# Series C / Paper 03
# 從共識到可容許世界：共享認知許可的形式化
## From Consensus to Admissible Worlds: A Formal Theory of Shared Cognitive Permission

版本：v0.1  
日期：2026-08-14  
狀態：Theory + finite-model verification paper

## 摘要

多 Agent AI 的共同認知不能安全地簡化為多數決。當不同模型共享訓練資料、檢索來源、工具鏈或溝通歷史時，名義上的多數可能只是高度相關誤差的重複；反過來，少數 observer 也可能持有目前唯一仍與外部 evidence 相容的假說。本文因此將多 Agent 認識論的基本物件從「答案分布」轉換為「可容許世界集合」。

令可能世界空間為 $\Omega$，截至時間 $t$ 經過 provenance、verification 與 fault-screening 後仍被證據允許的世界集合為：

$$
\mathcal A_t\subseteq\Omega.
$$

本文定義命題 $\phi$ 的**共享認知許可**：

$$
\mathrm{Permit}_t(\phi)=1
\iff
\mathcal A_t\neq\varnothing
\ \land\
\forall W\in\mathcal A_t,\ \phi(W)=1.
$$

同時定義 Reject、Undetermined 與 Incoherent 四種 epistemic status，以避免空集合上的 vacuous truth。由此得到一個核心結構：所有被共享認知許可的命題構成 $\mathcal A_t$ 的共同理論：

$$
\mathfrak P_t
=
\{
\phi:
\mathcal A_t\subseteq[\![\phi]\!]
\}.
$$

本文證明：在非空 admissible-set contraction 下， $\mathfrak P_t$ 單調擴張；若 $\mathcal A_t$ 始終包含真實世界 $W^\star$，則任何被 Permit 的命題對 $W^\star$ 都為真；若系統只能識別 gauge-equivalence class，則只有在 gauge orbit 上不變的命題才能在 quotient knowledge 下取得 well-defined shared permission。

為處理非二值的不確定情況，本文再將 admissible-world set 提升為其上的 credal set $\mathfrak K_t$，定義命題的 lower / upper probability：

$$
\underline P_t(\phi)
=
\inf_{P\in\mathfrak K_t}P(\phi),
$$

$$
\overline P_t(\phi)
=
\sup_{P\in\mathfrak K_t}P(\phi),
$$

並提出 $\alpha$ -permission。這使「所有可容許世界都支持」與「所有可容許分布都給予極高支持」成為兩個連續層級，而不必將內部一致性錯當成外部真實性。

本文最後給出一個 finite separation theorem：若世界空間有限、truth orbit 始終保留，且每一個非 gauge-equivalent world 最終都會被某個 sound observation 排除，則 admissible-world contraction 在有限時間內收斂到真實 gauge orbit；此後所有 gauge-invariant proposition 的 shared cognitive status 穩定。配套 finite-model checker 直接驗證 permission monotonicity、empty-set guard、gauge invariance、minority preservation 與 contaminated-constraint counterexample。

本文不宣稱現代多 AI 系統已取得世界真理。本文只建立一個較弱而可檢驗的原則：

$$
\boxed{
\text{Shared cognitive permission is a property of the surviving world set,
not of the number of agents who utter the same answer.}
}
$$

**關鍵詞：** admissible worlds；shared cognitive permission；multi-agent AI；credal sets；epistemic uncertainty；gauge invariance；minority truth；distributed verification

---

## 1. 問題：共識到底允許我們知道什麼？

設有 $N$ 個 Agents：

$$
A_1,A_2,\ldots,A_N.
$$

對命題 $\phi$，最直接的 aggregation 是：

$$
V_t(\phi)
=
\frac{1}{N}
\sum_{i=1}^{N}
\mathbf 1[A_i\text{ supports }\phi].
$$

但 $V_t(\phi)$ 只描述：

$$
\boxed{
\text{多少 Agent 表示支持}.
}
$$

它不描述：

$$
\boxed{
\text{目前 evidence 還允許哪些世界存在}.
}
$$

這兩者在 independent-error regime 下可能高度相關，但在 correlated-error regime 下可以完全分離。

2026 年的 Minority Sentinel 實驗直接報告：在三個異質 LLM 的 debate 中，發生意見分歧的樣本裡約四分之一由 minority 持有正確答案；作者將其稱為 Minority Truth，並指出相似 pretraining 與模型結構造成的 error correlation 破壞 majority voting 所依賴的獨立性假設。

另一方面，multi-agent uncertainty 研究也開始明確指出：LLM-based MAS 的不確定性來源不只存在於 final response，而存在於 agent identity、reasoning trajectory、sampling run、tool use 與 communication topology。

因此本文不採用：

$$
\text{consensus}
\Rightarrow
\text{knowledge}.
$$

而採用：

$$
\boxed{
\text{evidence}
\Rightarrow
\text{admissible worlds}
\Rightarrow
\text{epistemic status}.
}
$$

---

## 2. 可容許世界

令：

$$
\Omega
$$

為目前研究問題的 possible-world space。

真實世界：

$$
W^\star\in\Omega.
$$

Agent network 不假設可以直接讀取 $W^\star$。

令截至時間 $t$ 已被接受的 evidence packets 為：

$$
E_t
=
\{
e_1,\ldots,e_m
\}.
$$

每一個 evidence packet 經過 interpretation operator：

$$
\Gamma(e_k)
\subseteq
\Omega
$$

轉成與該 evidence 相容的 world set。

若所有已接受 constraints 都可直接合取，則：

$$
\mathcal A_t
=
\bigcap_{e_k\in E_t}
\Gamma(e_k).
$$

但 Paper 02 已指出 corrupted evidence 可造成 incompatibility，因此更一般地， $\mathcal A_t$ 應由 normalization layer 選出的 admissibility kernel 所建立：

$$
\mathcal A_t
=
\bigcap_{e_k\in E_t^{\mathrm{acc}}}
\Gamma(e_k),
$$

其中：

$$
E_t^{\mathrm{acc}}
\subseteq
E_t.
$$

因此 $\mathcal A_t$ 的語義是：

> 截至目前，在被系統接受的 evidence、provenance 與 verification constraints 下，尚未被排除的世界集合。

它不是：

> AI 認為最可能的一個世界。

---

## 3. 四值共享認知狀態

對 Boolean proposition：

$$
\phi:\Omega\rightarrow\{0,1\},
$$

定義其 truth set：

$$
[\![\phi]\!]
=
\{
W\in\Omega:
\phi(W)=1
\}.
$$

### 定義 1：Permit

$$
\mathrm{Permit}_t(\phi)=1
$$

當且僅當：

$$
\mathcal A_t\neq\varnothing
$$

且：

$$
\mathcal A_t
\subseteq
[\![\phi]\!].
$$

亦即：

$$
\forall W\in\mathcal A_t,
\quad
\phi(W)=1.
$$

### 定義 2：Reject

$$
\mathrm{Reject}_t(\phi)=1
$$

當且僅當：

$$
\mathcal A_t\neq\varnothing
$$

且：

$$
\mathcal A_t
\subseteq
[\![\neg\phi]\!].
$$

### 定義 3：Undetermined

若：

$$
\mathcal A_t
\cap
[\![\phi]\!]
\neq
\varnothing,
$$

且：

$$
\mathcal A_t
\cap
[\![\neg\phi]\!]
\neq
\varnothing,
$$

則：

$$
\mathrm{Status}_t(\phi)
=
\mathbf U.
$$

### 定義 4：Incoherent

若：

$$
\mathcal A_t
=
\varnothing,
$$

則：

$$
\mathrm{Status}_t(\phi)
=
\mathbf I.
$$

這個第四值不可省略。

因為若直接使用：

$$
\forall W\in\varnothing,\ \phi(W)=1,
$$

在古典邏輯裡會因 vacuous truth 對所有 $\phi$ 成立。

那將得到荒謬結果：

$$
\mathrm{Permit}_t(\phi)
=
\mathrm{Permit}_t(\neg\phi)
=
1.
$$

所以任何實際 epistemic runtime 都必須先檢查：

$$
\boxed{
\mathcal A_t\neq\varnothing.
}
$$

---

## 4. Permission Kernel

定義：

$$
\mathfrak P_t
=
\{
\phi:
\mathcal A_t\neq\varnothing
\land
\mathcal A_t\subseteq[\![\phi]\!]
\}.
$$

稱為時間 $t$ 的 **Shared Permission Kernel**。

它不是一個「大家投票同意的句子集合」。

它是：

$$
\boxed{
\text{所有 surviving worlds 共同支持的 proposition theory}.
}
$$

### 定理 1：邏輯閉包

若：

$$
\phi\in\mathfrak P_t
$$

且在 $\Omega$ 上：

$$
\phi\models\psi,
$$

則：

$$
\psi\in\mathfrak P_t.
$$

### 證明

由：

$$
\mathcal A_t
\subseteq
[\![\phi]\!]
$$

以及：

$$
[\![\phi]\!]
\subseteq
[\![\psi]\!],
$$

得到：

$$
\mathcal A_t
\subseteq
[\![\psi]\!].
$$

故：

$$
\psi\in\mathfrak P_t.
$$

證畢。

因此若：

$$
\phi,\psi\in\mathfrak P_t,
$$

則：

$$
\phi\land\psi
\in
\mathfrak P_t.
$$

---

## 5. Admissible-Set Contraction 與認知許可單調性

假設新 evidence 使：

$$
\varnothing
\neq
\mathcal A_{t+1}
\subseteq
\mathcal A_t.
$$

### 定理 2：Permission Monotonicity

則：

$$
\mathfrak P_t
\subseteq
\mathfrak P_{t+1}.
$$

### 證明

任取：

$$
\phi\in\mathfrak P_t.
$$

則：

$$
\mathcal A_t
\subseteq
[\![\phi]\!].
$$

又因：

$$
\mathcal A_{t+1}
\subseteq
\mathcal A_t,
$$

故：

$$
\mathcal A_{t+1}
\subseteq
[\![\phi]\!].
$$

因此：

$$
\phi\in\mathfrak P_{t+1}.
$$

證畢。

這表示在純 contraction 且不進入 inconsistency 的情況下：

$$
\boxed{
\text{已取得的 exact permission 不會因增加相容資訊而消失}.
}
$$

真正可能改變的是原本：

$$
\mathbf U
$$

的 proposition。

它可以在新 evidence 到來後變成：

$$
\mathbf P
$$

或：

$$
\mathbf R.
$$

---

## 6. Conditional Truth Soundness

共享認知許可不是無條件 truth certificate。

它需要一個核心假設：

$$
W^\star\in\mathcal A_t.
$$

### 定理 3：Conditional Soundness

若：

$$
W^\star\in\mathcal A_t
$$

且：

$$
\mathrm{Permit}_t(\phi)=1,
$$

則：

$$
\phi(W^\star)=1.
$$

同理，若：

$$
\mathrm{Reject}_t(\phi)=1,
$$

則：

$$
\phi(W^\star)=0.
$$

### 證明

由 Permit 定義：

$$
\forall W\in\mathcal A_t,
\quad
\phi(W)=1.
$$

而：

$$
W^\star\in\mathcal A_t.
$$

故：

$$
\phi(W^\star)=1.
$$

Reject 同理。

證畢。

因此真正的安全鏈條不是：

$$
\text{Permit}
\Rightarrow
\text{Truth},
$$

而是：

$$
\boxed{
W^\star\in\mathcal A_t
+
\mathrm{Permit}_t(\phi)
\Rightarrow
\phi(W^\star)=1.
}
$$

這使 admissibility integrity 成為核心問題。

---

## 7. Contaminated Contraction

若一個錯誤 constraint：

$$
K_{\mathrm{bad}}
$$

排除了真實世界：

$$
W^\star\notin K_{\mathrm{bad}},
$$

那麼：

$$
\mathcal A_{t+1}
=
\mathcal A_t
\cap
K_{\mathrm{bad}}
$$

可能仍然非空。

甚至可能得到：

$$
\mathrm{Permit}_{t+1}(\phi)=1
$$

但：

$$
\phi(W^\star)=0.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{small admissible set}
\neq
\text{correct admissible set}.
}
$$

這也是為什麼 Paper 02 的 provenance、fault localization、minority retention 與 independent witness 不能在 Paper 03 被丟掉。

---

## 8. Minority Preservation Principle

假設：

$$
W_+
\in
\mathcal A_t
$$

且：

$$
\phi(W_+)=1,
$$

同時存在：

$$
W_-
\in
\mathcal A_t
$$

且：

$$
\phi(W_-)=0.
$$

則：

$$
\mathrm{Status}_t(\phi)
=
\mathbf U.
$$

此結果與 Agent vote ratio 無關。

即使：

$$
99
$$

個 Agents 支持 $\phi$，

而：

$$
1
$$

個 Agent 支持 $\neg\phi$，

只要其 evidence 尚未使其中一側的 world class 被合法排除，則：

$$
\boxed{
\phi
\text{ 仍不得取得 exact shared cognitive permission}.
}
$$

這提供了一個對 Minority Truth 的結構性保護。

Minority Sentinel 的 2026 實驗顯示 correlated LLM errors 會讓 majority voting 系統性壓制部分正確 minority cases。本文的策略比「什麼時候翻轉 majority」更基礎：在 evidence 不足以排除 minority-compatible worlds 前，不把 vote count 升格為 truth criterion。

---

## 9. Gauge-Aware Shared Permission

前一系列已指出，observer network 有時不能識別裸 world：

$$
W,
$$

而只能識別 gauge-equivalence class：

$$
[W]_{\mathcal G}.
$$

令群 $\mathcal G$ 作用於 $\Omega$：

$$
g:\Omega\rightarrow\Omega.
$$

定義：

$$
W\sim_{\mathcal G}W'
$$

若存在：

$$
g\in\mathcal G
$$

使：

$$
W'=gW.
$$

若 observer system 只能區分：

$$
\Omega/\mathcal G,
$$

那麼 proposition $\phi$ 若要在 quotient 上 well-defined，必須滿足：

$$
\phi(gW)=\phi(W)
$$

對所有相關 $W$ 與 $g$ 成立。

### 定理 4：Gauge-Well-Defined Permission

命題 $\phi$ 可在 quotient world：

$$
[W]_{\mathcal G}
$$

上定義唯一 Boolean truth value，當且僅當 $\phi$ 在每一個 gauge orbit 上為常數。

### 證明

若 $\phi$ 在 orbit 上為常數，則可定義：

$$
\bar\phi([W]_{\mathcal G})
=
\phi(W),
$$

且代表元的選擇不影響結果。

反之，若同一 orbit 中存在：

$$
W,W'
$$

使：

$$
\phi(W)\neq\phi(W'),
$$

則：

$$
[W]_{\mathcal G}
=
[W']_{\mathcal G}
$$

卻需要同時被賦予兩個不同 truth values，因此 quotient proposition 不 well-defined。

證畢。

因此：

$$
\boxed{
\text{global identifiability up to gauge}
\Rightarrow
\text{exact permission only for gauge-invariant claims}.
}
$$

---

## 10. Gauge Closure

對任意 admissible set：

$$
\mathcal A_t,
$$

定義 gauge closure：

$$
\operatorname{GCl}(\mathcal A_t)
=
\{
gW:
W\in\mathcal A_t,\ g\in\mathcal G
\}.
$$

若系統沒有證據可以區分 gauge-related representatives，則 permission 應在：

$$
\operatorname{GCl}(\mathcal A_t)
$$

上判定，而不是任意挑一個 representative。

因此 gauge-aware exact permission：

$$
\mathrm{Permit}^{\mathcal G}_t(\phi)=1
$$

當且僅當：

$$
\operatorname{GCl}(\mathcal A_t)
\neq
\varnothing
$$

且：

$$
\forall W
\in
\operatorname{GCl}(\mathcal A_t),
\quad
\phi(W)=1.
$$

---

## 11. 從 World Set 到 Credal Set

Boolean exact permission 很強。

在很多現實問題裡，我們可能無法合理要求：

$$
\forall W\in\mathcal A_t.
$$

因此在 $\mathcal A_t$ 上再定義一組 admissible probability distributions：

$$
\mathfrak K_t
\subseteq
\Delta(\mathcal A_t).
$$

這是一個 credal-set lifting。

2026 年已有 LLM uncertainty 研究直接採用 imprecise probabilities，將 point probability 替換為 probability interval、credal set 或 possibility measure；其中也明確指出 credal set 特別適合 ensemble-of-LLMs 情境。

定義：

$$
\underline P_t(\phi)
=
\inf_{P\in\mathfrak K_t}
P([\![\phi]\!]),
$$

$$
\overline P_t(\phi)
=
\sup_{P\in\mathfrak K_t}
P([\![\phi]\!]).
$$

則：

$$
[
\underline P_t(\phi),
\overline P_t(\phi)
]
$$

描述 higher-order epistemic imprecision。

---

## 12. $\alpha$ -Permission

對：

$$
0\leq\alpha<1,
$$

定義：

$$
\mathrm{Permit}^{(\alpha)}_t(\phi)=1
$$

若：

$$
\underline P_t(\phi)
\geq
1-\alpha.
$$

定義：

$$
\mathrm{Reject}^{(\alpha)}_t(\phi)=1
$$

若：

$$
\overline P_t(\phi)
\leq
\alpha.
$$

因此 exact permission 可視為極限：

$$
\alpha=0.
$$

這裡有一個重要區分：

$$
\boxed{
\text{epistemic permission}
\neq
\text{single-model confidence}.
}
$$

一個模型說：

$$
P(\phi)=0.99
$$

與整個 credal set 滿足：

$$
\underline P_t(\phi)\geq0.99
$$

是完全不同的 epistemic claim。

---

## 13. Internal Consistency 與 External Correctness

2026 年一篇針對 LLM uncertainty quantification 的 position paper 提出尖銳批評：許多既有 UQ 方法實際上主要測量生成樣本之間的 internal consistency，因此可能無法辨認「穩定但錯誤」的 confident hallucination。

本文的 admissible-world 形式化與這個問題直接相關。

如果 $\mathcal A_t$ 只是由：

$$
\text{LLM outputs compared with LLM outputs}
$$

產生，那麼它可能只是：

$$
\boxed{
\text{internally admissible world set}.
}
$$

真正更強的形式必須加入：

$$
\text{web evidence},
$$

$$
\text{program execution},
$$

$$
\text{formal checker},
$$

$$
\text{database},
$$

$$
\text{sensor},
$$

或其他 error channel 異質的 evidence。

所以本文不把：

$$
\mathcal A_t
$$

的「非空」與「小」視為充分可靠性條件。

---

## 14. Multi-Agent Uncertainty 不是一個 scalar

MATU 2026 將 multi-agent system 的不確定性表示擴展到：
- Agents；
- reasoning steps；
- repeated runs；

形成 higher-order tensor，再處理 communication topology 差異。

另一項 2026 multi-agent debate 研究則把 answer-level uncertainty 分解成 epistemic 與 aleatoric components，並報告有效 debate 需要可利用的 epistemic disagreement，同時控制 reasoning instability。

這支持本文保留 disagreement 的立場。

因為：

$$
\boxed{
\text{disagreement}
}
$$

不一定是系統失敗。

它也可能代表：

$$
\boxed{
\text{仍未被 evidence 消除的 epistemic branching}.
}
$$

若系統太早消除 disagreement，反而可能失去可用的 information gain。

---

## 15. Permission-Directed Active Verification

若：

$$
\mathrm{Status}_t(\phi)=\mathbf U,
$$

則：

$$
\mathcal A_t^+
=
\{
W\in\mathcal A_t:
\phi(W)=1
\},
$$

$$
\mathcal A_t^-
=
\{
W\in\mathcal A_t:
\phi(W)=0
\}.
$$

兩者皆非空。

此時 active verification 的目標不是：

> 再找更多 Agent 表態。

而是尋找 experiment / query：

$$
q
$$

使其 observation partitions 對：

$$
\mathcal A_t^+
$$

與：

$$
\mathcal A_t^-
$$

具有最大 discrimination。

可定義一個抽象 permission-resolution value：

$$
V(q;\phi,\mathcal A_t)
=
\mathbb E_o
\left[
\Delta
\mathcal U_\phi
\mid
q,o
\right],
$$

其中：

$$
\mathcal U_\phi
$$

是 $\phi$ 的 unresolved epistemic mass。

因此下一步選擇：

$$
q^\star
=
\arg\max_q
V(q;\phi,\mathcal A_t).
$$

這把 verification budget 直接對準：

$$
\boxed{
\text{哪一個 observation 最可能決定目前尚未取得 permission 的命題？}
}
$$

---

## 16. Finite Separation Theorem

現在考慮一個有限 possible-world space：

$$
|\Omega|<\infty.
$$

令 $\mathcal G$ 為 gauge equivalence，真實 orbit：

$$
[W^\star]_{\mathcal G}.
$$

假設 admissible sets 滿足：

$$
\mathcal A_{t+1}
\subseteq
\mathcal A_t.
$$

再假設：

### A1. Truth-Orbit Preservation

對所有 $t$：

$$
[W^\star]_{\mathcal G}
\subseteq
\mathcal A_t.
$$

### A2. Eventual Separation

對任意：

$$
W
\in
\mathcal A_0
\setminus
[W^\star]_{\mathcal G},
$$

存在有限時間：

$$
t_W
$$

使：

$$
W\notin\mathcal A_{t_W}.
$$

### 定理 5：Finite Separation

則存在有限：

$$
T
$$

使：

$$
\mathcal A_T
=
[W^\star]_{\mathcal G}.
$$

### 證明

由於：

$$
\Omega
$$

有限，因此：

$$
\mathcal A_0
\setminus
[W^\star]_{\mathcal G}
$$

有限。

對每個非 truth-orbit world 都存在有限排除時間 $t_W$。

令：

$$
T
=
\max_W t_W.
$$

則在 $T$ 時，所有不屬於真實 orbit 的 worlds 都已被排除：

$$
\mathcal A_T
\subseteq
[W^\star]_{\mathcal G}.
$$

另一方面，由 A1：

$$
[W^\star]_{\mathcal G}
\subseteq
\mathcal A_T.
$$

因此：

$$
\mathcal A_T
=
[W^\star]_{\mathcal G}.
$$

證畢。

---

## 17. Gauge-Invariant Permission Stabilization

由定理 5，若 $\phi$ 為 gauge-invariant，則在有限 $T$ 後：

$$
\mathcal A_T
=
[W^\star]_{\mathcal G}.
$$

因此 $\phi$ 的 epistemic status 不再具有 unresolved gauge ambiguity。

若：

$$
\phi(W^\star)=1,
$$

則：

$$
\mathrm{Permit}_T(\phi)=1.
$$

若：

$$
\phi(W^\star)=0,
$$

則：

$$
\mathrm{Reject}_T(\phi)=1.
$$

所以在有限、truth-preserving、eventually separating 的理想條件下：

$$
\boxed{
\text{shared cognitive permission converges
for every gauge-invariant proposition}.
}
$$

這是一個條件定理。

它不表示現實世界一定滿足：
- finite world space；
- complete separation；
- perfect truth-orbit preservation。

---

## 18. 與「高共享認知許可」命題的關係

本系列最初的直覺可以被重新寫得更精確。

不是：

$$
\boxed{
\text{足夠多 AI 最後一定知道完整世界}.
}
$$

而是：

> 若 observer network 的 joint observability 足夠，evidence channels 具有有效異質性，truth-compatible hypotheses 不被錯誤消除，並且系統能持續產生區分 surviving alternatives 的驗證，則 admissible-world set 可能持續收縮；對 gauge-invariant proposition 而言，共享認知許可的範圍因此可以單調增加。

形式上：

$$
\mathcal A_{t+1}
\subseteq
\mathcal A_t
$$

導致：

$$
\mathfrak P_t
\subseteq
\mathfrak P_{t+1}.
$$

在理想 finite-separation setting：

$$
\mathcal A_t
\rightarrow
[W^\star]_{\mathcal G}.
$$

這才是「共享認知逐漸變高」的嚴格版本。

---

## 19. Minimal Runtime Object

若要工程化，系統不應只保存：

$$
\text{answer}.
$$

最低限度應保存：

$$
\boxed{
\mathfrak E_t
=
(
\mathcal A_t,
\mathfrak P_t,
\mathfrak K_t,
\mathcal D_t,
\mathcal X_t
)
}
$$

其中：
- $\mathcal A_t$：admissible worlds / hypotheses；
- $\mathfrak P_t$：exact shared permissions；
- $\mathfrak K_t$：credal uncertainty；
- $\mathcal D_t$：unresolved dissent / branches；
- $\mathcal X_t$：provenance / verification certificates。

對每一命題 $\phi$，輸出不只是：

$$
\text{true / false},
$$

而是例如：

$$
(
\mathrm{Status}_t(\phi),
[
\underline P_t(\phi),
\overline P_t(\phi)
],
\mathrm{provenance},
\mathrm{unresolved\ alternatives}
).
$$

---

## 20. 失敗模式

### 20.1 Empty-Set Collapse

$$
\mathcal A_t=\varnothing.
$$

不能宣告所有 proposition 成立。

必須進入：

$$
\mathbf I.
$$

### 20.2 False Precision

$$
|\mathcal A_t|
\downarrow
$$

但：

$$
W^\star\notin\mathcal A_t.
$$

這是錯誤收縮，不是知識增加。

### 20.3 Correlated Consensus

大量 Agents 支持同一 claim，但其 evidence ancestry 幾乎相同。

### 20.4 Gauge Overclaim

系統只能恢復：

$$
[W^\star]_{\mathcal G},
$$

卻對非 gauge-invariant proposition 做唯一斷言。

### 20.5 Premature Collapse

仍有真實可能的 minority branch 被 voting 或 pruning 提前刪除。

### 20.6 Internal-Only Admissibility

 $\mathcal A_t$ 只來自 LLM 相互同意，缺乏異質外部 witness。

---

## 21. 本篇 checker

本文附帶 finite-model checker。

toy world：

$$
W=(x,y,z)
\in
\{0,1\}^3.
$$

初始：

$$
|\mathcal A_0|=8.
$$

加入：

$$
x=1
$$

後：

$$
|\mathcal A_1|=4.
$$

再加入：

$$
y=1
$$

後：

$$
|\mathcal A_2|=2.
$$

因此：

$$
x=1
$$

取得 Permit，

而：

$$
z=1
$$

保持 Undetermined。

令 gauge transform：

$$
g(x,y,z)
=
(x,y,1-z).
$$

則 $x$ 、 $y$ 為 gauge-invariant，而 $z$ 不是。

checker 驗證：
1. permission kernel 隨 nonempty contraction 單調擴張；
2. empty admissible set 回傳 Incoherent，而不是 vacuous Permit；
3. gauge-invariant proposition 可在 quotient 上 well-defined；
4. 非 gauge-invariant $z$ 在完整 orbit 上保持 Undetermined；
5. 即使模擬 9:1 majority 支持 $z=1$，只要兩個 $z$ worlds 都 surviving，status 仍為 Undetermined；
6. 若加入錯誤 constraint $z=1$ 並因此排除真實世界 $z=0$，系統可以產生 false permission，直接展示 Conditional Soundness 假設不可省略。

---

## 22. 結論

本文把「共享認知」從 social consensus 改寫為 semantic constraint。

核心物件不是：

$$
V_t(\phi),
$$

而是：

$$
\mathcal A_t.
$$

核心判定不是：

$$
\text{多少 Agents 說 }\phi,
$$

而是：

$$
\boxed{
\forall W\in\mathcal A_t,\ \phi(W)=1\ ?
}
$$

由此得到：

$$
\boxed{
\mathrm{Permit}_t(\phi)=1
\iff
\mathcal A_t\neq\varnothing
\land
\mathcal A_t\subseteq[\![\phi]\!].
}
$$

共享 permission kernel：

$$
\mathfrak P_t
=
\{
\phi:
\mathcal A_t\subseteq[\![\phi]\!]
\}
$$

在 nonempty contraction 下滿足：

$$
\mathfrak P_t
\subseteq
\mathfrak P_{t+1}.
$$

若：

$$
W^\star\in\mathcal A_t,
$$

則 Permit 具有 conditional truth soundness。

若 world 只能識別至 gauge：

$$
[W^\star]_{\mathcal G},
$$

則只有 gauge-invariant proposition 能獲得 quotient-stable permission。

因此本文最核心結論為：

$$
\boxed{
\textbf{Consensus is a social statistic;
shared cognitive permission is a property of an admissible world space.}
}
$$

下一篇將處理這套架構最關鍵的外部支柱：

> 為什麼 AI 生成的 claim 一旦被投射到程式執行、資料集、formal checker、編譯器或其他計算載體，其 epistemic status 會改變？

即：

**Series C / Paper 04 — Computers as Relatively Objective Epistemic Carriers.**

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## 參考文獻

1. Qiao, D. et al. (2026). *Epistemic Gain, Aleatoric Cost: Uncertainty Decomposition in Multi-Agent Debate for Math Reasoning*. arXiv:2603.01221.
2. Chen, T. et al. (2026). *Every Response Counts: Quantifying Uncertainty of LLM-based Multi-Agent Systems through Tensor Decomposition*. arXiv:2604.08708.
3. He, C. et al. (2026). *Minority Sentinel: When to Overturn Majority Voting in Multi-Agent LLM Debates*. arXiv:2606.29270.
4. *Verbalizing LLM's Higher-order Uncertainty via Imprecise Probabilities*. (2026). arXiv:2603.10396.
5. Liu, J. et al. (2026). *The Consensus Trap: Rescuing Multi-Agent LLMs from Adversarial Majorities via Token-Level Collaboration*. arXiv:2604.17139.
6. Chen, T. et al. (2026). *Position: Uncertainty Quantification in LLMs is Just Unsupervised Clustering*. arXiv:2605.19220.
7. Wang, Z. et al. (2024). *ConU: Conformal Uncertainty in Large Language Models with Correctness Coverage Guarantees*. arXiv:2407.00499.

## 狀態標記

- **Definitions:** admissible world、four-valued status、Permission Kernel、gauge-aware permission、credal lifting、 $\alpha$ -permission。
- **Proved:** Logical Closure、Permission Monotonicity、Conditional Soundness、Gauge-Well-Defined Permission、Finite Separation。
- **Externally grounded observations:** multi-agent uncertainty decomposition、MAS trajectory/topology uncertainty、Minority Truth、imprecise-probability LLM uncertainty、internal-consistency critique。
- **Counterexamples:** empty-set vacuity、contaminated contraction、correlated consensus、gauge overclaim。
- **Not claimed:** majority is useless、all admissible sets contain truth、existing AI systems reconstruct the full world、AGI has been achieved。