# Series I / Paper 06
# 第三方生成相變與自我繁殖公共圖：從外部提及到可持續公共顯著性
## Third-Party Generation Transitions and Externally Reproducing Public Graphs: From External Mentions to Self-Sustaining Public Prominence

**作者：Neo.K（許筌崴）**  
**機構：EveMissLab**  
**系列：公共顯著性場與實體可辨識理論（Series I）**  
**版本：v0.1**  
**日期：2026-08-14**

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## 摘要

一個實體被第三方提及，並不等於它已經形成可持續的公共顯著性。單次媒體報導、一次大型社群帳號轉發、搜尋引擎高排名或 AI 回答引用，都可能造成巨大曝光，但在沒有後續外部再生成時，這些事件仍可能快速衰減。反過來，一個目前總曝光不高的實體，若已形成多代外部內容生成鏈，則可能具有比單次大型 broadcast 更高的結構性自我延續能力。

本文提出「外部再生公共圖」（Externally Reproducing Public Graph, ERPG），將公共內容表示為帶有來源控制權、因果／衍生關係、時間、身份歸因與獨立性權重的有向圖。本文區分三個不同狀態：外部首次出現、外部持續生成與外部自我繁殖。第三方內容數量 $X_{\mathrm{ext}}$ 只能證明外部存在；真正的自我繁殖要求外部節點能夠在不依賴新增自有內容注入的情況下，持續產生新的有效外部節點。

本文引入外部再生數：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}
=
E[K_v\mid v\in V_{\mathrm{ext}}],
$$

其中 $K_v$ 表示一個有效外部節點在下一代所引發的新獨立外部節點數。在單類型 Poisson branching approximation 下，本文證明存在臨界值：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}=1.
$$

若：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}\le1,
$$

外部級聯幾乎必然最終消亡；若：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}>1,
$$

則存在嚴格正的永久存續概率。此結果提供一個清楚但模型依賴的「相變」定義。本文進一步給出多類型再生矩陣、Hawkes 型 endogenous/exogenous 分解、外部自主度、代際深度、結構病毒性與持久性指標。

既有網路擴散研究顯示，熱門事件可以由單次大規模 broadcast 或多代 viral diffusion 產生，而且兩者在總曝光量相似時具有完全不同的擴散結構；Hawkes 類模型則提供區分外生推廣與內生自激反應的自然工具。本文因此主張：

$$
\boxed{
\text{Third-Party Attention}
\neq
\text{Third-Party Reproduction}
\neq
\text{Self-Sustaining Public Prominence}.
}
$$

最後，本文將 AI 搜尋與生成式回答加入模型：AI 可以增加瞬時曝光與外部發現，但只有在回答被持久化、索引、引用或再生成時，才形成 ERPG 中的新公共節點。這使「機器辨識」與「機器驅動的公共再生」得到明確區分。

**關鍵詞：** 第三方生成、公共圖、自我繁殖、資訊級聯、branching process、Hawkes process、structural virality、公共顯著性、AI 搜尋、資訊擴散

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## 1. Series I 的最後一個問題

前五篇已建立完整的前置結構。

Paper 01：

$$
\mathbf{x}_E^{\Omega}
=
(I,S,V,D,R,M,H,A,\rho).
$$

Paper 02：

$$
R
=
\Phi
\left(
\Sigma_E,
\mathbf w^{\Omega},
\mathfrak T_E^{\Omega},
\mathcal D,
\mathbf K
\right).
$$

Paper 03：

$$
(P_S,M_L,H_0).
$$

Paper 04：

$$
\Pi_o(E)
=
G_{\theta_o}
\left(
\mathbf{x}_E^{\Omega}
\right).
$$

Paper 05：

$$
\sum p_n=\infty
\Rightarrow
P(\text{eventual effective external contact})=1.
$$

但 Paper 05 刻意沒有回答：

> 外部人看見之後，什麼時候才算公共資訊開始「自己長」？

這就是本文問題。

---

## 2. 第三方提及不是相變

令：

$$
X_{\mathrm{ext}}(t)
$$

表示時間 $t$ 前，獨立第三方對實體 $E$ 產生的有效公開內容數。

如果：

$$
X_{\mathrm{ext}}(t)>0,
$$

只能推出：

$$
\boxed{
\text{external public mention exists}.
}
$$

它不能推出：

$$
\boxed{
\text{external reproduction exists}.
}
$$

例如：

- 一篇新聞報導；
- 一次大型 influencer 轉發；
- 一次熱門論壇貼文；
- 一個搜尋首頁結果；
- 一次 AI 回答引用；

都可能帶來巨大流量，但後續完全停止。

因此：

$$
X_{\mathrm{ext}}\gg0
$$

仍不等於：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}>1.
$$

---

## 3. Public Artifact Graph

定義公共內容圖：

$$
\mathcal G_E(t)
=
(V_t,E_t).
$$

每個節點：

$$
v\in V_t
$$

是一個可識別公共資訊 artifact，例如：

- 網頁；
- 新聞；
- 論文；
- 書籍頁；
- Git commit／repository page；
- 社群貼文；
- 影片；
- 公開資料集；
- 可持久索引的 AI 生成內容。

對節點定義標記：

$$
\chi(v)
\in
\{
\mathrm{self},
\mathrm{external}
\}.
$$

其中：

$$
\chi(v)=\mathrm{self}
$$

代表該 artifact 由實體 $E$ 或其直接控制來源生成；

$$
\chi(v)=\mathrm{external}
$$

代表由獨立第三方控制來源生成。

---

## 4. 邊的意義

有向邊：

$$
u\rightarrow v
$$

表示：

> 節點 $v$ 的形成可合理歸因於 $u$ 的存在、曝光、引用、轉發、報導、討論或其他資訊影響。

邊可以攜帶：

$$
e_{uv}
=
(\tau_{uv},c_{uv},r_{uv}),
$$

其中：

- $\tau_{uv}$：時間差；
- $c_{uv}$：causal／derivative confidence；
- $r_{uv}$：關係型態。

可能的 $r_{uv}$ 包括：

- citation；
- repost；
- response；
- coverage；
- review；
- commentary；
- derivative analysis；
- recommendation；
- AI-mediated discovery。

因此本文不是把所有「同時出現」都當成擴散因果。

---

## 5. 外部節點必須折扣鏡像與複製

一百個自動鏡像不能當成一百個獨立第三方再生事件。

對外部節點：

$$
v
$$

定義：

$$
\nu(v)\in[0,1]
$$

為來源獨立性；

$$
u(v)\in[0,1]
$$

為新增資訊／重組程度；

$$
a(v)\in[0,1]
$$

為對實體的身份歸因強度。

定義有效外部節點權重：

$$
w_{\mathrm{ext}}(v)
=
\nu(v)u(v)a(v).
$$

因此：

$$
X_{\mathrm{ext}}^{\mathrm{eff}}(t)
=
\sum_{\substack{v\in V_t\\\chi(v)=\mathrm{external}}}
w_{\mathrm{ext}}(v).
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{external page count}
\neq
\text{effective external generation mass}.
}
$$

---

## 6. Self-Generated Information Graph

如果幾乎所有有效節點都滿足：

$$
\chi(v)=\mathrm{self},
$$

則稱：

$$
\mathcal G_E
$$

處於：

$$
\boxed{
\text{Self-Generated Information Graph regime}.
}
$$

其典型特徵：

$$
X_{\mathrm{self}}\gg X_{\mathrm{ext}}.
$$

這個實體可以：

- 網路資料非常多；
- 搜尋顯著度很高；
- AI 很容易辨識；
- 身份閉合很好；

但外部社會仍沒有替它持續產生新資訊。

---

## 7. External-Onset Regime

若首次出現：

$$
v\in V_{\mathrm{ext}}
$$

且：

$$
w_{\mathrm{ext}}(v)>0,
$$

則進入：

$$
\boxed{
\text{External-Onset Regime}.
}
$$

這只是：

$$
\text{self}
\rightarrow
\text{external}
$$

第一次跨越。

它不是本文所稱的真正相變。

---

## 8. 外部對外部再生

對任一外部節點：

$$
v\in V_{\mathrm{ext}},
$$

定義其有效外部 offspring 集合：

$$
\operatorname{Child}_{\mathrm{ext}}(v)
=
\{
u:
v\rightarrow u,
\chi(u)=\mathrm{external}
\}.
$$

定義：

$$
K_v
=
\sum_{u\in\operatorname{Child}_{\mathrm{ext}}(v)}
w_{\mathrm{ext}}(u)c_{vu}.
$$

 $K_v$ 表示：

> 一個外部節點在下一代實際生成多少有效、獨立、可歸因的新外部內容。

---

## 9. External Reproduction Number

定義：

$$
\boxed{
\mathcal R_{\mathrm{ext}}
=
E
\left[
K_v
\mid
v\in V_{\mathrm{ext}}
\right].
}
$$

它不是總第三方文章數。

它測量的是：

$$
\boxed{
\text{external}
\rightarrow
\text{external}
}
$$

的平均再生能力。

如果：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}=0,
$$

所有第三方內容都是 dead ends。

如果：

$$
0<\mathcal R_{\mathrm{ext}}<1,
$$

外部傳播可以形成多代 cascade，但在簡單 branching approximation 下傾向消亡。

如果：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}>1,
$$

則開始具有自我持續的可能。

---

## 10. 為什麼不是只看外部比例？

Paper 05 定義：

$$
\eta_{\mathrm{ext}}
=
\frac{
X_{\mathrm{ext}}
}{
X_{\mathrm{self}}+X_{\mathrm{ext}}
}.
$$

這很有用，但仍不充分。

可能有：

$$
\eta_{\mathrm{ext}}\approx1
$$

卻：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}=0.
$$

例如：

> 一個巨大媒體同時觸發很多獨立報導，但沒有任何報導再引發下一代討論。

反之，可以有：

$$
\eta_{\mathrm{ext}}
$$

目前不高，但：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}>1.
$$

表示小型但可持續的外部鏈已經形成。

所以：

$$
\boxed{
\text{external share}
\neq
\text{external reproduction}.
}
$$

---

## 11. Broadcast 與 Viral Structure

令一個外部 diffusion tree 為：

$$
T.
$$

若一個 root 直接產生大量子節點：

$$
d_{\mathrm{root}}\gg0,
$$

而後續深度很低，這是：

$$
\boxed{
\text{broadcast-dominated diffusion}.
}
$$

如果資訊透過多代：

$$
v_0
\rightarrow
v_1
\rightarrow
v_2
\rightarrow
\cdots
$$

逐步傳播，則更接近：

$$
\boxed{
\text{viral / generational diffusion}.
}
$$

兩者可能具有相似總節點數，但結構完全不同。

---

## 12. Structural Virality

對 diffusion tree $T$，可使用平均節點對距離作為結構病毒性：

$$
\nu_T
=
\frac{
1
}{
n(n-1)
}
\sum_{i\neq j}
d_T(i,j),
$$

其中：

$$
n=|V(T)|.
$$

高：

$$
\nu_T
$$

通常表示傳播沿多代、分布式路徑成長；

低：

$$
\nu_T
$$

則可能由單次大型 broadcast 主導。

因此：

$$
\boxed{
\text{cascade size}
\neq
\text{structural virality}.
}
$$

---

## 13. 既有大型實證的警告

對大規模 Twitter diffusion events 的研究顯示，熱門事件可以由 broadcast、viral spreading 及兩者混合產生。

因此：

$$
\boxed{
\text{large popularity}
\not\Rightarrow
\text{high generational reproduction}.
}
$$

這正是本文不以：

$$
X_{\mathrm{ext}}
$$

或：

$$
H
$$

單獨定義相變的原因。

---

## 14. 最簡 branching approximation

現在建立一個理想化模型。

令：

$$
Z_g
$$

表示第 $g$ 代有效外部節點數。

假設每個外部節點獨立產生 Poisson offspring：

$$
K
\sim
\operatorname{Poisson}
(\mathcal R_{\mathrm{ext}}).
$$

則：

$$
Z_{g+1}
=
\sum_{i=1}^{Z_g}K_i.
$$

這是一個單類型 Galton–Watson branching process。

---

## 15. Extinction Probability

令：

$$
q
$$

表示從一個外部節點開始，外部再生鏈最終消亡的概率。

Poisson offspring 的 probability-generating function：

$$
f(s)
=
\exp
\left[
\mathcal R_{\mathrm{ext}}(s-1)
\right].
$$

branching-process extinction probability 滿足：

$$
q=f(q).
$$

因此：

$$
\boxed{
q
=
\exp
\left[
\mathcal R_{\mathrm{ext}}(q-1)
\right].
}
$$

---

## 16. 定理 1：Poisson External-Reproduction Threshold

在上述模型中：

### 若

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}\le1,
$$

則：

$$
q=1.
$$

也就是外部 cascade 幾乎必然最終消亡。

### 若

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}>1,
$$

則存在唯一：

$$
q^\star\in(0,1)
$$

滿足：

$$
q^\star
=
\exp
\left[
\mathcal R_{\mathrm{ext}}
(q^\star-1)
\right].
$$

因此：

$$
1-q^\star>0
$$

是永久存續概率。

---

## 17. 定理 1 證明

定義：

$$
g(q)
=
e^{\mathcal R(q-1)}-q.
$$

顯然：

$$
g(1)=0.
$$

若：

$$
\mathcal R\le1,
$$

則對：

$$
q\in[0,1],
$$

有：

$$
g'(q)
=
\mathcal R
e^{\mathcal R(q-1)}
-1
\le
\mathcal R-1
\le0.
$$

所以 $g$ 在 $[0,1]$ 上非增，且：

$$
g(1)=0.
$$

因此對：

$$
q<1,
$$

有：

$$
g(q)\ge0.
$$

唯一固定點為：

$$
q=1.
$$

再考慮：

$$
\mathcal R>1.
$$

有：

$$
g(0)=e^{-\mathcal R}>0,
$$

以及：

$$
g'(1)=\mathcal R-1>0.
$$

所以對充分小的：

$$
\epsilon>0,
$$

有：

$$
g(1-\epsilon)<0.
$$

由連續性，在：

$$
(0,1)
$$

存在至少一個根。

又因：

$$
g''(q)
=
\mathcal R^2
e^{\mathcal R(q-1)}
>0,
$$

所以 $g$ 嚴格凸。

已知：

$$
q=1
$$

是一個根，因此 $[0,1)$ 中至多還有一個根。

故存在唯一：

$$
q^\star\in(0,1).
$$

所以：

$$
1-q^\star>0.
$$

$$
\boxed{\square}
$$

---

## 18. 模型內的相變

因此在這個理想模型中：

$$
\boxed{
\mathcal R_{\mathrm{ext}}=1
}
$$

是一個真正的臨界點。

### Subcritical

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}<1.
$$

每次外部討論最終都消亡。

### Critical

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}=1.
$$

系統位於臨界邊界；有限 cascade 仍幾乎必然消亡，但其尺度與壽命可以變得高度變異。

### Supercritical

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}>1.
$$

存在正概率形成永久外部再生鏈。

這就是本文最嚴格的「第三方生成相變」。

---

## 19. 這個相變不是普遍現實定理

真實資訊網路具有：

- 有限人口；
- 時間衰減；
- 演算法推薦；
- 平台切換；
- 重複受眾；
- 多種類型內容；
- 競爭議題；
- 大型媒體 broadcast；
- 外生新聞事件；
- 自我再次投入；
- AI 中介。

所以：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}=1
$$

只能被視為：

$$
\boxed{
\text{branching approximation 的結構臨界值}.
}
$$

不能宣稱所有公共名氣都存在相同的物理常數臨界點。

---

## 20. 多類型再生矩陣

不同通道具有不同再生能力。

令：

$$
\mathcal C
=
\{
\text{news},
\text{social},
\text{academic},
\text{video},
\text{AI},
\ldots
\}.
$$

定義：

$$
B_{ij}
=
E
\left[
\text{type }i
\text{ external node generates type }j
\text{ offspring}
\right].
$$

得到：

$$
\mathbf B
=
[B_{ij}].
$$

在標準多類型 branching approximation 中，自我持續條件與：

$$
\rho(\mathbf B)
$$

即 reproduction matrix 的 spectral radius 有關。

因此比單一：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}
$$

更完整的控制參數是：

$$
\boxed{
\rho(\mathbf B).
}
$$

---

## 21. 為什麼跨平台可能很重要？

假設：

$$
B_{\mathrm{news,social}}\gg0,
$$

$$
B_{\mathrm{social,video}}\gg0,
$$

$$
B_{\mathrm{video,search}}\gg0.
$$

即使每個單一平台內的再生能力都低，跨平台循環：

$$
\text{news}
\rightarrow
\text{social}
\rightarrow
\text{video}
\rightarrow
\text{search}
\rightarrow
\text{news}
$$

仍可能形成高：

$$
\rho(\mathbf B).
$$

因此公共顯著性相變可能是一個：

$$
\boxed{
\text{cross-channel eigenvalue problem}.
}
$$

---

## 22. 停止自我注入測試

本文提出一個比「外部比例」更強的操作性測試。

選定：

$$
t_0.
$$

假設從：

$$
t\ge t_0
$$

開始：

$$
\lambda_{\mathrm{self}}(t)=0.
$$

也就是實體不再新增任何自有宣傳／內容。

觀察：

$$
X_{\mathrm{ext}}(t).
$$

若：

$$
X_{\mathrm{ext}}
$$

快速停止，系統仍是：

$$
\boxed{
\text{externally dependent}.
}
$$

若外部內容仍可跨多代持續生成，則系統具有：

$$
\boxed{
\text{external autonomous persistence}.
}
$$

---

## 23. Autonomous Persistence Index

定義：

$$
A_{\mathrm{pers}}(T)
=
\frac{
X_{\mathrm{ext}}(t_0+T)-X_{\mathrm{ext}}(t_0)
}{
X_{\mathrm{ext}}(t_0)
+\epsilon
}.
$$

此量衡量停止 self-seeding 後，外部圖在窗口 $T$ 中仍新增多少內容。

更強地，定義：

$$
P_{\mathrm{surv}}(T)
=
P
\left(
Z_g>0
\text{ for all generations up to }T
\right).
$$

只有外部內容能在無新增自我投入時延續，才接近本文的「自我繁殖」。

---

## 24. Externally Reproducing Public Graph

### 定義 1：ERPG

若公共圖：

$$
\mathcal G_E
$$

滿足：

1. 存在有效外部節點；
2. 存在外部到外部的有效生成邊；
3. 外部生成具有至少二代以上深度；
4. 停止新增 self-seeding 後仍有正外部生成概率；
5. 在指定模型與時間尺度下，外部再生結構具有非退化持久性；

則稱：

$$
\boxed{
\mathcal G_E
\text{ is an Externally Reproducing Public Graph}.
}
$$

如果進一步在 branching approximation 下：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}>1,
$$

則稱為：

$$
\boxed{
\text{supercritical ERPG}.
}
$$

---

## 25. 三個外部階段

### Phase I：External Mention

$$
X_{\mathrm{ext}}>0.
$$

有人談論。

### Phase II：External Cascade

存在：

$$
\text{external}
\rightarrow
\text{external}
$$

多代結構。

### Phase III：External Self-Reproduction

在指定尺度下：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}>1
$$

或：

$$
\rho(\mathbf B)>1,
$$

並在停止 self-seeding 後仍存在正持續概率。

因此：

$$
\boxed{
\text{Mention}
\neq
\text{Cascade}
\neq
\text{Self-Reproduction}.
}
$$

---

## 26. Hawkes 型連續時間模型

branching generation 適合離散代。

對真實連續時間事件，可以使用 Hawkes 型表示：

$$
\lambda_{\mathrm{ext}}(t)
=
\mu_{\mathrm{exo}}(t)
+
\sum_{t_i<t}
\kappa(t-t_i).
$$

其中：

$$
\mu_{\mathrm{exo}}(t)
$$

表示外生輸入，例如：

- 自有發布；
- 新聞事件；
- 平台推薦；
- 大型 influencer；
- 搜尋首頁突然曝光。

而：

$$
\sum\kappa(t-t_i)
$$

代表既有外部事件所造成的內生自激。

---

## 27. Hawkes Branching Ratio

定義：

$$
n_H
=
\int_0^\infty
\kappa(s)\,ds.
$$

它可以被解讀為：

> 一個事件平均引發多少內生後代事件。

因此：

$$
n_H
$$

與：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}
$$

在概念上相鄰。

本文可以用：

$$
n_H
$$

估計連續時間 endogenous reproduction。

---

## 28. Exogenous 與 Endogenous Popularity

如果：

$$
\mu_{\mathrm{exo}}\gg0
$$

但：

$$
n_H\ll1,
$$

則高曝光主要由外部 broadcast／promotion 推動。

如果：

$$
n_H
$$

較高，則較多後續活動由既有事件本身誘發。

因此：

$$
\boxed{
\text{popularity magnitude}
\neq
\text{endogenous reproduction strength}.
}
$$

這與 structural virality 的圖結構觀點互補。

---

## 29. 2025 年擴散模型仍在處理競爭場

當多個議題同時競爭注意力時：

$$
\lambda_E(t)
$$

不只受到自身事件影響。

可以寫成：

$$
\lambda_i(t)
=
\mu_i(t)
+
\sum_j
\sum_{t_{jk}<t}
\kappa_{ij}(t-t_{jk}),
$$

其中：

$$
\kappa_{ij}
$$

允許不同議題／內容彼此促進或抑制。

因此真正的外部自我繁殖不是孤立的：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}(E)
$$

而是存在於競爭注意力場中。

---

## 30. Endogenous External Fraction

定義所有有效外部節點集合：

$$
V_{\mathrm{ext}}.
$$

其中具有至少一個外部父節點者：

$$
V_{\mathrm{endo}}
=
\{
v\in V_{\mathrm{ext}}:
\exists u\in V_{\mathrm{ext}},
u\rightarrow v
\}.
$$

定義：

$$
\phi_{\mathrm{endo}}
=
\frac{
\sum_{v\in V_{\mathrm{endo}}}
w_{\mathrm{ext}}(v)
}{
\sum_{v\in V_{\mathrm{ext}}}
w_{\mathrm{ext}}(v)
}.
$$

如果：

$$
\phi_{\mathrm{endo}}\approx0,
$$

外部活動主要由 self/exogenous seeds 直接觸發。

如果：

$$
\phi_{\mathrm{endo}}\gg0,
$$

更多外部內容由其他外部內容誘發。

---

## 31. Generational Depth

定義：

$$
L_{\mathrm{ext}}
=
\max
\{
\text{external-to-external path length}
\}.
$$

若：

$$
L_{\mathrm{ext}}=0,
$$

只有外部 root。

若：

$$
L_{\mathrm{ext}}=1,
$$

外部節點只產生一代外部子節點。

若：

$$
L_{\mathrm{ext}}\gg1,
$$

則存在真正多代資訊鏈。

因此：

$$
L_{\mathrm{ext}}
$$

是對：

$$
X_{\mathrm{ext}}
$$

的重要補充。

---

## 32. Public Autonomy Vector

本文建議用向量而不是單一數字描述外部自主性：

$$
\mathbf A_E
=
\left(
\eta_{\mathrm{ext}},
\phi_{\mathrm{endo}},
\mathcal R_{\mathrm{ext}},
L_{\mathrm{ext}},
\nu_T,
A_{\mathrm{pers}}
\right).
$$

其中：

- $\eta_{\mathrm{ext}}$：外部內容比例；
- $\phi_{\mathrm{endo}}$：外部內生生成比例；
- $\mathcal R_{\mathrm{ext}}$：外部再生數；
- $L_{\mathrm{ext}}$：最大代際深度；
- $\nu_T$：structural virality；
- $A_{\mathrm{pers}}$：停止 self-seeding 後持久度。

真正的 ERPG 應在多個座標上同時非退化。

---

## 33. 為什麼「第三方開始講」是一個重要轉折？

在 self-generated regime：

$$
\frac{dX_{\mathrm{self}}}{dt}
$$

主要由實體自己控制。

但在外部生成 regime：

$$
\frac{dX_{\mathrm{ext}}}{dt}
$$

部分由：

$$
\mathcal N_{\mathrm{external}}
$$

即外部社會網路決定。

因此系統控制權發生改變：

$$
\boxed{
\text{content production control}
:
E
\rightarrow
E+\mathcal N_{\mathrm{external}}.
}
$$

這是公共顯著性最重要的結構轉換之一。

---

## 34. 相變是控制權與動力學的改變

因此本文不是把：

$$
X_{\mathrm{ext}}=1
$$

稱為相變。

真正的相變候選是：

$$
\boxed{
\text{external production changes from forced response to self-sustaining dynamics}.
}
$$

也就是從：

$$
\lambda_{\mathrm{ext}}
\approx
F(\lambda_{\mathrm{self}})
$$

跨到：

$$
\lambda_{\mathrm{ext}}
\approx
F(\lambda_{\mathrm{ext}})
+
\text{exogenous terms}.
$$

---

## 35. Public Prominence 與 ERPG 不是同一個量

可能存在：

$$
H_0\gg0
$$

但：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}\ll1.
$$

例如極大型 broadcast 讓幾百萬人瞬間知道某實體，但沒有長期第三方生成鏈。

反過來也可能：

$$
H_0
$$

目前仍低，但：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}>1
$$

在一個小而持續的專業社群中成立。

因此：

$$
\boxed{
\text{fame level}
\neq
\text{reproduction regime}.
}
$$

---

## 36. Niche Supercriticality

令領域：

$$
d.
$$

定義：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}^{(d)}.
$$

可能存在：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}^{(\mathrm{math})}>1
$$

但：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}^{(\mathrm{public})}<1.
$$

這意味實體在專業圈已具有自我繁殖的討論結構，但尚未跨入大眾社會。

因此「有名」仍然需要領域條件化。

---

## 37. 負面自我繁殖

ERPG 不要求：

$$
\rho>0.
$$

可能存在：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}>1
$$

且：

$$
\rho<0.
$$

也就是：

$$
\boxed{
\text{negative self-sustaining prominence}.
}
$$

批評、爭議與負面新聞同樣可以形成自我繁殖公共圖。

所以：

$$
\boxed{
\text{public reproduction}
\neq
\text{positive reputation}.
}
$$

---

## 38. AI 回答是不是第三方節點？

這需要分情況。

一次私人、不可索引、沒有公開持久 URL 的 AI 回答：

$$
y_{\mathrm{AI}}^{\mathrm{transient}}
$$

主要是一個：

$$
\boxed{
\text{exposure event}.
}
$$

它不一定是：

$$
\boxed{
\text{persistent public artifact}.
}
$$

因此不應自動計入：

$$
V_{\mathrm{ext}}.
$$

---

## 39. Persistent AI Artifact

若 AI 生成內容被：

- 公開分享；
- 建立永久頁面；
- 被搜尋引擎索引；
- 被新聞或論壇引用；
- 被下一個 AI 系統抓取；
- 被用於新的公開內容；

則可以形成：

$$
v_{\mathrm{AI}}
\in
V_{\mathrm{ext}}.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{AI generation}
\rightarrow
\text{public reproduction}
}
$$

需要 persistent-publication transition。

---

## 40. Machine-Mediated Edge

即使 AI 回答本身不公開，它仍可能造成：

$$
u
\rightarrow
\text{AI answer}
\rightarrow
v,
$$

其中使用者看到 AI 回答後生成公開內容 $v$。

此時可以將其壓縮成 machine-mediated edge：

$$
u
\xrightarrow{\mathrm{AI}}
v.
$$

所以 AI 可以提高：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}
$$

而不必自身成為持久 artifact。

---

## 41. AI Reproduction Number

可進一步定義：

$$
\mathcal R_{\mathrm{AI}}
=
E
\left[
\text{每一次 AI-mediated exposure 所生成的新公共外部 artifacts}
\right].
$$

若未來大量人類 discovery 都透過 AI：

$$
\mathcal R_{\mathrm{AI}}
$$

可能成為 ERPG 的重要組成。

但現階段本文只把它作為可測量擴展，不宣稱其已是主要公共傳播機制。

---

## 42. Search Engine 與 AI 的差異

搜尋引擎主要增加：

$$
P_S.
$$

AI 搜尋代理可能同時提高：

$$
M_L
$$

與：

$$
D.
$$

但只有當結果轉成：

$$
X_{\mathrm{ext}}^{\mathrm{persistent}}
$$

或 machine-mediated public generation 時，才直接改變：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{machine recognizability}
\neq
\text{machine-mediated reproduction}.
}
$$

---

## 43. Third-Party Transition Indicator

本文提出實證型指標：

$$
\Theta_E
=
\sigma
\left[
a_1\eta_{\mathrm{ext}}
+
a_2\phi_{\mathrm{endo}}
+
a_3(\mathcal R_{\mathrm{ext}}-1)
+
a_4L_{\mathrm{ext}}
+
a_5A_{\mathrm{pers}}
\right],
$$

其中：

$$
\sigma
$$

為 logistic map。

 $\Theta_E$ 不是真理值，而是：

$$
\boxed{
\text{transition diagnostic score}.
}
$$

真正的研究應保留原始向量：

$$
\mathbf A_E.
$$

---

## 44. Operational Transition Criterion

可先使用以下操作性定義。

若在連續 $K$ 個時間窗口中：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}>1,
$$

且：

$$
\phi_{\mathrm{endo}}>\phi_0,
$$

$$
L_{\mathrm{ext}}\ge L_0,
$$

並在 self-seeding 停止／控制後：

$$
A_{\mathrm{pers}}>a_0,
$$

則標記為：

$$
\boxed{
\text{candidate ERPG transition}.
}
$$

此定義可被資料修正，而不是先宣稱宇宙存在唯一臨界值。

---

## 45. Hysteresis

公共顯著性相變可能具有 hysteresis。

假設實體曾經跨入：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}>1.
$$

即使之後：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}<1,
$$

既有：

- Wikipedia；
- 書籍；
- 新聞 archive；
- citation；
- followers；
- backlinks；
- search authority；

仍然可以使：

$$
H_0,
P_S,A
$$

保持高值。

因此：

$$
\boxed{
\text{entering prominence}
\neq
\text{leaving prominence by reversing the same path}.
}
$$

這使公共顯著性具有歷史依賴。

---

## 46. Persistence Reservoir

令：

$$
Q_E(t)
$$

表示累積不可輕易消失的公共資產：

- 歷史報導；
- 引用；
- archived pages；
- follower base；
- 知識庫條目；
- institutional records。

建立：

$$
\frac{dQ_E}{dt}
=
\alpha X_{\mathrm{ext}}
-
\delta_QQ_E.
$$

若：

$$
\delta_Q
$$

很小，則即使外部生成速率下降，歷史 reservoir 仍能維持較高：

$$
P_S,H_0,M_L.
$$

因此相變可能產生長期記憶。

---

## 47. Extinction 不等於被遺忘

即使某一次外部 cascade：

$$
Z_g
\rightarrow0,
$$

也不表示：

$$
H_0\rightarrow0.
$$

因為 cascade 是事件過程；

知名度是狀態變量。

所以：

$$
\boxed{
\text{diffusion extinction}
\neq
\text{recognition extinction}.
}
$$

這是 branching model 與 PPSS 必須分開的原因。

---

## 48. 多次 Exogenous Seeding

即使：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}<1,
$$

若外生 seed rate：

$$
\mu_{\mathrm{exo}}(t)
$$

長期很高，仍可以觀察到持續大量第三方內容。

因此：

$$
\boxed{
\text{persistent activity}
\not\Rightarrow
\mathcal R_{\mathrm{ext}}>1.
}
$$

必須估計：

$$
\text{exo}
$$

與：

$$
\text{endo}
$$

兩部分。

這也是 Hawkes 類模型特別有價值的地方。

---

## 49. 競爭與抑制

當多個人物、產品或話題競爭同一注意力場：

$$
\lambda_i(t)
$$

可能受到其他實體：

$$
j
$$

的抑制。

因此可擴展：

$$
\lambda_i(t)
=
\mu_i(t)
+
\sum_j
\int
\kappa_{ij}(t-s)\,dN_j(s).
$$

其中：

$$
\kappa_{ij}<0
$$

可以概念性表示注意力競爭或替代。

實際 Hawkes positivity 條件需要使用相應 constrained model；此處只表示多實體耦合的理論需要。

---

## 50. ERPG 與 Prominence Pressure 的關係

Paper 05 的：

$$
h_\tau
$$

描述離開低顯著狀態的 hazard。

Paper 06 的：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}
$$

描述外部內容本身的再生能力。

因此可能有：

$$
h_\tau
=
F
\left(
\mu_E,
P_S,
M_L,
D,
\mathcal R_{\mathrm{ext}},
Q_E
\right).
$$

尤其：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}>1
$$

可能成為：

$$
h_\tau
$$

快速增加的一個重要結構條件。

但不是唯一條件，因為大型 broadcast 同樣可能使：

$$
h_\tau
$$

瞬間很高。

---

## 51. 兩種跨越顯著度的方法

因此存在至少兩條路徑。

### Broadcast Route

$$
\text{large external source}
\rightarrow
H_0\uparrow\uparrow
$$

但：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}\le1.
$$

### Reproductive Route

$$
\text{small seeds}
\rightarrow
\text{multi-generation external cascade}
\rightarrow
\mathcal R_{\mathrm{ext}}>1.
$$

兩者都可能導致 fame，但結構不同。

---

## 52. 這解釋了「有名但不自我繁殖」

某些人物可能靠：

- 電視；
- 一次重大事件；
- 大平台推薦；
- 一個超大型媒體；

迅速得到：

$$
H_0\gg0.
$$

但只要停止大型 broadcast：

$$
X_{\mathrm{ext}}
$$

迅速衰退。

所以：

$$
\boxed{
\text{high fame}
+
\text{low reproduction}
}
$$

是一個合法狀態。

---

## 53. 也解釋了「還不有名但已開始自己長」

在某些專業社群：

$$
H_{\mathrm{global}}\ll1,
$$

但：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}^{(d)}>1.
$$

則外部討論可以在該領域自行延續。

這是一種：

$$
\boxed{
\text{pre-mass-fame reproductive state}.
}
$$

它可能永遠停留在 niche，也可能後續跨域。

---

## 54. Cross-Domain Escape

令：

$$
B_{ij}
$$

表示領域 $i$ 向領域 $j$ 的再生。

若某 niche：

$$
i
$$

已 supercritical：

$$
B_{ii}>1,
$$

但跨域：

$$
B_{ij}\approx0,
$$

則公共顯著度可能長期被困在專業社群。

真正的 mass fame 可能要求：

$$
\boxed{
\text{cross-domain reproduction paths}
}
$$

被打開。

---

## 55. 外部再生與品牌歸因

外部討論如果只談作品而不連回創作者：

$$
R_{\mathrm{work}\rightarrow E}\ll1,
$$

則作品可以：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}^{(\mathrm{work})}>1,
$$

但人物本身：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}^{(E)}<1.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{artifact fame}
\neq
\text{creator fame}.
}
$$

這將直接接向 Series II 的作品成功理論。

---

## 56. Multi-Entity Attribution

一個公開 artifact 可以同時指向：

$$
E_1,E_2,\ldots,E_k.
$$

因此外部再生圖本質上可以是：

$$
\boxed{
\text{entity–artifact hypergraph}.
}
$$

一篇文章可能同時增加：

- 作者顯著度；
- 公司顯著度；
- 產品顯著度；
- 理論顯著度。

但增加幅度受到 attribution weights 影響。

---

## 57. ERPG Benchmark

本文提出：

**PPSS External Reproduction Benchmark（PPSS-ERPG）**

實體類型包括：

1. 人物；
2. 新創品牌；
3. 開源專案；
4. 論文／理論；
5. 遊戲；
6. 書籍；
7. 影片；
8. 事件；
9. 小型社群人物；
10. 高 broadcast 低 viral 案例；
11. 低 broadcast 高 generational 案例。

---

## 58. Benchmark 資料欄

每一個 public artifact 記錄：

$$
(
t,
\chi,
\text{source},
\text{entity},
\text{parent},
\nu,
u,
a,
\text{channel}
).
$$

因此可以重建：

$$
\mathcal G_E(t).
$$

並估計：

$$
X_{\mathrm{ext}}^{\mathrm{eff}},
$$

$$
\eta_{\mathrm{ext}},
$$

$$
\phi_{\mathrm{endo}},
$$

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}},
$$

$$
L_{\mathrm{ext}},
$$

$$
\nu_T,
$$

$$
A_{\mathrm{pers}}.
$$

---

## 59. 因果識別困難

從觀察資料推斷：

$$
u\rightarrow v
$$

並不容易。

兩篇文章相似可能因：

- 共同新聞事件；
- 同一 press release；
- 同時看到第三個來源；
- 搜尋引擎推薦；
- 真正引用；
- 獨立發現。

所以 ERPG benchmark 必須標記：

$$
c_{uv}
$$

而不是假裝知道全部因果。

---

## 60. Evidence Tiers

可定義：

### Tier 3：Explicit

明確 hyperlink、citation、quote、reply、retweet。

### Tier 2：Strong inferred

時間順序、內容特徵與來源敘述高度支持。

### Tier 1：Weak inferred

只有語義相似與時序。

### Tier 0：Unknown

不能判定。

 $\mathcal R_{\mathrm{ext}}$ 應在不同 evidence tier 下做 sensitivity analysis。

---

## 61. 可檢驗假說

### H1：External Count Insufficiency

控制：

$$
X_{\mathrm{ext}}
$$

後，

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}
$$

與：

$$
L_{\mathrm{ext}}
$$

仍能額外預測 future external persistence。

### H2：Broadcast–Viral Decoupling

總曝光相近的實體可以具有顯著不同：

$$
\nu_T
$$

與：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}.
$$

### H3：Self-Seeding Removal Test

對：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}>1
$$

的候選實體，在控制 self-seeding 後：

$$
A_{\mathrm{pers}}
$$

應顯著高於：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}<1
$$

實體。

### H4：Machine-Mediated Reproduction

對 AI-search 依賴高的資訊類型，machine-mediated edges 的比例將隨時間上升。

### H5：Cross-Domain Escape

從 niche prominence 進入 broad prominence 的案例，在 transition 前後應顯示：

$$
\rho(\mathbf B_{\mathrm{cross}})
$$

或跨域 offspring rate 上升。

---

## 62. 與 Watts Cascade Model 的關係

Watts 的 threshold cascade model 說明：

> 小型 seed 是否能造成 global cascade，高度依賴 network connectivity 與 vulnerable cluster。

因此本文的：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}
$$

不取代 threshold cascade theory。

branching approximation 關心：

$$
\text{average reproduction}.
$$

threshold model 關心：

$$
\text{node activation condition}
+
\text{network topology}.
$$

兩者描述不同機制。

---

## 63. 與 Structural Virality 的關係

Structural virality 告訴我們：

$$
\text{cascade shape}
$$

不能由：

$$
\text{cascade size}
$$

推出。

本文進一步問：

$$
\text{cascade shape}
+
\text{offspring generation}
$$

是否已進入：

$$
\text{self-sustaining regime}.
$$

因此：

$$
\nu_T
$$

與：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}
$$

互補而不等價。

---

## 64. 與 Hawkes Popularity Models 的關係

HIP 類模型把：

$$
\text{exogenous promotion}
$$

與：

$$
\text{endogenous response}
$$

分開。

本文沿用這個思想，但將研究對象改為：

$$
\boxed{
\text{public entity prominence and third-party artifact generation}.
}
$$

也就是：

> 外部網路是否開始在沒有新的 self-seeding 下替實體持續生產內容？

---

## 65. 與 2025 Popularity Prediction 的關係

近期 Hawkes-based information-popularity models 已進一步把多話題共同存在與注意力競爭納入模型。

這說明現實擴散不能只估：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}(E)
$$

而忽略：

$$
\mathcal E_{\mathrm{attention}}(t).
$$

因此 ERPG 是：

$$
\boxed{
\text{entity-conditioned, environment-dependent}.
}
$$

---

## 66. Series I 的完整鏈

現在六篇形成：

### Paper 01

$$
\text{What is fame?}
\rightarrow
\text{multidimensional public state}.
$$

### Paper 02

$$
\text{How is identity closed?}
\rightarrow
\text{non-uniform higher-order symbol coupling}.
$$

### Paper 03

$$
\text{Who can recognize it?}
\rightarrow
\text{search/machine/human decoupling}.
$$

### Paper 04

$$
\text{How does an observer judge fame?}
\rightarrow
\text{observer-conditioned projection}.
$$

### Paper 05

$$
\text{Does continued production pressure obscurity?}
\rightarrow
\text{effective mass + contact hazard}.
$$

### Paper 06

$$
\text{When does outside attention begin reproducing itself?}
\rightarrow
\text{ERPG transition}.
$$

---

## 67. Series I Unified State

完整公共狀態可暫時寫成：

$$
\mathfrak P_E(t)
=
\left(
\mathbf x_E,
\mathcal I_E,
P_S,
M_L,
H_0,
\Pi_o,
\mu_E,
\Psi_\tau,
\mathbf A_E,
Q_E
\right).
$$

其中：

$$
\mathbf x_E
=
(I,S,V,D,R,M,H,A,\rho),
$$

$$
\mathcal I_E
=
(
\Sigma_E,
\mathbf w,
\mathfrak T_E,
\mathcal D,
\mathbf K
),
$$

$$
\mathbf A_E
=
(
\eta_{\mathrm{ext}},
\phi_{\mathrm{endo}},
\mathcal R_{\mathrm{ext}},
L_{\mathrm{ext}},
\nu_T,
A_{\mathrm{pers}}
).
$$

因此 fame 不再是：

$$
F(E).
$$

而是一個：

$$
\boxed{
\text{observer-dependent, time-dependent, multi-layer public-information dynamical state}.
}
$$

---

## 68. 理論邊界

本文不主張：

1. 所有第三方內容都具有可辨識的父節點；
2. 所有公共擴散都可用 branching process 精確描述；
3. $\mathcal R_{\mathrm{ext}}=1$ 是所有真實網路的普遍臨界常數；
4. 高 structural virality 必然代表高知名度；
5. 高第三方內容數等於自我繁殖；
6. AI 回答自動等於公開 artifact；
7. 外部自我繁殖必然帶來正面聲譽；
8. niche supercriticality 必然跨成 mass fame；
9. 外部 cascade 消亡等於人物被遺忘；
10. 可以從單次 snapshot 正確估計 ERPG transition。

本文只主張：

$$
\boxed{
\text{third-party presence}
\neq
\text{third-party reproduction}
\neq
\text{self-sustaining prominence}.
}
$$

以及在明確的 branching approximation 中，存在可證明的：

$$
\boxed{
\mathcal R_{\mathrm{ext}}=1
}
$$

臨界結構。

---

## 69. 結論

本文完成 Series I 的最後一層。

一個實體最早可能只有：

$$
E
\rightarrow
C_{\mathrm{self}}.
$$

之後出現：

$$
C_{\mathrm{self}}
\rightarrow
C_{\mathrm{ext}}.
$$

但真正重要的轉折不是第一次第三方提及。

而是：

$$
\boxed{
C_{\mathrm{ext}}
\rightarrow
C_{\mathrm{ext}}'
\rightarrow
C_{\mathrm{ext}}''
\rightarrow
\cdots.
}
$$

亦即外部資訊開始生產外部資訊。

因此本文提出：

$$
\boxed{
\mathcal R_{\mathrm{ext}}
=
E[K_v].
}
$$

在 Poisson branching approximation 下：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}\le1
\Rightarrow
q=1,
$$

而：

$$
\mathcal R_{\mathrm{ext}}>1
\Rightarrow
q<1.
$$

這提供一個嚴格、但模型限定的外部再生相變。

然而現實公共顯著性還需要同時觀察：

$$
\eta_{\mathrm{ext}},
$$

$$
\phi_{\mathrm{endo}},
$$

$$
L_{\mathrm{ext}},
$$

$$
\nu_T,
$$

$$
A_{\mathrm{pers}},
$$

以及跨通道 reproduction matrix：

$$
\mathbf B.
$$

因此 Series I 的最終核心可以寫成：

$$
\boxed{
\text{Public fame is not merely being present in information space;
it is a dynamical relation among existence, recognition, observation, and reproduction.}
}
$$

更簡潔地：

$$
\boxed{
\text{存在}
\neq
\text{被找到}
\neq
\text{被辨識}
\neq
\text{被認為有名}
\neq
\text{被外部持續再生}.
}
$$

Series I 到此完成。

下一系列將把主體從「人／品牌／實體」移向「作品／產品／遊戲／論文」，研究另一個高度同構但不能等同的問題：

$$
\boxed{
\text{Quality}
\neq
\text{Discoverability}
\neq
\text{Popularity}
\neq
\text{Success}.
}
$$

---

## 參考文獻

[1] Watts, D. J. (2002). A Simple Model of Global Cascades on Random Networks. *Proceedings of the National Academy of Sciences*, 99(9), 5766–5771. DOI: 10.1073/pnas.082090499.

[2] Goel, S., Anderson, A., Hofman, J., & Watts, D. J. (2016). The Structural Virality of Online Diffusion. *Management Science*, 62(1), 180–196. DOI: 10.1287/mnsc.2015.2158.

[3] Rizoiu, M.-A., Xie, L., Sanner, S., Cebrian, M., Yu, H., & Van Hentenryck, P. (2017). Expecting to be HIP: Hawkes Intensity Processes for Social Media Popularity. *Proceedings of the 26th International Conference on World Wide Web*, 735–744. DOI: 10.1145/3038912.3052650.

[4] Li, J., Yang, Y., Zhang, Y., Hu, Q., Zhao, A., & Gao, H. (2025). Public Opinion Field Effect and Hawkes Process Join Hands for Information Popularity Prediction. *Proceedings of the AAAI Conference on Artificial Intelligence*, 39(11), 12076–12083. DOI: 10.1609/aaai.v39i11.33315.

[5] Lorenz-Spreen, P., Mønsted, B. M., Hövel, P., & Lehmann, S. (2019). Accelerating Dynamics of Collective Attention. *Nature Communications*, 10, 1759. DOI: 10.1038/s41467-019-09311-w.

[6] Salganik, M. J., Dodds, P. S., & Watts, D. J. (2006). Experimental Study of Inequality and Unpredictability in an Artificial Cultural Market. *Science*, 311(5762), 854–856. DOI: 10.1126/science.1121066.

---

## Series I 完整位置

1. Paper 01：有名—無名的多維狀態空間  
2. Paper 02：多符號非均勻權重與高階語義耦合  
3. Paper 03：搜尋顯著度、人類知名度與機器可辨識度的解耦  
4. Paper 04：觀察者依賴的感知顯著度理論  
5. Paper 05：資訊質量累積與顯著性壓力猜想  
6. **Paper 06：第三方生成相變與自我繁殖公共圖**