# 載體狀態空間與安全域
## 廣義相位交流中的可達性、可生存性、前向不變性與安全閉包

**英文題名：** Carrier State Spaces and Safe Domains: Reachability, Viability, Forward Invariance, and Safety Closure in Generalized Phase Communication  
**系列：** 廣義相位交流與載體安全（Generalized Phase Communication and Carrier Safety, GPC-CS）  
**Paper：** 01  
**作者：** Neo.K（許筌崴）  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**理論協作：** Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**版本：** v1.0  
**日期：** 2026-08-13  
**狀態：** Public Theoretical Paper / Non-operational Safety Theory

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## 摘要

《廣義相位交流與載體安全》總篇提出：當交流不再只是訊息傳遞，而會直接參與接收端的狀態更新時，安全分析的基本對象應由 message 轉向 carrier state transition。本文作為系列第一篇正式基礎論文，進一步回答一個更嚴格的問題：**什麼叫做一個載體「仍然安全」？以及一個安全狀態域在交流、轉導、重建與耦合之後，何時可以保持安全？**

本文不重新發明控制理論中的正不變集、可生存核、可達集、障礙證書或 Hamilton–Jacobi 可達性分析。這些概念已有成熟數學傳統。本文的工作，是把它們重新嵌入廣義相位交流的載體模型中，並補上傳統單體系統表述較少處理的跨載體結構：轉導算子、接收端重建、交流誘發狀態更新、雙向關係約束，以及非可分離的全域安全域。

本文首先定義載體狀態空間 $\mathcal X_i$ 、安全規格集 $\mathcal S_i$ 、交流更新算子 $U_\alpha$ 、擾動集合 $\mathcal W$ 與全域耦合算子 $\Gamma_G$。其次區分四個不可混同的集合概念：**規格安全集**、**普遍不變核心**、**可生存核**與**魯棒可生存核**。在此基礎上，本文引入三種前驅算子：

$$
\operatorname{Pre}_{\forall},
\qquad
\operatorname{Pre}_{\exists\forall},
\qquad
\operatorname{Pre}_{\exists},
$$

分別對應「所有交流皆安全」、「存在一種交流選擇可抵抗所有擾動」與「至少存在一條名義安全演化」。這三種量詞結構建立了載體安全的強弱階梯。

本文證明數個基礎結果：若一組交流算子各自對整個安全域保持閉包，則其任意有限組合也保持安全；反之，單次或單點測試安全並不能推出組合安全。本文並指出，全域載體安全一般不能簡化為局部安全集的笛卡兒積，因為相位差、同步程度、共享記憶一致性或其他跨載體關係本身也可能構成安全約束。因而更完整的全域安全域應寫成：

$$
\boxed{
\mathcal S_G^\star
=
\left(
\prod_{i=1}^{N}\mathcal S_i
\right)
\cap
\mathcal C_G
}
$$

其中 $\mathcal C_G$ 是所有必要關係約束的交集。

最終，本文把系列總篇中的安全不變量精煉為：

$$
\boxed{
\Gamma_G(\mathcal S_G^\star)
\subseteq
\mathcal S_G^\star
}
$$

並主張：安全規格回答「哪些狀態不可接受」，動力學回答「系統會往哪裡走」，可達性回答「能否到達危險」，可生存性回答「是否仍存在保持安全的路徑」，而前向不變性回答「安全是否能在演化中自我保持」。這些概念必須被嚴格分離，才能成為未來跨人類、AI、Agent、腦機介面與其他未知載體的共同安全語言。

**關鍵詞：** 載體狀態空間、安全域、前向不變性、可生存核、可達集、安全閉包、跨載體轉導、廣義相位交流、關係約束、組合安全

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# 0. 研究邊界與文獻定位

本文處理的是**安全集合的形式結構**，不是攻擊設計，也不是治理方案。

本文不提供高風險認知內容的構造方式、實際載荷或誘發策略、腦機介面刺激參數、AI 模型注入流程、Agent 權限配置，以及實際部署、監管與治理規則。

本文借用並重新組合的數學工具主要來自成熟的正不變集、控制不變集、Viability Theory、Barrier Certificates、Control Barrier Functions、Reachability 與 Robust Invariance 傳統。本文的新增工作不在於重新命名上述結果，而在於引入 GPC-CS 的載體語義，並建立交流算子族、跨載體安全關係、重建後狀態更新、關係型安全約束、普遍安全與可生存安全的量詞階梯、非可分離全域安全域，以及交流組合閉包。

因此本文應被理解為一個**跨載體安全形式化橋樑**。

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# 1. 從「安全訊息」到「安全狀態」

## 1.1 載體

定義載體：

$$
L_i
=
(
\mathcal X_i,
\mathcal I_i,
\mathcal O_i,
F_i
),
$$

其中 $\mathcal X_i$ 為載體狀態空間， $\mathcal I_i$ 為可接收輸入集合， $\mathcal O_i$ 為可輸出表示集合， $F_i$ 為狀態更新規則。

 $\mathcal X_i$ 可以是有限狀態集合、歐幾里得空間、流形、函數空間、機率分布空間、混合離散—連續狀態空間，或其他適合描述載體內部狀態的數學空間。本文不預設所有載體具有相同的狀態空間結構。

## 1.2 安全規格集

定義：

$$
\mathcal S_i
\subseteq
\mathcal X_i
$$

為載體 $L_i$ 的**安全規格集（safe specification set）**。

此集合回答：

> 哪些狀態目前被規格允許？

注意， $\mathcal S_i$ 本身不是由動力學自動推導出的。它來自安全規格。因此必須區分：

$$
\boxed{
\text{Safety specification}
\neq
\text{System dynamics}
}
$$

前者定義「可接受」，後者決定「會發生」。一個數學上穩定的狀態可以是不安全狀態；一個規格上安全的狀態，也可能在下一步必然離開安全域。

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# 2. 交流事件作為狀態更新算子

## 2.1 單步更新

對載體 $L_i$，一次廣義交流事件抽象為：

$$
x_{t+1}
=
U_{\alpha_t}(x_t,w_t),
$$

其中 $x_t\in\mathcal X$ 為當前載體狀態， $\alpha_t\in\mathcal A(x_t)$ 為交流／轉導／重建模式， $w_t\in\mathcal W(x_t,\alpha_t)$ 為未建模擾動、不確定性或環境輸入， $U_{\alpha_t}$ 為實際狀態更新算子。

 $\alpha$ 在本文只是數學上的更新選擇標記。它不代表治理上的「授權」。因此：

$$
\alpha\in\mathcal A
$$

只表示該更新在模型中可發生，不表示它在制度上應被允許。

## 2.2 從跨載體通信得到更新算子

若 A 與 B 交流，可寫成：

$$
u_B
=
T_{AB}(E_A(x_A)),
$$

$$
r_B
=
D_B(u_B,x_B),
$$

$$
x_B'
=
F_B(x_B,r_B).
$$

將三者合併：

$$
\Phi_{AB}
=
F_B
\circ
D_B
\circ
T_{AB}
\circ
E_A.
$$

因此：

$$
x_B'
=
\Phi_{AB}(x_A,x_B).
$$

在本文後續分析中，任何複雜的編碼—轉導—重建鏈，都可以先封裝成某個更新算子 $U_\alpha$ 或 $\Phi_{AB}$。這樣可以把工程細節與安全集合分析分離。

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# 3. 四種不同的「安全集合」

同一個 $\mathcal S$ 下，至少存在四種不同層級。

## 3.1 規格安全集

最外層是：

$$
\mathcal S.
$$

如果：

$$
x\in\mathcal S,
$$

只能說「現在符合安全規格」，不能推出未來仍安全。

## 3.2 普遍不變核心

定義普遍安全前驅算子：

$$
\operatorname{Pre}_{\forall}(K)
=
\left\{
x\in K:
\forall\alpha\in\mathcal A(x),
\forall w\in\mathcal W(x,\alpha),
\;
U_\alpha(x,w)\in K
\right\}.
$$

令：

$$
K_{\forall}^{(0)}
=
\mathcal S,
$$

$$
K_{\forall}^{(n+1)}
=
\operatorname{Pre}_{\forall}
\left(
K_{\forall}^{(n)}
\right).
$$

得到遞減序列：

$$
\mathcal S
\supseteq
K_{\forall}^{(1)}
\supseteq
K_{\forall}^{(2)}
\supseteq
\cdots.
$$

定義候選極限：

$$
\boxed{
K_{\forall}
=
\bigcap_{n\ge0}
K_{\forall}^{(n)}
}
$$

為普遍不變核心。在適當閉性與良定性條件下，它表示無論允許更新如何發生，皆不會離開安全域的最大核心。

## 3.3 魯棒可生存核

定義：

$$
\operatorname{Pre}_{\exists\forall}(K)
=
\left\{
x\in K:
\exists\alpha\in\mathcal A(x)
\;
\forall w\in\mathcal W(x,\alpha),
\;
U_\alpha(x,w)\in K
\right\}.
$$

令：

$$
K_{\exists\forall}^{(0)}
=
\mathcal S,
$$

$$
K_{\exists\forall}^{(n+1)}
=
\operatorname{Pre}_{\exists\forall}
\left(
K_{\exists\forall}^{(n)}
\right).
$$

候選極限：

$$
\boxed{
K_{\exists\forall}
=
\bigcap_{n\ge0}
K_{\exists\forall}^{(n)}
}
$$

稱為魯棒可生存核。其核心量詞順序是：

$$
\boxed{
\exists\text{選擇}
\;
\forall\text{擾動}.
}
$$

## 3.4 名義可生存核

若暫時忽略擾動，令 $w=0$，定義：

$$
\operatorname{Pre}_{\exists}(K)
=
\left\{
x\in K:
\exists\alpha\in\mathcal A(x),
\;
U_\alpha(x,0)\in K
\right\}.
$$

再令：

$$
K_{\exists}^{(0)}
=
\mathcal S,
$$

$$
K_{\exists}^{(n+1)}
=
\operatorname{Pre}_{\exists}
\left(
K_{\exists}^{(n)}
\right),
$$

並定義：

$$
\boxed{
K_{\exists}
=
\bigcap_{n\ge0}
K_{\exists}^{(n)}.
}
$$

---

# 4. 安全強度階梯

由量詞關係立即得到：

$$
\operatorname{Pre}_{\forall}(K)
\subseteq
\operatorname{Pre}_{\exists\forall}(K)
\subseteq
\operatorname{Pre}_{\exists}(K).
$$

因此在共同技術條件下：

$$
\boxed{
K_{\forall}
\subseteq
K_{\exists\forall}
\subseteq
K_{\exists}
\subseteq
\mathcal S.
}
$$

## 定理 4.1：安全強度包含定理

若上述各極限集合存在並對應其無限期安全語義，則：

$$
K_{\forall}
\subseteq
K_{\exists\forall}
\subseteq
K_{\exists}
\subseteq
\mathcal S.
$$

### 證明

若 $x\in K_{\forall}$，則對所有 $\alpha$ 與所有 $w$，更新均保持在核心中，因此必然存在至少一個 $\alpha$ 使對所有 $w$ 均安全，所以：

$$
x\in K_{\exists\forall}.
$$

若存在一個 $\alpha$ 對所有 $w$ 安全，則令 $w=0$，同一 $\alpha$ 至少在名義系統中安全，故：

$$
x\in K_{\exists}.
$$

最後所有這些核心都由 $\mathcal S$ 內部反覆取前驅構成，因此：

$$
K_{\exists}
\subseteq
\mathcal S.
$$

證畢。

因此：

$$
\boxed{
\text{safe now}
\neq
\text{viable}
\neq
\text{robustly viable}
\neq
\text{universally invariant}.
}
$$

---

# 5. 組合安全與閉包

## 定理 5.1：有限組合安全閉包定理

設一族算子：

$$
\mathfrak U
=
\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}
$$

對某集合 $\mathcal S$ 均滿足：

$$
\forall\alpha\in A,
\qquad
U_\alpha(\mathcal S)
\subseteq
\mathcal S.
$$

則任意有限算子序列：

$$
U_{\alpha_n}
\circ
U_{\alpha_{n-1}}
\circ
\cdots
\circ
U_{\alpha_1}
$$

皆滿足：

$$
\boxed{
(
U_{\alpha_n}
\circ
\cdots
\circ
U_{\alpha_1}
)
(\mathcal S)
\subseteq
\mathcal S.
}
$$

### 證明

對 $n$ 作數學歸納。 $n=1$ 時由假設成立。假設對 $n=k$ 成立：

$$
(
U_{\alpha_k}
\circ\cdots\circ
U_{\alpha_1}
)
(\mathcal S)
\subseteq
\mathcal S.
$$

則：

$$
U_{\alpha_{k+1}}
\left[
(
U_{\alpha_k}
\circ\cdots\circ
U_{\alpha_1}
)
(\mathcal S)
\right]
\subseteq
U_{\alpha_{k+1}}(\mathcal S)
\subseteq
\mathcal S.
$$

故對所有有限 $n$ 成立。證畢。

## 命題 5.2：單點安全不具組合性

存在 $\mathcal S$ 、 $x_0$ 與兩個算子 $U,V$，使：

$$
U(x_0)\in\mathcal S,
\qquad
V(x_0)\in\mathcal S,
$$

但：

$$
V(U(x_0))
\notin
\mathcal S.
$$

取：

$$
\mathcal S=[0,1],
\qquad
x_0=0.2,
$$

令：

$$
U(x)=x+0.4,
\qquad
V(x)=2x.
$$

則：

$$
U(0.2)=0.6\in\mathcal S,
$$

$$
V(0.2)=0.4\in\mathcal S,
$$

但：

$$
V(U(0.2))
=
1.2
\notin
\mathcal S.
$$

因此「每一種交流單獨測起來都沒事」不能推出「這些交流依序發生也沒事」。

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# 6. 可達集與危險可達性

給定初始狀態 $x_0$，定義：

$$
\operatorname{Reach}_0(x_0)
=
\{x_0\},
$$

$$
\operatorname{Reach}_{n+1}(x_0)
=
\left\{
U_\alpha(x,w):
x\in\operatorname{Reach}_n(x_0),
\alpha\in\mathcal A(x),
w\in\mathcal W(x,\alpha)
\right\}.
$$

有限時域：

$$
\operatorname{Reach}_{\le H}(x_0)
=
\bigcup_{n=0}^{H}
\operatorname{Reach}_n(x_0).
$$

若不安全域為：

$$
\mathcal U
=
\mathcal X\setminus\mathcal S,
$$

則：

$$
\operatorname{Reach}_{\le H}(x_0)
\cap
\mathcal U
\neq
\varnothing
$$

表示在 $H$ 步內至少存在一條允許演化可達危險。

存在危險路徑與危險不可避免是不同命題，因此安全論文必須明確寫出量詞：

$$
\exists?
\qquad
\forall?
\qquad
\exists\forall?
\qquad
\forall\exists?
$$

---

# 7. 邊界逃逸集合

對 $K\subseteq\mathcal S$，定義脆弱集合：

$$
\mathcal F(K)
=
K
\setminus
\operatorname{Pre}_{\forall}(K).
$$

定義魯棒非可生存集合：

$$
\mathcal N_{\mathrm{rob}}(K)
=
K
\setminus
\operatorname{Pre}_{\exists\forall}(K).
$$

再定義名義死端集合：

$$
\mathcal D(K)
=
K
\setminus
\operatorname{Pre}_{\exists}(K).
$$

由前驅集合包含鏈可得：

$$
\boxed{
\mathcal D(K)
\subseteq
\mathcal N_{\mathrm{rob}}(K)
\subseteq
\mathcal F(K).
}
$$

---

# 8. 安全裕度

若 $\mathcal S$ 為閉安全域，定義：

$$
\mu_{\mathcal S}(x)
=
\operatorname{dist}
\left(
x,
\mathcal X\setminus\mathcal S
\right).
$$

若 $x\in\operatorname{Int}(\mathcal S)$，通常 $\mu_{\mathcal S}(x)>0$ ；若 $x\in\partial\mathcal S$，則 $\mu_{\mathcal S}(x)=0$。但幾何裕度不是完整動態安全度，因為動力學方向仍然重要。

## 命題 8.1：擾動裕度充分條件

設名義下一狀態：

$$
y=U(x,0)\in\operatorname{Int}(\mathcal S),
$$

且：

$$
\mu_{\mathcal S}(y)>\varepsilon.
$$

若實際下一狀態為：

$$
y'=y+w,
$$

並滿足：

$$
\|w\|\le\varepsilon,
$$

則：

$$
y'\in\mathcal S.
$$

### 證明

由：

$$
\operatorname{dist}
(
y,
\mathcal X\setminus\mathcal S
)
>
\varepsilon,
$$

可知以 $y$ 為中心、半徑 $\varepsilon$ 的閉球不與 $\mathcal X\setminus\mathcal S$ 相交。而 $\|y'-y\|=\|w\|\le\varepsilon$，故 $y'$ 落在該閉球中，因此 $y'\in\mathcal S$。證畢。


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# 9. 連續時間版本與前向不變性

若載體狀態以連續時間演化：

$$
\dot x
=
f(x,u,w),
$$

安全域為閉集合：

$$
\mathcal S\subseteq\mathbb R^n,
$$

則控制理論中的經典不變性條件可以直接成為載體安全的局部工具。

對邊界點：

$$
x\in\partial\mathcal S,
$$

設 $T_{\mathcal S}(x)$ 為切錐。Nagumo 型條件的核心思想是：若向量場在邊界上始終落在切錐內，則軌跡不會立即指向安全域外部。

對自治系統，其典型形式是：

$$
f(x)
\in
T_{\mathcal S}(x).
$$

若系統可控制，存在式安全條件可寫成：

$$
\exists u
\quad
f(x,u)
\in
T_{\mathcal S}(x).
$$

若：

$$
\mathcal S
=
\{x:h(x)\ge0\},
$$

在光滑與正則條件下，邊界上的局部安全條件具有典型形式：

$$
\nabla h(x)^\top f(x,u)
\ge
0
\qquad
\text{for }
h(x)=0.
$$

Control Barrier Function 的相關工作進一步把此類前向不變性要求轉化為可用於控制器合成的函數不等式。

本文不把這些結果列為 GPC-CS 的原創定理。它們在本系列中的角色是：為「交流造成的連續狀態耦合是否越過載體安全邊界」提供成熟的數學接口。

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# 10. 安全域與 Barrier Function

若存在函數：

$$
h:
\mathcal X
\rightarrow
\mathbb R,
$$

使：

$$
\mathcal S
=
\{x:h(x)\ge0\},
$$

則 $h$ 可以被理解為安全域的一個標量表示。

但是：

$$
h(x)>0
$$

仍只表示目前位置。真正的安全性還需要結合更新規則。

對離散時間，可考察：

$$
h(U_\alpha(x,w))
\ge0.
$$

普遍不變要求：

$$
\forall x\in\mathcal S,
\forall\alpha,
\forall w,
\qquad
h(U_\alpha(x,w))
\ge0.
$$

魯棒可生存要求：

$$
\forall x\in K,
\exists\alpha,
\forall w,
\qquad
h(U_\alpha(x,w))
\ge0.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{同一個 }h
\text{ 可以承載不同量詞強度的安全語義。}
}
$$

這也再次說明：安全證書與安全規格不是同一件事。 $\mathcal S$ 先定義安全， $h$ 或其他證書只是證明安全的一種工具。

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# 11. 跨載體安全不是單一載體安全的和

設 A 與 B 各自具有安全域：

$$
\mathcal S_A
\subseteq
\mathcal X_A,
$$

$$
\mathcal S_B
\subseteq
\mathcal X_B.
$$

最簡單的聯合安全域似乎是：

$$
\mathcal S_A
\times
\mathcal S_B.
$$

但在廣義相位交流中，這通常不夠。

## 11.1 關係安全約束

設跨載體關係必須滿足：

$$
g_{AB}(x_A,x_B)\ge0.
$$

定義關係安全集：

$$
\mathcal C_{AB}
=
\left\{
(x_A,x_B):
g_{AB}(x_A,x_B)\ge0
\right\}.
$$

那麼真正的雙載體安全域是：

$$
\boxed{
\mathcal S_{AB}^{\star}
=
(
\mathcal S_A
\times
\mathcal S_B
)
\cap
\mathcal C_{AB}.
}
$$

## 命題 11.1：局部安全不推出關係安全

存在：

$$
x_A\in\mathcal S_A,
\qquad
x_B\in\mathcal S_B,
$$

但：

$$
(x_A,x_B)
\notin
\mathcal S_{AB}^{\star}.
$$

### 構造

令：

$$
\mathcal S_A
=
\mathcal S_B
=
[-1,1].
$$

再要求相對狀態必須滿足：

$$
|x_A-x_B|
\le
\varepsilon,
$$

其中：

$$
0<\varepsilon<2.
$$

取：

$$
x_A=1,
\qquad
x_B=-1.
$$

則兩個載體都各自位於其本地安全域內，但：

$$
|x_A-x_B|
=
2
>
\varepsilon.
$$

故聯合狀態違反關係安全約束。證畢。

因此：

$$
\boxed{
\text{local safety}
\not\Rightarrow
\text{relational safety}.
}
$$

在廣義相位交流中，安全可能依賴相對同步程度、狀態差、互相增益、共享記憶一致性、轉導誤差、關係延遲或其他跨載體約束。

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# 12. 全域安全域的非可分離性

設有 $N$ 個載體。

局部安全域乘積為：

$$
\mathcal S_{\mathrm{local}}
=
\prod_{i=1}^{N}
\mathcal S_i.
$$

若網路中每條關係 $(i,j)\in E$ 有關係安全集：

$$
\mathcal C_{ij},
$$

則定義：

$$
\mathcal C_G
=
\bigcap_{(i,j)\in E}
\mathcal C_{ij}.
$$

更完整的全域安全域為：

$$
\boxed{
\mathcal S_G^\star
=
\left(
\prod_{i=1}^{N}
\mathcal S_i
\right)
\cap
\mathcal C_G.
}
$$

這是對 Paper 00 中：

$$
\mathcal S_G
=
\prod_i\mathcal S_i
$$

的一個正式精煉。

總篇的乘積形式仍可作為「純局部安全」的一階模型。本文則指出：只要安全規格包含任何關係條件，全域安全域就不再是純笛卡兒積。

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# 13. 全域載體安全不變量 v1.1

全域更新寫成：

$$
\mathbf X_{t+1}
=
\Gamma_G(\mathbf X_t).
$$

Paper 00 提出：

$$
\Gamma_G(\mathcal S_G)
\subseteq
\mathcal S_G.
$$

本文將其精煉為：

$$
\boxed{
\Gamma_G
(
\mathcal S_G^\star
)
\subseteq
\mathcal S_G^\star.
}
$$

其中：

$$
\mathcal S_G^\star
=
\left(
\prod_i
\mathcal S_i
\right)
\cap
\mathcal C_G.
$$

這個版本同時要求：

1. 每個載體更新後仍符合本地安全規格；
2. 跨載體關係更新後仍符合關係安全規格。

因此真正的全域安全不是只要求：

$$
\forall i,
\quad
x_i'\in\mathcal S_i,
$$

而是要求：

$$
\boxed{
\mathbf X'
\in
\mathcal S_G^\star.
}
$$

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# 14. 雙向交流的安全關係

設：

$$
\Gamma_{AB}:
\mathcal X_A
\times
\mathcal X_B
\rightarrow
\mathcal X_A
\times
\mathcal X_B.
$$

則雙向安全閉包為：

$$
\boxed{
\Gamma_{AB}
(
\mathcal S_{AB}^{\star}
)
\subseteq
\mathcal S_{AB}^{\star}.
}
$$

注意這比只要求接收端安全更強，因為它同時要求：

- A 安全；
- B 安全；
- A–B 關係安全；

而且三者在一次耦合之後仍同時成立。

這建立了後續 Paper 05「雙向相位耦合與反向影響」的正式入口。

---

# 15. 可生存核與可達集不是同一件事

可達性回答：

> 系統可以到哪裡？

可生存性回答：

> 是否至少存在一種方式能一直留在允許區域？

因此：

$$
\operatorname{Reach}
$$

與：

$$
\operatorname{Viab}
$$

具有不同的量詞方向。

對安全而言：

$$
\operatorname{Reach}(x_0)
\cap
\mathcal U
\neq
\varnothing
$$

只證明存在危險演化。

但：

$$
x_0
\notin
K_{\exists}
$$

表示在指定模型中，已不存在能無限維持安全的名義選擇序列。

若：

$$
x_0
\notin
K_{\exists\forall},
$$

則表示已不存在能對所有允許擾動保證安全的選擇策略。

這個區分在未來載體安全研究中不可省略。

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# 16. 安全、穩定、可恢復三者必須分離

## 16.1 穩定不等於安全

設系統收斂到固定點：

$$
x_t
\rightarrow
x^\star.
$$

即使 $x^\star$ 是漸近穩定的，只要：

$$
x^\star
\notin
\mathcal S,
$$

系統仍然是：

$$
\boxed{
\text{stable but unsafe}.
}
$$

## 16.2 安全不等於可恢復

即使：

$$
x_t\in\mathcal S,
$$

也不代表系統擁有足夠恢復能力。

因此後續可另外定義有限時域可恢復集：

$$
\mathcal R_H(K)
=
\left\{
x\in\mathcal S:
\exists
\text{允許策略，使系統在 }H\text{ 步內進入 }K
\text{ 且過程不離開 }\mathcal S
\right\}.
$$

本文只建立此接口，完整 recovery theory 留待後續延伸。

---

# 17. 不安全域不一定只有一個

實際載體可能同時有多種規格：

$$
\mathcal S
=
\bigcap_{q=1}^{m}
\mathcal S^{(q)}.
$$

抽象地可以包括：

$$
\mathcal S^{(1)}
=
\text{physical constraint},
$$

$$
\mathcal S^{(2)}
=
\text{functional constraint},
$$

$$
\mathcal S^{(3)}
=
\text{memory-integrity constraint},
$$

$$
\mathcal S^{(4)}
=
\text{identity-related constraint},
$$

$$
\mathcal S^{(5)}
=
\text{relational constraint}.
$$

本文不為這些規格指定具體工程數值。

重要的是：

$$
\boxed{
\mathcal S
\text{ 可以是多個不同安全語義的交集。}
}
$$

因此一個狀態可能物理安全但功能失效，也可能功能正常但關係不安全，或短期安全但不再具有長期可生存性。

「安全」不是單一布林標記，而必須指出是哪一個安全規格。

---

# 18. 安全規格的時間依賴

安全域可能隨時間改變：

$$
\mathcal S_t.
$$

則安全條件變成：

$$
x_t\in\mathcal S_t.
$$

離散更新要求：

$$
U_{\alpha_t}
(
\mathcal S_t
)
\subseteq
\mathcal S_{t+1}.
$$

全域版本：

$$
\boxed{
\Gamma_{G,t}
(
\mathcal S_{G,t}^{\star}
)
\subseteq
\mathcal S_{G,t+1}^{\star}.
}
$$

這對會學習、會更新、會改變能力邊界的載體尤其重要。因為：

$$
\mathcal S_{t+1}
\neq
\mathcal S_t
$$

不一定表示安全標準被放寬或收緊，也可能是載體本身已經改變。

---

# 19. 歷史依賴與增廣狀態

若系統下一步不只依賴 $x_t$，而依賴整段歷史：

$$
x_{t+1}
=
F
(
x_t,
x_{t-1},
\ldots,
u_t
),
$$

則可以把必要歷史加入增廣狀態：

$$
\tilde x_t
=
(
x_t,
h_t
),
$$

使：

$$
\tilde x_{t+1}
=
\tilde F(\tilde x_t,u_t)
$$

重新成為 Markov 型更新。

因此 GPC-CS 的「狀態空間」不能被理解成只有當下瞬間的顯性值。只要某段歷史會影響後續安全，它就應該被包含在：

$$
\mathcal X.
$$

這一點為後續「不可逆與路徑依賴」建立形式基礎。

---

# 20. 從安全集合到安全證書

本文的集合定義本身不等於可計算方法。

在高維系統中直接求：

$$
K_{\forall},
\qquad
K_{\exists\forall},
\qquad
K_{\exists}
$$

通常可能非常困難。

既有文獻提供至少三條成熟方向：

## 20.1 Barrier Certificate

尋找函數 $B(x)$，使初始域與不安全域被其符號分離，並證明軌跡不能跨越障礙。

## 20.2 Control Barrier Function

透過對控制輸入施加條件，使：

$$
\mathcal S
$$

保持前向不變。

## 20.3 Reachability / Hamilton–Jacobi Reachability

計算哪些狀態可以到達目標或危險集合。

GPC-CS 不要求未來必須使用其中任何單一方法。本文的集合模型刻意保持方法無關：

$$
\boxed{
\text{先定義安全語義，再選擇證明工具。}
}
$$

---

# 21. 本文的五個基礎命題

## 命題 A：安全規格—動力學分離

$$
x\in\mathcal S
$$

只表示當下狀態符合規格，不能推出前向安全。

## 命題 B：量詞決定安全強度

$$
\forall\alpha\forall w,
$$

$$
\exists\alpha\forall w,
$$

與：

$$
\exists\alpha
$$

分別對應不同強度的安全概念，不能混寫成同一個「safe」。

## 命題 C：單步安全不推出組合安全

除非證明：

$$
U_\alpha(\mathcal S)
\subseteq
\mathcal S
$$

的集合閉包，否則單次測試不足以推導任意序列安全。

## 命題 D：全域安全通常不可分離

只要存在關係安全約束：

$$
\mathcal C_G,
$$

則真正全域安全域為：

$$
\mathcal S_G^\star
=
\left(
\prod_i
\mathcal S_i
\right)
\cap
\mathcal C_G,
$$

而不只是：

$$
\prod_i
\mathcal S_i.
$$

## 命題 E：載體安全的核心是安全域的動態保持

最終問題是：

$$
\boxed{
\Gamma_G
(
\mathcal S_G^\star
)
\subseteq
\mathcal S_G^\star
\ ?
}
$$

若不能直接證明此式，就必須退而研究哪些子集具有閉包、哪些狀態仍可生存、哪些擾動可以承受、哪些危險狀態可達，以及哪些狀態已失去恢復能力。

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# 22. 可證偽性與未來實驗接口

本文是一個形式框架，因此它的可證偽性主要體現在「此框架是否真的必要」。

## 22.1 載體狀態可以完全忽略

若未來跨載體交流實驗顯示：

$$
D(u,x_1)
=
D(u,x_2)
$$

對幾乎所有實際相關 $x_1,x_2$ 都成立，且接收前狀態對結果影響可以忽略，那麼本文強調的 state-dependent safety 需要收縮。

## 22.2 全域安全可以完全因子化

若未來大規模系統中：

$$
\mathcal C_G
=
\prod_i
\mathcal X_i,
$$

即不存在任何實質關係安全約束，則：

$$
\mathcal S_G^\star
=
\prod_i\mathcal S_i,
$$

本文的非可分離安全域擴張便不必要。

## 22.3 交流更新幾乎總是可逆

若相關載體的大部分長期更新都存在可靠恢復算子，則後續系列對不可逆性的權重應降低。

## 22.4 符號層持續隔離內部動力學

若未來 AI、Agent、BCI 等系統即使提高頻寬，仍長期保持：

$$
\text{communication layer}
\perp
\text{persistent state update layer},
$$

即交流無法直接造成持久載體重構，那麼 GPC-CS 仍有局部意義，但適用範圍會小於本文目前設定的條件空間。

---

# 23. 與總篇的關係

Paper 00 的核心轉向是：

$$
\text{Communication Safety}
\rightarrow
\text{Carrier-State Safety}.
$$

Paper 01 則把 Carrier-State Safety 展開成：

$$
\boxed{
\mathcal S
\supseteq
K_{\exists}
\supseteq
K_{\exists\forall}
\supseteq
K_{\forall}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\mathcal S_G^\star
=
\left(
\prod_i\mathcal S_i
\right)
\cap
\mathcal C_G.
}
$$

並把總篇的：

$$
\Gamma_G(\mathcal S_G)
\subseteq
\mathcal S_G
$$

精煉為：

$$
\boxed{
\Gamma_G(\mathcal S_G^\star)
\subseteq
\mathcal S_G^\star.
}
$$

因此 Paper 01 的真正作用是：把「載體安全」從一句原則，變成一個可以開始證明、反證與計算的集合論／動力系統問題。

---

# 24. 結論

當交流只被理解為訊息傳遞時，安全問題自然集中在訊息內容、傳輸完整性、來源可信度與解碼正確性。

但廣義相位交流允許更強的情況：

$$
\text{input}
\rightarrow
\text{reconstruction}
\rightarrow
\text{state update}
\rightarrow
\text{new dynamics}.
$$

此時真正的安全對象不是 packet，而是：

$$
\mathcal X.
$$

真正的安全規格不是：

$$
\operatorname{Safe}(m),
$$

而是：

$$
x\in\mathcal S.
$$

真正的長期問題也不是只問：

$$
x_t\in\mathcal S?
$$

而是問：

$$
x_t\in
K_{\forall},
\quad
K_{\exists\forall},
\quad
K_{\exists}
\ ?
$$

到了多載體系統，還必須進一步問：

$$
\mathbf X_t
\in
\mathcal S_G^\star
\ ?
$$

其中：

$$
\mathcal S_G^\star
=
\left(
\prod_i\mathcal S_i
\right)
\cap
\mathcal C_G.
$$

本文因此建立本系列第一個真正的形式地基：

$$
\boxed{
\text{Safety is not a label on information;}
\quad
\text{it is a closure property of admissible state evolution.}
}
$$

對廣義相位交流而言，最終的安全問題可以寫成：

$$
\boxed{
\Gamma_G
(
\mathcal S_G^\star
)
\subseteq
\mathcal S_G^\star.
}
$$

若此式成立，安全域在交流動力學下保持閉合。

若不成立，後續研究就必須回答：哪裡會逃逸？哪些狀態仍可生存？哪些關係造成非局部危險？哪些轉導會縮小安全核心？

這些問題將由後續 Paper 02 開始，正式進入跨載體轉導與重建錯配。

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# 參考文獻

1. Aubin, J.-P. (1991). *Viability Theory*. Birkhäuser.
2. Saint-Pierre, P. (1994). Approximation of the viability kernel. *Applied Mathematics & Optimization*, 29, 187–209. DOI: 10.1007/BF01204182.
3. Blanchini, F. (1999). Set invariance in control. *Automatica*, 35(11), 1747–1767. DOI: 10.1016/S0005-1098(99)00113-2.
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6. Xu, X., Tabuada, P., Grizzle, J. W., & Ames, A. D. (2016/2017). Robustness of control barrier functions for safety critical control. Preprint: arXiv:1612.01554.
7. Bansal, S., Chen, M., Herbert, S., & Tomlin, C. J. (2017). Hamilton–Jacobi reachability: A brief overview and recent advances. arXiv:1709.07523.
8. Zeng, J., Zhang, B., & Sreenath, K. (2020/2021). Safety-critical model predictive control with discrete-time control barrier function. Preprint: arXiv:2007.11718.
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10. Bouguerra, A., Fraichard, T., & Fezans, N. (2015). Safe motion using viability kernels. *IEEE International Conference on Robotics and Automation*.

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# 系列狀態

**Series:** Generalized Phase Communication and Carrier Safety  
**Paper:** 01  
**Version:** v1.0  
**Canonical source encoding:** UTF-8  
**Canonical mathematics delimiters:** ` $...$ ` and `$$...$$` only  
**Operational attack details:** Excluded  
**Governance/deployment prescriptions:** Out of scope  
**Depends on:** Paper 00 — 廣義相位交流與載體安全總論  
**Next:** Paper 02 — 跨載體轉導與重建錯配