# EveMissLab Ontology Core Series — Paper 04
# 型別化信息完整、失真與還原：從投影纖維到任務相對可恢復性的統一框架
## Typed Information Completeness, Distortion, and Restoration: From Projection Fibers to Task-Relative Recoverability

- 文件編號：EML-ONTO-CORE-04
- 版本：v0.1
- 日期：2026-08-15
- 作者：Neo.K × AI 協作
- 機構：EveMissLab／一言諾科技有限公司
- 系列：Ontology Core Series
- 上游正典：
  - `EveMissLab Ontology Canon v0.1`
  - `Ontology Genealogy & Symbol Migration Map v0.1`
  - `EML-ONTO-CORE-01：潛能、載域與顯現`
  - `EML-ONTO-CORE-02：型別化三元算子族`
  - `EML-ONTO-CORE-03：共享狀態域耦合（SSDC）`
- 性質：資訊本體論／表示理論／壓縮與還原／狀態空間／SSDC transport fidelity
- 證據狀態：形式框架、定義與一般命題；不宣稱存在單一跨所有領域的普遍信息量

---

# 摘要

「資訊是否完整」經常被寫成一個過度模糊的問題。對同一 transformation，一份表示可能完整保存分類結果，卻丟失原始像素；可能完整保存當前狀態，卻丟失歷史；可能保留語義，卻丟失來源 provenance；也可能對某個 observer 完全可用，對另一個 observer 卻不可恢復。因此，任何不帶任務、型別、觀察條件與恢復判準的「information completeness」都不足以作為本體論或工程判定。

本文建立 **Typed Information Completeness, Distortion, and Restoration（TICDR）** 作為 Ontology Core Series 的第四個基礎層。其核心不是先定義一個 universal information scalar，而是先指定一組真正需要保留的 typed observables / invariants / queries：

$$
\boxed{
\mathcal J
=
\{j_\alpha\}_{\alpha\in A},
\qquad
j_\alpha:
\mathcal X
\rightarrow
\mathcal Z_\alpha.
}
$$

對 transformation：

$$
T:
\mathcal X
\rightarrow
\mathcal Y,
$$

本文定義 $j_\alpha$ 被 $T$ **exactly preserved**，當且僅當存在 decoder：

$$
\widehat j_\alpha:
\mathcal Y
\rightarrow
\mathcal Z_\alpha
$$

使：

$$
\boxed{
j_\alpha
=
\widehat j_\alpha
\circ
T.
}
$$

因此，對任務族 $\mathcal J$ 的 **Typed Information Completeness** 定義為：

$$
\boxed{
T
\text{ is }\mathcal J\text{-complete}
\iff
\forall j\in\mathcal J,\;
j
\text{ factors through }T.
}
$$

本文證明一個核心 Fiber Criterion：

$$
\boxed{
j
\text{ factors through }T
\iff
j
\text{ is constant on every fiber }T^{-1}(y).
}
$$

由此，表示壓縮、投影、SSDC transport、同一性與還原問題被統一到同一個結構：

> transformation 可以合併 states，只要被合併的 states 在指定 $\mathcal J$ 下本來就不需要被區分。

這直接導出：

$$
\boxed{
\text{lossless for }\mathcal J
\neq
\text{globally invertible}.
}
$$

本文再區分五種不同狀態：

1. **preserved**：資訊可由輸出直接重建；
2. **hidden / inaccessible**：當前 observer 或 decoder 沒有取得，但表示本身未必已丟失；
3. **representation-irrecoverable**：在 transformation 的輸出中已無足夠資訊區分來源 fiber；
4. **side-information recoverable**：單靠輸出不可恢復，但加入 history/provenance/key/context 後可以恢復；
5. **physically destroyed**：屬於額外物理主張，不由 representation non-invertibility 自動推出。

對量化失真，本文定義 typed optimal reconstruction distortion：

$$
\boxed{
D_j^\ast(T)
=
\inf_g
\mathbb E
\left[
d_j
\bigl(
j(X),
g(T(X))
\bigr)
\right]
}
$$

或 deterministic worst-case 版本。所有 typed distortion 組成：

$$
\boxed{
\boldsymbol\Delta_{\mathcal J}(T)
=
\left(
D_{j_\alpha}^\ast(T)
\right)_{\alpha\in A}.
}
$$

此結構取代「所有資訊都用一個 loss 值表示」的做法。

在還原方面，本文區分：

$$
R\circ T=id_{\mathcal X}
$$

的 exact state restoration，以及只要求：

$$
j(R(Tx))=j(x)
$$

的 $\mathcal J$ -restoration。後者允許大量不可逆壓縮，只要 relevant invariants 被保存。

最後，本文證明一個 deterministic Data-Processing Monotonicity：若：

$$
\mathcal X
\xrightarrow{T}
\mathcal Y
\xrightarrow{U}
\mathcal Z,
$$

則純 post-processing 不能重新創造已被 $T$ 合併掉的 source distinctions：

$$
\boxed{
\operatorname{Pres}(U\circ T)
\subseteq
\operatorname{Pres}(T).
}
$$

對 optimal reconstruction distortion，也有相應的非改善關係：

$$
\boxed{
D_j^\ast(U\circ T)
\ge
D_j^\ast(T),
}
$$

在相同 source distribution 與 unrestricted decoder class 下成立。若加入 side information，則必須另建更大的 information channel，而不能把恢復能力錯記成原 transformation 自身無損。

本文因此為後續同一與非同一、邊界、provenance、Closure/CRL、理論壓縮與多 Agent 共享世界提供一個共同信息判定層。

**關鍵詞：** information completeness、typed information、distortion、restoration、fiber、sufficient statistic、information bottleneck、rate-distortion、SSDC、provenance、invertibility、data processing

---

# 1. 問題：完整到底是對誰、對什麼完整？

考慮：

$$
T:
X
\rightarrow
Y.
$$

如果問：

> $T$ 有沒有丟失資訊？

這個問題通常不完整。

必須至少問：

1. 哪一類資訊？
2. 對哪個 task？
3. 對哪個 observer？
4. 哪個 scale / resolution？
5. 允許什麼 decoder？
6. 是否有 side information？
7. 要 exact reconstruction 還是 task-equivalent reconstruction？
8. preservation 是 state、relation、causal、history、boundary 還是 provenance？

例如把彩色圖片轉成灰階。

若 task 只是：

> 圖中是否有一隻貓？

灰階可能足夠。

但若 task 是：

> 貓的毛色是哪一種 RGB 分布？

則不完整。

所以：

$$
\boxed{
\text{Information completeness}
}
$$

必須是 typed / task-relative relation。

---

# 2. Typed Information Query Family

## 定義 2.1 — Information Query / Invariant

令：

$$
\mathcal X
$$

為 source state space。

一個 typed information query：

$$
\boxed{
j_\alpha:
\mathcal X
\rightarrow
\mathcal Z_\alpha
}
$$

抽取某個被研究者要求保存的內容。

 $j_\alpha$ 可以是：

- state feature；
- relation graph；
- causal parent set；
- history；
- boundary；
- identity class；
- provenance；
- classification label；
- sufficient statistic；
- proof status；
- legal permission；
- task output。

---

# 3. Typed Information Family

令：

$$
\boxed{
\mathcal J
=
\{j_\alpha\}_{\alpha\in A}.
}
$$

這個 family 才是本文所說的：

> 需要被保存的資訊規格。

因此不再用裸：

$$
I(X)
$$

代表所有可能資訊。

更安全的正典是：

$$
\boxed{
\mathbf I_{\mathcal J}(X)
=
\left(
j_\alpha(X)
\right)_{\alpha\in A}.
}
$$

它是一個 typed information profile。

它不要求所有 component 都是數值。

---

# 4. Canonical Information Channels

Ontology Canon v0.1 曾提出：

$$
(I_S,I_R,I_C,I_H,I_B,I_O,I_P,I_L).
$$

本文將其改寫成 query families，而不是假設它們天然共享同一量綱。

例如：

$$
\mathcal J_S
=
\text{state queries},
$$

$$
\mathcal J_R
=
\text{relation queries},
$$

$$
\mathcal J_C
=
\text{causal queries},
$$

$$
\mathcal J_H
=
\text{history queries},
$$

$$
\mathcal J_B
=
\text{boundary queries},
$$

$$
\mathcal J_O
=
\text{observer-relative queries},
$$

$$
\mathcal J_P
=
\text{provenance queries}.
$$

至於 latent information：

$$
\mathcal J_L,
$$

只有在 latent structure 已被另外定義成可查詢對象時才使用。

---

# 5. Transformation

令：

$$
\boxed{
T:
\mathcal X
\rightarrow
\mathcal Y.
}
$$

 $T$ 可以是：

- compression；
- projection；
- coarse-graining；
- SSDC transport；
- translation；
- model conversion；
- graph extraction；
- summarization；
- serialization；
- theorem distillation；
- version migration。

---

# 6. Exact Preservation

## 定義 6.1 — $j$ -Preservation

稱：

$$
j:
\mathcal X
\rightarrow
\mathcal Z
$$

被 transformation $T$ exact preserved，若存在：

$$
\widehat j:
\mathcal Y
\rightarrow
\mathcal Z
$$

使：

$$
\boxed{
j
=
\widehat j
\circ
T.
}
$$

也就是：

> 只看 $T(x)$，仍足以精確回答原本對 $x$ 的 query $j$。

---

# 7. Typed Information Completeness

## 定義 7.1 — $\mathcal J$ -Completeness

$$
\boxed{
T
\text{ is }\mathcal J\text{-complete}
}
$$

若：

$$
\boxed{
\forall j\in\mathcal J,
\exists
\widehat j
\text{ such that }
j
=
\widehat j
\circ
T.
}
$$

這是本文對「信息完整」的核心正典定義。

---

# 8. 為什麼這個定義比「保留 95% 資訊」更基本？

因為很多資訊根本沒有共同自然 measure。

例如：

- provenance 是否保留；
- causal direction 是否保留；
- theorem dependency 是否保留；
- legal permission 是否保留；

不適合直接和：

- image MSE；
- Shannon entropy；
- graph edit distance；

加在一起。

所以第一層先問：

$$
\boxed{
\text{reconstructable or not?}
}
$$

第二層才問：

$$
\boxed{
\text{distortion how large?}
}
$$

---

# 9. Fibers

對：

$$
y\in\operatorname{Im}(T),
$$

定義：

$$
\boxed{
F_y^T
=
T^{-1}(y).
}
$$

即所有被 $T$ 壓成同一 output 的 source states。

Fiber 是理解「信息到底在哪裡丟掉」的核心。

---

# 10. Fiber Criterion

## 定理 10.1 — Exact Preservation Fiber Criterion

對任意：

$$
j:
\mathcal X
\rightarrow
\mathcal Z,
$$

下列條件等價：

### A

存在：

$$
\widehat j:
\operatorname{Im}(T)
\rightarrow
\mathcal Z
$$

使：

$$
j
=
\widehat j
\circ
T.
$$

### B

 $j$ 在每個 fiber：

$$
F_y^T
$$

上為常數。

即：

$$
\boxed{
T(x_1)=T(x_2)
\Rightarrow
j(x_1)=j(x_2).
}
$$

---

# 11. Fiber Criterion 證明

若：

$$
j
=
\widehat j
\circ
T,
$$

則：

$$
T(x_1)=T(x_2)
$$

立即給：

$$
j(x_1)
=
\widehat j(Tx_1)
=
\widehat j(Tx_2)
=
j(x_2).
$$

反之，若 $j$ 在每個 fiber 上常數，對：

$$
y\in\operatorname{Im}(T)
$$

選任意：

$$
x\in T^{-1}(y),
$$

定義：

$$
\widehat j(y)=j(x).
$$

因 fiber 內 $j$ 為常數，此定義與代表元選擇無關。

故：

$$
j=\widehat j\circ T.
$$

證畢。

---

# 12. Information Completeness 的本質

因此：

$$
\boxed{
T
\text{ 對 }\mathcal J\text{ 完整}
}
$$

不表示：

> $T$ 沒有 merge states。

而只表示：

> 被 merge 的 states 對 $\mathcal J$ 而言本來就不需要區分。

這是壓縮與同一性理論的關鍵接口。

---

# 13. Exact State Restoration

如果要求恢復完整 source state，等價於把 query family 取成：

$$
\mathcal J_{\mathrm{id}}
=
\{id_{\mathcal X}\}.
$$

此時 preservation 要求存在：

$$
R:
\operatorname{Im}(T)
\rightarrow
\mathcal X
$$

使：

$$
\boxed{
R\circ T
=
id_{\mathcal X}.
}
$$

---

# 14. Exact Restoration Criterion

## 命題 14.1

存在 exact left inverse：

$$
R\circ T=id_{\mathcal X}
$$

當且僅當：

$$
T
$$

在考察 domain 上為 injective。

因此：

$$
\boxed{
\text{exact state restoration}
\iff
\text{injective transformation}.
}
$$

這是 representation-level statement。

不等於物理可逆性。

---

# 15. $\mathcal J$ -Restoration

完整 state restoration 通常過強。

## 定義 15.1

若存在：

$$
R_{\mathcal J}:
\mathcal Y
\rightarrow
\mathcal X
$$

使：

$$
\boxed{
\forall j\in\mathcal J,
\quad
j
\left(
R_{\mathcal J}(T(x))
\right)
=
j(x),
}
$$

則稱：

$$
R_{\mathcal J}
$$

為 $\mathcal J$ -restoration。

這允許：

$$
R_{\mathcal J}(T(x))
\neq
x
$$

但 relevant invariants 完全恢復。

---

# 16. Exact State Restoration 不等於 Relevant Restoration

例如：

$$
T:
\text{full image}
\rightarrow
\text{class label}.
$$

如果：

$$
\mathcal J=\{\text{class}\},
$$

則 $T$ 可以 $\mathcal J$ -complete。

但幾乎不可能恢復原圖：

$$
R(T(x))=x.
$$

所以：

$$
\boxed{
\mathcal J\text{-complete}
\not\Rightarrow
\text{state-invertible}.
}
$$

---

# 17. Typed Distortion

Exact yes/no 不足以處理 approximate systems。

令：

$$
d_j:
\mathcal Z_j
\times
\mathcal Z_j
\rightarrow
\mathbb R_{\ge0}
$$

為 query-specific distortion。

---

# 18. Optimal Reconstruction Distortion

若 $X$ 為帶 distribution 的 random state，定義：

$$
\boxed{
D_j^\ast(T)
=
\inf_g
\mathbb E
\left[
d_j
\left(
j(X),
g(T(X))
\right)
\right].
}
$$

其中：

$$
g:
\mathcal Y
\rightarrow
\mathcal Z_j.
$$

 $D_j^\ast$ 回答：

> 從 $T(X)$ 出發，用最佳 decoder 重建 query $j(X)$，最低可達失真是多少？

---

# 19. Deterministic Worst-Case Distortion

若沒有 probability distribution，可定義：

$$
\boxed{
D_{j,\infty}^\ast(T)
=
\inf_g
\sup_{x\in\mathcal D}
d_j
\left(
j(x),
g(Tx)
\right).
}
$$

這避免強迫所有理論先有 probability model。

---

# 20. Distortion Spectrum

對：

$$
\mathcal J
=
\{j_\alpha\},
$$

定義：

$$
\boxed{
\boldsymbol\Delta_{\mathcal J}(T)
=
\left(
D_{j_\alpha}^\ast(T)
\right)_{\alpha\in A}.
}
$$

這就是新版 typed distortion spectrum。

它取代早期直接寫：

$$
\mathbf I(X)-\mathbf I(\widehat X)
$$

的做法。

因為不同 information channels 不一定共享可減的向量空間。

---

# 21. 為什麼「差值向量」不夠安全？

如果：

$$
I_H
$$

代表 history fidelity，

而：

$$
I_B
$$

代表 boundary correctness，

它們可能：

- 單位不同；
- 空間不同；
- 一個是 scalar；
- 一個是 graph；
- 一個是 predicate。

因此：

$$
I_H-I_B
$$

一般沒有意義。

正確方法是：

$$
\boxed{
\text{typed query}
+
\text{typed distortion}.
}
$$

---

# 22. Preservation Indicator

若只要 exact 判定，可定義：

$$
\boxed{
P_j(T)
=
\begin{cases}
1 & j\text{ factors through }T,\\
0 & \text{otherwise}.
\end{cases}
}
$$

得到：

$$
\boxed{
\mathbf P_{\mathcal J}(T)
=
(P_{j_\alpha}(T)).
}
$$

所以一個 transformation 可以：

$$
P_S=1,
\quad
P_R=1,
\quad
P_H=0,
\quad
P_P=0.
$$

即：

> 當前 state 和 relation 被保留，但 history 與 provenance 丟失。

---

# 23. 五種不同「丟失」

本文必須區分以下五種情況。

---

# 24. Type L1 — Observer-Inaccessible

source information 仍存在於 representation / system 中，但 observer：

$$
o
$$

沒有存取權、解析度或 decoder。

因此：

$$
\boxed{
\text{inaccessible}
\neq
\text{irrecoverable}.
}
$$

---

# 25. Type L2 — Decoder-Absent

存在某個數學 decoder：

$$
g
$$

可以恢復，但目前系統沒有實作或不知道它。

這是：

$$
\boxed{
\text{epistemic / engineering absence}.
}
$$

不是 structural loss。

---

# 26. Type L3 — Representation-Irrecoverable

如果存在：

$$
x_1\neq x_2
$$

使：

$$
T(x_1)=T(x_2)
$$

但：

$$
j(x_1)\neq j(x_2),
$$

則：

$$
j
$$

無法僅由 $T(x)$ exact recovery。

即：

$$
\boxed{
\text{fiber collision across a relevant distinction}.
}
$$

這是 representation-level irrecoverability。

---

# 27. Type L4 — Side-Information Recoverable

即使單靠：

$$
Y=T(X)
$$

不夠，若存在 side information：

$$
S
$$

以及：

$$
g(Y,S)
$$

可以恢復：

$$
j(X),
$$

則資訊不是系統層面絕對不可恢復。

例如：

- provenance log；
- version history；
- external key；
- checksum；
- source file；
- cached latent state；
- human memory。

---

# 28. Type L5 — Physical Destruction

「物理資訊真的被破壞」屬於額外物理主張。

representation：

$$
T
$$

非 injective，只能推出：

$$
\boxed{
\text{output representation alone cannot distinguish all source states}.
}
$$

不能直接推出：

$$
\boxed{
\text{the universe destroyed those distinctions}.
}
$$

---

# 29. Side-Information Restoration

定義：

$$
\boxed{
R:
\mathcal Y
\times
\mathcal S
\rightarrow
\widehat{\mathcal X}.
}
$$

如果：

$$
j(R(T(x),s_x))
=
j(x),
$$

則：

$$
j
$$

是 side-information recoverable。

因此 recovery claim 必須標記：

$$
\boxed{
\text{recovered from what inputs?}
}
$$

---

# 30. Provenance 是一級 information type

兩個 states 可以：

$$
x_1^{\mathrm{content}}
=
x_2^{\mathrm{content}}
$$

但：

$$
x_1^{\mathrm{prov}}
\neq
x_2^{\mathrm{prov}}.
$$

例如相同一句 theorem statement：

- 一份來自已驗證 proof；
- 一份來自未驗證生成；
- 一份來自撤回版本。

若 transformation 只保留正文：

$$
T(x_1)=T(x_2),
$$

則 content query 可 preserved，

但 provenance query：

$$
j_P
$$

不 preserved。

因此：

$$
\boxed{
\text{content identity}
\not\Rightarrow
\text{provenance identity}.
}
$$

---

# 31. History 也是一級 information type

同一當前狀態：

$$
s_t
$$

可能來自不同歷史：

$$
H_1,
\qquad
H_2.
$$

若 representation 只記：

$$
s_t,
$$

則 current-state complete，

但 history-incomplete。

所以：

$$
\boxed{
I_S\text{-complete}
\not\Rightarrow
I_H\text{-complete}.
}
$$

---

# 32. Boundary Information

同一內部內容：

$$
X
$$

若 boundary / permission 不同：

$$
\partial_1 X
\neq
\partial_2 X,
$$

系統可允許完全不同操作。

因此 boundary 不能被當 metadata 雜訊。

在 governance / agent / legal systems：

$$
\boxed{
\mathcal J_B
}
$$

常是必要 information family。

---

# 33. Causal Information

correlation-preserving representation 不必保留：

$$
do(X=x)
$$

下的 intervention structure。

因此：

$$
\boxed{
\text{predictive completeness}
\not\Rightarrow
\text{causal completeness}.
}
$$

若 task 涉及 intervention / counterfactual，必須把 causal queries：

$$
\mathcal J_C
$$

加入 completeness contract。

---

# 34. Observer-Relative Completeness

令：

$$
q=(o,s,r,d,\chi).
$$

則：

$$
\mathcal J_q
$$

可能因 observer / task 改變。

因此：

$$
\boxed{
T
\text{ is }\mathcal J_{q_1}\text{-complete}
}
$$

不推出：

$$
\boxed{
T
\text{ is }\mathcal J_{q_2}\text{-complete}.
}
$$

這與 Paper 01 的 observer-relative manifestation 完全一致。

---

# 35. Information Contract

本文建議每次重要 transformation 都先定義：

$$
\boxed{
\mathfrak C_I(T)
=
\left\langle
\mathcal J,
\mathcal D,
\mathcal S_{\mathrm{side}},
\epsilon,
q
\right\rangle.
}
$$

其中：

- $\mathcal J$：required queries；
- $\mathcal D$：typed distortion functions；
- $\mathcal S_{\mathrm{side}}$：允許的 side information；
- $\epsilon$：tolerance；
- $q$：observer/task context。

這就是 **Information Preservation Contract**。

---

# 36. $\epsilon$ -Completeness

若：

$$
D_j^\ast(T)
\le
\epsilon_j
$$

對所有：

$$
j\in\mathcal J,
$$

則稱：

$$
\boxed{
T
\text{ is }(\mathcal J,\boldsymbol\epsilon)\text{-complete}.
}
$$

這是 exact completeness 的 approximate extension。

---

# 37. Sufficient Representation

如果 task 只有：

$$
Y^\star
=
j(X),
$$

那麼任何：

$$
T(X)
$$

只要滿足：

$$
j
=
\widehat j\circ T
$$

就是 task-sufficient representation。

它可以丟失大量 source detail。

所以：

$$
\boxed{
\text{sufficiency}
\neq
\text{invertibility}.
}
$$

---

# 38. Minimal Sufficient Representation

若 $T$ 對 $\mathcal J$ complete，且任何進一步 nontrivial quotient 都會破壞至少一個：

$$
j\in\mathcal J,
$$

可稱：

$$
T
$$

為相對 $\mathcal J$ 的 minimal sufficient representation candidate。

本文不建立唯一性 theorem，只保留此方向。

---

# 39. Information Bottleneck 的位置

Information Bottleneck 的核心精神是：

> 壓縮 source representation，同時保留對 target 有關的 information。

本文與其高度相容，但更一般。

因為：

$$
\mathcal J
$$

可以不是一個 random target variable。

它可以是：

- graph；
- provenance；
- causal structure；
- proof status；
- boundary；
- identity criterion。

所以 TICDR 可以看成：

$$
\boxed{
\text{typed/task-general preservation framework}.
}
$$

---

# 40. Compression 不等於 Loss

如果：

$$
T
$$

把：

$$
x_1,x_2
$$

merge，

但：

$$
\forall j\in\mathcal J,
\quad
j(x_1)=j(x_2),
$$

則對 $\mathcal J$：

$$
T
$$

仍然 zero-loss。

因此：

$$
\boxed{
\text{fewer states in representation}
\not\Rightarrow
\mathcal J\text{-information loss}.
}
$$

---

# 41. Semantic Compression

如果只要求 semantic task：

$$
\mathcal J_{\mathrm{sem}},
$$

則可以刻意丟掉：

$$
\mathcal J_{\mathrm{surface}}
$$

資訊。

例如語音通信只保留 transcript-related information，而不保留 speaker acoustics。

所以必須說：

$$
\boxed{
\text{semantic-preserving}
}
$$

而不是：

$$
\boxed{
\text{information-lossless}.
}
$$

---

# 42. Closure Fidelity

對 knowledge base：

$$
K,
$$

若 task 是保留 deductive closure：

$$
Cl_{\vdash}(K),
$$

則可以把：

$$
j_{\mathrm{closure}}(K)
=
Cl_{\vdash}(K)
$$

加入：

$$
\mathcal J.
$$

若 compressed representation：

$$
T(K)
$$

仍能重建相同 deductive closure，

則它對 closure query complete。

這提供：

$$
\boxed{
\text{closure-preserving compression}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{verbatim-preserving compression}
}
$$

的清楚區分。

---

# 43. Data-Processing Monotonicity

設：

$$
\mathcal X
\xrightarrow{T}
\mathcal Y
\xrightarrow{U}
\mathcal Z.
$$

如果：

$$
j
$$

可以從：

$$
U(T(x))
$$

exact recovery，

則：

$$
j
$$

當然也可以從：

$$
T(x)
$$

recovery：

只要先做：

$$
U
$$

再做 decoder。

因此：

## 定理 43.1 — Exact Preservation Monotonicity

$$
\boxed{
\operatorname{Pres}(U\circ T)
\subseteq
\operatorname{Pres}(T).
}
$$

純 post-processing 不能重新創造 $T$ 已經 structural merge 的 source distinctions。

---

# 44. Quantitative Monotonicity

對 unrestricted decoder class：

$$
g:
\mathcal Y\rightarrow\mathcal Z_j
$$

與：

$$
h:
\mathcal Z\rightarrow\mathcal Z_j,
$$

每個：

$$
h\circ U
$$

也是 $\mathcal Y$ 上的一個 decoder。

因此：

$$
\inf_g
\mathbb E[d_j(j(X),g(TX))]
\le
\inf_h
\mathbb E[d_j(j(X),h(U(TX)))].
$$

即：

$$
\boxed{
D_j^\ast(U\circ T)
\ge
D_j^\ast(T).
}
$$

這是 TICDR 的 deterministic/stochastic reconstruction analogue of data processing。

---

# 45. Side Information 不是違反 Data Processing

如果：

$$
j
$$

從：

$$
T(X)
$$

不可恢復，

但從：

$$
(T(X),S)
$$

可恢復，

那是因為新的輸入 channel：

$$
S
$$

被加入。

因此不是：

> post-processing 創造了遺失資訊。

而是：

$$
\boxed{
\text{larger observation state}
=
(T(X),S).
}
$$

---

# 46. Restoration Spectrum

本文把還原分成五級。

## R0 — No Restoration

無 relevant decoder。

## R1 — Approximate Query Restoration

$$
D_j^\ast
\le
\epsilon.
$$

## R2 — Exact $\mathcal J$ -Restoration

$$
j(R(Tx))=j(x)
$$

對所有：

$$
j\in\mathcal J.
$$

## R3 — Exact State Restoration

$$
R\circ T=id.
$$

## R4 — Provenance-Preserving Exact Restoration

除 state 外，history / provenance / boundary 等指定 typed channels 也完整 round-trip。

---

# 47. Generative Reconstruction 不是 Restoration

若 decoder：

$$
R(y)
$$

生成一個看起來合理的：

$$
\widehat x,
$$

但無法證明：

$$
\widehat x
$$

與原 source 在指定：

$$
\mathcal J
$$

下等價，

則只能稱：

$$
\boxed{
\text{plausible reconstruction}.
}
$$

不能稱：

$$
\boxed{
\text{restoration}.
}
$$

---

# 48. Restoration Certificate

一個可審計 restoration 應輸出：

```text
source_domain
transformation
target_representation
required_information_queries
decoder
side_information
exact/approximate
distortion_vector
provenance_status
unrecoverable_channels
```

因此：

$$
\boxed{
\text{restored}
}
$$

必須是可檢查 claim，而不是 UI 顯示「已恢復」。

---

# 49. SSDC Transport Fidelity

Paper 03 的：

$$
\eta_{A\to B}^{\mathrm{tr},q}
$$

現在可以正式接到 TICDR。

令 SSDC transport：

$$
T_{A\to B}^q.
$$

指定：

$$
\mathcal J_{AB}^q.
$$

則 transport distortion：

$$
\boxed{
\boldsymbol\Delta_{\mathcal J_{AB}^q}
\left(
T_{A\to B}^q
\right).
}
$$

transport fidelity 不再由單一模糊 score 定義。

---

# 50. SSDC Effective Coefficient 的升級

Paper 03 暫定：

$$
c_{A\to B}^{\mathrm{eff},q}
=
\rho^{\mathrm{share}}
\eta^{\mathrm{tr}}
\bar\kappa^{\mathrm{act}}.
$$

現在：

$$
\eta^{\mathrm{tr}}
$$

必須明確綁定：

$$
\mathcal J
$$

與：

$$
\boldsymbol\epsilon.
$$

因此更安全地寫：

$$
\boxed{
\eta_{A\to B}^{\mathrm{tr},q,\mathcal J}
=
\Psi
\left(
\boldsymbol\Delta_{\mathcal J}
(T_{A\to B}^q)
\right)
}
$$

其中：

$$
\Psi
$$

是 task-specific normalization。

---

# 51. Identity 的上游接口

定義 equivalence：

$$
x
\equiv_{\mathcal J}
x'
$$

若：

$$
\forall j\in\mathcal J,
\quad
j(x)=j(x').
$$

則：

$$
\boxed{
[x]_{\mathcal J}
}
$$

是 typed identity class。

而 transformation：

$$
T
$$

若只 merge 同一：

$$
\mathcal J
$$

class，

就對 $\mathcal J$ complete。

這是 Paper 05 的直接地基。

---

# 52. Quotient Representation

定義：

$$
\mathcal X/{\equiv_{\mathcal J}}.
$$

自然 projection：

$$
q_{\mathcal J}:
\mathcal X
\rightarrow
\mathcal X/{\equiv_{\mathcal J}}.
$$

對所有：

$$
j\in\mathcal J,
$$

必然存在：

$$
\widehat j
$$

使：

$$
j
=
\widehat j
\circ
q_{\mathcal J}.
$$

所以：

$$
\boxed{
q_{\mathcal J}
}
$$

是 $\mathcal J$ -complete。

這就是「只保留研究問題真正需要的 distinctions」的 canonical quotient。

---

# 53. Minimality 與 Quotient

若：

$$
\equiv_{\mathcal J}
$$

恰好把所有：

$$
\mathcal J
$$

無法區分的 states 合併，

則：

$$
\mathcal X/{\equiv_{\mathcal J}}
$$

是自然的 task-relative minimal state distinction space。

這不表示 computationally easiest，也不保證 unique encoding。

但它提供 abstract canonical target。

---

# 54. Boundary 與 Restoration

若 transformation：

$$
T
$$

保存 interior state，

卻改變：

$$
\partial X,
$$

則：

$$
\mathcal J_S
$$

可能 complete，

但：

$$
\mathcal J_B
$$

incomplete。

因此 Paper 05 中：

$$
\partial^{ont},
\partial^{obs},
\partial^{sem},
\partial^{causal},
\partial^{comp}
$$

必須作為 typed information queries 接入。

---

# 55. CRL 與 Information Preservation

CRL 合併 branches 時，不能只問：

> 文本是否相似？

必須問：

$$
\boxed{
\text{merge 是否保持 CRL contract 中的 }\mathcal J?
}
$$

若：

$$
B_1
$$

與：

$$
B_2
$$

在 conclusion 相同，但：

- assumptions 不同；
- provenance 不同；
- boundary cases 不同；

就不能無條件 collapse。

因此：

$$
\boxed{
CRL
+
TICDR
}
$$

將形成 Paper 06 的重要接口。

---

# 56. Closure 與 Information Preservation

若系統聲稱 closure：

$$
Cl^\xi,
$$

必須說：

> closure 到底要求哪些 distinctions 已被處理？

因此 closure certificate 可以包含：

$$
\mathcal J_{\mathrm{closure}}.
$$

若 closure process 壓掉了某個 relevant channel：

$$
j\in\mathcal J_{\mathrm{closure}},
$$

則不能僅因結構看起來穩定就稱完整 closure。

---

# 57. External Comparison：Information Bottleneck

Tishby、Pereira、Bialek 的 Information Bottleneck 將問題寫成：

> 尋找對 source 的壓縮表示，同時盡可能保留對 relevant variable 的 information。

本文採取相同的核心分離：

$$
\boxed{
\text{source detail}
\neq
\text{task-relevant information}.
}
$$

但 TICDR 不把 relevance 限制成單一 random target variable，而允許 typed query family：

$$
\mathcal J.
$$

---

# 58. External Comparison：Sufficient Statistics

2026 年一項 Information Bottleneck sufficient-statistic reduction 工作證明：若 target conditional distribution 可經 sufficient statistic factor，則 IB problem 可無損降到該 sufficient statistic。

這與本文：

$$
j
=
\widehat j\circ T
$$

的 factorization 原則高度相容。

但本文不依賴該特定 IB optimization theorem。

---

# 59. External Comparison：Invertibility

representation-learning 文獻中，有工作指出：若要求保留輸入的全部細節，invertibility 是核心條件。

本文把這個命題放到更精確的位置：

$$
\boxed{
\text{full-state exact restoration}
\iff
\text{injectivity / left invertibility}
}
$$

但 task-relative completeness 不要求 full invertibility。

---

# 60. External Comparison：Rate-Distortion

rate-distortion 與 semantic rate-distortion 研究顯示：

> 壓縮率與 reconstruction / semantic distortion 必須一起指定。

本文吸收：

$$
\boxed{
\text{compression quality requires a distortion contract}.
}
$$

並將 distortion 從單一 source metric 推廣成：

$$
\boldsymbol\Delta_{\mathcal J}.
$$

---

# 61. External Comparison：Semantic Communication

semantic communication 研究常刻意只傳 task-relevant information，並在需要原始訊號 reconstruction 時另外傳送補充資訊。

這是：

$$
\boxed{
\text{semantic completeness}
\neq
\text{source reconstruction completeness}
}
$$

的直接工程前例。

---

# 62. External Comparison：Closure Fidelity

2026 年一篇 semantic rate-distortion 研究以 deductive closure 作 fidelity criterion，研究 knowledge base 在保持推理閉包時能壓縮到什麼程度。

這提供本文一個非常接近的外部比較：

$$
\boxed{
\text{what counts as loss depends on the preserved closure/query family}.
}
$$

本文仍保持更一般，因為 $\mathcal J$ 不限 deductive closure。

---

# 63. External Comparison：Landauer / Logical Irreversibility

Landauer 原理與 reversible computation 文獻處理：

> logical irreversibility 與 physical thermodynamic cost 的關係。

本文只借用一個重要 boundary：

$$
\boxed{
\text{logical / representational irreversibility}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{physical thermodynamic claims}
}
$$

不能混為一談。

TICDR 的 non-invertibility 首先是 representation-level structure。

---

# 64. 本文不主張什麼

本文明確不主張：

1. 存在單一 universal information scalar 可比較所有 state/relation/history/provenance；
2. Shannon entropy 可以直接取代所有 typed information queries；
3. task-sufficient representation 就是完整世界模型；
4. $T$ non-injective 表示宇宙物理資訊已被摧毀；
5. decoder 暫時不存在表示 structural irrecoverability；
6. side information recovery 表示原 transformation 本身無損；
7. generative reconstruction 等於 restoration；
8. semantic preservation 等於 source preservation；
9. causal completeness 可由 predictive completeness 自動推出；
10. provenance 是可任意刪除的 metadata；
11. history completeness 可由 current-state completeness 推出；
12. information bottleneck、rate-distortion 或 Landauer 已經證明 TICDR 本體論；
13. 所有 query families 都能自然數值化；
14. 所有 distortion components 都可合法相加；
15. minimal sufficient quotient 自動是最佳工程 representation。

---

# 65. 十二條核心命題

## Core-1 — Typed Relevance Principle

$$
\boxed{
\text{information completeness requires }\mathcal J.
}
$$

## Core-2 — Factorization Principle

$$
\boxed{
j
=
\widehat j
\circ
T
}
$$

是 exact preservation 的正典判準。

## Core-3 — Fiber Criterion

$$
\boxed{
j
\text{ preserved}
\iff
j
\text{ constant on }T\text{-fibers}.
}
$$

## Core-4 — Relevant-vs-Global Losslessness

$$
\boxed{
\mathcal J\text{-complete}
\not\Rightarrow
T\text{ invertible}.
}
$$

## Core-5 — Typed Distortion Principle

$$
\boxed{
\boldsymbol\Delta_{\mathcal J}
}
$$

優先於未分型單一 loss。

## Core-6 — Inaccessibility/Irrecoverability Separation

$$
\boxed{
\text{inaccessible}
\neq
\text{structurally irrecoverable}.
}
$$

## Core-7 — Side-Information Principle

recovery claim 必須聲明 decoder 可使用哪些 side information。

## Core-8 — Provenance Principle

$$
\boxed{
\text{content preservation}
\not\Rightarrow
\text{provenance preservation}.
}
$$

## Core-9 — History Principle

$$
\boxed{
\text{current-state completeness}
\not\Rightarrow
\text{history completeness}.
}
$$

## Core-10 — Data-Processing Monotonicity

$$
\boxed{
\operatorname{Pres}(U\circ T)
\subseteq
\operatorname{Pres}(T).
}
$$

## Core-11 — Restoration Typing

$$
\boxed{
\text{plausible reconstruction}
\neq
\mathcal J\text{-restoration}
\neq
\text{exact state restoration}.
}
$$

## Core-12 — Quotient Principle

$$
\boxed{
\mathcal X/{\equiv_{\mathcal J}}
}
$$

是相對 $\mathcal J$ 的自然 distinction quotient。

---

# 66. Canonical TICDR Object

本文最終將 transformation information status 表示為：

$$
\boxed{
\mathrm{TICDR}(T;q)
=
\left\langle
\mathcal J_q,
\mathbf P_{\mathcal J_q}(T),
\boldsymbol\Delta_{\mathcal J_q}(T),
\mathcal S_{\mathrm{side}},
\mathcal R_{\mathrm{restore}},
\mathcal U_{\mathrm{unrecoverable}}
\right\rangle.
}
$$

其中：

- $\mathcal J_q$：required typed information queries；
- $\mathbf P$：exact preservation profile；
- $\boldsymbol\Delta$：typed distortion spectrum；
- $\mathcal S_{\mathrm{side}}$：allowed side information；
- $\mathcal R_{\mathrm{restore}}$：restoration capabilities；
- $\mathcal U_{\mathrm{unrecoverable}}$：目前證明不可由指定 observation set 恢復的 channels。

---

# 67. 與前三篇的統一

Paper 01：

$$
\Omega_{\mathrm{car}}
\rightarrow
\mathcal X_{\mathrm{lat}}
\rightarrow
\mathcal X_{\mathrm{act}}
\rightarrow
M_q
\rightarrow
G_q.
$$

Paper 02：

$$
\mathfrak E,
\mathfrak L,
\mathfrak C
$$

作用於不同 typed layers。

Paper 03：

$$
SSDC_{AB}^q
$$

建立 shared-state relation / transport / coupling。

Paper 04 現在補上：

$$
\boxed{
\text{每一次 projection / transport / compression 後，}
\mathcal J
\text{ 到底保留了多少？}
}
$$

因此母鏈開始形成：

$$
\boxed{
\text{State}
\rightarrow
\text{Typed Transformation}
\rightarrow
\text{Shared Transport}
\rightarrow
\text{Information Preservation}
\rightarrow
\text{Identity Judgment}.
}
$$

---

# 68. 下一篇

Paper 05 將正式處理：

$$
\boxed{
\textbf{同一、非同一、邊界與主客邊}
}
$$

其核心不再從裸：

$$
X=Y
$$

開始。

而從：

$$
\boxed{
X
\equiv_{o,s,\mathcal J,\epsilon}
Y
}
$$

開始。

因為經過本篇後，我們已經可以精確回答：

> 到底是在哪一組被要求保存的 distinctions 下，它們被視為「同一」？

---

# 結論

信息完整不是「所有資訊都在」。

真正可操作的問題是：

$$
\boxed{
\text{哪些 distinctions 必須被保存？}
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\mathcal J
}
$$

先於 completeness claim。

Transformation：

$$
T
$$

可以大幅壓縮 source，

只要：

$$
\forall j\in\mathcal J,
\quad
j
=
\widehat j\circ T,
$$

它就仍對 $\mathcal J$ 完整。

反過來，即使 output 看起來幾乎一樣，只要某個 relevant query 在同一 fiber 中發生 collision：

$$
T(x_1)=T(x_2),
$$

卻：

$$
j(x_1)\neq j(x_2),
$$

那麼該 information channel 就已經從 output representation 中 structural irrecoverable。

所以：

$$
\boxed{
\text{失真不是「少了多少資料」而已，}
}
$$

而是：

$$
\boxed{
\text{哪些原本需要被區分的狀態，被 transformation 合併了？}
}
$$

同樣，還原也不是：

> 看起來像原來。

而是：

$$
\boxed{
\text{指定 }\mathcal J\text{ 是否能被重新滿足。}
}
$$

由此，information、compression、restoration、identity、provenance、history 與 SSDC transport 第一次落在同一個 fiber / factorization 架構中。

---

# 參考文獻

1. Tishby, N., Pereira, F. C., & Bialek, W. *The Information Bottleneck Method*. arXiv:physics/0004057, 2000.
2. Liu, Y., Qin, Z., Anwar, S., Caldwell, S., & Gedeon, T. *Are Deep Neural Architectures Losing Information? Invertibility Is Indispensable*. arXiv:2009.03173, 2020.
3. Guo, T., Wang, Y., Han, J., Wu, H., Bai, B., & Han, W. *Semantic Compression with Side Information: A Rate-Distortion Perspective*. arXiv:2208.06094, 2022.
4. Han, T., Yang, Q., Shi, Z., He, S., & Zhang, Z. *Semantic-preserved Communication System for Highly Efficient Speech Transmission*. arXiv:2205.12727, 2022.
5. Chai, J., Xiao, Y., Shi, G., & Saad, W. *Rate-Distortion-Perception Theory for Semantic Communication*. arXiv:2312.05437, 2023.
6. Armstrong, J. *A Sufficient-Statistic Reduction of the Information Bottleneck to a Low-Dimensional Problem*. arXiv:2604.26744, 2026.
7. Xu, J. *Semantic Rate-Distortion Theory: Deductive Compression and Closure Fidelity*. arXiv:2604.11204, 2026.
8. Bennett, C. H. *Notes on Landauer's principle, Reversible Computation and Maxwell's Demon*. arXiv:physics/0210005, 2002.

---

# 版本註記

## v0.1

首次建立：

- typed information query family $\mathcal J$ ；
- typed information profile；
- exact preservation factorization；
- Fiber Criterion；
- $\mathcal J$ -Completeness；
- exact state restoration；
- $\mathcal J$ -restoration；
- optimal expected distortion；
- deterministic worst-case distortion；
- typed distortion spectrum；
- preservation indicator profile；
- inaccessible / decoder-absent / representation-irrecoverable / side-information recoverable / physical-destruction 五分法；
- Information Preservation Contract；
- $\epsilon$ -completeness；
- sufficient / minimal sufficient representation interface；
- provenance、history、boundary、causal information typing；
- deterministic data-processing monotonicity；
- restoration spectrum；
- generative reconstruction vs restoration；
- SSDC transport fidelity 正式接入 TICDR；
- identity quotient 上游接口；
- CRL / Closure information preservation interface。