# 對數作為連續乘法線性化的標準模型
## ——正實數乘法群、符號擴張、拓樸同胚與高精度逆轉譯

**English Title:** *The Logarithm as the Canonical Model of Continuous Multiplicative Linearization: Positive-Real Multiplicative Groups, Sign Extension, Topological Equivalence, and High-Precision Reconstruction*

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab / 一言諾科技有限公司  
**系列：** Operation Translation Series A — Paper 02  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-08-10

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## 摘要

本文將 Series A Paper 01 所提出的「判定域下運算轉譯」抽象框架，第一次完整落地到一個標準模型：正實數乘法在自然對數座標下的全域加法化。研究問題不是重新介紹對數，而是回答：

$$
\boxed{
\text{何時乘法運算可被一個連續、可逆的座標 }T
\text{ 忠實轉為普通加法？}
}
$$

在正實數域上取

$$
T(x)=\ln x,
$$

則

$$
T(xy)=T(x)+T(y),
$$

且

$$
T^{-1}(u)=e^u.
$$

因此

$$
(\mathbb R_{>0},\times)
\cong
(\mathbb R,+)
$$

不只是群同構，而且在通常拓樸下是拓樸群同構。

本文進一步證明：若

$$
T:\mathbb R_{>0}\to\mathbb R
$$

連續且滿足

$$
T(xy)=T(x)+T(y),
$$

則必存在常數 $c$ 使

$$
\boxed{
T(x)=c\ln x.
}
$$

若再要求 $T$ 為雙射，則 $c\neq0$。所以在「正實數乘法 $\rightarrow$ 實數加法」且要求連續、忠實、全域時，對數是唯一到尺度常數的標準座標。

本文再處理三個擴張。其一，擴張至非零實數時，使用

$$
T^\times(x)
=
(\operatorname{sgn}x,\ln|x|),
$$

得到

$$
\mathbb R^\times
\cong
\{\pm1\}\times\mathbb R,
$$

其中第一分量使用符號乘法，第二分量使用加法。其二，加入 $0$ 時， $0$ 不能作為普通 logarithmic group coordinate，必須成為額外吸收態，這展示了原始運算合法域與 chart 合法域不可混同。其三，進入複數域後，complex logarithm 的多值性與 branch 結構使單一全域 logarithmic chart 不再存在，拓樸開始成為全域線性化的真正障礙。

在工程層，本文分析

$$
x=s2^ke^r
$$

的 residual-log 表示。其中 $s$ 保存符號， $k\in\mathbb Z$ 保存離散尺度， $r$ 被正規化到小區間。本文強調此表示是母對數座標上的計算 chart，而不是新的母理論。它使乘法與除法主要退化為整數與 residual 的加減，並將近似誤差集中到 residual 與逆指數運算。

最後，本文證明 log-domain 絕對誤差與原始域相對誤差的精確關係：

$$
\frac{\widehat x-x}{x}
=
e^\delta-1,
$$

其中 $\delta$ 是 log-coordinate 誤差。由此，對數模型被確立為後續 correction field、估值座標、局部流形、表示論與非交換邊界研究的 canonical benchmark。

**關鍵詞：** 對數、乘法線性化、拓樸群、群同構、連續同態、Logarithmic Number System、逆轉譯、符號擴張、判定域、運算座標

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# 1. 從抽象轉譯到標準案例

Paper 01 定義判定域運算系統

$$
\mathfrak A
=
(X,\tau,\Omega_\mu,\mu),
$$

並研究是否存在

$$
T:X\to Y
$$

與目標運算 $\nu$ 使

$$
T(\mu(x,y))
=
\nu(Tx,Ty).
$$

本篇取

$$
X=\mathbb R_{>0},
$$

$$
\Omega_\mu
=
\mathbb R_{>0}\times\mathbb R_{>0},
$$

$$
\mu(x,y)=xy,
$$

目標空間則取

$$
Y=\mathbb R,
$$

且

$$
\nu(u,v)=u+v.
$$

問題因此成為：

$$
\boxed{
T(xy)=T(x)+T(y).
}
$$

這是 Series A 中最乾淨的 Class I：Exact Additivizable 模型。

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# 2. 正實數乘法群

正實數

$$
\mathbb R_{>0}
=
\{x\in\mathbb R:x>0\}
$$

在乘法下形成 Abelian group：

$$
(\mathbb R_{>0},\times).
$$

其單位元是 $1$，逆元是 $x^{-1}=1/x$。

而

$$
(\mathbb R,+)
$$

同樣是 Abelian group。

因此任何滿足

$$
T(xy)=T(x)+T(y)
$$

的映射 $T$，本質上是在尋找一個由乘法群到加法群的 homomorphism。

這使對數的角色可以被重新表述為：

$$
\boxed{
\text{multiplicative coordinate}
\longrightarrow
\text{additive coordinate}.
}
$$

---

# 3. 自然對數的精確加法化

## 定理 3.1

定義

$$
T(x)=\ln x,
\qquad
x>0.
$$

則

$$
\boxed{
T(xy)=T(x)+T(y)
}
$$

對所有 $x,y>0$ 成立。

### 證明

令

$$
a=\ln x,\qquad b=\ln y.
$$

則

$$
x=e^a,\qquad y=e^b.
$$

由

$$
e^{a+b}=e^ae^b,
$$

得

$$
xy=e^{a+b}.
$$

對兩側取自然對數：

$$
\ln(xy)=a+b=\ln x+\ln y.
$$

證畢。

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# 4. 逆轉譯

自然對數的逆映射為

$$
T^{-1}(u)=e^u.
$$

因此

$$
\boxed{
xy
=
\exp(\ln x+\ln y).
}
$$

除法：

$$
\boxed{
\frac{x}{y}
=
\exp(\ln x-\ln y).
}
$$

正實數冪次：

$$
\boxed{
x^\alpha
=
\exp(\alpha\ln x).
}
$$

所以在 logarithmic coordinate 中：

$$
\boxed{
\begin{aligned}
xy &\longrightarrow L_x+L_y,\\
x/y &\longrightarrow L_x-L_y,\\
x^\alpha &\longrightarrow \alpha L_x.
\end{aligned}
}
$$

其中

$$
L_x=\ln x.
$$

這是 Series A 的第一個完整 additive core。

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# 5. 對數是拓樸同胚

考慮通常拓樸下：

$$
\ln:
\mathbb R_{>0}\to\mathbb R.
$$

 $\ln$ 連續、嚴格遞增，且

$$
\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty,
$$

$$
\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty.
$$

故其為雙射。

逆映射

$$
\exp:
\mathbb R\to\mathbb R_{>0}
$$

亦連續。

因此

$$
\boxed{
\mathbb R_{>0}
\cong_{\mathrm{Top}}
\mathbb R.
}
$$

又因 $T$ 同時保存乘法／加法群結構：

$$
\boxed{
(\mathbb R_{>0},\times)
\cong_{\mathrm{TopGrp}}
(\mathbb R,+).
}
$$

所以 logarithm 的成功不是單純代數公式巧合，而是兩個拓樸群之間的完整等價。

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# 6. 連續加法化的唯一性

## 定理 6.1

設

$$
T:\mathbb R_{>0}\to\mathbb R
$$

連續，且

$$
T(xy)=T(x)+T(y)
$$

對所有 $x,y>0$ 成立。

則存在常數 $c\in\mathbb R$ 使

$$
\boxed{
T(x)=c\ln x.
}
$$

### 證明

定義

$$
f(t)=T(e^t).
$$

則

$$
f(s+t)
=
T(e^{s+t})
=
T(e^se^t)
=
T(e^s)+T(e^t)
=
f(s)+f(t).
$$

所以 $f$ 滿足 Cauchy additive equation：

$$
f(s+t)=f(s)+f(t).
$$

因 $T$ 與 $e^t$ 皆連續，所以 $f$ 連續。

連續 additive function 必為線性：

$$
f(t)=ct.
$$

因此

$$
T(e^t)=ct.
$$

令 $x=e^t$，則 $t=\ln x$，故

$$
\boxed{
T(x)=c\ln x.
}
$$

證畢。

若再要求 $T$ 為雙射，則必有

$$
c\neq0.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{continuous global faithful multiplicative-to-additive coordinates}
=
c\ln x.
}
$$

也就是說，對數不是一個任意可替換的例子，而是此問題在合理正則性條件下的 canonical coordinate。

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# 7. 一般底數只是尺度改變

對

$$
b>0,\qquad b\neq1,
$$

有

$$
\log_bx
=
\frac{\ln x}{\ln b}.
$$

因此

$$
\log_bx=c\ln x,
$$

其中

$$
c=\frac1{\ln b}.
$$

所以從母理論角度：

$$
\boxed{
\text{base choice}
=
\text{coordinate scaling choice}.
}
$$

底數 $2,10,e$ 等在工程上可能有不同效率，但在連續群同構層面屬於同一類型。

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# 8. 微分觀點

有

$$
\frac{d}{dx}\ln x=\frac1x.
$$

因此

$$
d(\ln x)
=
\frac{dx}{x}.
$$

若 $|\Delta x|\ll x$，

$$
\ln(x+\Delta x)-\ln x
\approx
\frac{\Delta x}{x}.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{log-coordinate difference}
\approx
\text{relative change}.
}
$$

這表示 logarithm 在局部層把比例變化自然線性化。

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# 9. 積分觀點

正實數上可寫：

$$
\ln x
=
\int_1^x\frac{dt}{t}.
$$

而

$$
\frac{dt}{t}
$$

在尺度變換

$$
t\mapsto at
$$

下滿足：

$$
\frac{d(at)}{at}
=
\frac{dt}{t}.
$$

所以

$$
\frac{dx}{x}
$$

是乘法尺度下自然的不變微分量，而 $\ln x$ 是它累積得到的全域 coordinate。

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# 10. 擴張至非零實數

單一實值 $\ln x$ 無法覆蓋負實數。

對

$$
x\in\mathbb R^\times
=
\mathbb R\setminus\{0\},
$$

寫成

$$
x=\operatorname{sgn}(x)|x|.
$$

定義：

$$
\boxed{
T^\times(x)
=
(\operatorname{sgn}x,\ln|x|).
}
$$

其中

$$
\operatorname{sgn}(x)\in\{-1,+1\}.
$$

若

$$
T^\times(x)=(s_x,L_x),
$$

$$
T^\times(y)=(s_y,L_y),
$$

則

$$
xy
=
s_xs_y e^{L_x+L_y}.
$$

在目標空間定義：

$$
(s_1,L_1)\star(s_2,L_2)
=
(s_1s_2,L_1+L_2).
$$

因此：

$$
\boxed{
T^\times(xy)
=
T^\times(x)\star T^\times(y).
}
$$

也就是：

$$
\boxed{
\mathbb R^\times
\cong
\{\pm1\}\times\mathbb R.
}
$$

這把不可消除的離散符號結構保留成 exact component，而把 magnitude 送進 additive coordinate。

---

# 11. 拓樸上的兩個 connected components

 $\mathbb R^\times$ 由

$$
(-\infty,0)
$$

與

$$
(0,\infty)
$$

兩個 connected components 組成。

若 $\{\pm1\}$ 採離散拓樸，則

$$
\{\pm1\}\times\mathbb R
$$

同樣具有兩個 connected components。

因此

$$
T^\times(x)
=
(\operatorname{sgn}x,\ln|x|)
$$

是同胚，並且保存乘法群結構。

故：

$$
\boxed{
\mathbb R^\times
\cong_{\mathrm{TopGrp}}
\{\pm1\}\times\mathbb R.
}
$$

---

# 12. $0$ 是 chart boundary，不是普通群元素

在 $x=0$ 時：

$$
\ln|x|
$$

不存在有限值。

雖有極限：

$$
\ln x\to-\infty
\quad
(x\to0^+),
$$

但 $-\infty$ 不是普通實數加法群中的元素。

而原始乘法中：

$$
0x=0,
$$

所以 $0$ 是 absorbing element。

因此若工程上要處理完整 $\mathbb R$，應引入額外 zero state：

$$
\boxed{
\mathbf 0_{\log}.
}
$$

滿足：

$$
\mathbf 0_{\log}\otimes z
=
\mathbf 0_{\log}.
$$

此時已不是單純群同構，而是：

$$
\text{nonzero logarithmic chart}
+
\text{zero absorbing state}.
$$

---

# 13. 原始合法域與 chart 合法域必須分開

除法的原始判定域：

$$
\Omega_\delta
=
\{(x,y):y\neq0\}.
$$

但非零 logarithmic chart 還要求：

$$
x\neq0.
$$

然而：

$$
0/y=0
$$

在 $y\neq0$ 時原始運算是合法的。

因此必須區分：

$$
\boxed{
\Omega_{\mathrm{operation}}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\Omega_{\mathrm{chart}}.
}
$$

Runtime 遇到

$$
x=0,\quad y\neq0
$$

時，不應判斷「除法非法」，而是應切換 zero-state rule。

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# 14. 冪與開根號

對 $x>0$：

$$
x^\alpha=e^{\alpha\ln x},
$$

所以：

$$
\boxed{
T(x^\alpha)=\alpha T(x).
}
$$

特別地：

$$
\sqrt[n]{x}=x^{1/n},
$$

因此：

$$
\boxed{
\ln\sqrt[n]{x}
=
\frac1n\ln x.
}
$$

所以 root extraction 在 logarithmic coordinate 中退化為 scalar scaling。

---

# 15. 複數域的全域障礙

對

$$
z\in\mathbb C^\times
$$

可寫：

$$
z=re^{i\theta}.
$$

形式上：

$$
\operatorname{Log}z
=
\ln r+i(\theta+2\pi k),
\qquad
k\in\mathbb Z.
$$

因此 complex logarithm 天生多值。

原因是 phase 只定義到：

$$
2\pi\mathbb Z.
$$

所以 $\mathbb C^\times$ 不能被一個單一全域 single-valued logarithm chart 無縫覆蓋。

需要：

- branch；
- branch cut；
- 局部 chart；
- 或直接保留

$$
\phi\in\mathbb R/2\pi\mathbb Z.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{positive-real global log}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{complex branched/local log}
}
$$

形成一個真正的拓樸邊界。

---

# 16. 複數乘法的幅值—相位座標

非零複數可表示為：

$$
z
\longleftrightarrow
(L,\phi),
$$

其中：

$$
L=\ln|z|,
$$

$$
\phi\in\mathbb R/2\pi\mathbb Z.
$$

乘法則：

$$
\boxed{
(L_1,\phi_1)
\star
(L_2,\phi_2)
=
(L_1+L_2,\phi_1+\phi_2\!\!\!\pmod{2\pi}).
}
$$

因此 complex multiplication 仍然可以加法化，但 target 已不再是單純的一條實線，而是：

$$
\boxed{
\mathbb R\times S^1.
}
$$

這說明某些 topology 不能被「全部壓成普通加法」而不遺失結構。

---

# 17. 工程層：Centered Residual Log Coordinate

母座標最乾淨的是：

$$
x
\longleftrightarrow
(s,L).
$$

工程上可以再拆：

$$
L=k\ln2+r.
$$

因此：

$$
\boxed{
x=s2^ke^r.
}
$$

其中：

$$
s\in\{\pm1\},
\qquad
k\in\mathbb Z.
$$

取：

$$
k
=
\operatorname{round}
\left(
\frac{L}{\ln2}
\right),
$$

可使：

$$
-\frac{\ln2}{2}
\leq
r
<
\frac{\ln2}{2}.
$$

因此資訊分成：

$$
\boxed{
\text{sign}
+
\text{exact discrete scale}
+
\text{continuous residual}.
}
$$

此表示是一種 numerical chart，而不是新的母同構。

---

# 18. Normalization 與等價關係

因為：

$$
2^{k+1}e^{r-\ln2}
=
2^ke^r,
$$

所以：

$$
(k,r)
\sim
(k+1,r-\ln2).
$$

更一般：

$$
\boxed{
(k,r)
\sim
(k+n,r-n\ln2),
\qquad
n\in\mathbb Z.
}
$$

canonical normalization 只是在每個等價類中選代表元。

---

# 19. Canonical chart 的 seam

若固定：

$$
r\in
\left[
-\frac{\ln2}{2},
\frac{\ln2}{2}
\right),
$$

則當 $r$ 穿越端點，canonical coordinate 會從

$$
(k,r)
$$

跳到：

$$
(k+1,r-\ln2).
$$

但原本的

$$
L=k\ln2+r
$$

完全連續。

因此：

$$
\boxed{
\text{canonical encoding seam}
\neq
\text{underlying state discontinuity}.
}
$$

這與 phase canonical interval：

$$
[-\pi,\pi)
$$

的切口同型。

---

# 20. residual coordinate 中的乘除

若：

$$
x=s_x2^{k_x}e^{r_x},
$$

$$
y=s_y2^{k_y}e^{r_y},
$$

則：

$$
xy
=
(s_xs_y)
2^{k_x+k_y}
e^{r_x+r_y}.
$$

所以：

$$
\boxed{
(s_x,k_x,r_x)
\otimes
(s_y,k_y,r_y)
=
(s_xs_y,k_x+k_y,r_x+r_y)
}
$$

再做 normalization。

除法：

$$
\boxed{
(s_x,k_x,r_x)
\oslash
(s_y,k_y,r_y)
=
(s_xs_y,k_x-k_y,r_x-r_y).
}
$$

這就是工程上最直接的「乘除 $\rightarrow$ 加減」。

---

# 21. Log-domain 誤差定理

設真值：

$$
x=e^L.
$$

計算保存：

$$
\widehat L=L+\delta.
$$

則：

$$
\widehat x
=
e^{L+\delta}
=
xe^\delta.
$$

所以：

$$
\boxed{
\frac{\widehat x-x}{x}
=
e^\delta-1.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\frac{|\widehat x-x|}{|x|}
=
|e^\delta-1|.
}
$$

當 $|\delta|\ll1$：

$$
e^\delta-1
=
\delta+O(\delta^2),
$$

故：

$$
\boxed{
\text{log-domain absolute error}
\approx
\text{original-domain relative error}.
}
$$

---

# 22. 有限誤差界

若：

$$
|\delta|\leq\eta,
$$

則：

$$
e^{-\eta}
\leq
\frac{\widehat x}{x}
\leq
e^\eta.
$$

因此：

$$
\frac{|\widehat x-x|}{|x|}
\leq
e^\eta-1.
$$

若要求原始域相對誤差不超過 $\varepsilon$，則一個充分條件是：

$$
\boxed{
|\delta|
\leq
\ln(1+\varepsilon).
}
$$

---

# 23. 為什麼加法重新變難

令：

$$
L_x=\ln x,\qquad L_y=\ln y,
$$

 $x,y>0$。

取：

$$
m=\max(L_x,L_y).
$$

則：

$$
x+y
=
e^m
\left(
e^{L_x-m}+e^{L_y-m}
\right).
$$

所以：

$$
\boxed{
\ln(x+y)
=
m+
\ln
\left(
e^{L_x-m}+e^{L_y-m}
\right).
}
$$

這就是 log-sum-exp 結構。

因此：

$$
\boxed{
\text{multiplication simplification}
\not\Rightarrow
\text{universal operation simplification}.
}
$$

運算成本只是被重新分配。

---

# 24. 減法與 correction

若：

$$
x>y>0,
$$

則：

$$
x-y
=
e^{L_x}
\left(
1-e^{L_y-L_x}
\right).
$$

所以：

$$
\boxed{
\ln(x-y)
=
L_x
+
\ln
\left(
1-e^{L_y-L_x}
\right).
}
$$

當 $x\approx y$ 時，修正項靠近 singular region。

這不是乘法加法化失效，而是當目標操作從乘法切換成減法後，必須切換 operation-specific correction。

Paper 03 將由此正式建立 correction field。

---

# 25. 與 Logarithmic Number System 的關係

Logarithmic Number System（LNS）以 logarithmic exponent 表示實數，典型特徵是：

- multiplication 轉成 exponent addition；
- division 轉成 subtraction；
- power / root 轉成 exponent scaling；
- addition / subtraction 需要額外非線性函數或 approximation。

因此：

$$
\boxed{
\text{LNS}
=
\text{本篇 canonical mathematical model 的一種 numerical realization}.
}
$$

但 Series A 不限制於特定 base、bit-width、lookup table 或硬體電路。

母理論研究的是：

$$
\text{domain legality}
+
\text{structural translation}
+
\text{inverse reconstruction}.
$$

---

# 26. 母數學與工程表示分層

必須區分：

## Layer A：數學同構

$$
(\mathbb R_{>0},\times)
\cong
(\mathbb R,+).
$$

## Layer B：結構擴張

$$
x
\leftrightarrow
(s,L).
$$

## Layer C：工程 chart

$$
(s,L)
\leftrightarrow
(s,k,r).
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{mathematical equivalence}
\neq
\text{numerical encoding choice}.
}
$$

---

# 27. 作為 Series A canonical benchmark

正實數 logarithmic model 具有：

1. 全域合法域；
2. 精確代數同態；
3. 單射；
4. 滿射；
5. 連續；
6. 連續逆映射；
7. 無 correction；
8. 明確 inverse reconstruction。

因此任何後續運算轉譯都可以與它比較：

- 是否全域？
- 是否唯一到尺度？
- 是否需要多 chart？
- 是否需要 correction？
- 是否需要離散附加分量？
- 是否只有局部 inverse？
- 是否存在 topology obstruction？

---

# 28. 為何 logarithm 如此特殊

對數成功容易造成錯覺：

> 也許任何運算只要找到正確函數就能被全域變成普通加法。

這不成立。

正實數乘法之所以能被如此乾淨地加法化，是因為：

$$
(\mathbb R_{>0},\times)
$$

本身就與：

$$
(\mathbb R,+)
$$

具有完全匹配的一維連續 Abelian group 結構。

因此：

$$
\boxed{
\text{logarithm is canonical because the source structure is exceptionally compatible with addition}.
}
$$

這也是後續遇到 correction、局部 chart 與非交換邊界時的標準比較基準。

---

# 29. 本篇定理摘要

## Theorem A

$$
\ln(xy)=\ln x+\ln y.
$$

## Theorem B

$$
(\mathbb R_{>0},\times)
\cong_{\mathrm{TopGrp}}
(\mathbb R,+).
$$

## Theorem C

若 $T$ 連續且

$$
T(xy)=T(x)+T(y),
$$

則：

$$
T(x)=c\ln x.
$$

## Theorem D

$$
\mathbb R^\times
\cong
\{\pm1\}\times\mathbb R.
$$

## Theorem E

若：

$$
\widehat L=L+\delta,
$$

則：

$$
\frac{\widehat x-x}{x}
=
e^\delta-1.
$$

---

# 30. 限制與後續

本篇刻意不深入：

- $ax+b$ 、log-sum-exp、log-diff-exp 的 correction classification；
- valuation / exponent lattice；
- Lie group logarithm、atlas、representation；
- BCH 與 noncommutativity；
- Excel、Python、Decimal、BigFloat 等 backend 統合。

以上分別留給 Paper 03–07 與 Engineering Whitepaper。

---

# 31. 結論

在正實數域：

$$
\boxed{
T(x)=\ln x
}
$$

把：

$$
\boxed{
\times
\longrightarrow
+
}
$$

以全域、精確、可逆、連續、拓樸相容的方式完成。

更重要的是，在連續性條件下，任何滿足：

$$
T(xy)=T(x)+T(y)
$$

的 $T$ 都只能是：

$$
\boxed{
T(x)=c\ln x.
}
$$

所以 logarithm 是正實數乘法加法化的 canonical coordinate。

擴張到非零實數後：

$$
x
\mapsto
(\operatorname{sgn}x,\ln|x|)
$$

展示了 exact discrete structure 與 continuous coordinate 的自然分離。

加入 $0$ 後必須增加 absorbing state，說明 chart legality 與 original operation legality 不可混同。

進入複數後，branch 與 phase topology 顯示：

$$
\boxed{
\text{local logarithmic linearization}
\not\Rightarrow
\text{single global logarithmic chart}.
}
$$

工程表示：

$$
x=s2^ke^r
$$

則展示如何在不改變母理論的前提下，把 exact discrete scale 與 continuous residual 分開處理。

因此，對數應被視為整個 Series A 的標準參照模型，而不是單純第一個範例。

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# 參考文獻

1. NIST Digital Library of Mathematical Functions, Chapter 4, *Logarithm, Exponential, Powers*, §§4.2, 4.4, 4.7, 4.8.
2. Thanh Son Nguyen, Alexey Solovyev, Ganesh Gopalakrishnan, *Rigorous Error Analysis for Logarithmic Number Systems*, 2024.
3. Syed Asad Alam, James Garland, David Gregg, *Low precision logarithmic number systems: Beyond base-2*, 2021.
4. Jeff Johnson, *Efficient, arbitrarily high precision hardware logarithmic arithmetic for linear algebra*, 2020.
5. Mark G. Arnold, Thomas A. Bailey, John R. Cowles, *Towards Automated Verification of Logarithmic Arithmetic*, 2024.

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## Series A 銜接

**下一篇：Paper 03**

**《修正型線性化：從仿射運算到 Correction Field——log-sum-exp、log-diff-exp 與結構殘餘的統一形式》**

Paper 03 將從：

$$
T\mu=\nu T
$$

推廣到：

$$
\boxed{
T\mu
=
\nu T+C,
}
$$

並正式處理「什麼樣的 correction 才真正具有數學簡化價值」。