# Series II / Paper 03
# 注意力路由與轉換場：有限曝光資源下的受眾—通道最佳化
## Attention Routing and Conversion Fields: Audience–Channel Optimization Under Finite Exposure Budgets

**作者：Neo.K（許筌崴）**  
**機構：EveMissLab**  
**系列：品質—發現—傳播—成功解耦理論（Series II）**  
**版本：v0.1**  
**日期：2026-08-14**

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## 摘要

一百萬次曝光並不是一百萬次相同的機會。相同總曝光量若被送往不同受眾、不同通道、不同時間與不同介面位置，可以產生完全不同的有效轉換。這表示「宣傳量」、「曝光量」或「流量」都不足以單獨描述一個作品的市場機會；真正重要的是注意力如何被路由到具有不同匹配度、轉換率、成本與後續再生能力的位置。

本文在 AMNESS 與 Layered Discoverability Model 的基礎上，提出「注意力路由與轉換場」（Attention Routing and Conversion Field, ARCF）。令 $\omega$ 表示受眾—通道—時間—介面位置的聯合狀態， $a(\omega)$ 表示被配置到該位置的注意力密度， $c_A(\omega)$ 表示 artifact $A$ 在該位置產生有效轉換的條件概率／價值場。則預期有效轉換可寫為：

$$
Y_A[a]
=
\int_{\Omega}
a(\omega)c_A(\omega)\,d\mu(\omega).
$$

本文證明「總曝光非充分定理」：若 conversion field $c_A(\omega)$ 不是幾乎處處常數，則存在兩個具有相同總注意力

$$
\int a_1\,d\mu
=
\int a_2\,d\mu
=
B
$$

的合法配置，使：

$$
Y_A[a_1]\neq Y_A[a_2].
$$

因此總曝光量只有在極端退化的「所有受眾—通道位置轉換價值相同」情況下，才足以決定轉換結果。

在有限路由模型中，令 $x_{ij}$ 表示向受眾段 $i$ 、通道 $j$ 配置的曝光， $f_{ij}(x_{ij})$ 為預期有效轉換， $k_{ij}$ 為單位成本。若各 $f_{ij}$ 可微、遞增且凹，則最適配置滿足 KKT 邊際對齊條件：所有獲得正內部資源的路徑，其每單位成本邊際收益必須等於共同 shadow price：

$$
\frac{f'_{ij}(x_{ij}^{\star})}{k_{ij}}
=
\lambda.
$$

未被使用的路徑則不能具有更高的未使用邊際收益。此結果將「宣傳應該投哪裡」轉化為有限注意力下的資源配置問題。

本文進一步定義 Attention Waste、Routing Efficiency、Routing Regret、Match-Weighted Conversion、Discovery-to-Conversion Gap 與 Routing Debt。推薦系統、bandit、因果推薦與 cold-start exploration 文獻已分別研究曝光分配、有限預算探索、propensity、使用者—item 公平與探索強度；本文的新增點是把這些機制整合到 AMNESS 的品質—發現—採用鏈中，並把「注意力路由」明確建模為品質能否被正確受眾觀察並轉化的中介場。

**關鍵詞：** 注意力路由、轉換、有限曝光、資源配置、推薦系統、Contextual Bandit、Exposure、Audience Match、Routing Regret、AMNESS

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## 1. 從「被發現」到「送給誰」

Series II / Paper 01 建立：

$$
\mathbf y_A
=
(Q,V,D,M,C,W,P,S).
$$

Paper 02 將 Discoverability 拆成：

$$
X
\rightarrow
J
\rightarrow
R
\rightarrow
V
\rightarrow
D_0
\rightarrow
D_M.
$$

到此仍留下一個重要問題：

> 即使 artifact 已經可以被發現，平台、創作者或市場中介手上只有有限曝光資源時，這些注意力應該送給誰？

若曝光被送到不匹配受眾，則：

$$
V\gg0
$$

仍可能：

$$
C\approx0.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{Exposure Volume}
\neq
\text{Effective Attention Routing}.
}
$$

---

## 2. 注意力不是單一數字

令完整機會空間為：

$$
\Omega
=
\mathcal U
\times
\mathcal C
\times
\mathcal T
\times
\mathcal L,
$$

其中：

- $\mathcal U$：受眾空間；
- $\mathcal C$：通道空間；
- $\mathcal T$：時間；
- $\mathcal L$：介面位置／展示型態。

一個注意力位置：

$$
\omega
=
(u,c,t,\ell)
\in\Omega.
$$

不同 $\omega$ 的轉換價值一般不同。

---

## 3. Attention Allocation Field

定義：

$$
a(\omega)\ge0
$$

為配置到狀態 $\omega$ 的注意力／曝光密度。

總注意力預算：

$$
\int_{\Omega}
a(\omega)\,d\mu(\omega)
\le
B.
$$

其中：

$$
B
$$

可以表示：

- impressions；
- recommendation slots；
- ad budget；
- 首頁位置；
- 編輯曝光；
- AI recommendation calls；
- 人類宣傳時間。

---

## 4. Conversion Field

對 artifact $A$，定義：

$$
c_A(\omega)
\in[0,1]
$$

為在狀態 $\omega$ 發生有效曝光後的條件轉換概率。

若不同轉換具有不同價值，定義：

$$
v_A(\omega)\ge0.
$$

則單位注意力期望價值：

$$
r_A(\omega)
=
c_A(\omega)v_A(\omega).
$$

稱：

$$
\boxed{
r_A(\omega)
=
\text{Conversion Value Field}.
}
$$

---

## 5. 總有效轉換

預期結果：

$$
Y_A[a]
=
\int_{\Omega}
a(\omega)r_A(\omega)\,d\mu(\omega).
$$

這是最簡線性 exposure model。

若存在飽和、重複曝光與互相干擾，後文再引入非線性形式。

---

## 6. Match 分解

可以寫：

$$
r_A(\omega)
=
M_A(u)
C_A(u,c,t,\ell)
V_A(u,c,t,\ell),
$$

其中：

$$
M_A(u)
$$

表示 audience match，

$$
C_A
$$

表示 match 後的採用／購買轉換，

$$
V_A
$$

表示成功轉換的價值。

因此大量曝光若集中在：

$$
M_A(u)\approx0
$$

的受眾，會形成低有效路由。

---

## 7. Match-Weighted Attention

定義：

$$
B_M[a]
=
\int_{\Omega}
a(\omega)M_A(u)\,d\mu(\omega).
$$

稱：

$$
\boxed{
B_M
=
\text{Match-Weighted Attention}.
}
$$

總曝光：

$$
B
$$

相同的兩個活動，可以有完全不同：

$$
B_M.
$$

---

## 8. Routing Efficiency

定義：

$$
\eta_R
=
\frac{
Y_A[a]
}{
B
r_{\max}+\epsilon
},
$$

其中：

$$
r_{\max}
=
\operatorname*{ess\,sup}_{\omega\in\Omega}
r_A(\omega).
$$

則：

$$
0\le\eta_R\le1
$$

在最簡線性模型中成立。

它衡量：

> 實際注意力配置相對於同量注意力可達到的理想單位轉換上界，有多有效率？

---

## 9. Attention Waste

選定最低有效價值閾值：

$$
\tau_r.
$$

定義低價值區：

$$
\Omega_{\mathrm{waste}}
=
\{
\omega:
r_A(\omega)<\tau_r
\}.
$$

則浪費注意力：

$$
W_A[a]
=
\int_{\Omega_{\mathrm{waste}}}
a(\omega)\,d\mu(\omega).
$$

注意：

$$
W_A
$$

不是道德判斷。

它只表示：

> 對指定 conversion objective 幾乎沒有價值的曝光。

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# 10. 總曝光非充分定理

### 定理 1：Total-Exposure Insufficiency Theorem

若：

$$
r_A(\omega)
$$

不是幾乎處處常數，且可行配置允許將正注意力質量放到至少兩個具有不同 $r_A$ 值的正測度區域，則存在：

$$
a_1,a_2
$$

使：

$$
\int a_1\,d\mu
=
\int a_2\,d\mu
=
B
$$

但：

$$
Y_A[a_1]
\neq
Y_A[a_2].
$$

### 證明

因 $r_A$ 非幾乎處處常數，存在兩個正測度集合：

$$
E_H,E_L
$$

及常數：

$$
r_H>r_L
$$

使對幾乎所有：

$$
\omega_H\in E_H,
\qquad
\omega_L\in E_L
$$

有：

$$
r_A(\omega_H)\ge r_H,
$$

$$
r_A(\omega_L)\le r_L.
$$

構造 $a_1$ 將全部可行注意力質量 $B$ 配置於 $E_H$，構造 $a_2$ 將同樣質量配置於 $E_L$。

則：

$$
Y_A[a_1]
\ge
Br_H
$$

而：

$$
Y_A[a_2]
\le
Br_L.
$$

因：

$$
r_H>r_L,
$$

所以：

$$
Y_A[a_1]>Y_A[a_2].
$$

$$
\boxed{\square}
$$

---

## 11. 反向命題

若對所有固定總質量 $B$ 的合法配置：

$$
Y_A[a]
$$

皆相同，則在允許任意局部重分配的配置族中：

$$
r_A(\omega)
$$

必須幾乎處處為常數。

因此：

$$
\boxed{
\text{Total Exposure determines outcome only in a degenerate uniform conversion field}.
}
$$

這正是「一百萬曝光不是一百萬相同機會」的數學形式。

---

# 12. 兩群體構造

考慮：

$$
U_1,U_2.
$$

其單次轉換價值：

$$
c_1>c_2.
$$

固定曝光：

$$
x_1+x_2=B.
$$

預期轉換：

$$
Y
=
c_1x_1+c_2x_2.
$$

若沒有容量限制，最優：

$$
x_1^{\star}=B,
$$

$$
x_2^{\star}=0.
$$

---

## 13. Misrouting Loss

任意配置：

$$
x_2>0
$$

相對最優配置的損失：

$$
L_R
=
B c_1
-
(c_1x_1+c_2x_2).
$$

由：

$$
x_1=B-x_2,
$$

得到：

$$
L_R
=
(c_1-c_2)x_2.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{Misrouting Loss}
=
\text{value gap}
\times
\text{misrouted attention}.
}
$$

---

## 14. 同曝光、不同結果

若：

$$
c_1=0.20,
$$

$$
c_2=0.01,
$$

且：

$$
B=10000,
$$

全部投向 $U_1$：

$$
Y_1=2000.
$$

全部投向 $U_2$：

$$
Y_2=100.
$$

曝光同樣都是：

$$
10000.
$$

但有效轉換差：

$$
20
$$

倍。

這是曝光量無法代表有效市場機會的最簡構造。

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# 15. 離散受眾—通道模型

令：

$$
i=1,\ldots,m
$$

代表 audience segments，

$$
j=1,\ldots,n
$$

代表 channels。

令：

$$
x_{ij}\ge0
$$

為對 route $(i,j)$ 配置的注意力。

成本：

$$
k_{ij}>0.
$$

總預算：

$$
\sum_{i,j}
k_{ij}x_{ij}
\le
B.
$$

---

## 16. Route Yield Function

令：

$$
f_{ij}(x_{ij})
$$

表示 route $(i,j)$ 在配置 $x_{ij}$ 曝光後的有效轉換價值。

一般假設：

$$
f'_{ij}(x)\ge0.
$$

若存在飽和：

$$
f''_{ij}(x)\le0.
$$

即收益凹。

這反映：

- audience saturation；
- repeated exposure；
- finite target pool；
- diminishing marginal response。

---

# 17. Attention Routing Optimization

定義：

$$
\boxed{
\max_{\{x_{ij}\}}
\sum_{i,j}
f_{ij}(x_{ij})
}
$$

subject to：

$$
\sum_{i,j}
k_{ij}x_{ij}
\le
B,
$$

$$
x_{ij}\ge0.
$$

這是最簡有限資源 Attention Routing Problem。

---

# 18. 定理 2：Marginal Routing Equalization

假設：

1. 每個 $f_{ij}$ 可微；
2. $f_{ij}$ 凹；
3. $k_{ij}>0$ ；
4. 最優解存在；
5. 預算約束在最優點 binding。

則存在：

$$
\lambda\ge0
$$

使對所有：

$$
x_{ij}^{\star}>0
$$

的 interior active routes：

$$
\boxed{
\frac{
f'_{ij}(x_{ij}^{\star})
}{
k_{ij}
}
=
\lambda.
}
$$

而對：

$$
x_{ij}^{\star}=0
$$

的 routes：

$$
\frac{
f'_{ij}(0)
}{
k_{ij}
}
\le
\lambda.
$$

### 證明

Lagrangian：

$$
\mathcal L
=
\sum_{i,j}f_{ij}(x_{ij})
-
\lambda
\left(
\sum_{i,j}k_{ij}x_{ij}-B
\right)
+
\sum_{i,j}\nu_{ij}x_{ij}.
$$

KKT stationarity：

$$
f'_{ij}(x_{ij}^{\star})
-
\lambda k_{ij}
+
\nu_{ij}
=
0.
$$

若：

$$
x_{ij}^{\star}>0,
$$

由 complementary slackness：

$$
\nu_{ij}=0.
$$

因此：

$$
f'_{ij}(x_{ij}^{\star})
=
\lambda k_{ij},
$$

即：

$$
\frac{f'_{ij}(x_{ij}^{\star})}{k_{ij}}
=
\lambda.
$$

若：

$$
x_{ij}^{\star}=0,
$$

則：

$$
\nu_{ij}\ge0,
$$

故：

$$
f'_{ij}(0)
\le
\lambda k_{ij}.
$$

$$
\boxed{\square}
$$

---

## 19. Shadow Price

 $\lambda$ 可解讀為：

$$
\boxed{
\text{一單位額外注意力預算的邊際最適價值}.
}
$$

若某 route：

$$
\frac{f'_{ij}}{k_{ij}}
>
\lambda,
$$

但沒有得到更多資源，表示目前配置不是最優。

---

## 20. Routing Regret

令：

$$
\mathbf x^{\star}
$$

為最佳配置，

$$
\mathbf x
$$

為實際配置。

定義：

$$
\boxed{
\mathcal R_{\mathrm{route}}
=
Y(\mathbf x^{\star})
-
Y(\mathbf x).
}
$$

此處的 regret 是靜態 allocation regret。

若時間序列決策，則：

$$
\mathcal R_T
=
\sum_{t=1}^{T}
\left[
Y_t(\mathbf x_t^{\star})
-
Y_t(\mathbf x_t)
\right].
$$

---

# 21. Routing Debt

若長期持續採用 suboptimal routing：

$$
\mathbf x(t),
$$

定義：

$$
L_R(T)
=
\int_0^T
\left[
Y^{\star}(t)-Y(t)
\right]dt.
$$

稱：

$$
\boxed{
\text{Routing Debt}.
}
$$

它會造成：

- 少量 adoption；
- 少 reviews；
- 少 feedback data；
- 少 word-of-mouth；
- 更弱未來 recommendation confidence。

因此路由錯誤具有路徑依賴。

---

# 22. Routing Debt 與 Discoverability Debt

Paper 02 已定義：

$$
L_D(T).
$$

本文的：

$$
L_R(T)
$$

處理的是：

> 即使已經有曝光資源，是否把曝光送到錯誤位置？

因此：

$$
\boxed{
\text{Discoverability Debt}
\neq
\text{Routing Debt}.
}
$$

前者是沒被看見；

後者是被錯的人看見。

---

# 23. Discovery-to-Conversion Gap

定義：

$$
G_{DC}
=
D_0
-
P(\mathrm{Conversion}).
$$

更精確地可以使用：

$$
G_{DC}^{M}
=
D_M
-
P(\mathrm{Conversion}).
$$

若：

$$
G_{DC}\gg0,
$$

代表大量 discovery 沒有轉成 adoption。

原因可能包括：

- audience mismatch；
- price；
- presentation；
- product friction；
- low quality；
- timing；
- weak trust。

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# 24. Conversion Funnel 重新形式化

對 route $(i,j)$：

$$
N_{ij}^{\mathrm{conv}}
=
x_{ij}
e_{ij}
m_{ij}
c_{ij}.
$$

其中：

$$
e_{ij}
$$

為實際 attention rate，

$$
m_{ij}
$$

為 match，

$$
c_{ij}
$$

為條件 conversion。

因此：

$$
Y
=
\sum_{i,j}
v_{ij}
x_{ij}e_{ij}m_{ij}c_{ij}.
$$

這個線性形式適用低飽和近似。

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# 25. 重複曝光與飽和

對 route $(i,j)$，更合理可寫：

$$
f_{ij}(x)
=
N_i
v_{ij}
\left(
1-e^{-\alpha_{ij}x/N_i}
\right)
c_{ij}.
$$

則：

$$
f'_{ij}(x)>0,
$$

$$
f''_{ij}(x)<0.
$$

表示相同 audience pool 的額外曝光邊際收益下降。

---

## 26. 頻率過高

高頻曝光可能甚至形成：

$$
f'_{ij}(x)<0
$$

的區域，例如：

- fatigue；
- annoyance；
- ad avoidance；
- overexposure。

因此真實 routing 問題甚至可能不是單調收益。

本文主要定理先限制於凹且遞增的安全域。

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# 27. Time-Dependent Conversion Field

定義：

$$
r_A(\omega,t).
$$

同一受眾在不同時間：

$$
r_A(u,c,t_1,\ell)
\neq
r_A(u,c,t_2,\ell).
$$

例如：

- launch window；
- seasonal demand；
- news cycle；
- discount period；
- competing release。

因此：

$$
\boxed{
\text{right audience at the wrong time}
}
$$

仍可能是錯誤路由。

---

# 28. Channel-Dependent Conversion

同一人看到同一 artifact：

$$
c_A(u,c_1)
\neq
c_A(u,c_2).
$$

原因可以是：

- channel trust；
- format；
- context；
- friction；
- payment path；
- recommendation credibility。

所以 audience match 不是全部。

還需要 channel match。

---

# 29. Position-Dependent Conversion

令：

$$
\ell
$$

表示介面位置。

則：

$$
c_A(u,c,t,\ell)
$$

也可能隨 position 改變。

因此 recommendation slate 本身是一個 routing action，而不是只選「推不推薦」。

Slate recommendation 的 off-policy evaluation 文獻正是把排序後的 item 集合作為整體 action 處理，而不是把每一 exposure 完全獨立。 

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# 30. Exposure 是因果前置變量

推薦因果研究明確區分：

$$
\text{exposure}
$$

與：

$$
\text{interaction}.
$$

若只觀察 interaction，而不知道：

$$
P(\text{exposure}),
$$

則：

$$
\text{low interaction}
$$

可能來自：

- 低品質；
- 低曝光；
- 錯受眾；
- 錯路由。

所以：

$$
\boxed{
\text{interaction data alone cannot identify conversion quality without exposure assumptions}.
}
$$

---

# 31. Propensity

定義：

$$
\pi_{ij}
=
P(
\text{route }(i,j)
\text{ receives exposure}
).
$$

因果效果分析需要處理：

$$
\pi_{ij}.
$$

否則高曝光 routes 自然擁有更多 interaction，造成：

$$
\boxed{
\text{selection by exposure}.
}
$$

---

# 32. Recommendation as Allocation

推薦系統不只是 prediction system。

它實際決定：

$$
\boxed{
\text{誰獲得稀缺曝光}.
}
$$

Exposure-fairness 與 multi-sided recommendation 文獻都直接把 exposure allocation 視為平台的重要決策變數。

因此 ARCF 把推薦問題放回：

$$
\boxed{
\text{finite attention allocation}.
}
$$

---

# 33. Winner-Takes-All Exposure

若推薦 policy 只持續把資源放到最高當前估計收益 route：

$$
x_{i^\star j^\star}\approx B,
$$

其他：

$$
x_{ij}\approx0,
$$

則可能形成：

$$
\boxed{
\text{winner-takes-all exposure}.
}
$$

這提高短期 exploitation，卻可能損害：

- exploration；
- 新 item learning；
- creator diversity；
- long-term content pool。

---

# 34. Exploration–Exploitation

對未知 route：

$$
r_{ij}
$$

需要透過曝光估計。

因此注意力路由同時是：

$$
\text{allocation}
+
\text{learning}.
$$

這自然連接 contextual bandit。

---

# 35. Routing Under Uncertainty

令：

$$
\hat r_{ij}
$$

為估計轉換價值，

$$
\sigma_{ij}
$$

為不確定度。

探索型 route score 可寫成：

$$
U_{ij}
=
\hat r_{ij}
+
\beta\sigma_{ij}.
$$

其中：

$$
\beta
$$

控制 exploration strength。

若：

$$
\beta=0,
$$

純 exploitation 可能永久忽略高不確定的新 routes。

---

# 36. 有限探索預算

現實系統通常不能無限探索。

因此：

$$
B
$$

同時限制：

- 當期收益；
- 學習速度；
- 新 item 機會。

Budgeted contextual bandit 文獻正研究如何在有限資源下選擇何時探索、何時介入與如何配置行動。

---

# 37. Item-Level Exploration

Paper 02 已指出，大型 recommendation system 可對新 item 主動分配 exploration traffic。

從 ARCF 角度，這就是為未知：

$$
r_A(\omega)
$$

購買資訊。

即：

$$
\boxed{
\text{exploration exposure}
=
\text{market learning investment}.
}
$$

---

# 38. Value of Information

對 route $r$，定義額外探索 $\delta x$ 的資訊價值：

$$
\operatorname{VoI}_r
=
E[
Y_{\mathrm{future}}
\mid
\text{observe extra feedback}
]
-
E[
Y_{\mathrm{future}}
\mid
\text{no extra feedback}
].
$$

因此最佳 routing 不一定把所有資源投入當期最高 conversion route。

---

# 39. Short-Term / Long-Term Objective

可以寫：

$$
J
=
\sum_{t=0}^{T}
\gamma^t
\left[
Y_t
+
\beta_D D_t
+
\beta_L L_t
\right],
$$

其中：

$$
Y_t
$$

是當期 conversion，

$$
D_t
$$

可以表示 diversity／future discovery，

$$
L_t
$$

表示 learning value。

這比單期 click maximization 更完整。

---

# 40. Creator-Side Externality

UGC 平台中，流量配置也改變 creator 是否願意繼續生產。

因此：

$$
x_{ij}
$$

除了影響 consumer conversion，還可能影響：

$$
\text{future supply}.
$$

推薦平台研究已顯示 exploration strength 存在短期使用者滿意與長期 creator productivity 的 trade-off。

所以 routing objective 可以擴展：

$$
J
=
U_{\mathrm{user}}
+
\alpha U_{\mathrm{creator}}
+
\beta U_{\mathrm{platform}}.
$$

---

# 41. Multi-Sided Routing

平台至少可能同時最佳化：

$$
\boxed{
\text{User Utility}
}
$$

$$
\boxed{
\text{Artifact / Creator Opportunity}
}
$$

$$
\boxed{
\text{Platform Utility}.
}
$$

所以唯一的「最佳注意力配置」依賴目標函數。

---

# 42. Fair Exposure

若 artifact 的 merit：

$$
m_A
$$

相近，但 exposure：

$$
V_A
$$

極端不同，可以產生 item-side allocation inequality。

因此 routing optimization 也可以加入：

$$
\mathcal F(\mathbf x)
\le
\epsilon_F
$$

作為 fairness constraint。

---

# 43. Fairness–Efficiency Frontier

定義：

$$
Y(\mathbf x)
$$

為 conversion utility，

$$
F(\mathbf x)
$$

為 fairness objective。

則：

$$
\max_{\mathbf x}
Y(\mathbf x)
$$

subject to：

$$
F(\mathbf x)\ge\tau_F
$$

會形成 Pareto frontier。

所以：

$$
\boxed{
\text{conversion-optimal routing}
}
$$

未必是：

$$
\boxed{
\text{fairness-optimal routing}.
}
$$

---

# 44. Routing Quality 與 Artifact Quality 分離

一個 artifact 的：

$$
Q_A
$$

可以固定。

只改 routing policy：

$$
\pi_1
\rightarrow
\pi_2
$$

即可改變：

$$
Y_A.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{market outcome can improve without changing artifact quality}.
}
$$

這對 Series II 的非等價理論非常重要。

---

# 45. 相反情況

也可以：

$$
Q_A\uparrow
$$

但 routing 完全不變且集中在：

$$
M_A(u)\approx0
$$

的受眾。

此時：

$$
Y_A
$$

幾乎不變。

因此：

$$
\boxed{
\text{quality improvement can remain economically latent under persistent misrouting}.
}
$$

---

# 46. Quality Activation Revisited

Paper 01 定義 Quality-Active Regime：

$$
D\ge D_0,
$$

$$
M\ge M_0.
$$

Paper 03 現在補充：

$$
\boxed{
\text{quality activation also requires nontrivial attention mass on high-value regions}.
}
$$

即：

$$
\int_{\Omega_H}
a(\omega)\,d\mu(\omega)
>
0
$$

對高 conversion region：

$$
\Omega_H.
$$

---

# 47. Routing Coverage

定義高價值區域：

$$
\Omega_\tau
=
\{
\omega:
r_A(\omega)\ge\tau
\}.
$$

定義：

$$
C_R(\tau)
=
\frac{
\int_{\Omega_\tau}
a(\omega)\,d\mu
}{
\int_{\Omega}
a(\omega)\,d\mu
}.
$$

稱：

$$
\boxed{
\text{High-Value Routing Coverage}.
}
$$

若：

$$
C_R(\tau)\approx0,
$$

即使：

$$
B\gg0
$$

也可能低 conversion。

---

# 48. Attention Concentration

另一方面，把全部曝光集中於目前估計最高 route 也有風險。

定義配置份額：

$$
p_{ij}
=
\frac{
k_{ij}x_{ij}
}{
B
}.
$$

路由熵：

$$
H_R
=
-\sum_{i,j}
p_{ij}\log p_{ij}.
$$

有效 route 數：

$$
N_R^{\mathrm{eff}}
=
e^{H_R}.
$$

這衡量注意力是否過度集中。

---

# 49. Concentration 不等於 Inefficiency

低：

$$
H_R
$$

不一定錯。

若 conversion field 真正高度集中：

$$
r_{i^\star j^\star}\gg r_{ij},
$$

集中配置可以是最優。

所以：

$$
\boxed{
\text{diversity is not an unconditional objective}.
}
$$

它的價值來自：

- uncertainty；
- fairness；
- future supply；
- robustness；
- exploration。

---

# 50. Robust Routing

如果：

$$
r_A(\omega)
$$

估計有誤差：

$$
r_A(\omega)
\in
[\hat r_A-\epsilon_A,\hat r_A+\epsilon_A],
$$

可考慮：

$$
\max_a
\min_{r\in\mathcal R}
\int a(\omega)r(\omega)d\mu.
$$

這得到 robust routing。

它避免把全部注意力押在一個可能估錯的 route。

---

# 51. Attention Portfolio

因此可以把 routing 看成：

$$
\boxed{
\text{Attention Portfolio Allocation}.
}
$$

不同 route 有：

- expected conversion；
- uncertainty；
- saturation；
- cost；
- learning value；
- long-term spillover。

這與單純「買多少曝光」不同。

---

# 52. Time Allocation

若總預算分配跨時間：

$$
\int_0^T
b(t)\,dt
=
B,
$$

目標：

$$
\max_{b(t)}
\int_0^T
b(t)r(t)\,dt.
$$

若：

$$
r(t)
$$

因 launch window 或事件改變，時間路由本身會決定結果。

---

# 53. Burst vs Persistent Routing

同樣總曝光：

### Burst

$$
b(t)
$$

集中於短時間。

### Persistent

$$
b(t)
$$

分散於長時間。

如果 conversion、word-of-mouth 或 algorithm learning 具有動態性，兩者結果可不同。

因此：

$$
\boxed{
\text{same exposure mass}
\neq
\text{same temporal routing}.
}
$$

---

# 54. Routing and Word-of-Mouth

若一次 conversion 在不同受眾中具有不同：

$$
W(u),
$$

則單期 conversion value 應修正為：

$$
r_A^{+}(\omega)
=
c_A(\omega)
\left[
v_A(\omega)
+
\gamma W_A(\omega)
\right].
$$

這會使「高轉換但低傳播」與「中轉換但高再生」的 route 產生不同長期價值。

---

# 55. Long-Term Route Value

更完整：

$$
r_A^{\mathrm{LT}}(\omega)
=
E
\left[
\sum_{t=0}^{\infty}
\gamma^t
V_t
\mid
\text{initial exposure at }\omega
\right].
$$

因此注意力路由應該對：

$$
\boxed{
\text{lifetime downstream value}
}
$$

而不只是 immediate click 最佳化。

---

# 56. AI-Mediated Routing

AI recommendation agent 可以同時做：

$$
\text{User Intent Inference}
\rightarrow
\text{Artifact Search}
\rightarrow
\text{Comparison}
\rightarrow
\text{Routing}.
$$

因此它可能直接提高：

$$
M
$$

與 route-level：

$$
r_A.
$$

但 AI 本身的 prior、retrieval bias 與 ranking bias 仍會影響：

$$
a(\omega).
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{AI routing}
\neq
\text{neutral routing}.
}
$$

---

# 57. Personal Agent as Routing Intermediary

若未來使用者透過個人 AI agent 而非平台直接接受推薦：

$$
\text{Artifact}
\rightarrow
\text{Platform}
\rightarrow
\text{User Agent}
\rightarrow
\text{User},
$$

則 routing control 從單一平台轉為多層決策。

因此未來：

$$
a(\omega)
$$

可能由多個 agent 共同決定。

---

# 58. Attention Routing Field

本文正式定義：

$$
\boxed{
\mathcal A_A
=
\left(
\Omega,
a(\omega),
r_A(\omega),
B,
\mathcal K,
\mathcal G
\right),
}
$$

其中：

- $\Omega$：受眾—通道—時間—介面空間；
- $a(\omega)$：注意力配置；
- $r_A(\omega)$：conversion value field；
- $B$：有限資源；
- $\mathcal K$：成本／容量約束；
- $\mathcal G$：公平、探索與長期約束。

這就是 ARCF。

---

# 59. AMNESS-AR Benchmark

本文提出：

**AMNESS Attention Routing Benchmark（AMNESS-AR）**

每個 artifact 至少記錄：

$$
(
Q,
D_M,
a_{ij},
k_{ij},
m_{ij},
c_{ij},
W_{ij},
P,
S
).
$$

---

# 60. Benchmark 必須有 Counterfactual Exposure

若只看現有 log：

$$
x_{ij}
$$

與：

$$
y_{ij},
$$

很難知道沒被曝光 route 的真實：

$$
c_{ij}.
$$

因此需要：

- randomized exploration；
- inverse propensity weighting；
- off-policy evaluation；
- bandit experimentation；
- controlled traffic allocation。

---

# 61. 可檢驗假說

### H1：Exposure Insufficiency

控制總曝光：

$$
B
$$

後，route composition 仍能顯著預測 conversion。

### H2：Match Routing

控制 artifact quality 後：

$$
B_M
$$

比 raw exposure：

$$
B
$$

更能預測 adoption。

### H3：Marginal Equalization

接近 conversion-optimal 的穩定活動中，被使用 routes 的：

$$
\frac{f'_{ij}}{k_{ij}}
$$

應比隨機配置更接近彼此。

### H4：Routing Debt

早期：

$$
L_R
$$

較大的 artifact，後續 interaction data、word-of-mouth seeds 與 popularity growth 較弱。

### H5：Exploration Value

對 cold-start item，保留有限 exploration budget 比純 greedy routing 更能降低長期 routing regret。

---

# 62. 與現有推薦研究的關係

推薦研究已長期處理：

- exposure allocation；
- ranking；
- slate policies；
- bandit exploration；
- fairness；
- causal propensity；
- cold-start traffic allocation。

因此本文不主張「第一次把曝光當資源」。

本文新增的是：

$$
\boxed{
\text{將有限 attention allocation 放入 AMNESS 的品質激活鏈}.
}
$$

也就是：

$$
Q
\rightarrow
D
\rightarrow
\boxed{\text{Routing}}
\rightarrow
C
\rightarrow
W
\rightarrow
S.
$$

---

# 63. 與 Paper 02 的統一

Paper 02 定義：

$$
D_M
=
\text{Match-Weighted Discoverability}.
$$

Paper 03 進一步說：

> 即使具有潛在 matched discoverability，真正產生多少 conversion 還取決於注意力是否被配置到這些 matched regions。

所以：

$$
D_M
$$

是機會集合，

$$
a(\omega)
$$

是實際資源配置。

---

# 64. 與 Series I 的接口

Series I 研究 creator / entity prominence。

若 creator 已有高：

$$
H_0
$$

或：

$$
P_S,
$$

其新 artifact 可能天然獲得較高：

$$
B
$$

與更好的初始：

$$
a(\omega).
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{Creator Fame}
\rightarrow
\text{Initial Attention Routing Advantage}.
}
$$

這是 fame 影響 artifact success 的一條明確通道。

---

# 65. 反方向

若 artifact 成功：

$$
S_A\uparrow,
$$

又有高 attribution：

$$
R_{A\rightarrow E},
$$

則 creator：

$$
H_E
$$

可能上升。

所以形成：

$$
\boxed{
\text{Creator Prominence}
\leftrightarrow
\text{Artifact Attention Advantage}.
}
$$

---

# 66. 理論邊界

本文不主張：

1. 所有 attention routing 都應只最大化 conversion；
2. conversion field 已知；
3. 所有 route yield 都凹；
4. 所有市場都不存在 network effects；
5. match 高就保證 conversion 高；
6. fairness 是效率的敵人；
7. exploration 永遠值得；
8. 集中曝光一定不好；
9. AI routing 是客觀的；
10. 總曝光沒有任何價值。

本文只主張：

$$
\boxed{
\text{總曝光量不是一般情況下的充分統計量}.
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{有限注意力的配置位置會改變品質能否轉化為市場結果}.
}
$$

---

# 67. 結論

本文提出：

$$
\boxed{
Y_A[a]
=
\int_{\Omega}
a(\omega)r_A(\omega)\,d\mu(\omega).
}
$$

因此 artifact 的市場結果不只取決於「拿到多少注意力」：

$$
B
=
\int a\,d\mu,
$$

更取決於：

$$
\boxed{
\text{注意力被放在哪裡}.
}
$$

本文證明，只要：

$$
r_A(\omega)
$$

不是幾乎處處常數，就存在兩個具有相同總曝光：

$$
B
$$

但產生不同轉換：

$$
Y_A[a_1]\neq Y_A[a_2].
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{Same Exposure}
\not\Rightarrow
\text{Same Opportunity}.
}
$$

在有限、凹收益的 route allocation 中，最優條件則要求：

$$
\boxed{
\frac{f'_{ij}(x_{ij}^{\star})}{k_{ij}}
=
\lambda
}
$$

對所有正內部 route 成立。

所以真正的宣傳／推薦問題不是：

> 「要不要更多曝光？」

而是：

> **「下一單位稀缺注意力，應該送到哪一個受眾—通道—時間位置，才能產生最高的邊際有效價值？」**

Series II 現在形成：

$$
\boxed{
Q
\rightarrow
D
\rightarrow
\text{Attention Routing}
\rightarrow
C
\rightarrow
S.
}
$$

但下一篇將加入一個不能被 routing 解決的基本上界：

> 即使作品在目標受眾中品質極高、路由也完美，如果真正會喜歡它的人本來就非常少，它仍然可能存在結構性的市場上限。

這就是：

$$
\boxed{
\text{Niche High Quality and Audience Upper Bounds}.
}
$$

---

## 參考文獻

[1] Wang, D., Jiao, J., Bhadury, A., Zhang, Y., & Gao, M. (2025). Item Level Exploration Traffic Allocation in Large-scale Recommendation Systems. arXiv:2505.09033.

[2] Wang, D., Jiao, J., Bhadury, A., Zhang, Y., Gao, M., & Dalal, O. (2025). Item-centric Exploration for Cold Start Problem. *Proceedings of the Nineteenth ACM Conference on Recommender Systems*, 987–990.

[3] Yao, F., Liao, Y., Liu, J., Nie, S., Wang, Q., Xu, H., & Wang, H. (2024). Unveiling User Satisfaction and Creator Productivity Trade-Offs in Recommendation Platforms. *Advances in Neural Information Processing Systems 37*. DOI: 10.52202/079017-2759.

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[7] Gan, K., Keyvanshokooh, E., Liu, X., & Murphy, S. (2024). Contextual Bandits with Budgeted Information Reveal. *Proceedings of AISTATS 2024*, 3970–3978.

[8] Swaminathan, A., Krishnamurthy, A., Agarwal, A., Dudik, M., Langford, J., Jose, D., & Zitouni, I. (2017). Off-policy Evaluation for Slate Recommendation. *Advances in Neural Information Processing Systems 30*.

[9] Liu, X. (2025). On Preference-based Stochastic Linear Contextual Bandits with Knapsacks. *Proceedings of AISTATS 2025*, 2890–2898.

[10] Sankagiri, S., Etesami, J., Fatemi, P., & Grossglauser, M. (2026). Recycling History: Efficient Recommendations from Contextual Dueling Bandits. *Proceedings of the 37th International Conference on Algorithmic Learning Theory*, PMLR 313, 1–20.

---

## Series II 位置

1. Paper 01：品質不推出成功：基本非等價理論  
2. Paper 02：Discoverability：存在、可搜尋與被發現的區別  
3. **Paper 03：注意力路由與轉換場**  
4. Paper 04：窄域高品質與受眾上界  
5. Paper 05：口碑、知名度、銷量與採用率的動態耦合  
6. Paper 06：品質—名氣—成功象限與非單調動力學