$$

這把：

- can this request pass boundary？
- if it commits, what happens？

分開。

---

# 56. Boundary Equivalence 與 World-Response Equivalence

因此至少有兩個 quotient：

$$
\boxed{
o_i
\sim_{CWB}
o_j
}
$$

若 CWB response signatures 相同。

以及：

$$
\boxed{
o_i
\sim_{World}
o_j
}
$$

若成功 commit 後 future Presentation response 相同。

完整 controlled equivalence 可能要求：

$$
\boxed{
\sim_{ctrl}
=
\sim_{CWB}
\cap
\sim_{World}.
}
$$

這是 conceptual candidate。

---

# 57. 為什麼要拆成兩個 Quotient

如果只看 CWB：

兩個 states 都 authorized，

但 World response 可以不同。

如果只看 World response：

兩個 states 在共同成功 action 下結果一樣，

但其中一個其實通常被 denied。

所以：

$$
\boxed{
BoundaryBehavior
\neq
WorldDynamics.
}
$$

受控 domain 應知道自己是在壓哪一層。

---

# 58. Controlled Interface State

本文因此把 controlled interface state 暫寫成：

$$
\boxed{
C_t^{ctrl}
=
(
C_t^{boundary},
C_t^{response}
).
}
$$

不是要求實作一定用 tuple。

而是提醒：

> legality equivalence 與 response equivalence 可以有不同 failure mode。

---

# 59. Domain 和 State 再次分離

即使 CAPIS / controlled states 很有 predictive value，

也不能直接說：

$$
CAPISState
=
ControlledDomain.
$$

state 是 instance-level predictive representation。

domain 是：

$$
\boxed{
\text{stable quotient / region supported across histories, tests and regimes}.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
ControlledState
\neq
ControlledDomain.
}
$$

---

# 60. Controlled Domain 的 Domain-Likeness

沿用 CODT-03：

$$
DLike
$$

但對 World-facing domain 增加 controlled evidence。

可寫：

$$
\boxed{
DLike_{ctrl}
=
f(
PredictiveGain,
ActionRobustness,
BoundaryCoherence,
ResponseCoherence,
Compression,
Stability,
Transfer,
TestCoverage
).
}
$$

它仍是一個 evidence vector。

不是 universal scalar。

---

# 61. Controlled Domain Promotion Gate

一個 CPD candidate 至少應通過：

## C1. Action-Conditioned Predictive Gain

比 passive / exact raw state baseline 好。

## C2. Action-Shuffle Falsification

打亂 action/request 後 performance 顯著惡化。

## C3. Boundary Preservation

request / authorization / commit / outcome chain 完整。

## C4. Complexity Control

state / quotient complexity 被計入。

## C5. Cross-Split Robustness

不同 seeds / sessions 保持。

## C6. Cross-Regime Transfer

至少知道 transfer scope。

## C7. Hidden-State Non-Identity Audit

不能因 state-count coincidence 就宣稱 World recovery。

## C8. Multi-Step Test Evidence

若要升格 strong CPD，應超越 one-step approximation。

## C9. External Agent / World Replication

不能永遠只靠 synthetic simulator。

## C10. Observer / Policy Provenance

test family、behavior policy、observer map 都可追蹤。

因此：

$$
\boxed{
CAPIS_{v0.11}
\text{ has not passed full CPD promotion}.
}
$$

---

# 62. DomainPromotionCount 仍為 0

本文維持：

$$
\boxed{
DomainPromotionCount=0.
}
$$

不是因 Phase 0.11 沒有成果。

而是因為：

- synthetic World；
- artificial request/action family；
- one-step predictive signature；
- factorized Presentation；
- no real-agent replication；
- hidden oracle gap；
- no multi-step core tests。

因此目前只能：

$$
\boxed{
ControlledPredictiveDomainCandidate.
}
$$

---

# 63. Cognitive Atlas 與 Controlled Domain 的關係

既有 atlas：

$$
\pi_R^{dst}
$$

主要壓 operator space。

CPD：

$$
\mathfrak D_{ctrl}
$$

主要壓 Presentation / World-interface response space。

因此：

$$
\boxed{
\text{Cognitive Atlas}
\neq
\text{Controlled World Interface Domain}.
}
$$

兩者 base spaces 不同。

---

# 64. Coupling Map

可以提出：

$$
\boxed{
\kappa_t:
(
\pi_R^{dst},
\mathfrak D_{ctrl}
)
\rightarrow
ActionRoutingPattern.
}
$$

它回答：

> 某 cognitive operator/domain state 通常會對哪些 controlled World interface states 發出哪些 requests？

這是未來 coupling atlas。

但 CODT-09 不把它展開成新系列。

只保留接口。

---

# 65. Operator Domain 到 World Domain 的橋

一個 cognitive program：

$$
Planning
$$

可能位於：

$$
\mathfrak D_{plan}.
$$

它形成：

$$
ActionIntent
\rightarrow
ActionRequest.
$$

request 進入：

$$
\mathfrak D_{ctrl}.
$$

因此：

$$
\boxed{
CognitiveDomain
\rightarrow
RequestBridge
\rightarrow
ControlledWorldDomain.
}
$$

這是 domain-domain coupling。

不是 domain merge。

---

# 66. Cross-Domain Action 不等於 World-Domain Collapse

同一 action 可以由多個 cognitive domains 產生。

同一 World-interface state 也可以被多個 programs 操作。

因此：

$$
\boxed{
ManyToManyCoupling
}
$$

是正常情況。

不能把：

$$
PlanningDomain
$$

和：

$$
DoorControlDomain
$$

合併成單一 mega-domain。

---

# 67. Controlled Domain 和 Affordance Theory 的距離

「一個 state 允許什麼 action」與 affordance 概念有直覺相似性。

但 CPD 不採用 affordance 作 canonical definition。

因為 CPD 還要求：

- request/authority mediation；
- stochastic future response；
- predictive quotient；
- observer-relative Presentation；
- history / regime / test-family scope。

因此：

$$
\boxed{
ControlledDomain
\neq
AffordanceList.
}
$$

---

# 68. Controlled Domain 和 Capability Domain 的距離

系統 capability registry 可以說：

$$
Tool_X
\text{ supports }
Action_Y.
$$

但這是 implementation capability。

CPD 是：

$$
\boxed{
\text{response equivalence of presentations under controlled requests}.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
CapabilityDomain
\neq
ControlledPredictiveDomain.
}
$$

---

# 69. Controlled Domain 和 Causal State 的距離

computational mechanics 的 causal states 依 past histories 對 future distributions 的等價關係建立 minimal predictive states。

epsilon-transducer 則處理 input-output process。

這和 CPD 很接近。

但 CODT 的 state base 是：

- Presentation；
- CWB boundary；
- World request；
- commit；
- outcome presentation；

且目前只做 finite approximate tests。

因此：

$$
\boxed{
CPD
\neq
ExactCausalState.
}
$$

---

# 70. Minimal Core Tests

如果一個很大的 test family：

$$
\mathcal T
$$

中只有少量 requests 真正區分 states，

可以尋找：

$$
\boxed{
\mathcal T_{core}
\subseteq
\mathcal T
}
$$

使：

$$
Equiv_{\mathcal T_{core}}
\approx
Equiv_{\mathcal T}.
$$

這會形成 **Minimal Core Test Problem**。

它和 PSR core tests 有方法學相似性。

---

# 71. Core Tests 不是永恆的

當：

- World regime 改變；
- observer resolution 改變；
- CWB policy 改變；
- task 改變；

core tests 也可能改變。

所以：

$$
\boxed{
CoreTests_t
\not\Rightarrow
CoreTests_{t+1}.
}
$$

仍遵守 relative atomicity / versioning。

---

# 72. Action-Response Kernel

可以把受控 dynamics 抽象成：

$$
\boxed{
K_R(
y'
\mid
o,r
).
}
$$

其中：

- $o$：current Presentation；
- $r$：request；
- $y'$：boundary + World + next Presentation outcome；
- $R$：regime。

則 controlled quotient 是對：

$$
K_R
$$

的 row similarity / predictive equivalence。

---

# 73. Flow-Atlas Separation 再次出現

如果 regime change 先改變：

$$
K_R
$$

而 controlled quotient 不需要重畫，

則：

$$
\boxed{
ControlledFlow
\neq
ControlledAtlas.
}
$$

因此 CODT-05 的 Flow-Atlas Separation 也適用於 World interface。

---

# 74. Controlled Atlas Switch Gate

同樣可以定義：

$$
\boxed{
NetControlledSwitchGain
=
PredictiveGain
-
StateMapCost
-
TestMigrationCost
-
InstabilityCost.
}
$$

只有 positive 且 robust 才應重畫 CPD atlas。

---

# 75. Action-Response Drift

可以監控：

$$
\boxed{
D(
K_{R_t},
K_{R_{t+1}}
).
}
$$

如果 response kernel drift，

先更新 controlled flow。

不應立即：

$$
ReclusterAllStates.
$$

這延續：

$$
\boxed{
UpdateFlowFirst,
RechartOnlyIfEarned.
}
$$

---

# 76. Boundary Drift

如果 CWB policy 改變，

response drift 可能不是 World dynamics 變化。

而是：

$$
\boxed{
BoundaryKernelDrift.
}
$$

所以 controlled monitoring 至少要分：

- boundary drift；
- world dynamics drift；
- observer drift；
- behavior-policy drift。

---

# 77. Observer Drift

如果 sensor / Presentation map 改變：

$$
\rho_O^{v1}
\rightarrow
\rho_O^{v2},
$$

即使 World 一樣，

CAPIS state distribution 也可能變。

因此：

$$
\boxed{
PresentationDrift
\neq
WorldDrift.
}
$$

這是 OPAS 在 controlled setting 的延伸。

---

# 78. Behavior Policy Drift

如果 exploration / action selection policy 改變，

observed data distribution 會改。

但：

$$
K_R(
y\mid o,r
)
$$

本身未必改。

因此：

$$
\boxed{
PolicyDrift
\neq
ResponseKernelDrift.
}
$$

---

# 79. Controlled Runtime State

整合 CODT-07、08、09：

$$
\boxed{
\begin{aligned}
CognitiveWorldRuntime_t
=
(
&H_t,
S_t^{obs},
S_t^{pred},
P_t,
\mathcal A_t,\\
&I_t^{act},
A_t^{req},
CWB_t,
K_t^{ctrl},
\mathfrak D_{ctrl,t}
).
\end{aligned}
}
$$

這仍是 architecture separation。

不是 final ontology。

---

# 80. Canonical Evidence

Controlled domain 的 canonical evidence 應保存：

- Presentation before；
- request；
- CWB decision；
- authorization；
- WorldOperator invocation；
- commit / failure；
- OutcomePresentation；
- observer；
- policy；
- regime；
- time；
- provenance。

derived CAPIS / CPD state labels不能取代原始 trace。

---

# 81. Controlled Quotient Non-Rewriting

如果今天：

$$
o_1,o_2
$$

被 merge，

明天又 split，

舊 trace 仍保留 raw presentations。

因此：

$$
\boxed{
ControlledReclassification
\neq
HistoryRewrite.
}
$$

這延續整個 CODT 的 canonical-history discipline。

---

# 82. Real Agent Tool Traces 的未來入口

真正下一步若要外部驗證，

可以使用：

- tool calls；
- filesystem actions；
- API operations；
- game-world actions；
- robotics commands；

只要能保存 CWB-equivalent chain。

但必須注意：

$$
\boxed{
\text{logged tool call}
\neq
\text{complete hidden reasoning}.
}
$$

CODT 只分析 externally auditable world-facing process。

---

# 83. Human Action Traces 的困難

human cognition 的 intent / request / action boundary 不像軟體那麼容易 log。

因此 human replication 可能需要：

- explicit experimental task；
- controlled interface；
- action logging；
- outcome recording；
- observer presentation design。

不能用日常行為資料就宣稱完整 CPD。

---

# 84. Embodied AI 的重要性

CPD 特別適合 robotics / embodied agents。

因為：

$$
\boxed{
\text{World response under action}
}
$$

比純文字語義更直接。

但 embodied systems 又會增加：

- continuous state；
- sensor noise；
- delay；
- irreversible action；
- safety constraints。

所以 CAPIS 的 finite discrete setup 只是最小原型。

---

# 85. Virtual Worlds 的優勢

game / simulated World 可以提供：

- exact action logs；
- controlled interventions；
- hidden-state oracle；
- safe reset；
- counterfactual replay。

因此很適合作為 CPD benchmark。

但：

$$
\boxed{
SimulationSuccess
\neq
RealWorldValidity.
}
$$

仍需外部 transfer。

---

# 86. CODT-09 Constitution

在 CODT-C0 至 C70 基礎上，本文新增：

## CODT-C71：Passive-Controlled Separation

$$
\boxed{
PassivePredictiveState
\neq
ControlledPredictiveState.
}
$$

## CODT-C72：Action First-Classness

$$
\boxed{
Action/Request
\text{ is a first-class predictive variable}.
}
$$

## CODT-C73：Boundary-Aware Controlled Outcome

$$
\boxed{
ControlledOutcome
=
(
CWBOutcome,
CommitStatus,
FuturePresentation
).
}
$$

## CODT-C74：Legal-Set Difference Preservation

$$
\boxed{
DifferentLegalActionSets
\text{ must not be erased by intersection-only comparison}.
}
$$

## CODT-C75：Controlled Equivalence Is Test-Relative

$$
\boxed{
\sim_{ctrl}
=
\sim_{ctrl}(
\mathcal T,
B,
O,
R,
CWB
).
}
$$

## CODT-C76：Controlled State / Domain Separation

$$
\boxed{
ControlledPredictiveState
\neq
ControlledPredictiveDomain.
}
$$

## CODT-C77：Hidden-State Non-Identity

$$
\boxed{
CAPIS
\neq
HiddenWorldState.
}
$$

## CODT-C78：Controlled Domain / Cognitive Atlas Separation

$$
\boxed{
\mathfrak D_{ctrl}
\neq
\mathcal A^{Cog}.
}
$$

## CODT-C79：Action-Conditional Prediction / Causal Identification Separation

$$
\boxed{
ActionConditionalPrediction
\neq
CausalIdentification.
}
$$

## CODT-C80：Controlled Reclassification Non-Rewriting

$$
\boxed{
ControlledReclassification
\neq
CanonicalHistoryRewrite.
}
$$

---

# 87. 本文的理論地位

本文不是在宣稱：

> CAPIS 已經找到真實 World domains。

本文真正建立的是：

$$
\boxed{
\text{a controlled domainization criterion}.
}
$$

也就是：

> 若一個 domain 要真正聲稱自己接到 World，就應接受「相同行動／請求下，未來可觀察後果是否一致」的檢驗。

這比 topic label 更強。

也比 static observation clustering 更強。

---

# 88. 本文沒有證明什麼

本文沒有證明：

1. CAPIS 是 exact PSR；
2. CAPIS 是 exact bisimulation quotient；
3. CAPIS 是 epsilon-transducer；
4. synthetic World 已代表真實 World；
5. 36 CAPIS states 等於 36 hidden states；
6. one-step future 足夠；
7. current action alphabet complete；
8. request-response equivalence 等於 causal equivalence；
9. CPD 可以取代 Cognitive Atlas；
10. domain promotion 已成立。

---

# 89. 本文真正得到的最強結論

目前最強支持是：

$$
\boxed{
\text{action-conditioned predictive structure contains robust synthetic signal}.
}
$$

證據包括：

- action conditioning gain 很大；
- CAPIS 5/5 normal positive；
- 6/6 regime-adapted positive；
- 6/6 leave-one-regime-out positive；
- action-shuffle null 明顯更差；
- hidden-state relation 非隨機但非 identity。

這足以支持 theory candidate。

不足以支持 final ontology。

---

# 90. 與 CODT-10 的接口

CODT-09 已經完成最後一個專題模組：

- operator；
- domain；
- shared-bottom；
- flow；
- history；
- observable/predictive state；
- World boundary；
- controlled predictive domain。

剩下第十篇不應再發明新 layer。

它的任務是：

$$
\boxed{
\text{unify}.
}
$$

CODT-10 將把整個系列收成：

$$
\boxed{
\text{Operator}
\rightarrow
\text{Program}
\rightarrow
\text{Domain}
\rightarrow
\text{Flow/History/State}
\rightarrow
\text{World Boundary}
\rightarrow
\text{Controlled World Coupling}.
}
$$

並建立 canonical symbol table、layer map、constitution index、non-claims 與 research agenda。

---

# 結論

CODT-09 問了一個比「這是什麼類別？」更實際的問題：

> 如果我真的對它做事，它怎麼回應？

因此 World-facing domain 不再主要由：

- topic；
- 名稱；
- embedding；
- static observation；

決定。

而由：

$$
\boxed{
\text{request}
+
\text{boundary response}
+
\text{World transition}
+
\text{future Presentation}
}
$$

共同定義。

最簡單版本：

$$
\boxed{
o_i
\sim_{ctrl}
o_j
}
$$

如果兩者在同一族 controlled tests 下具有近似相同的 response distributions。

但 CODT-08 讓我們知道，只寫：

$$
a\in\mathcal A_{legal}
$$

還不夠。

因為：

$$
\boxed{
\text{legality difference itself is information}.
}
$$

所以本文更推薦：

$$
\boxed{
\Phi_{req}(o)
=
\bigoplus_{r\in\mathcal R}
P(
CWBOutcome,
CommitStatus,
O_{t+1}
\mid
o,r
).
}
$$

這使 controlled predictive domain 真正把 cognition、legality、World dynamics 與 observer presentation 接在同一個可測 interface 上。

但它仍然不是 World itself。

因此：

$$
\boxed{
\text{Controlled Predictive Domain}
\neq
\text{Hidden World State}
\neq
\text{Ultimate Ontology}.
}
$$

它只是一個更強的 operational quotient：

> 對一族可審計、可合法執行、可觀察結果的 requests 而言，哪些 Presentations 在未來反應上足夠不可區分？

這個問題把 CODT 的 domainization 從「認知內部的 operator ecology」推到了「認知與世界的閉環作用」。

而且不需要宣稱 cognition 已經看見 World 本體。

這正是 CODT-09 的核心：

$$
\boxed{
\text{A world-facing domain is not what looks alike;
it is what responds alike under controlled, mediated interaction.}
}
$$

---

# 參考文獻與外部研究種子

## A. Predictive State Representations

1. Littman, M. L., Sutton, R. S., & Singh, S. (2001). "Predictive Representations of State." *Advances in Neural Information Processing Systems 14*, 1555-1561.

## B. Bisimulation / Behavioral State Similarity

2. Ferns, N., Panangaden, P., & Precup, D. (2004). "Metrics for Finite Markov Decision Processes." *Proceedings of UAI 2004*, 162-169.
3. Ferns, N., Panangaden, P., & Precup, D. (2011). "Bisimulation Metrics for Continuous Markov Decision Processes." *SIAM Journal on Computing*, 40(6), 1662-1714.

## C. Input-Output Predictive Structure

4. Barnett, N., & Crutchfield, J. P. (2015). "Computational Mechanics of Input-Output Processes: Structured Transformations and the Epsilon-Transducer." *Journal of Statistical Physics*, 161, 404-451.

**邊界聲明：** PSR 提供 action-conditioned future-observation state representation 的外部方法學近鄰；bisimulation 提供「按 actions 後果比較 states」與 quantitative behavioral similarity 的外部近鄰；epsilon-transducer 提供 memoryful input-output predictive states 的外部近鄰。CODT 的 CWB-mediated request-response quotient、Presentation base space、legality outcome、controlled domain promotion gate 與 Cognitive Atlas separation 不宣稱等同上述理論。

## D. 內部理論來源

1. CODT-01〈從認知方法到認知算子：認知解構學的域化轉向〉。
2. CODT-02〈認知算子代數與相對原子性〉。
3. CODT-03〈認知域的生成：域不是分類名稱，而是算子閉包與操作生態〉。
4. CODT-04〈共享底層認知域：Shared-Bottom Cognitive Runtime〉。
5. CODT-05〈認知域不是固定分類：Flow-Atlas Separation〉。
6. CODT-06〈History-Flow-Atlas Separation：認知歷史、轉移動力與域結構〉。
7. CODT-07〈可觀察狀態、預測狀態與認知域：OPAS 理論〉。
8. CODT-08〈認知－世界邊界：從意圖、請求到世界轉移〉。
9. CDD Phase 0 v0.11：Controlled Action-Presentation Predictive Interface。
10. `CONTROLLED_ACTION_PRESENTATION_INTERFACE_v0.1.md`。
11. `RUNTIME_CONTRACT_v0.11.md`。
12. MWT / CWB SourcePacks。

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# 版本記錄

## v1.0

- 正式提出 Controlled Predictive Domain, CPD。
- 將 CAPIS 定位為 one-step finite engineering approximation。
- 將 controlled equivalence 從「共同合法 action」修正為 boundary-aware request-response equivalence candidate。
- 定義 `CWBOutcome + CommitStatus + FuturePresentation` 作 controlled outcome。
- 建立 request-test family、test coverage、unknown-response handling、support provenance。
- 納入 Phase 0.11 action gain、CAPIS gain、5/5 normal、6/6 adapted、6/6 leave-one-regime-out、action-shuffle、hidden-oracle gap。
- 明確固定 CAPIS / Hidden World / Cognitive Atlas 三者非同一。
- 引入 multi-step controlled tests、minimal core tests、action-response kernel、controlled-flow / controlled-atlas separation。
- 對照 PSR、bisimulation 與 epsilon-transducer，但保留 non-identity boundary。
- 維持 DomainPromotionCount=0。
- 為 CODT-10 統一總篇提供最後一個 World-facing domain component。