# 空間域證明包圍論 VII ## Enclosure Routing：邊際閉合價值、Gap 關鍵性與成本感知證明導航 ### Spatial-Domain Proof Enclosure VII: Enclosure Routing, Marginal Closure Value, and Cost-Aware Proof Navigation **Version:** v0.1 **Date:** 2026-08-14 **Status:** theorem-style research-routing framework; routing heuristics are not proof certificates **Canonical source:** UTF-8 Markdown; canonical mathematics uses ` $...$ ` and `$$...$$` only. --- ## 摘要 空間域證明包圍論前六篇依次建立 survivor soundness、route representation faithfulness、global coverage certificate、proof-trace compilation、Discovery–Verification Inversion 與 exceptional-core analysis。至此，研究系統已經可以回答「哪些區域仍可能包含反例」、「哪些表示與證書仍有效」、「哪些 gaps 阻止 global closure」以及「哪些歷史可以被編譯重用」。然而，一個新的決策問題隨之成為瓶頸： > 在同時存在 bulk survivor、measure-zero exceptional core、boundary debt、representation singularity、stale certificate、bridge theorem 與昂貴 verification 的情況下，下一個研究動作應該選什麼？ 本文提出 **Enclosure Routing**。核心原則不是最大化單一 survivor volume reduction，而是最大化**相對於當前 closure obligations 的非冗餘證明進展**。 對當前 survivor envelope $\Omega_t$ 與研究 action $a$，若 action 成功產生 sound theorem cut $H_a$，其真正新增排除區為 $$ \boxed{ X_t(a) = \Omega_t\setminus H_a. } $$ 只計 $X_t(a)$ 而不計已被排除的歷史區域，可避免把重複 theorem 當成進展。若另有合法診斷函數 $q$，可定義 $$ \Delta_q(a\mid t) = q(\Omega_t)-q(\Omega_t\cap H_a), $$ 但 Paper 06 已證 measure / dimension 一般不是 closure-separating，因此 $\Delta_q$ 僅是 routing signal，不是 proof value 的完整定義。 本文把 closure obligations 建模為有限 witness / gap universe $\mathcal O_t$。每個 action 可影響一組 obligations $R_t(a)\subseteq\mathcal O_t$。對 action set $A$ 定義 weighted resolved-obligation functional $$ F_t(A) = \sum_{o\in\cup_{a\in A}R_t(a)}w_t(o). $$ 本文證明 $F_t$ 為 monotone submodular。因此在「proof value 真正等價於有限 obligation coverage」且 action 成本相同的特殊 regime，經典 greedy maximum-coverage theory 才能合法提供近似保證。若 outcomes 帶不確定性且 objective 進一步滿足 adaptive monotonicity / adaptive submodularity，則 adaptive greedy theory 可作條件式 routing 輸入。 但一般 theorem research 不必然 submodular。兩個各自低收益的 lemmas 可能共同啟動一個 bridge theorem，使 $$ \Delta(a\mid S\cup\{b\}) > \Delta(a\mid S), $$ 產生正 complementarity。本文以此建立 **Submodularity-by-Assumption No-Go**：未證 diminishing returns 時，不能因為「coverage 看起來像 submodular」就宣稱 greedy routing 有 approximation guarantee。 Paper 06 又指出 measure-zero exceptional core 可能承擔全部剩餘 closure difficulty。本文因此證明 **Volume-Greedy Failure Theorem**：只以 measure reduction 排序 action 的 policy 可以任意久地處理 positive-measure generic regions，而永遠延後唯一能碰到 zero-measure closure blocker 的 action。故 $$ \boxed{ \text{largest volume cut} \not\Rightarrow \text{largest closure value}. } $$ 為處理這些異質目標，本文定義 route-value vector，而不是先假設唯一 scalar score： $$ \boxed{ \mathbf V_t(a) = \left( Y_t^{\rm excl}, Y_t^{\rm gap}, Y_t^{\rm core}, Y_t^{\rm repr}, Y_t^{\rm bridge}, Y_t^{\rm cert}; -\mathbf C_t(a), -\mathbf R_t(a) \right). } $$ 其中 gains 分別表示非冗餘排除、gap closure、exceptional-core separability、representation refinement、bridge option value 與 certificate repair；完整成本向量包含 discovery、verification、coverage、gluing、maintenance、refinement 與 replay。本文證明 Pareto-dominated actions 在所有 componentwise-monotone routing preference 下可安全從候選集中刪除，但 Pareto frontier 上通常不存在不依賴偏好的唯一最佳 action。 本文再引入 **Bridge-Aware Lookahead**。若某個 action 的 immediate yield 為零，但可解鎖下一輪的大型 cut，純 myopic routing 可以嚴格失敗。因此 theorem-language expansion、representation refinement 與 bridge theorem 不應因「當輪排除 volume 為零」而自動降為低價值。 最後，本文提出 closure-fair routing：任何持續存在的 mandatory gap，若一直存在 admissible candidate route，不應因零 measure、低 immediate yield 或 score-scale mismatch 而永久 starvation。這不保證 gap 一定可解，但防止 routing policy 自己造成 global incompleteness。 本文的主要結論是：Enclosure Routing 不是「哪一刀最大」的單目標最佳化，而是**先辨識當前 proof-value geometry，再選擇與該 geometry 相容的 routing policy**。這是全域量詞—研究路由、有效覆蓋率、動態 Gap 場、概念積分與解空間幾何快速通道在 SDPE 中的正式匯流點。 --- ## 關鍵詞 空間域證明包圍；Enclosure Routing；marginal closure value；gap routing；submodular coverage；adaptive submodularity；proof search；bridge theorem；Pareto routing；exceptional core；proof value；research routing；verification cost --- # 1. 前六篇留下的正式狀態 設原始命題反例集合為 $$ \mathcal C = \{d\in D:\neg P(d)\}. $$ Paper 01 維持 sound survivor invariant： $$ \boxed{ \mathcal C\subseteq\Omega_t. } $$ Paper 02 要求 route representation 不得丟失 proof-relevant fibers。 Paper 03 定義 typed global gaps： $$ \boxed{ \mathbf G_t = (G_D,G_B,G_{\partial},G_C,G_G,G_R) } $$ 以及 Global Closure Certificate： $$ \boxed{ \mathsf{GCC}_t. } $$ Paper 04 建立 proof history DAG、compiled support index 與 incremental replay。 Paper 05 區分 $$ D_t^{\rm resolve} \neq D_t^{\rm frontier} $$ 並證明 survivor contraction 不直接推出 frontier theorem discovery acceleration。 Paper 06 定義 limit survivor： $$ \Omega_\infty = \bigcap_t\Omega_t, $$ 以及 relative theorem-language core： $$ \operatorname{Core}(\Omega_0,\mathscr H) = \Omega_0\cap\bigcap_{H\in\mathscr H}H. $$ 並證明： $$ \boxed{ \mu(\Omega_t)\to0 \not\Rightarrow \Omega_\infty=\varnothing. } $$ 因此 Paper 07 的問題不是「怎麼快速切 volume」，而是： $$ \boxed{ \text{下一個 action 如何最大化 closure-relevant progress？} } $$ --- # 2. Fresh literature grounding ## 2.1 Monotone submodular maximization Nemhauser、Wolsey 與 Fisher 的經典工作研究 nondecreasing submodular set functions 在 cardinality constraint 下的 greedy approximation。這提供一個重要條件式原則：若某個 proof-routing objective **已證明**具有 monotone submodular structure，greedy routing 才有成熟的近似理論可依賴。 本文不把一般 proof value 預設成 submodular。 ## 2.2 Adaptive submodularity Golovin 與 Krause 將 submodularity 推廣到 partial-observation / adaptive decision setting，證明在 adaptive monotone / adaptive submodular 條件成立時，adaptive greedy policy 有近似保證。 這和 theorem research 很接近，因為研究 action 的 outcome 在執行前通常未知；但「theorem discovery 是否 adaptive submodular」必須逐 domain 證明，不能從形式類似直接假定。 ## 2.3 Proof search routing 已是實際 ATP 問題 HyperTree Proof Search、DeepSeek-Prover-V1.5、BFS-Prover 與 LeanProgress 都直接研究 proof-state expansion 的選擇、search value / progress estimation 或 best-first / MCTS 型導航。LeanSearch v2 則顯示整體 premise retrieval quality 可以影響固定 prover loop 的 downstream proof success。 這些工作證明： $$ \boxed{ \text{proof navigation / premise choice / expansion priority 本身就是有效性能變量。} } $$ 但它們的 objective 主要是「完成當前 formal proof」。SDPE Paper 07 的 objective 是長期 global-proof research 中的 survivor / gap / representation / certificate routing。 --- # 3. Research Action ## Definition 3.1 — Enclosure Action 在 epoch $t$，研究 action 記為 $$ \boxed{a\in\mathcal A_t.} $$ 其類型可包括： 1. $\mathsf{BulkCut}$：嘗試排除大塊 survivor region； 2. $\mathsf{Boundary}$：處理 equality / singular / degenerate boundary； 3. $\mathsf{Refine}$：representation refinement； 4. $\mathsf{LanguageExpand}$：新增 theorem family / primitive / invariant； 5. $\mathsf{Bridge}$：建立兩個已有 proof regions / theorem families 間的新接口； 6. $\mathsf{CertRepair}$：修復 stale dependency、coverage、gluing 或 replay gap； 7. $\mathsf{Explore}$：針對未知 frontier 生成新 conjectural route。 action 本身不是 theorem。 ## Definition 3.2 — Accepted Action Outcome 只有當 action 產生可接受 certificate 後，其結果才進入 proof layer。 例如 theorem-cut outcome 為 $$ \mathcal C\subseteq H_a, $$ 則更新 $$ \Omega_{t+1} = \Omega_t\cap H_a. $$ 研究期間的 predicted gain 與 final certified gain 必須分開保存。 --- # 4. Nonredundant Exclusion Yield ## Definition 4.1 — Newly Excluded Region 若 accepted theorem cut $H_a$ 在當前 survivor 上生效，定義 $$ \boxed{ X_t(a) := \Omega_t\setminus H_a. } $$ 這是 action 在 epoch $t$ 真正新增的 exclusion region。 如果某 theorem 排除的區域早已不在 $\Omega_t$，則該部分不應再計 proof progress。 ## Definition 4.2 — Diagnostic Marginal Yield 給定可用 diagnostic $q_t$，定義 $$ \boxed{ \Delta_q(a\mid t) = q_t(\Omega_t) - q_t(\Omega_t\cap H_a). } $$ Paper 06 的 closure-separation no-go 仍有效： $$ \Delta_q $$ 可以是 routing signal，但若 $q$ 不是 closure-separating，不能單獨成為 proof completion criterion。 ## Proposition 4.3 — Redundancy-Free Yield 若兩個 action $a,b$ 在當前 survivor 上滿足 $$ X_t(a)=X_t(b), $$ 則任何只依賴當前新排除 region 的 immediate-exclusion metric 必須給二者相同 yield，不得因歷史 theorem statement 不同而重複計功。 --- # 5. Closure Obligations ## Definition 5.1 — Finite Obligation Universe 在可有限化的 routing epoch，令 $$ \boxed{ \mathcal O_t } $$ 為當前必須處理的 closure obligations，例如： - uncovered branch witness； - equality boundary stratum； - unresolved representation-singular fiber class； - stale certificate dependency； - unowned overlap / glue obligation； - explicit exceptional-core stratum； - finite route-gap witnesses。 對每個 action $a$，定義它若成功可處理的 obligation subset： $$ \boxed{ R_t(a)\subseteq\mathcal O_t. } $$ ## Definition 5.2 — Weighted Obligation Coverage 給定非負 criticality weights $$ w_t(o)\ge0, $$ 對 action set $A$ 定義 $$ \boxed{ F_t(A) = \sum_{o\in\cup_{a\in A}R_t(a)}w_t(o). } $$ ## Theorem 5.3 — Obligation Coverage Is Monotone Submodular $F_t$ 滿足： $$ A\subseteq B \Longrightarrow F_t(A)\le F_t(B), $$ 且對 $$ A\subseteq B, \qquad a\notin B, $$ 有 diminishing returns： $$ \boxed{ F_t(A\cup\{a\})-F_t(A) \ge F_t(B\cup\{a\})-F_t(B). } $$ ### Proof action $a$ 的 marginal gain 只來自 $$ R_t(a) \setminus \bigcup_{b\in A}R_t(b). $$ 而 $A\subseteq B$ 時，後者的已覆蓋 union 更大，因此 $a$ 的未覆蓋 obligations 只能減少。非負 weights 保持不等式。 $\square$ ## Corollary 5.4 — Conditional Greedy Guarantee 若： 1. routing objective 真正就是 $F_t$ ； 2. action cost 相同； 3. 預算為最多 $k$ 個 actions； 4. $R_t(a)$ 已知且 outcomes deterministic； 則 classical monotone-submodular maximum-coverage greedy result 可用，greedy 在 $k$ 步後得到至少 $$ \boxed{ 1-\left(1-\frac1k\right)^k \ge 1-\frac1e } $$ 倍的 optimal $k$ -action value。 這是**條件式 transfer theorem**，不是一般 theorem discovery 的 universal guarantee。 --- # 6. Adaptive Routing Under Uncertain Outcomes 真實 theorem research 中，action outcome 通常未知。 令 partial observation state 為 $$ \psi_t. $$ 對 action $a$ 定義 conditional expected marginal gain $$ \Delta(a\mid\psi_t). $$ 如果 domain-specific routing utility 已被證明： $$ \boxed{ \text{adaptive monotone} + \text{adaptive submodular}, } $$ 則 Golovin--Krause adaptive greedy framework 可作 routing theorem input。 ## No-Go 6.1 — Adaptive Submodularity by Analogy 僅因研究流程是 sequential / uncertain，不推出 adaptive submodularity。 SDPE runtime 必須把 $$ \mathsf{AdaptiveSubmodularCert} $$ 視為可選的 domain-specific structure certificate，而不是預設值。 --- # 7. Theorem Synergy and Submodularity Failure ## Definition 7.1 — Complementarity Defect 對 routing utility $U$ 定義 $$ \boxed{ \Gamma_t(a,b\mid S) = \Delta_U(a\mid S\cup\{b\}) - \Delta_U(a\mid S). } $$ 若 $$ \Gamma_t(a,b\mid S)>0, $$ 則 $b$ 提高了 $a$ 的 marginal value，存在 synergy。 submodularity 要求所有此類 complementarity defect 非正。 ## Proposition 7.2 — Bridge Synergy Counterexample 存在 actions $a,b$ 使 $$ U(\varnothing)=0, $$ $$ U(\{a\})=U(\{b\})=0, $$ 但 $$ U(\{a,b\})=1. $$ 此時： $$ \Delta_U(a\mid\varnothing)=0, $$ 但 $$ \Delta_U(a\mid\{b\})=1. $$ 所以 $$ \boxed{ \Gamma(a,b\mid\varnothing)=1>0, } $$ utility 不是 submodular。 這對 proof research 非常自然：一個 representation lemma 與一個 arithmetic lemma 可能單獨都無法切 survivor，組合後才產生 bridge theorem。 ## No-Go 7.3 — Greedy Guarantee Without Geometry Certificate 未證 submodularity / adaptive submodularity 時，不得引用 greedy approximation guarantee 作為研究路由的數學保證。 --- # 8. Volume-Greedy Failure Paper 06 已證 zero-measure survivor 可以非空並承擔全部 closure obstruction。 ## Theorem 8.1 — Volume-Greedy Can Postpone the Only Closure-Critical Action Arbitrarily Long 對任意 $m\ge1$，存在 survivor $$ \Omega=G_1\cup\cdots\cup G_m\cup S $$ 與 measure $\mu$，其中： $$ \mu(G_i)>0, \qquad \mu(S)=0, \qquad S\neq\varnothing, $$ 以及 actions $$ a_1,\ldots,a_m,a_*， $$ 使： - $a_i$ 只排除 $G_i$ ； - $a_*$ 只排除 $S$ ； - 任何 remaining $G_i$ 的 volume gain 都嚴格大於 $a_*$ 的 volume gain $0$。 因此任何每輪只最大化正 immediate volume reduction 的 routing policy 都會先選完 $$ a_1,\ldots,a_m $$ 才可能處理 $a_*$。 因 $m$ 任意，zero-measure closure blocker 可被 volume-greedy 任意久 postponement。 $\square$ ## Corollary 8.2 $$ \boxed{ \text{largest immediate measure reduction} \not\Rightarrow \text{largest closure value}. } $$ --- # 9. Gap Criticality ## Definition 9.1 — Action Support of an Obligation 對 obligation $o$，定義目前已知可影響它的 actions： $$ \boxed{ \mathcal A_t(o) = \{a\in\mathcal A_t:o\in R_t(a)\}. } $$ 若 $$ |\mathcal A_t(o)|=1, $$ 唯一 action 稱為 **currently essential route** for $o$。 ## Definition 9.2 — Closure Criticality 可定義一個 routing diagnostic： $$ \boxed{ \operatorname{Crit}_t(o) = \frac{w_t(o)}{|\mathcal A_t(o)|} } $$ 作為「高權重且可替代 route 很少」的簡化 criticality signal。 這不是 theorem probability，也不是證明 obligation 可解。 ## No-Go 9.3 — Zero Measure Implies Zero Routing Priority mandatory boundary / core obligation 即使 measure zero，只要未 ownership / refute，就仍是 GCC blocker，不能因 measure zero 而設 priority 為零。 --- # 10. Route-Value Vector 單一 score 容易把不可交換的 proof objectives 隱藏掉。本文先定義 vector： $$ \boxed{ \mathbf V_t(a) = \left( Y_t^{\rm excl}, Y_t^{\rm gap}, Y_t^{\rm core}, Y_t^{\rm repr}, Y_t^{\rm bridge}, Y_t^{\rm cert}; -\mathbf C_t(a), -\mathbf R_t(a) \right). } $$ 其中： ### $Y^{\rm excl}$ — Nonredundant Exclusion Yield 當 action 成功後對當前 survivor 的新增排除。 ### $Y^{\rm gap}$ — Gap Resolution Yield 對 typed mandatory gaps / obligations 的 resolution value。 ### $Y^{\rm core}$ — Core Separability Gain 對 $$ \operatorname{Core}(\Omega_t,\mathscr H_t) $$ 的可分離性增益。例如新增 theorem language 後，相對 core 是否縮小或被 stratify。 ### $Y^{\rm repr}$ — Representation Gain 減少 $$ \operatorname{Sing}_\Sigma(\phi) $$ 或提升 RouteCert adequacy。 ### $Y^{\rm bridge}$ — Bridge / Option Value action 是否解鎖原本不可用的 theorem family、representation map、proof channel 或下一步高價值 action。 ### $Y^{\rm cert}$ — Certificate Repair Value 修復 $$ G_C,G_G,G_R $$ 或降低 Dirty / reopen burden。 --- # 11. Full Cost Vector 沿用 GCS 與 Paper 04--05 的完整帳本，對 action $a$ 定義： $$ \boxed{ \mathbf C_t(a) = \left( C^{\rm discover}, C^{\rm verify}, C^{\rm coverage}, C^{\rm glue}, C^{\rm maintain}, C^{\rm refine}, C^{\rm replay} \right). } $$ 另保存 risk / uncertainty vector： $$ \boxed{ \mathbf R_t(a) = \left( R^{\rm fail}, R^{\rm stale}, R^{\rm repr}, R^{\rm dependency}, R^{\rm estimate} \right). } $$ 這些是 routing estimates，不可替代 final checker。 --- # 12. Pareto Routing ## Definition 12.1 — Dominance 若 actions $a,b$ 滿足： - $a$ 的所有 gain components 不低於 $b$ ； - $a$ 的所有 cost / risk components 不高於 $b$ ； - 至少一項嚴格較優； 則記： $$ \boxed{a\succ b.} $$ ## Theorem 12.2 — Pareto-Dominated Action Pruning 對任何對 gains componentwise nondecreasing、對 costs / risks componentwise nonincreasing 的 routing preference functional $J$，若 $$ a\succ b, $$ 則 $$ \boxed{J(a)\ge J(b).} $$ 因此在這一類 preferences 下， $b$ 不需要作為唯一候選最優 action 保留。 $\square$ ## Corollary 12.3 Pareto pruning 可以先於任何 scalarization 執行。 ## No-Go 12.4 — Universal Scalar Routing Score 若兩個 actions 的 gain vectors 分別為 $$ (1,0) $$ 與 $$ (0,1), $$ 則不同合法 preferences 可以分別偏好二者。因此不存在不依賴 proof objective / policy weights 的 universal scalar ranking 能同時代表所有 monotone preferences。 --- # 13. Cost-Aware Scalarization Is a Policy, Not a Theorem 若 runtime 已明示 weights $\mathbf w,\boldsymbol\lambda$，可使用： $$ \boxed{ S_t(a) = \frac{\mathbf w\cdot\mathbf Y_t(a)} {\boldsymbol\lambda\cdot\mathbf C_t(a)}. } $$ 也可加入 risk penalty。 但 weights 必須保存於 RouteDecision certificate；改 weights 就是改 policy，不應假裝 theorem 本身改變。 MCDM 的量詞—證明 profile 可作 cost / risk prior，但不能直接提供 proof validity。 --- # 14. Bridge-Aware Lookahead ## Definition 14.1 — Action Unlock Set 令 $$ \operatorname{Unlock}_t(a) $$ 為 action $a$ 成功後才變 admissible / meaningful 的下一層 actions。 ## Definition 14.2 — Two-Step Route Value 對 immediate utility $u_t$，定義簡化二步值： $$ \boxed{ V_t^{(2)}(a) = \nu_t u_t(a) + \max_{b\in\operatorname{Unlock}_t(a)}u_{t+1}(b) - \operatorname{Cost}_t^{(2)}(a). } $$ 其中 $\nu_t$ 可為 discount / confidence factor。 ## Proposition 14.3 — Myopic Bridge Failure 存在 actions $a_{\rm bulk},a_{\rm bridge},b_{\rm close}$ 使： $$ \nu_t u(a_{\rm bulk})>u(a_{\rm bridge})=0, $$ 故 one-step greedy 選 $a_{\rm bulk}$ ；但 $$ \operatorname{Unlock}(a_{\rm bridge}) =\{b_{\rm close}\}, $$ 且 $b_{\rm close}$ 可完成 GCC，而 $a_{\rm bulk}$ 不解鎖任何 closure route。 因此在 two-step objective 下： $$ \boxed{ V^{(2)}(a_{\rm bridge}) > V^{(2)}(a_{\rm bulk}) } $$ 可以成立。 所以 representation refinement、theorem-language expansion 與 bridge theorem 不能因當輪 immediate exclusion 為零而自動判定低價值。 --- # 15. Closure-Fair Routing ## Definition 15.1 — Persistent Mandatory Obligation 若 obligation $o$： 1. 持續阻止 GCC； 2. 尚未被 refute / owned / repaired； 3. 長期存在至少一個 admissible candidate action； 則稱 $o$ persistent mandatory。 ## Definition 15.2 — $B$ -Fair Router 若每個 persistent mandatory obligation 在至多 $B$ 個 routing epochs 內至少被一個影響它的 admissible action 實際選中一次，則 policy 稱為 $B$ -fair。 ## Proposition 15.3 — No Routing-Induced Starvation 在 $B$ -fair policy 下，不存在 persistent mandatory gap 僅因其它 actions 長期具有較高 immediate score 而永遠不被嘗試。 注意： $$ \boxed{ \text{no starvation} \not\Rightarrow \text{gap is solvable}. } $$ fairness 是 research completeness policy，不是數學 closure theorem。 --- # 16. Discrete Closure Potential 在有限 obligation model 中，定義 unresolved weighted potential： $$ \boxed{ \Phi_t = \sum_{o\in\mathcal O_t^{\rm unresolved}}w(o). } $$ ## Theorem 16.1 — Finite Successful-Progress Termination 若在一個 stable epoch family 中： 1. $\mathcal O$ 有限； 2. $w(o)\ge\varepsilon>0$ ； 3. 不產生新 mandatory obligations； 4. 每個 accepted action 至少永久解決一個 unresolved obligation； 5. obligation 不 reopen； 6. $\Phi=0$ 已由 GCC semantics 證明等價於 closure； 則最多經 $$ \boxed{ \frac{\Phi_0}{\varepsilon} } $$ 個 successful accepted actions 即必須 closure。 ### Boundary 此 theorem 的強假設正好說明真實研究為何困難：representation refinement 可能出生新 gaps，dependency staleness 可能 reopen obligations，且 finite obligation universe 本身需要 completeness certificate。 --- # 17. Routing Regimes 本文建議 runtime 先辨識 routing geometry，再選 policy。 ## Regime A — Certified Coverage Geometry 若 closure obligations finite，action effects deterministic，且 objective 是 weighted union coverage： $$ \boxed{ \text{use submodular / set-cover style routing}. } $$ ## Regime B — Adaptive Submodular Geometry 若 outcomes uncertain，但 adaptive submodularity 已證： $$ \boxed{ \text{use adaptive greedy family}. } $$ ## Regime C — Synergistic / Bridge Geometry 若 observed complementarity $$ \Gamma>0 $$ 顯著： $$ \boxed{ \text{use lookahead / bridge-aware routing}. } $$ ## Regime D — Exceptional-Core Geometry 若 bulk measure 已低但 mandatory core / boundary persists： $$ \boxed{ \text{prioritize separability / boundary / representation routes over volume}. } $$ ## Regime E — Certificate Debt Geometry 若 $G_C,G_G,G_R$ 阻止 GCC： $$ \boxed{ \text{proof repair may dominate new theorem discovery}. } $$ --- # 18. Enclosure Routing Protocol v0.1 本文提出： $$ \boxed{ \begin{aligned} &\mathsf{Profile}\\ &\to\mathsf{GapExtract}\\ &\to\mathsf{ActionGenerate}\\ &\to\mathsf{SafetyGate}\\ &\to\mathsf{ValueEstimate}\\ &\to\mathsf{ParetoPrune}\\ &\to\mathsf{GeometryClassify}\\ &\to\mathsf{Select}\\ &\to\mathsf{Execute}\\ &\to\mathsf{Verify}\\ &\to\mathsf{Update}\\ &\to\mathsf{Compile}. \end{aligned} } $$ ## 18.1 Profile 讀入： $$ \Omega_t, \mathbf G_t, \mathsf{SurvProf}_t, \mathsf{GCC}_t, \mathcal H_t, \mathbf C_t. $$ ## 18.2 GapExtract 辨識： - bulk survivor； - zero-measure core； - boundary debt； - singular fibers； - stale certificates； - theorem-language irreducible residue。 ## 18.3 ActionGenerate 從 DEST Gap-directed generation / concept integration 產生 action types。 ## 18.4 SafetyGate 過濾明顯 scope mismatch、representation-invalid、dependency-invalid actions。 ## 18.5 ValueEstimate 估計 gains、costs、risks；必須標示 predicted / uncertified。 ## 18.6 ParetoPrune 去除 dominated actions。 ## 18.7 GeometryClassify 判定 coverage / adaptive-submodular / synergy / exceptional-core / certificate-debt regime。 ## 18.8 Select 使用與 regime 相容的 policy。 ## 18.9 Verify 只有 verifier 接受後，predicted gain 才轉為 certified state update。 --- # 19. Route Decision Certificate 每一輪 routing 決策保存： $$ \boxed{ \mathsf{RouteDecision}_t = \langle StateFP, CandidateSet, ActionTypes, PredictedValues, Costs, Risks, GapTouches, CoreTouches, Unlocks, Policy, Weights, Chosen, Reason, Outcome, Verifier, ActualGain, Version, Replay \rangle. } $$ 這讓 routing policy 本身可以被 longitudinal audit。 如果未來發現某類 score 長期誤估 bridge actions，可以重新估計 policy，而不必改寫已接受的 theorem validity。 --- # 20. Routing Regret 在 finite benchmark 中，若 oracle policy 在 horizon $T$ 的 closure utility 為 $$ U_T^*, $$ router 得到 $$ U_T^{\pi}, $$ 定義 routing regret： $$ \boxed{ \operatorname{Regret}_T(\pi) = U_T^*-U_T^{\pi}. } $$ 如果 utility 是 closure time，可改用 time regret。 真實數學研究通常沒有 oracle；regret 主要用於 synthetic / finite benchmark，而不是主張人類歷史研究存在可知 global optimum。 --- # 21. Benchmark Families Paper 08 runtime 前，本文建議至少測六種 routing family。 ## 21.1 Redundant bulk coverage 大量 actions 重疊排除同一 generic region，測 marginal de-duplication。 ## 21.2 Zero-measure exceptional core bulk actions 有高 measure yield，但只有 zero-measure core action 可 closure，測 volume-greedy failure。 ## 21.3 Finite weighted obligation coverage 測 greedy submodular routing 與 exact optimum 差距。 ## 21.4 Synergistic bridge 單一 actions immediate gain 低，組合後產生高 closure value，測 myopic failure。 ## 21.5 Representation singularity bulk cuts 無法區分 mixed fibers，只有 refinement action 解鎖 sound exclusion。 ## 21.6 Certificate debt / stale replay 新增 theorem 不再是瓶頸，GCC 只差 certificate repair，測 repair-aware routing。 --- # 22. Ablations 至少比較： 1. random routing； 2. volume greedy； 3. immediate obligation greedy； 4. cost-ratio greedy； 5. Pareto + greedy； 6. bridge-aware lookahead； 7. gap-fair routing； 8. full enclosure router。 報告： $$ \boxed{ \begin{aligned} &\text{time-to-GCC},\\ &\text{accepted theorem count},\\ &\text{failed proposal cost},\\ &\text{verification cost},\\ &\text{coverage debt},\\ &\text{gap starvation},\\ &\text{exceptional-core lifetime},\\ &\text{routing regret},\\ &\text{Pareto-front size},\\ &\text{bridge discovery rate}. \end{aligned} } $$ --- # 23. Internal-Series Integration ## 23.1 MCDM MCDM 的 quantifier / proof-asymmetry / difficulty profile 可提供： - action cost prior； - proof-direction prior； - verification difficulty prior； - global-coupling risk prior。 但 MCDM score 不直接等於 closure value。 ## 23.2 Effective Coverage 《從路徑數量到有效覆蓋率》的核心： $$ \Delta C(p\mid\mathcal P_t) $$ 在 SDPE 中被收斂成 current-survivor / current-obligation 上的 **nonredundant marginal gain**。 ## 23.3 Known / Unknown Compilation 「已知則編譯、未知則展開」在 Paper 07 中成為 routing gate： - compiled / certified regions 不重複搜尋； - persistent unknown / singular / boundary residue 進入 action generation。 ## 23.4 Solution-Space Geometry 概念積分與幾何快速通道提供 bridge / representation / shortcut action 類別。 Paper 05 已證 cache hit 不直接降低 frontier theorem difficulty；Paper 07 現在提供可測的 structural bridge-value channel。 ## 23.5 DEST Gap Field / Concept Integral 2.0 Gap Field 提供 typed gap support、persistence、coupling、detectability；Concept Integral 2.0 提供 Gap-directed candidate generation。 SDPE 新增的限制是：candidate generation 後必須進入 proof-safe SafetyGate、verification 與 GCC update。 --- # 24. No-Go Ledger ## No-Go 24.1 — Largest Volume Cut Is Best Research Action zero-measure core counterexample 否定。 ## No-Go 24.2 — More Paths Mean More Progress 高度重疊 actions 必須按 current marginal gain 去重。 ## No-Go 24.3 — Greedy Is Universally Near-Optimal 只有已證 submodular / adaptive-submodular structure 才有相應 guarantee。 ## No-Go 24.4 — Immediate Gain Captures Bridge Value representation / language / bridge actions 可以零 immediate yield 但高 future closure value。 ## No-Go 24.5 — Single Scalar Score Is Canonical 多目標 tradeoff 在一般情況沒有 preference-free total order。 ## No-Go 24.6 — Measure-Zero Gap Gets Zero Priority mandatory gap 的 closure relevance 不由 measure 決定。 ## No-Go 24.7 — Fair Routing Proves Solvability fairness 只阻止 starvation，不保證存在成功 theorem。 ## No-Go 24.8 — High Predicted Value Is a Proof Artifact prediction 只有通過 verification 才能更新 survivor / GCC。 ## No-Go 24.9 — Route Repair Is Non-Research Work 若 GCC blocker 是 certificate / coverage / representation debt，repair action 可以比新 theorem 更高 closure value。 ## No-Go 24.10 — Routing Policy and Mathematical Truth Are the Same Layer policy 可以錯、可以改、可以學習；已驗證 theorem validity 不應依賴 routing policy 的歷史正確性。 --- # 25. Theorem / External Input / Hypothesis Ledger ## 25.1 Internal theorems / propositions 1. Redundancy-Free Yield； 2. Obligation Coverage Monotone Submodularity； 3. Volume-Greedy Failure； 4. Pareto-Dominated Action Pruning； 5. Bridge-Synergy Counterexample； 6. Myopic Bridge Failure； 7. No Routing-Induced Starvation under $B$ -fairness； 8. Finite Successful-Progress Termination under stable complete obligation model。 ## 25.2 Conditional external transfers 1. monotone-submodular greedy approximation under cardinality constraint； 2. adaptive greedy guarantees under adaptive monotonicity / adaptive submodularity。 這些只在 SDPE routing utility 已被證明符合其 assumptions 時使用。 ## 25.3 Open hypotheses 1. late-stage SDPE proof routing often becomes synergy-dominated rather than submodular； 2. exceptional-core targeting improves time-to-GCC over volume greedy； 3. bridge-aware routing can provide a structural mechanism for Strong DVI； 4. learned action-value estimates can generalize across theorem families when RouteCert / Gap types align； 5. routing policies trained on compiled proof histories can reduce frontier branching without increasing unsound proposal rate。 ## 25.4 External grounding - Nemhauser--Wolsey--Fisher / Nemhauser--Wolsey submodular maximization； - Golovin--Krause adaptive submodularity； - HyperTree Proof Search； - DeepSeek-Prover-V1.5； - BFS-Prover； - LeanProgress； - LeanSearch v2。 --- # 26. Checker Scope companion checker 驗證 finite models 中： 1. weighted obligation coverage monotonicity； 2. weighted obligation coverage submodularity； 3. cardinality- $k$ greedy maximum-coverage lower bound on random small instances； 4. redundancy-free current-survivor gain； 5. zero-weight exceptional-core volume-greedy failure； 6. bridge synergy / submodularity failure； 7. Pareto dominated action pruning under random monotone scalarizations； 8. bridge-aware two-step routing beats myopic example； 9. finite closure-potential termination； 10. bounded-starvation fair scheduling toy model。 checker 不證： - 一般 theorem discovery objective 是 submodular； - 預測 route value 已校準； - Strong DVI； - 任意數學猜想存在 finite complete obligation universe； - SDPE routing policy 能保證找到未知 theorem。 --- # 27. 前七篇形成的 proof-space architecture $$ \boxed{ \begin{aligned} &\text{P01 Survivor Soundness}\\ &\downarrow\\ &\text{P02 Representation Faithfulness}\\ &\downarrow\\ &\text{P03 Global Coverage / Closure}\\ &\downarrow\\ &\text{P04 Trace Compilation / Incremental Replay}\\ &\downarrow\\ &\text{P05 Discovery--Verification Cost Dynamics}\\ &\downarrow\\ &\text{P06 Residual Geometry / Exceptional Core}\\ &\downarrow\\ &\text{P07 Cost-Aware Enclosure Routing}. \end{aligned} } $$ Paper 07 的核心改變是：SDPE 不再被動等待下一個 theorem，而第一次明確建模 $$ \boxed{ \text{研究下一刀本身也是一個可分析、可驗證、可 benchmark 的決策問題。} } $$ --- # 28. 下一篇：SDPE Runtime / Benchmark 前七篇已經提供 runtime 需要的主要語義： - survivor envelope； - RouteCert； - typed gaps； - GCC； - proof-history DAG； - compiled pruning； - DVI telemetry； - survivor profile； - route-value / route-decision certificate。 因此下一篇可以正式整合成： $$ \boxed{ \textbf{SDPE Paper 08 — Runtime, Benchmark, and Proof-Space Observatory}.} $$ 最小 pipeline 升級為： $$ \boxed{ \begin{aligned} &\mathsf{Detect}\\ &\to\mathsf{Profile}\\ &\to\mathsf{GapExtract}\\ &\to\mathsf{ActionGenerate}\\ &\to\mathsf{Route}\\ &\to\mathsf{Propose}\\ &\to\mathsf{Verify}\\ &\to\mathsf{CoverageAudit}\\ &\to\mathsf{BoundaryAudit}\\ &\to\mathsf{GlueAudit}\\ &\to\mathsf{Compile}\\ &\to\mathsf{Commit}. \end{aligned} } $$ --- # 29. Final Status 本文最重要的結論可以壓成四句。 第一： $$ \boxed{ \text{proof progress 應計 nonredundant closure gain，而不是 theorem count。} } $$ 第二： $$ \boxed{ \text{volume reduction 是 routing signal，不是 universal proof value。} } $$ 第三： $$ \boxed{ \text{greedy guarantee 必須由 proof-value geometry 的 submodularity certificate 支撐。} } $$ 第四： $$ \boxed{ \text{bridge、boundary、representation 與 certificate repair 可以具有零 immediate volume gain，卻是 global closure 的最高價值 action。} } $$ 因此 Enclosure Routing 的總原則是： $$ \boxed{ \textbf{先辨識 proof-value geometry，再選擇 routing algorithm。} } $$ --- # References 1. G. L. Nemhauser, L. A. Wolsey, M. L. Fisher, **An Analysis of Approximations for Maximizing Submodular Set Functions—I**, *Mathematical Programming* 14 (1978), 265–294, DOI `10.1007/BF01588971`. 2. G. L. Nemhauser, L. A. Wolsey, **Best Algorithms for Approximating the Maximum of a Submodular Set Function**, *Mathematics of Operations Research* 3(3) (1978), 177–188, DOI `10.1287/moor.3.3.177`. 3. Daniel Golovin, Andreas Krause, **Adaptive Submodularity: Theory and Applications in Active Learning and Stochastic Optimization**, arXiv:`1003.3967`. 4. Guillaume Lample et al., **HyperTree Proof Search for Neural Theorem Proving**, arXiv:`2205.11491`. 5. Huajian Xin et al., **DeepSeek-Prover-V1.5: Harnessing Proof Assistant Feedback for Reinforcement Learning and Monte-Carlo Tree Search**, arXiv:`2408.08152`. 6. Ran Xin et al., **BFS-Prover: Scalable Best-First Tree Search for LLM-based Automatic Theorem Proving**, arXiv:`2502.03438`. 7. Suozhi Huang, Peiyang Song, Robert Joseph George, Anima Anandkumar, **LeanProgress: Guiding Search for Neural Theorem Proving via Proof Progress Prediction**, arXiv:`2502.17925`. 8. Guoxiong Gao et al., **LeanSearch v2: Global Premise Retrieval for Lean 4 Theorem Proving**, arXiv:`2605.13137`. 9. Prior SDPE artifacts: Papers 01--06. 10. Prior internal artifacts: **MCDM v0.2**; **從路徑數量到有效覆蓋率**; **已知則編譯，未知則展開**; **概念積分與解空間填充**; **快速究竟有多快**; **DEST Gap 場論**; **概念積分 2.0**.