# 判斷狀態機的形式語義與轉移公理
## 動態邏輯解與生成判斷系列・第八篇

**英文題名：** *Formal Semantics and Transition Axioms for Judgment State Machines*  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-08-16  
**作者：** Neo.K／Aletheia

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## 摘要

前七篇已建立：判斷具有時間、解可以是一條狀態路徑、 $\Omega$ 是合法未閉合判斷態、動態不動點保存跨狀態不變量、可不可論治理可生成與不可生成轉移，以及暫時閉合後仍需承擔責任。

本文進一步將上述概念收斂成一個最小「判斷狀態機」（Judgment State Machine, JSM）。JSM 並不企圖取代既有 Dynamic Logic、Dynamic Epistemic Logic、Belief Revision、Truth Maintenance System 或 non-monotonic logic；它的工作是把「判斷 runtime」明確變成可執行狀態轉移系統。

定義：

$$
\boxed{
\mathfrak J
=
(
\mathcal S,
\mathcal E,
\delta,
\Pi,
\Theta,
\mathcal I,
\mathcal H
)
}
$$

其中：

- $\mathcal S$：判斷狀態集合；
- $\mathcal E$：事件集合；
- $\delta$：狀態轉移函數；
- $\Pi$：對外投影；
- $\Theta$：閉合／重開政策；
- $\mathcal I$：必須保持的不變量；
- $\mathcal H$：事件歷史。

本文提出五類核心狀態：

$$
\mathcal S
=
\{
O,G,C,T_p,F_p
\},
$$

分別表示 open、generating、conflicted、provisionally true、provisionally false；另將 runtime error 放在不同型別：

$$
\mathrm{ERROR}\notin\mathcal S.
$$

對外三態投影：

$$
\Pi_3(S)=
\begin{cases}
\top,&S=T_p,\\
\bot,&S=F_p,\\
\Omega,&S\in\{O,G,C\}.
\end{cases}
$$

如此可在不把 $\Omega$ 誤當第三 truth value 的前提下，給它一個可執行形式。

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# 一、為什麼需要狀態機

若只寫：

$$
J(P,t),
$$

仍未指定：

- 合法狀態有哪些；
- 哪些事件可以改變狀態；
- 哪些轉移被禁止；
- 何時 closure；
- 何時 reopen；
- 何時只是 runtime failure。

因此需要明確：

$$
S_t
\xrightarrow{e_t}
S_{t+1}.
$$

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# 二、最小狀態集合

本文第一版使用：

$$
\boxed{
\mathcal S
=
\{
O,G,C,T_p,F_p
\}.
}
$$

## $O$ — Open

命題已被建立，但尚未進入足夠研究活動。

## $G$ — Generating

正在取得證據、分裂假說、計算或比對。

## $C$ — Conflicted

存在重大支持與反證衝突，不能直接閉合。

## $T_p$ — Provisionally True

目前政策允許暫時閉合為支持。

## $F_p$ — Provisionally False

目前政策允許暫時閉合為反對。

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# 三、Error 必須另外分型

定義 runtime status：

$$
R_t
\in
\{
\mathrm{OK},
\mathrm{BLOCKED},
\mathrm{ERROR}
\}.
$$

判斷狀態：

$$
S_t
$$

與 runtime status：

$$
R_t
$$

互相獨立。

因此可以：

$$
S_t=G,
\quad
R_t=\mathrm{BLOCKED},
$$

表示：

> 判斷仍在生成，但目前某工具／權限被阻擋。

不能把它直接投影成：

$$
\Omega=\mathrm{ERROR}.
$$

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# 四、事件集合

最小事件集合：

$$
\mathcal E
=
\{
e_{\mathrm{claim}},
e_{+},
e_{-},
e_{\mathrm{invalidate}},
e_{\mathrm{context}},
e_{\mathrm{model}},
e_{\mathrm{close+}},
e_{\mathrm{close-}},
e_{\mathrm{reopen}},
e_{\mathrm{split}}
\}.
$$

分別表示：

- 建立命題；
- 支持證據；
- 反證；
- 證據失效；
- 語境變更；
- 模型變更；
- 暫時支持閉合；
- 暫時反對閉合；
- 重開；
- 假說分裂。

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# 五、轉移函數

定義：

$$
\delta:
\mathcal S\times\mathcal E\times\Theta
\rightarrow
\mathcal S.
$$

例如：

$$
\delta(O,e_+,\Theta)=G.
$$

支持證據不應直接：

$$
O\rightarrow T_p
$$

除非 closure policy 明確允許。

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# 六、閉合公理

### 公理 J1：閉合必須顯式

若：

$$
S_t\in\{O,G,C\},
$$

只有在：

$$
\operatorname{Close}_{\Theta}(S_t,E_{\leq t})=1
$$

時，才能：

$$
S_{t+1}\in\{T_p,F_p\}.
$$

不能因畫面停止更新而默認 closure。

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# 七、重開公理

### 公理 J2：重大新資訊必須能觸發重開

若：

$$
S_t\in\{T_p,F_p\}
$$

且：

$$
\Delta(e_{new},S_t)>\rho,
$$

則：

$$
\delta(S_t,e_{new},\Theta)
\in
\{G,C\}.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{Closure}
\neq
\text{Irreversible Finality}.
}
$$

---

# 八、歷史保存公理

### 公理 J3：任何有效轉移不得覆寫前一狀態的存在事實

令：

$$
\mathcal H_t
=
(e_1,\ldots,e_t).
$$

則：

$$
\mathcal H_t
\prec
\mathcal H_{t+1}.
$$

也就是 event log 單調延伸。

狀態可以反轉，事件歷史不能被靜默刪除。

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# 九、證據來源公理

### 公理 J4：推論不可冒充觀測

對任何 evidence object：

$$
E_i,
$$

必須具有 source class：

$$
\operatorname{SourceType}(E_i)
\in
\{
\text{observation},
\text{document},
\text{derived},
\text{inference}
\}.
$$

若：

$$
\operatorname{SourceType}(E_i)=\text{inference},
$$

不得被重新標成 observation 只因模型信心高。

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# 十、閉合不等於真值公理

### 公理 J5

$$
S_t=T_p
$$

只推出：

$$
\operatorname{PolicyClosedSupport}(P,t)=1.
$$

不推出：

$$
V(P,W)=\top
$$

作為形上學定理。

同理：

$$
F_p
$$

也只是目前閉合結果。

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# 十一、三態投影

定義：

$$
\boxed{
\Pi_3:
\mathcal S
\rightarrow
\{\top,\bot,\Omega\}.
}
$$

$$
\Pi_3(O)=\Omega,
$$

$$
\Pi_3(G)=\Omega,
$$

$$
\Pi_3(C)=\Omega,
$$

$$
\Pi_3(T_p)=\top,
$$

$$
\Pi_3(F_p)=\bot.
$$

這裡：

$$
\top,\bot
$$

都是 judgment projection。

不是直接宣稱 world truth value。

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# 十二、Bayesian 投影

同一個 JSM 可以另外投影：

$$
\Pi_B(S_t,E_t)
=
(
p_t,
q_t,
k_t
)
$$

其中：

- $p_t$：support score / posterior；
- $q_t$：counterpressure；
- $k_t$：evidence completeness。

所以：

$$
\boxed{
\Pi_3
\neq
\Pi_B.
}
$$

一個是狀態投影，一個是數值投影。

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# 十三、可不可投影

還可以：

$$
\Pi_C(S_t)
=
(
\mathsf{Can}_t,
\mathsf{Cannot}_t
).
$$

例如：

$$
S_t=C
$$

時：

$$
\mathsf{Can}_t
=
\{
\text{search},
\text{split},
\text{review}
\},
$$

$$
\mathsf{Cannot}_t
=
\{
\text{finalize}
\}.
$$

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# 十四、非法轉移

例如：

$$
T_p
\xrightarrow{\text{no event}}
F_p
$$

應被禁止。

因為沒有 trigger。

又例如：

$$
\mathrm{ERROR}
\rightarrow T_p
$$

不是合法 judgment transition。

Error 必須先被修復，再重新 evaluate。

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# 十五、Transition Guard

每一轉移可有：

$$
g_i(S,E,\Gamma)=1.
$$

例如：

$$
G\rightarrow T_p
$$

要求：

$$
g_{\mathrm{close+}}
=
(
p_t>\theta_p
)
\land
(
k_t>\theta_k
)
\land
(
c_t<\theta_c
).
$$

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# 十六、Side Effects

判斷狀態轉移本身與外部行動分開。

$$
S_t\rightarrow T_p
$$

不自動：

$$
\operatorname{Execute}(a).
$$

需要：

$$
\operatorname{DecisionPolicy}(T_p,a)=1.
$$

這避免：

> 判斷成立 → 系統直接造成不可逆外部效果。

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# 十七、責任 Event

若外部行動被執行：

$$
a_t,
$$

新增：

$$
e_{\mathrm{action}}.
$$

其後結果：

$$
e_{\mathrm{outcome}}.
$$

修復：

$$
e_{\mathrm{repair}}.
$$

因此 JSM 可以與責任 ledger 連接。

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# 十八、Replay 等價

若：

$$
\mathcal H
$$

固定，

且 deterministic policy：

$$
\Theta
$$

固定，

則應要求：

$$
\boxed{
\operatorname{Replay}
(
S_0,\mathcal H,\Theta
)
=
S_n.
}
$$

若不成立，runtime state cache 不可信。

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# 十九、模型非決定性

若事件中包含 LLM output，

則 replay 不能只重新呼叫模型。

必須保存：

$$
\operatorname{CommittedOutput}_i.
$$

Replay 使用已提交結果。

Re-evaluation 才重新呼叫新模型。

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# 二十、同一事件歷史下的重新判定

可以另外定義：

$$
\operatorname{Rejudge}
(
\mathcal H,
M_{new}
).
$$

它產生新 lineage：

$$
B^{new},
$$

不是覆蓋舊 lineage。

這使：

$$
\text{Replay}
\neq
\text{Re-evaluation}.
$$

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# 二十一、與 Truth Maintenance System 的關係

Doyle 的 TMS 已經強調：

- beliefs 要保留 reasons；
- 新發現可以撤回先前 assumption；
- explanation 可由 dependency structure 建立。

JSM 不宣稱這些是新發現。

JSM 的新增重點在：

$$
\boxed{
\text{Reason Maintenance}
+
\text{Event-Sourced Runtime}
+
\text{Replay}
+
\text{Visual Projection}
+
\text{Responsibility}.
}
$$

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# 二十二、核心定理候選

### Replay Consistency Proposition

若：

1. 初始狀態相同；
2. event log 完全相同；
3. deterministic reducer version 相同；
4. committed nondeterministic outputs 相同；

則：

$$
\operatorname{Replay}_1
=
\operatorname{Replay}_2.
$$

這是一個可工程驗證的 proposition。

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# 二十三、最小 reducer

可概念化為：

```text
state = initial_state

for event in ledger:
    validate(event)
    state = reduce(state, event, policy)

return state
```

這是整個可執行動態判斷的最小 reference semantics。

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# 二十四、結論

本系列至此從哲學語言：

> 判斷是動態的。

推進到：

$$
\boxed{
\text{判斷可以被實作為可驗證、可重播、可投影的狀態機。}
}
$$

下一篇將進一步處理：

> 證據、真值、支持度、來源與判斷狀態，究竟應該怎麼分層，才不會再次全部壓成一個數字？