# MWT-06：Global Coupling Calculus and Multi-Resolution World Solve ## 跨 Presentation 耦合端口、多尺度回饋、異質 Solver Federation 與全域世界求解 **英文題名：** *MWT-06: Global Coupling Calculus and Multi-Resolution World Solve — Cross-Presentation Coupling Ports, Multi-Scale Feedback, Heterogeneous Solver Federation, and Global World Solves* **系列：** Mathematical World Theory（MWT） **篇次：** 06 **文件編號：** EML-MWT-06-2026-v0.1 **作者：** Neo.K **協作：** Aletheia / GPT-5.6 Sol **機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司 **日期：** 2026-08-18 **版本：** v0.1 **文件性質：** 數學世界論第六篇形式母稿／Global Coupling Calculus／Multi-Resolution Solver Federation／AI-native World Solve **前置文件：** MWT-01 ～ MWT-05 **狀態：** 可使用研究稿；提供 reference coupling solver；不宣稱存在對所有數學問題通用且必收斂的全域求解器 --- ## 摘要 MWT-01 至 MWT-05 已分別建立：World primitive 與多 presentation 結構、跨 presentation 合法性、非交換全域排程、可重新開啟的世界狀態，以及有限 active support 下的無界 refinement。這五層使數學世界可以表示、判定、運行、收斂與擴張。 但這仍留下最初也是最核心的問題： > **不同 presentation、不同尺度、不同 solver、不同時間步、不同 observer 與不同 operator family，能否不再只是「各算各的，再人工交換結果」，而在同一個可追蹤世界求解中互相施加約束、交換狀態、產生回饋並共同收斂？** 本文提出 **Global Coupling Calculus（GCC）** 與 **Multi-Resolution World Solve（MRWS）**。 MWT-06 的核心立場是： $$ \boxed{ \text{Global Coupling} \neq \text{All-to-All Coupling} \neq \text{Single Monolithic Equation} \neq \text{One Global Clock}. } $$ 全域耦合指的是： > 任何對當前 World inquiry 有必要且已建立合法 coupling contract 的跨域作用，都可以進入同一個全域耦合圖與收斂程序，而不因原始學科、solver、尺度、表示或局部時鐘不同而被先驗排除。 本文將一個局部求解參與者定義為： $$ \boxed{ \mathfrak P_i = ( P_i, X_i, \mathcal S_i, T_i, \lambda_i, \mathcal O_i, \mathcal C_i ), } $$ 其中： - $P_i$：native presentation； - $X_i$：local state； - $\mathcal S_i$：local solver / evolution operator； - $T_i$：local time structure； - $\lambda_i$：resolution profile； - $\mathcal O_i$：exposed observables / outputs； - $\mathcal C_i$：local certificates / constraints。 不同 participants 不要求使用同一數學語言。 兩 participants 之間透過 **coupling port** 互動： $$ \boxed{ \mathfrak p_{ij} = ( D_{ij}, B_{ij}, \tau_{ij}, R_{ij}, I_{ij}, Q_{ij}, H_{ij}, C_{ij} ). } $$ 其中： - $D_{ij}$：資料與作用域； - $B_{ij}$：presentation / semantic bridge； - $\tau_{ij}$：時間對齊映射； - $R_{ij}$：resolution transfer； - $I_{ij}$：identity / invariant contract； - $Q_{ij}$：coupling query / exchanged quantity contract； - $H_{ij}$：history / lag policy； - $C_{ij}$：coupling certificate。 因此一條 edge 不只是「傳一個數值」。 它是一個完整的： $$ \boxed{ \text{semantic} + \text{temporal} + \text{resolution} + \text{identity} + \text{history} + \text{legality} } $$ 橋接合約。 本文建立全域耦合圖： $$ \boxed{ \mathcal G_t^{C} = ( \mathcal P_t, \mathcal E_t^{C} ). } $$ 其中 nodes 是 local participants，edges / hyperedges 是 coupling ports / constraints。對 multiway coupling，允許： $$ \mathfrak p_{i_1,\ldots,i_k} $$ 而不強制拆成 pairwise edges。 World Solve 不要求一開始就組裝單一總方程。MWT 同時允許： 1. **Monolithic Solve**：組裝全域未知量與聯立條件； 2. **Partitioned Solve**：各 solver 保持自治，透過 coupling ports 迭代； 3. **Hybrid Solve**：某些區塊 monolithic，區塊間 partitioned； 4. **Asynchronous Solve**：不同 participant 依局部時間與 availability 更新； 5. **Event/Scheduled Solve**：由事件或 clock 觸發； 6. **Multirate Solve**：不同 participant 使用不同步長與 resolution。 這與既有 multiphysics / co-simulation 工程的成熟分類相容：preCICE 明確以 partitioned multi-physics / multi-scale coupling 為核心，讓既有 solver 以 communication、mapping 與 transient coupling 組成共同模擬；FMI Co-Simulation 則允許各 FMU 內含自身 solver，於 communication points 交換資料，而 master / importer 處理同步與資料交換。MWT 不重新發明這些成熟機制，而將它們抽象成可容納非物理數學 presentation 的世界級 coupling backend。 本文提出 coupling residual family： $$ \boxed{ \mathcal R^{C} = \{ r_{\mathrm{state}}, r_{\mathrm{interface}}, r_{\mathrm{time}}, r_{\mathrm{resolution}}, r_{\mathrm{semantic}}, r_{\mathrm{identity}}, r_{\mathrm{invariant}}, r_{\mathrm{history}}, r_{\mathrm{observer}} \}. } $$ 因此「收斂」不再只有： $$ \|x^{k+1}-x^k\|<\varepsilon. $$ 一個 world solve 若要 commit，至少需要對當前 inquiry 所標記的 mandatory residuals 達成 contract： $$ \boxed{ r_j \preceq \varepsilon_j \qquad \forall j\in\mathcal J_{\mathrm{mandatory}}, } $$ 或提供 exact certificate。不同 residual 可以具有不同值域與不同判定法；不要求全部強迫數值化。 對 partitioned strong coupling，本文定義 interface fixed-point map： $$ \boxed{ z^{k+1} = \Phi_{\Gamma} ( z^k ), } $$ 其中 $z$ 是跨 participant coupling state，而： $$ \Phi_{\Gamma} = \mathcal E \circ \mathcal S_n \circ \cdots \circ \mathcal S_1 $$ 只是某一 scheduling / coupling scheme 的抽象縮寫。MWT 不假設 $\Phi$ 必為 contraction，也不假設所有 world solve 必收斂。若迭代 diverge、oscillate、cycle 或產生 noncommutative branch，則結果回到 MWT-03／04／05：重排、加速、refine、branch、rollback 或保留 conflict。 時間方面，participant $i$ 使用局部時間域： $$ T_i $$ 並以： $$ \tau_i: T_i \rightharpoonup \mathbb T_C $$ 映射到共同 coupling-time coordinate。 $\mathbb T_C$ 可以是 logical / event / communication coordinate，不宣稱是唯一物理絕對時間。若兩個 participant 採不同 timestep： $$ h_i \neq h_j, $$ 則可使用 interpolation、extrapolation、waveform exchange、event synchronization 或 local subcycling；但所有 lag / stale-data policy 必須顯式進 coupling contract。 解析度方面，若： $$ \lambda_i \neq \lambda_j, $$ 需要 restriction / prolongation / aggregation / reconstruction： $$ R_{i\to j}^{\lambda}. $$ 例如 1D–3D、coarse–fine、symbolic–numeric、proof-summary–full-proof、observer-local–global-summary 都可以被視為 multi-resolution coupling，但不得假裝 transfer 無損。 本文最重要的工程原則之一是： $$ \boxed{ \text{local solvers may remain heterogeneous;} \quad \text{global coherence is enforced at coupling contracts and residuals}. } $$ 也就是不要求所有 solver 先翻譯成一個統一 solver。 在 AI-native 層，本文提出 Coupling Registry、Port Contract Store、Temporal Alignment Layer、Resolution Transfer Layer、Residual Engine、Coupling Iteration Engine、Solver Federation Manager、Acceleration / Relaxation Layer、Coupling Conflict Ledger、World-Solve Commit Engine 等十個最低模組。 MWT-06 最終把「全域計算」落在一個可執行循環： $$ \boxed{ \text{local solve} \rightarrow \text{exchange} \rightarrow \text{translate} \rightarrow \text{align} \rightarrow \text{measure residual} \rightarrow \text{feedback} \rightarrow \text{reschedule/refine} \rightarrow \text{re-solve} \rightarrow \text{world-level convergence}. } $$ 因此「一起算世界」並不是消滅局部 solver，而是讓局部 solver 在可證書化接口中共同形成一個有回饋、有時間、有尺度、有歷史的全域 solve。 **關鍵詞：** Mathematical World Theory、Global Coupling Calculus、multi-resolution coupling、partitioned multiphysics、co-simulation、solver federation、waveform relaxation、temporal alignment、residual、world solve、AI-native mathematics --- # 0. 本文的責任：真正回答「怎麼一起算」 MWT-01～05 到目前為止可以形成： $$ \mathbf W \Rightarrow \mathcal G^P \Rightarrow \mathcal I^+ \Rightarrow \mathcal G^I \Rightarrow \mathfrak S \Rightarrow \mathsf{Refine}. $$ 但這條鏈仍可能被實作成： > 每個 presentation 各自做自己的運算，最後把答案放進同一個資料庫。 那並不是本文要的「全域耦合」。 真正的 coupling 必須存在： $$ \boxed{ \text{A 的狀態改變會進入 B 的下一步條件，} } $$ 而： $$ \boxed{ \text{B 的反應又可以回寫 A 或其他 participant 的下一輪。} } $$ 也就是形成 feedback。 --- # 1. Coupling 與 Linking 的差異 MWT 前面一直使用： $$ \mathsf L $$ 表示 linking。 但： $$ \boxed{ \text{Link} \neq \text{Couple}. } $$ 一條 bridge： $$ P_i \to P_j $$ 只表示存在合法 translation / relation。 coupling 則要求這條 relation 進入一個動態求解循環。 --- # 2. Static Link 例如： $$ x_j = T_{ij}(x_i) $$ 只執行一次。 這可以是 translation。 沒有 feedback 就不必稱 strong coupling。 --- # 3. One-Way Coupling 若： $$ i \to j $$ 且 $j$ 不回寫 $i$： $$ \boxed{ \mathsf{OneWayCoupling}. } $$ 這仍是 coupling，因為 $i$ 的狀態直接成為 $j$ 的運行條件。 --- # 4. Two-Way Coupling 若： $$ i \leftrightarrow j, $$ 雙方互相影響： $$ x_i^{k+1} = S_i(x_i^k,u_{ji}^k), $$ $$ x_j^{k+1} = S_j(x_j^k,u_{ij}^{k+1}), $$ 形成 feedback loop。 --- # 5. Strong 與 Weak Coupling 本文使用工程性分類： ### Weak / Explicit Coupling 每個 communication window 只交換一次或少量，不反覆修正到 interface residual 收斂。 ### Strong / Implicit Coupling 在同一 coupling window 內重複 local solves / interface updates，直到 mandatory coupling residual 達標。 這是運行策略，不是數學價值高低。 --- # 6. Participant 定義： $$ \boxed{ \mathfrak P_i = ( P_i, X_i, \mathcal S_i, T_i, \lambda_i, \mathcal O_i, \mathcal C_i ). } $$ participant 可以是： - PDE solver； - theorem prover； - symbolic algebra system； - optimizer； - state machine； - Bayesian model； - graph solver； - simulation； - observer； - AI agent； - human-in-the-loop decision component。 --- # 7. Participant 不等於 Agent 一個 AI agent 可以執行多個 participants。 一個 participant 也可以由多 AI 協同執行。 所以： $$ \boxed{ \text{solver participant} \neq \text{execution agent}. } $$ 這延續 MWT-03 對 event / agent / operator 的分離。 --- # 8. Local Solver $$ \mathcal S_i $$ 可以是： $$ \mathcal S_i: (X_i,U_i,\Gamma_i) \rightharpoonup X_i'. $$ 它可以： - 一次直接 solve； - 迭代； - stochastic sample； - proof search； - event transition。 MWT 不要求每個 $\mathcal S_i$ 都是數值函數。 --- # 9. Coupling Port 定義： $$ \boxed{ \mathfrak p_{ij} = ( D_{ij}, B_{ij}, \tau_{ij}, R_{ij}, I_{ij}, Q_{ij}, H_{ij}, C_{ij} ). } $$ 它是 MWT-06 最重要的 primitive-like runtime interface。 但它仍然是 World presentation 中的工程結構，不是 World primitive。 --- # 10. Data Domain $$ D_{ij} $$ 聲明： - 哪些 source quantities 可送； - 哪些 target quantities 可接收； - domain / type； - valid region； - version。 --- # 11. Semantic Bridge $$ B_{ij} $$ 由 MWT-01 提供。 它負責： - notation； - units； - semantics； - type； - representation。 如果語義 bridge 失敗： $$ \boxed{ \text{communication success} \neq \text{coupling success}. } $$ --- # 12. Temporal Map $$ \tau_{ij} $$ 回答： > source 的哪個 local time state 對應 target 的哪一個 coupling-time state？ 它可以是： - exact； - interpolated； - extrapolated； - event-aligned； - asynchronous stale read。 --- # 13. Resolution Transfer $$ R_{ij} $$ 回答： > source resolution 如何轉成 target 需要的 resolution？ 可能是： - restriction； - prolongation； - aggregation； - interpolation； - reconstruction； - learned surrogate； - proof summary expansion。 --- # 14. Identity / Invariant Contract $$ I_{ij} $$ 明示： - coupling 後哪些 identity 要保存； - 哪些 invariant 必須匹配； - 哪些 loss 可接受。 --- # 15. Coupled Quantity Contract $$ Q_{ij} $$ 列出： - exchanged observables； - source / target causality； - direct feedthrough； - update mode； - precision； - uncertainty。 --- # 16. History / Lag Policy $$ H_{ij} $$ 明示： - maximum staleness； - buffering； - rollback； - window history； - whether past waveform is exchanged； - whether source correction retroactively updates target。 --- # 17. Coupling Certificate $$ C_{ij} $$ 整合： - bridge certificate； - temporal alignment certificate； - resolution transfer certificate； - invariant certificate； - legality certificate； - version root。 --- # 18. Global Coupling Graph 定義： $$ \boxed{ \mathcal G_t^C = ( \mathcal P_t, \mathcal E_t^C ). } $$ 其中： $$ \mathcal P_t = \{ \mathfrak P_1,\ldots,\mathfrak P_n \}. $$ --- # 19. Hyper-Coupling 某 constraint 可能同時依賴： $$ \mathfrak P_1,\mathfrak P_2,\mathfrak P_3. $$ 不能自然拆成 pairwise。 所以允許： $$ \boxed{ \mathfrak p_{1,2,3} } $$ 作 hyperedge。 --- # 20. All-to-All Is Not Required 全域耦合圖可以非常稀疏： $$ |E^C| \ll |\mathcal P|^2. $$ 全域只表示： > 所有必要 coupling 都在同一治理層可達與可組合。 不是完整圖。 --- # 21. Coupling Scope 每個 World Solve 必須明示： $$ \boxed{ \Omega = ( D, \mathcal Q, \mathfrak I, \mathcal P, \mathcal E^C, \Theta, B ). } $$ 其中： - $D$：world domain； - $\mathcal Q$：inquiry； - $\mathfrak I$：identity； - $\Theta$：governance； - $B$：resource / tolerance budget。 --- # 22. World Solve 定義： $$ \boxed{ \mathsf{WSolve}_{\Omega} ( \mathfrak S_t ) } $$ 為： > 在 scope $\Omega$ 下，驅動 required participants 與 coupling ports，直到形成 convergence、failure、conflict、budget exhaustion 或 branch outcome 的全域求解程序。 --- # 23. World Solve 不等於 Closed-Form Solve $$ \mathsf{WSolve} $$ 可以輸出： - exact solution； - approximate solution； - fixed point； - branch bundle； - conflict； - infeasible； - unknown； - partially converged state。 所以： $$ \boxed{ \text{solve} \neq \text{always return one number}. } $$ --- # 24. Monolithic World Solve 如果可以組成： $$ \boxed{ F( x_1,\ldots,x_n ) = 0, } $$ 再使用單一 solver， 稱： $$ \mathsf{Monolithic}. $$ 這是合法 backend。 MWT 不反對 monolithic。 --- # 25. Partitioned World Solve 保留各： $$ \mathcal S_i $$ 自治， 只在 coupling ports 交換： $$ z_{ij}. $$ 稱： $$ \boxed{ \mathsf{Partitioned}. } $$ 這可重用既有 solver 與專門 presentation。 --- # 26. Hybrid World Solve 部分 participants： $$ \mathcal P_A $$ 先 monolithic， 另一群： $$ \mathcal P_B $$ 各自 partitioned。 得到： $$ \boxed{ \mathsf{Hybrid}. } $$ 大型 MWT 更可能使用 hybrid，而不是純單一策略。 --- # 27. Solver Federation 定義： $$ \boxed{ \mathfrak F_S = \{ \mathcal S_1,\ldots,\mathcal S_n \} } $$ 及： $$ \mathcal E^C. $$ 它不是把所有 solver 編譯成同一語言，而是給它們共同 contract。 這就是： $$ \boxed{ \text{Heterogeneous Solver Federation}. } $$ --- # 28. Federation Principle MWT-06 固定： $$ \boxed{ \text{local solver autonomy} + \text{global coupling accountability}. } $$ solver 內部可以保持黑箱，只要它能暴露足夠 interface 與 certificate。 --- # 29. Black-Box Coupling 若： $$ \mathcal S_i $$ 內部不可見，但提供： - input； - output； - time stepping； - checkpoint； - rollback； - derivative / sensitivity if available； 仍可作 black-box participant。 這與 partitioned multiphysics / FMI co-simulation 的實務精神相容。 --- # 30. Black Box 不等於 No Contract 黑箱 participant 仍必須明示： - input/output semantics； - valid domain； - timing； - error； - failure； - state-save / restore capability if coupling scheme需要。 --- # 31. Coupling Variable 對 edge： $$ i\to j, $$ 定義 exchanged quantity： $$ z_{ij}. $$ 它可以是： - scalar； - vector； - field； - mesh data； - graph； - proof obligation； - probability distribution； - symbolic expression； - branch summary。 --- # 32. Interface State 所有 coupling variables 可收成： $$ \boxed{ z = ( z_{ij} )_{(i,j)\in E^C}. } $$ 對 partitioned implicit coupling， $z$ 是 natural fixed-point state。 --- # 33. Coupling Map 一次完整 sweep 可以抽象為： $$ \boxed{ z^{k+1} = \Phi_{\Gamma} ( z^k ). } $$ 注意： $$ \Phi_{\Gamma} $$ 依賴： - schedule； - participant order； - temporal mapping； - resolution transfer； - relaxation； - bridge version。 它不是固定 universal map。 --- # 34. Jacobi Coupling 所有 participants 使用上一輪 coupling state： $$ z^k $$ 獨立更新。 然後共同生成： $$ z^{k+1}. $$ 優點： - parallel。 缺點： - 可能收斂較慢。 --- # 35. Gauss–Seidel Coupling 按照某個順序： $$ \mathfrak P_1, \mathfrak P_2,\ldots $$ 新輸出立即供後面 participant 使用。 優點： - 可能收斂更快。 缺點： - 順序敏感； - parallelism 較低。 因此直接進 MWT-03 noncommutative scheduler。 --- # 36. Coupling Order Is First-Class 若： $$ \mathcal S_j \circ \mathcal S_i \neq \mathcal S_i \circ \mathcal S_j, $$ 則 coupling sweep order 不能被藏在 implementation detail。 需要保存： $$ \boxed{ \gamma_C. } $$ --- # 37. Relaxation 對 raw update： $$ \widehat z^{k+1}, $$ 可以： $$ \boxed{ z^{k+1} = (1-\omega_k)z^k + \omega_k \widehat z^{k+1}. } $$ 當 linear combination 合法時。 $\omega_k$ 可以固定或自適應。 --- # 38. Relaxation Is Not Universal 若 coupling state 不是線性空間， 不能盲目使用： $$ (1-\omega)x+\omega y. $$ 需要 domain-specific interpolation / geodesic / categorical / symbolic merge operator。 MWT 只把 relaxation 當 backend family。 # 39. Coupling Residual 最基本 residual： $$ r^{k} = z^{k+1}-z^k. $$ 但 MWT 不能把所有 coupling inconsistency 壓成單一 vector norm。 因此定義 residual family： $$ \boxed{ \mathcal R^{C} = \{ r_{\mathrm{state}}, r_{\mathrm{interface}}, r_{\mathrm{time}}, r_{\mathrm{resolution}}, r_{\mathrm{semantic}}, r_{\mathrm{identity}}, r_{\mathrm{invariant}}, r_{\mathrm{history}}, r_{\mathrm{observer}} \}. } $$ --- # 40. State Residual 如果 participant state 可比較： $$ \boxed{ r_{\mathrm{state},i}^{k} = d_i ( x_i^{k+1}, x_i^k ). } $$ 沒有 metric 時，改用 symbolic change status。 --- # 41. Interface Residual 對 coupling variable： $$ z_{ij}, $$ 若兩側應滿足 interface relation： $$ G_{ij} ( z_{ij}^{(i)}, z_{ji}^{(j)} ) = 0, $$ 定義： $$ \boxed{ r_{\mathrm{interface},ij} = G_{ij} ( z_{ij}^{(i)}, z_{ji}^{(j)} ). } $$ 例如 continuity、flux balance、constraint satisfaction。 --- # 42. Temporal Residual 若 source / target 時間映射後： $$ \tau_i(t_i) \neq \tau_j(t_j), $$ 可定義 time mismatch： $$ \boxed{ r_{\mathrm{time},ij}. } $$ 它可能是： - timestamp gap； - event-order violation； - staleness； - interpolation error。 --- # 43. Resolution Residual 高低解析 transfer： $$ R_{i\to j}^{\lambda} $$ 可能產生 reconstruction loss： $$ \boxed{ r_{\mathrm{resolution},ij}. } $$ 例如： $$ r_{\mathrm{resolution}} = d ( x_i, P_{j\to i} R_{i\to j}(x_i) ). $$ 若 round-trip reconstruction 有定義。 --- # 44. Semantic Residual 兩 presentation 即使數值一致， 語義可能不一致。 所以： $$ \boxed{ r_{\mathrm{semantic}} } $$ 可以是： - unit mismatch； - ontology mismatch； - definition version mismatch； - incompatible interpretation。 它不一定有實數值。 --- # 45. Identity Residual 若 coupling contract 要求： $$ x_i \equiv_{\mathfrak I} x_j, $$ 但目前： $$ x_i \not\equiv_{\mathfrak I} x_j, $$ 則： $$ \boxed{ r_{\mathrm{identity}} = \mathsf{Open}. } $$ 這是一種 symbolic residual。 --- # 46. Invariant Residual 若 global invariant： $$ I $$ 要求： $$ I(x_1,\ldots,x_n) = c, $$ 則： $$ \boxed{ r_{\mathrm{inv}} = I(x_1,\ldots,x_n)-c } $$ 在數值情況下。 也可以是 theorem / certificate status。 --- # 47. History Residual 如果兩 participant 對「同一 current state」有不同 history requirement： $$ H_i\neq H_j, $$ 且這會改變未來演化， 則： $$ \boxed{ r_{\mathrm{history}} } $$ 不能由 state residual 取代。 --- # 48. Observer Residual 對 observers： $$ O_i,O_j, $$ 若 transport / covariance contract： $$ F_{ij} $$ 不閉合， 可以使用 MWT Series B 的 observer-transport defect： $$ \boxed{ r_{\mathrm{observer}} = D_{ij}. } $$ --- # 49. Residual Contract 每個 residual： $$ r_a $$ 都有： $$ \boxed{ \mathcal C(r_a) = ( \mathrm{domain}, \mathrm{metric/status}, \varepsilon_a, \mathrm{hard/soft}, \mathrm{history}, \mathrm{certificate} ). } $$ 不是所有 residual 都需要數值 tolerance。 --- # 50. Hard Residual 如果： $$ r_a $$ 是 hard， 則沒有通過： $$ r_a \preceq \varepsilon_a $$ 不能 stable commit。 不能被其他 residual 的好表現抵銷。 --- # 51. Soft Residual soft residual 可以進： - optimization； - prioritization； - refinement trigger； - risk assessment。 但不阻止 minimum legal commit。 --- # 52. Global Coupling Residual Profile 定義： $$ \boxed{ \mathbf R_C^k = ( r_1^k,\ldots,r_m^k ). } $$ 它不一定是 vector space vector。 只是 ordered / typed residual family。 --- # 53. Coupling Convergence Judgment 定義： $$ \boxed{ \Gamma \vdash \mathbf R_C^k \Downarrow_{\mathsf{Conv}} c } $$ 其中： $$ c \in \{ \mathsf{Converged}, \mathsf{Active}, \mathsf{Diverged}, \mathsf{Undetermined}, \mathsf{Conflicted} \}. $$ --- # 54. Converged $$ \mathsf{Converged} $$ 表示： - all mandatory residual contracts satisfied； - no hard coupling blocker； - relevant participant states fresh； - convergence witness valid。 不表示 World 完全已知。 --- # 55. Active $$ \mathsf{Active} $$ 表示： > 仍存在合理 coupling iteration 可以繼續降低 mandatory residual 或完成 required exchange。 --- # 56. Diverged 若 residual 具有可比較 magnitude 且呈明確增長、迭代爆炸、不可接受 cycle 或 solver failure，可標： $$ \boxed{ \mathsf{Diverged}. } $$ 但沒有量化 residual 時，不應輕易用這個詞。 --- # 57. Undetermined 如果： - residual 不可比較； - tolerance 未定； - solver budget 到期； - convergence proof 不存在； 則： $$ \boxed{ \mathsf{Undetermined}. } $$ --- # 58. Conflicted 不同 coupling contracts / observers 對同一 convergence 狀態給出不可消解不同 verdict： $$ \boxed{ \mathsf{Conflicted}. } $$ MWT 不用 majority vote 隱藏。 --- # 59. World-Solve Convergence Is Scoped 任何： $$ \boxed{ \mathsf{Converged} } $$ 必須帶： $$ ( \Omega, \mathcal R_{\mathrm{mandatory}}, \varepsilon, v ). $$ 沒有 scope 的「全域已收斂」是不完整說法。 --- # 60. Exact Coupling 某些 coupling condition 可 exact： $$ G(z)=0 $$ 有 proof certificate。 此時不需要 tolerance。 --- # 61. Approximate Coupling 更多情況： $$ \|G(z)\| \leq \varepsilon. $$ 需要報： - norm； - tolerance； - discretization； - precision； - solver version。 --- # 62. Multi-Resolution Coupling 若： $$ \lambda_i \neq \lambda_j, $$ 需要： $$ \boxed{ R_{i\to j}^{\lambda} } $$ 把 source output 轉到 target resolution。 --- # 63. Restriction fine： $$ x_f $$ 轉 coarse： $$ \boxed{ x_c = \mathcal R(x_f). } $$ 通常 many-to-one。 所以資訊 loss 需要 MWT-01 loss contract。 --- # 64. Prolongation coarse： $$ x_c $$ 轉 fine： $$ \boxed{ \widehat x_f = \mathcal P(x_c). } $$ 通常不是原 fine state 的 exact inverse。 它可能是： - interpolation； - reconstruction； - surrogate inference。 因此 provenance 必須標： $$ \mathsf{ConstructedFineState}. $$ --- # 65. Restriction–Prolongation Residual 可定義： $$ \boxed{ r_{\lambda} = d_f ( x_f, \mathcal P\mathcal R(x_f) ). } $$ 當此式合法。 這提供 multi-resolution fidelity signal。 --- # 66. 1D–3D Coupling as Concrete External Pattern 現代 partitioned multiphysics 工具已能實作 1D reduced-order model 與 3D CFD model 的 coupling。 MWT-06 將其視為 multi-resolution coupling 的具體成熟特例： $$ P_{1D} \leftrightarrow P_{3D}. $$ 但 MWT 的 multi-resolution 概念也可擴張到非幾何 representation。 --- # 67. Symbolic–Numeric Coupling 例如 symbolic solver 得： $$ f(x;\theta), $$ numerical solver 在參數： $$ \theta_k $$ 上求： $$ x_k. $$ 數值結果又可以回饋 symbolic side： - 找 counterexample； - 猜 invariant； - refine domain。 這是一個： $$ \boxed{ P_{\mathrm{sym}} \leftrightarrow P_{\mathrm{num}} } $$ 的 two-way coupling。 --- # 68. Proof–Search Coupling theorem prover： $$ \mathcal S_P $$ 與 counterexample search： $$ \mathcal S_C $$ 可以耦合： $$ \mathcal S_P \to \text{open obligation} \to \mathcal S_C \to \text{counterexample / no witness} \to \mathcal S_P. $$ 這不是物理 multiphysics，但符合 GCC。 --- # 69. Optimization–Simulation Coupling optimizer 提出： $$ u^k. $$ simulation 回傳： $$ J(u^k), \quad g(u^k). $$ optimizer 再更新。 這是典型 feedback world solve。 --- # 70. Observer–Model Coupling observer 提供： $$ y_t. $$ model 更新： $$ x_t. $$ model prediction 再決定下一個 observation request。 形成： $$ \boxed{ O \leftrightarrow M. } $$ --- # 71. Temporal Heterogeneity participant： $$ i,j $$ 可以： $$ h_i \neq h_j. $$ MWT 不要求為了 coupling 把所有 solver 強制改成同 timestep。 --- # 72. Common Coupling-Time Coordinate 令： $$ T_i $$ 為 local time domain。 建立： $$ \boxed{ \tau_i: T_i \rightharpoonup \mathbb T_C. } $$ $\mathbb T_C$ 是共同 coupling coordinate。 可以是： - physical time； - logical epoch； - event index； - communication window。 --- # 73. Common Time Does Not Mean One Internal Clock participant 內部可以： - subcycle； - adaptive step； - event-driven； - asynchronous。 只需在 coupling contract 指定何時輸出/輸入被認為可對齊。 --- # 74. Communication Point 定義： $$ \boxed{ \theta_k \in \mathbb T_C } $$ 為 coupling communication point。 FMI Co-Simulation 的成熟模式即是在離散 communication points 交換資料，而各 FMU 在點與點之間用自己的 internal means 推進。 MWT 將此視為一種合法 backend。 --- # 75. Scheduled Execution 某些 participant 不由 continuous time 驅動，而由 clock / event 觸發。 MWT coupling port 可包含： $$ \boxed{ \mathsf{ClockContract}. } $$ 使 scheduled execution 成為 world solve 的一部分。 --- # 76. Staleness 若 target 在： $$ \theta_k $$ 使用 source 的： $$ z(\theta_{k-m}), $$ 定義： $$ \boxed{ \operatorname{Age}(z) = m } $$ 或對應時間差。 coupling contract 要有 maximum staleness。 --- # 77. Stale Does Not Mean Invalid Automatically 某些慢變量可以容許 lag。 某些安全 critical variable 不行。 所以： $$ \boxed{ \text{staleness legality is quantity-specific}. } $$ --- # 78. Interpolation 若 target 需要： $$ z(t) $$ 但 source 只有： $$ z(t_a),z(t_b), $$ 可用： $$ \widehat z(t) = \mathcal I ( z(t_a), z(t_b) ). $$ interpolation error 進 residual。 --- # 79. Extrapolation 若只有 past values： $$ t_a