# 抽象化與實現的非互逆性
## 從不變量商空間、實現纖維到多重實現的雙向映射失敗

**English Title:** *The Non-Invertibility of Abstraction and Realization: Invariant Quotients, Realization Fibres, and the Failure of Bidirectional Recovery*  
**Series:** Reality–Abstraction Asymmetry and Meta-Causal Grounding Series  
**Paper:** 02  
**Author:** Neo.K  
**Institution:** EveMissLab / 一言諾科技有限公司  
**Version:** v0.1  
**Date:** 2026-08-14  
**Theoretical status:** structural theorem framework; ontology-neutral with respect to Platonism, nominalism, physicalism, structuralism, and meta-informational ontology

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## 摘要

本文研究實在域與抽象域之間第二個更深的不對稱：即使有限觀察者可以由實在 token 抽取抽象結構，也可以把抽象結構重新實現於新的實在 token，這兩個方向一般仍然不是互逆映射。問題的核心不是語言上的「抽象比較高階」，而是兩種操作具有不同的數學型別：抽象化通常忽略 token-specific 細節、保留某族不變量；實現則通常從同一抽象結構允許多個不同 token，因此天然具有 one-to-many 或 relation-valued 性質。

本文首先令

$$
\mathcal R
$$

表示 realized-token domain，並選定一族抽象相關不變量

$$
\mathcal J
=
\{J_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}.
$$

定義等價關係：

$$
r\sim_{\mathcal J}r'
\iff
\forall\lambda\in\Lambda,
\quad
J_\lambda(r)=J_\lambda(r').
$$

由此得到商空間：

$$
\mathcal A_{\mathcal J}
=
\mathcal R/{\sim_{\mathcal J}},
$$

以及 canonical abstraction map：

$$
\alpha_{\mathcal J}:
\mathcal R
\rightarrow
\mathcal A_{\mathcal J},
\qquad
\alpha_{\mathcal J}(r)
=
[r]_{\mathcal J}.
$$

這個構造與數學結構主義、abstractionist structuralism 中「由具體系統轉向同構／等價類」的做法相容，但本文不把商類本身預設為終極抽象本體。

接著定義實現纖維：

$$
\operatorname{Real}_{\mathcal J}(a)
=
\alpha_{\mathcal J}^{-1}(\{a\})
=
\{r\in\mathcal R:
\alpha_{\mathcal J}(r)=a\}.
$$

因此 realization 不是一般單值函數：

$$
\rho:
\mathcal A
\rightarrow
\mathcal R,
$$

而更自然地是：

$$
\operatorname{Real}_{\mathcal J}:
\mathcal A_{\mathcal J}
\rightarrow
\mathcal P(\mathcal R).
$$

本文證明「抽象—實現非互逆定理」：只要某個抽象類具有至少兩個不同實現，

$$
|\operatorname{Real}_{\mathcal J}(a)|>1,
$$

就不存在一個由 abstraction 本身唯一決定的 inverse：

$$
\alpha_{\mathcal J}^{-1}:
\mathcal A_{\mathcal J}
\rightarrow
\mathcal R.
$$

對任何 $r\in\mathcal R$，

$$
\operatorname{Real}_{\mathcal J}
(
\alpha_{\mathcal J}(r)
)
=
[r]_{\mathcal J},
$$

而不是一般性的

$$
\{r\}.
$$

反方向，在 $a$ 確實有 realization 的條件下：

$$
\alpha_{\mathcal J}
[
\operatorname{Real}_{\mathcal J}(a)
]
=
\{a\}.
$$

也就是「實現後重新抽象」可以回復抽象類型，但「抽象後重新實現」只能回復一個 realization fibre。這是兩方向最核心的數學非對稱。

本文再定義 selector / section：

$$
s:
\mathcal A_{\mathcal J}
\rightarrow
\mathcal R
$$

滿足：

$$
\alpha_{\mathcal J}\circ s
=
\operatorname{id}_{\mathcal A_{\mathcal J}}.
$$

section 可以從每個實現纖維挑一個代表，但一般：

$$
s\circ\alpha_{\mathcal J}
\neq
\operatorname{id}_{\mathcal R}.
$$

只有當每個等價類都是 singleton，亦即 abstraction 完全不丟失 token distinction 時，雙向 inverse 才可能成立。本文稱此條件為 **Token-Separating Abstraction**。

為了處理「尚未實在化的抽象」，本文進一步區分：

$$
\mathcal A_{\mathrm{act}}
=
\operatorname{Im}(\alpha_{\mathcal J})
$$

與更廣的候選抽象域：

$$
\mathcal A_{\mathrm{cand}}.
$$

若：

$$
a\in
\mathcal A_{\mathrm{cand}}
\setminus
\mathcal A_{\mathrm{act}},
$$

則：

$$
\operatorname{Real}(a)=\varnothing.
$$

這使「抽象可定義」與「抽象已實現」正式分離。本文不主張所有可定義抽象都具有形而上學上的獨立存在，只主張在形式／認識論空間中，unrealized abstract candidate 是一個合法型別。

本文最後建立六條核心邊界：

$$
\boxed{
\text{Abstraction}
\neq
\text{Lossless Encoding},
}
$$

$$
\boxed{
\text{Realization}
\neq
\text{Inverse Abstraction},
}
$$

$$
\boxed{
\text{Multiple Realization}
\Rightarrow
\text{No Canonical Token Inverse},
}
$$

$$
\boxed{
\text{Section}
\neq
\text{Inverse},
}
$$

$$
\boxed{
\text{Abstract Definability}
\not\Rightarrow
\text{Actual Realization},
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{Non-Invertibility}
\not\Rightarrow
\text{Ontological Independence}.
}
$$

因此本文提供的不是「抽象世界高於實在世界」的證明，而是一個更精確的結構結果：只要抽象化真的保留共通結構而忽略實例差異，且同一結構容許多個實例，則抽象化與實現便天然不構成普通雙射。

**關鍵詞：** 抽象化、實現、多重實現、商空間、等價類、纖維、不變量、section、結構主義、物理主義、非互逆性

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# 1. 從兩條箭頭開始

前一篇建立：

$$
\text{realized-state observation}
$$

與：

$$
\text{abstract-content access}
$$

並非一般性的同型操作。

本文研究更進一步的兩條箭頭：

$$
\boxed{
\alpha:
\mathcal R
\rightarrow
\mathcal A
}
$$

與：

$$
\boxed{
\rho:
\mathcal A
\rightsquigarrow
\mathcal R.
}
$$

直覺上：

- $\alpha$ 是 abstraction；
- $\rho$ 是 realization。

問題是：

$$
\boxed{
\rho
\overset{?}{=}
\alpha^{-1}.
}
$$

本文的答案是：

> 一般不是。

而且原因可以被精確地寫成 quotient / fibre 結構。

---

# 2. Abstraction 不是「把實在搬到抽象世界」

令：

$$
\mathcal R
$$

為 realized token domain。

選定研究所關心的一族結構量：

$$
\boxed{
\mathcal J
=
\{J_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}.
}
$$

例子可能包括：

- connectivity；
- order；
- algebraic operation；
- causal role；
- input–output function；
- topology；
- symmetry；
- inferential role。

抽象化的第一個工作不是複製 token，

而是決定：

$$
\boxed{
\text{哪些 token difference 在目前問題裡應被忽略？}
}
$$

---

# 3. Invariant-Induced Equivalence

定義：

$$
\boxed{
r
\sim_{\mathcal J}
r'
}
$$

當且僅當：

$$
\forall
\lambda\in\Lambda,
\quad
J_\lambda(r)
=
J_\lambda(r').
$$

若需要近似版本，可寫：

$$
d_\lambda
(
J_\lambda(r),
J_\lambda(r')
)
\le
\varepsilon_\lambda.
$$

本文先處理 exact case。

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# 4. Canonical Abstraction

由：

$$
\sim_{\mathcal J}
$$

形成 quotient：

$$
\boxed{
\mathcal A_{\mathcal J}
=
\mathcal R/{\sim_{\mathcal J}}.
}
$$

定義：

$$
\boxed{
\alpha_{\mathcal J}(r)
=
[r]_{\mathcal J}.
}
$$

其中：

$$
[r]_{\mathcal J}
=
\{
r'\in\mathcal R:
r'\sim_{\mathcal J}r
\}.
$$

這是本文的 canonical abstraction model。

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# 5. 這個模型與結構主義的關係

數學 structuralism 與 abstractionist structuralism 常使用類似想法：

不同 set-theoretic systems 若在相關結構下同構，

就可以被視為同一純結構的不同 presentation。

例如：

$$
S_1
\cong
S_2
$$

時，

抽象化可以忘掉：

$$
\text{element-specific identity}
$$

而保留：

$$
\text{structural form}.
$$

本文借用這個數學接口，

但不宣稱：

$$
[r]_{\mathcal J}
$$

就是抽象對象的唯一正確 ontology。

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# 6. Abstraction Fibre

對：

$$
a\in\mathcal A_{\mathcal J},
$$

定義：

$$
\boxed{
F_a
=
\alpha_{\mathcal J}^{-1}(\{a\}).
}
$$

因為：

$$
a=[r]_{\mathcal J},
$$

所以：

$$
F_a
=
[r]_{\mathcal J}.
$$

這個 fibre 包含所有被 abstraction 判定為「相同抽象內容」的 realized tokens。

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# 7. Realization 應首先是 set-valued

因此本文定義：

$$
\boxed{
\operatorname{Real}_{\mathcal J}(a)
=
F_a.
}
$$

所以：

$$
\operatorname{Real}_{\mathcal J}:
\mathcal A_{\mathcal J}
\rightarrow
\mathcal P(\mathcal R).
$$

不是：

$$
\mathcal A_{\mathcal J}
\rightarrow
\mathcal R.
$$

這一步非常重要。

因為 multiple realization 本身就是：

$$
\boxed{
|\operatorname{Real}_{\mathcal J}(a)|>1.
}
$$

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# 8. Realization Relation

如果不想把所有 abstraction 都限制成 quotient model，

可以改寫成關係：

$$
\boxed{
\mathfrak R_{\mathrm{real}}
\subseteq
\mathcal A
\times
\mathcal R.
}
$$

並定義：

$$
\operatorname{Real}(a)
=
\{
r:
(a,r)
\in
\mathfrak R_{\mathrm{real}}
\}.
$$

quotient–fibre model 是這個一般 relation 的一個標準特例。

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# 9. 第一個方向：Realize 再 Abstract

對：

$$
a
\in
\mathcal A_{\mathcal J},
$$

若：

$$
r\in
\operatorname{Real}_{\mathcal J}(a),
$$

依定義：

$$
\alpha_{\mathcal J}(r)=a.
$$

所以：

$$
\boxed{
\alpha_{\mathcal J}
[
\operatorname{Real}_{\mathcal J}(a)
]
=
\{a\}.
}
$$

也就是所有忠實 realization 重新 abstraction 後回到同一抽象類。

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# 10. 第二個方向：Abstract 再 Realize

對：

$$
r\in\mathcal R,
$$

先抽象：

$$
\alpha_{\mathcal J}(r)
=
[r]_{\mathcal J}.
$$

再取 realization：

$$
\boxed{
\operatorname{Real}_{\mathcal J}
(
\alpha_{\mathcal J}(r)
)
=
[r]_{\mathcal J}.
}
$$

如果：

$$
|[r]_{\mathcal J}|>1,
$$

那麼：

$$
[r]_{\mathcal J}
\neq
\{r\}.
$$

所以原 token 不能由 abstract class 唯一恢復。

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# 11. 主定理：抽象—實現非互逆定理

**定理 1（Abstraction–Realization Non-Invertibility）**

令：

$$
\alpha_{\mathcal J}:
\mathcal R
\rightarrow
\mathcal R/{\sim_{\mathcal J}}
$$

為 quotient abstraction。

若存在：

$$
r_1\neq r_2
$$

使：

$$
r_1
\sim_{\mathcal J}
r_2,
$$

則不存在函數：

$$
\beta:
\mathcal A_{\mathcal J}
\rightarrow
\mathcal R
$$

同時滿足：

$$
\beta\circ\alpha_{\mathcal J}
=
\operatorname{id}_{\mathcal R}.
$$

**證明。**

因：

$$
r_1\sim_{\mathcal J}r_2,
$$

故：

$$
\alpha_{\mathcal J}(r_1)
=
\alpha_{\mathcal J}(r_2)
=
a.
$$

若存在 $\beta$ 使：

$$
\beta\circ\alpha_{\mathcal J}
=
\operatorname{id}_{\mathcal R},
$$

則：

$$
\beta(a)=r_1
$$

且：

$$
\beta(a)=r_2.
$$

故：

$$
r_1=r_2,
$$

矛盾。

證畢。

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# 12. 主定理的真正含義

定理 1 不需要任何形而上學。

它只需要：

$$
\boxed{
\text{abstraction identifies at least two distinct tokens}.
}
$$

一旦 abstraction 真正「抽掉」某些 token difference，

它就失去 ordinary left inverse。

因此：

$$
\boxed{
\text{abstraction}
\neq
\text{lossless token encoding}.
}
$$

---

# 13. Token-Separating Abstraction

定義：

$$
\alpha
$$

為 token-separating，

若：

$$
\alpha(r_1)=\alpha(r_2)
\Rightarrow
r_1=r_2.
$$

也就是：

$$
\alpha
$$

為單射。

只有這時才可能存在：

$$
\beta\circ\alpha
=
\operatorname{id}_{\mathcal R}.
$$

但如果 $\alpha$ 保留所有 token identity，

它在重要意義上已經接近 encoding，

而不是通常意義上的 abstraction。

---

# 14. Abstraction–Encoding Distinction

本文因此區分：

$$
\boxed{
E:
\mathcal R
\hookrightarrow
\Sigma
}
$$

的 lossless encoding，

與：

$$
\boxed{
\alpha:
\mathcal R
\twoheadrightarrow
\mathcal R/{\sim_{\mathcal J}}
}
$$

的 structure-preserving abstraction。

前者目標是保留 token distinction。

後者可以有意忽略 token distinction。

這兩者不能混為一談。

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# 15. Section

雖然：

$$
\alpha_{\mathcal J}
$$

一般沒有真正 inverse，

但若每個 fibre 非空，可以選一個代表：

$$
\boxed{
s:
\mathcal A_{\mathcal J}
\rightarrow
\mathcal R
}
$$

使：

$$
s(a)\in
\operatorname{Real}_{\mathcal J}(a).
$$

則：

$$
\boxed{
\alpha_{\mathcal J}
\circ
s
=
\operatorname{id}_{\mathcal A_{\mathcal J}}.
}
$$

稱 $s$ 為 section。

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# 16. Section 不是 Inverse

一般：

$$
s\circ\alpha_{\mathcal J}
\neq
\operatorname{id}_{\mathcal R}.
$$

因為對：

$$
r\in[r]_{\mathcal J},
$$

section 可能選：

$$
s([r]_{\mathcal J})
=
r^\star
\neq r.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{representative selection}
\neq
\text{token recovery}.
}
$$

---

# 17. Section Dependence

若一個 fibre：

$$
F_a
$$

有多個 token，

則可能有：

$$
s_1(a)\neq s_2(a).
$$

所以 realization selection 可以依賴：

- material availability；
- engineering constraints；
- convention；
- cost；
- history；
- embodiment；
- random choice。

因此：

$$
\boxed{
a
}
$$

本身通常不足以唯一指定一個 concrete token。

---

# 18. Multiple Realization Corollary

**推論 1**

若：

$$
|\operatorname{Real}(a)|>1,
$$

則不存在由 $a$ 本身唯一決定的 canonical token inverse，

除非加入額外 selection structure：

$$
K_{\mathrm{sel}}.
$$

也就是：

$$
\boxed{
a
+
K_{\mathrm{sel}}
\rightarrow
r.
}
$$

不是：

$$
a\rightarrow r
$$

本身唯一。

---

# 19. 這正是多重實現真正的數學內容

Multiple realization 不是只說：

> 不同東西可以做到同一件事。

更精確是：

$$
\boxed{
\operatorname{Real}^{-1}
}
$$

不是 ordinary function。

同一高階 abstract / functional type：

$$
a
$$

對應一個 realization fibre。

這與 functionalism、realization physicalism、empirical-structure physicalism 都相容。

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# 20. Token Detail Residual

對：

$$
r\in\mathcal R,
$$

定義其 abstraction fibre：

$$
F(r)
=
\alpha^{-1}
(
\alpha(r)
).
$$

若：

$$
|F(r)|>1,
$$

則 abstract description 無法區分 fibre 內全部 token。

可把：

$$
\boxed{
\Delta_{\mathrm{token}}(r;\alpha)
=
F(r)\setminus\{r\}
}
$$

稱為 token-detail residual。

這不是數值誤差，

而是 equivalence-induced ambiguity。

---

# 21. Distortion 不應再用 Kernel 濫稱

除非：

$$
\alpha
$$

具有適合定義 kernel 的代數結構，

否則本文不用：

$$
\ker(\alpha)
$$

描述抽象失真。

更一般、更安全的是：

$$
\boxed{
F(r)
=
\alpha^{-1}(\alpha(r)).
}
$$

也就是 indistinguishability fibre。

這與前一系列對過強「表示失真 kernel」命題的修正一致。

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# 22. 抽象真正保留的是什麼？

對：

$$
a=[r]_{\mathcal J},
$$

我們只承諾：

$$
\boxed{
J_\lambda(r')
=
J_\lambda(r)
}
$$

對所有：

$$
r'
\in a
$$

以及：

$$
\lambda\in\Lambda.
$$

至於：

- token history；
- material；
- location；
- energy state；
- microscopic constitution；

若不在 $\mathcal J$ 中，

就不由 abstraction 保證。

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# 23. Abstract Identity 是 $\mathcal J$ -Relative

不同 invariant family：

$$
\mathcal J_1,
\quad
\mathcal J_2
$$

可以導致不同 abstraction：

$$
\alpha_{\mathcal J_1},
\quad
\alpha_{\mathcal J_2}.
$$

所以：

$$
[r]_{\mathcal J_1}
$$

不必等於：

$$
[r]_{\mathcal J_2}.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{what counts as the same abstract structure depends on the locked invariant family}.
}
$$

這不是任意相對主義。

 $\mathcal J$ 仍必須被：

- formal task；
- proof；
- application；
- representation invariance；
- empirical role；

約束。

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# 24. Refinement Order

若：

$$
\mathcal J_1
\subseteq
\mathcal J_2,
$$

則 $\mathcal J_2$ 保留更多 distinction。

通常：

$$
[r]_{\mathcal J_2}
\subseteq
[r]_{\mathcal J_1}.
$$

因此可以定義 abstraction refinement：

$$
\boxed{
\alpha_{\mathcal J_2}
\succeq
\alpha_{\mathcal J_1}.
}
$$

保留越多 invariant，

fibre 越小。

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# 25. 極限一：完全 token-preserving

如果：

$$
\mathcal J_{\mathrm{all}}
$$

包含足以唯一識別每個 token 的全部性質，

則：

$$
[r]_{\mathcal J_{\mathrm{all}}}
=
\{r\}.
$$

此時 abstraction 變成單射。

但它也幾乎失去：

$$
\boxed{
\text{cross-token generalization}.
}
$$

所以「抽象的力量」往往恰恰來自：

$$
\boxed{
\text{controlled forgetting}.
}
$$

---

# 26. 極限二：過度抽象

若：

$$
\mathcal J
$$

太弱，

大量本質上不同的 token 被放進同一 fibre：

$$
|F_a|
\gg1.
$$

則 abstraction 可能失去預測或解釋能力。

因此需要平衡：

$$
\boxed{
\text{generalization}
\leftrightarrow
\text{fidelity}.
}
$$

---

# 27. Abstraction Utility

可把抽象效用粗略寫成：

$$
\boxed{
U_{\mathrm{abs}}
=
G_{\mathrm{cross-token}}
-
L_{\mathrm{relevant}}
}
$$

其中：

- $G_{\mathrm{cross-token}}$：跨 token 泛化收益；
- $L_{\mathrm{relevant}}$：被刪掉但其實重要的結構損失。

這不是自然常數，

而是研究設計介面。

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# 28. 實現不一定存在

目前 quotient model：

$$
\mathcal A_{\mathcal J}
=
\mathcal R/{\sim_{\mathcal J}}
$$

只包含 actual realized classes。

但抽象推理可以構造尚未找到 realized token 的候選結構。

因此定義：

$$
\boxed{
\mathcal A_{\mathrm{act}}
=
\operatorname{Im}(\alpha)
}
$$

與更廣：

$$
\boxed{
\mathcal A_{\mathrm{cand}}
\supseteq
\mathcal A_{\mathrm{act}}.
}
$$

---

# 29. Unrealized Abstract Candidate

若：

$$
a
\in
\mathcal A_{\mathrm{cand}}
\setminus
\mathcal A_{\mathrm{act}},
$$

則：

$$
\boxed{
\operatorname{Real}(a)
=
\varnothing.
}
$$

這只表示：

> 在當前 realized domain 與 realization criterion 下，沒有找到實現。

不能直接推出：

$$
a
$$

永遠不可實現。

也不能推出：

$$
a
$$

具有獨立柏拉圖式存在。

---

# 30. Actual / Possible / Impossible Realization

可進一步分：

$$
\mathcal A_{\mathrm{act}},
$$

$$
\mathcal A_{\mathrm{poss}},
$$

$$
\mathcal A_{\mathrm{forbid}},
$$

但：

$$
\mathcal A_{\mathrm{poss}}
$$

需要一套 realization constraints：

$$
K_R.
$$

例如：

$$
\boxed{
\operatorname{PossReal}_{K_R}(a)
\neq
\varnothing.
}
$$

問題立刻變成：

> $K_R$ 是物理定律、工程限制、邏輯一致性，還是其他 constraint？

這會在系列後半進入 meta-causal grounding。

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# 31. Realization 不是因果箭頭的第一義

本文使用：

$$
a
\rightsquigarrow
r
$$

時，

不表示：

$$
a
$$

在時間上先發生並造成 $r$。

它首先只表示：

$$
\boxed{
r
\text{ satisfies / instantiates / realizes }a.
}
$$

這避免把 structural realization 與 efficient causation 混為一談。

---

# 32. Causal Production 與 Structural Realization

應區分：

$$
\boxed{
C:
r_t
\rightarrow
r_{t+1}
}
$$

的 causal production，

與：

$$
\boxed{
\operatorname{Rep}(r,a)
}
$$

或：

$$
\boxed{
r\models a
}
$$

的 structural realization。

一個 physical process 可以因果地生產 token，

而 token 同時實現某抽象結構。

但：

$$
\boxed{
\text{realization relation}
\neq
\text{efficient causal relation}.
}
$$

---

# 33. 這對 Physicalism 很重要

Physicalist 可以說：

> 所有 causal production 都是 physical。

這與本文完全相容。

但若進一步說：

> 因此所有 abstract structure 都與某個 particular physical token identity-equivalent。

則 multiple realization 會造成問題。

成熟 physicalism 通常會使用：

- realization；
- constitution；
- supervenience；
- empirical-structure refinement；

而不是 naive token identity。

---

# 34. Empirical-Structure Physicalism 的啟示

近期 empirical-structure physicalism 提出：

一個較高階理論可以 supervene on 物理理論，

若後者的 empirical structure refine 前者。

這與本文的：

$$
\mathcal J
$$

與 refinement order 有結構相似性。

也就是 physicalist 完全可以回答：

$$
\boxed{
\text{higher-level abstraction is a coarse empirical partition of physical structure}.
}
$$

這是一個真正可比較的正式立場。

---

# 35. 但它仍不是 Token Inverse

即使高階理論完全 supervene on physics，

由高階 state：

$$
a
$$

也不一定能唯一恢復：

$$
r.
$$

因為：

$$
\boxed{
\text{supervenience}
\not\Rightarrow
\text{invertibility}.
}
$$

multiple realization 正是這個差異。

---

# 36. Abstraction as Quotient 與 Grounding

Abstraction 的商空間模型只處理：

$$
\boxed{
\text{identity / representation relation}.
}
$$

它本身不回答：

$$
\boxed{
\text{what grounds the abstract structure?}
}
$$

grounding 問題可以有多種答案：

- physical grounding；
- conceptual grounding；
- structural realism；
- abstraction principles；
- independent abstract ontology。

Paper 02 不預選。

---

# 37. Abstract Structure as Equivalence Class 不是唯一方案

某些 structuralist / abstractionist 會把：

$$
a
$$

直接理解成 equivalence class。

另一些會把：

$$
a
$$

理解成：

- pure structure；
- position in a structure；
- bundle of structural properties；
- primitive structural object。

本文只要求存在足夠的 equivalence criterion：

$$
\sim_{\mathcal J}
$$

讓 non-invertibility theorem 可以成立。

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# 38. Approximate Abstraction

物理世界中常只有近似等價。

令：

$$
r
\sim_{\mathcal J,\varepsilon}
r'
$$

若：

$$
d_\lambda
(
J_\lambda(r),
J_\lambda(r')
)
\le
\varepsilon_\lambda.
$$

此時 relation 未必具有嚴格 transitivity。

可以改用：

- tolerance relation；
- clustering；
- metric quotient；
- fuzzy equivalence。

所以 exact quotient 是理論基礎版，

不是所有實際科學 abstraction 的唯一形式。

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# 39. Approximate Realization Fibre

定義：

$$
\boxed{
F_{a,\varepsilon}
=
\{
r:
D_{\mathcal J}
(
\alpha(r),a
)
\le
\varepsilon
\}.
}
$$

只要：

$$
|F_{a,\varepsilon}|>1,
$$

token inverse 同樣不唯一。

因此 non-invertibility 對 approximate science 仍然存在。

---

# 40. Dynamic Abstraction

抽象標準會隨研究更新：

$$
\mathcal J_t
\rightarrow
\mathcal J_{t+1}.
$$

所以：

$$
\alpha_t
\rightarrow
\alpha_{t+1}.
$$

可能原本同一類的：

$$
r_1,r_2
$$

在新理論中被拆開：

$$
[r_1]_{\mathcal J_t}
=
[r_2]_{\mathcal J_t},
$$

但：

$$
[r_1]_{\mathcal J_{t+1}}
\neq
[r_2]_{\mathcal J_{t+1}}.
$$

這就是：

$$
\boxed{
\text{abstraction refinement through knowledge growth}.
}
$$

---

# 41. Dynamic Realization

同理：

$$
\operatorname{Real}_t(a)
$$

也會擴張。

新材料、新工程、新計算架構可以讓：

$$
\operatorname{Real}_t(a)
=
\varnothing
$$

變成：

$$
\operatorname{Real}_{t+1}(a)
\neq
\varnothing.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{unrealized}
\neq
\text{unrealizable}.
}
$$

---

# 42. 觀察—抽象—實現將形成循環

Paper 01 已有：

$$
\mathcal O_t.
$$

本文現在加入：

$$
\alpha_t
$$

與：

$$
\operatorname{Real}_t.
$$

下一篇將正式形成：

$$
\boxed{
\mathcal R_t
\xrightarrow{\mathcal O_t}
\mathcal Y_t
\xrightarrow{\alpha_t/\mathcal I_t}
\mathcal A_t
\xrightarrow{\text{design / realization}}
\mathcal R_{t+1}.
}
$$

所以 abstraction / realization non-invertibility 不是靜態哲學問題，

而是動態知識循環的來源之一。

---

# 43. 為什麼非互逆反而有用？

如果：

$$
\alpha
$$

完全可逆，

則 abstract level 可能只是另一種無損編碼。

真正通用性常來自：

$$
\boxed{
\text{many tokens}
\rightarrow
\text{one structure}.
}
$$

也就是：

$$
\boxed{
\text{abstraction deliberately destroys irrelevant token identity}.
}
$$

這種失去反而使：

- generalization；
- transfer；
- prediction；
- engineering reuse；

成為可能。

---

# 44. 再實現會產生新世界 token

抽象：

$$
a
$$

可從舊 token：

$$
r_{\mathrm{old}}
$$

抽出。

但 realization selector 可以得到：

$$
r_{\mathrm{new}}
\neq
r_{\mathrm{old}}.
$$

卻仍：

$$
\alpha(r_{\mathrm{new}})
=
\alpha(r_{\mathrm{old}})
=
a.
$$

所以：

$$
\boxed{
r_{\mathrm{old}}
\rightarrow
a
\rightarrow
r_{\mathrm{new}}
}
$$

不是 restoration。

它是：

$$
\boxed{
\text{structurally constrained regeneration}.
}
$$

---

# 45. 這就是工程學的核心形狀

工程設計經常是：

$$
\text{observed instances}
\rightarrow
\text{general principle}
\rightarrow
\text{new implementation}.
$$

例如：

$$
r_1,r_2,\ldots
\rightarrow
a
\rightarrow
r^\star.
$$

其中：

$$
r^\star
$$

可能從未在原始資料中存在。

所以 abstract structure 的實用性不在於複製原實在，

而在於：

$$
\boxed{
\text{constraining a new realization family}.
}
$$

---

# 46. Non-Invertibility 與 Generativity

這帶出一個重要現象：

$$
\boxed{
\text{loss of token information}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{gain of realization freedom}
}
$$

可以同時存在。

抽象化越忽略材料細節，

越可能允許多種新材料實現。

因此：

$$
\boxed{
\text{abstraction compresses backward identity while expanding forward design freedom}.
}
$$

這可能是整個系列最重要的母原則之一。

---

# 47. Abstraction–Realization Freedom Index

可以定義：

$$
\boxed{
\Phi_{\mathrm{real}}(a)
=
\log
\left|
\operatorname{Real}(a)
\right|
}
$$

在有限 realization family 時量化實現自由度。

若無限，需改用：

- entropy；
- measure；
- dimension；
- category size；
- complexity spectrum。

這不是本體大小，

而是：

$$
\boxed{
\text{realization multiplicity}.
}
$$

---

# 48. Backward Ambiguity

對：

$$
a=\alpha(r),
$$

定義：

$$
\boxed{
B_{\mathrm{back}}(a)
=
|\operatorname{Real}(a)|.
}
$$

 $B_{\mathrm{back}}$ 越大，

從 abstract state 反推 original token 越不唯一。

所以：

$$
\boxed{
\text{forward generality}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{backward identifiability}
}
$$

可能形成 trade-off。

---

# 49. 一個簡單定量命題

若有限 fibre：

$$
F_a
$$

中沒有額外 prior information，

且原 token 均等可能，

則僅從：

$$
a
$$

猜回原 token 的最高無偏成功率為：

$$
\boxed{
P_{\mathrm{recover}}
=
\frac{1}{|F_a|}.
}
$$

所以 multiple realization 不只造成哲學非唯一性，

也造成資訊論式 backward ambiguity。

---

# 50. 這不表示 abstraction「較高級」

本文拒絕：

$$
\boxed{
\mathcal A>\mathcal R
}
$$

這種未定義排序。

得到的只是：

$$
\boxed{
\mathcal A
\text{ 與 }
\mathcal R
\text{ 之間的兩方向操作具有不同信息與關係型態}.
}
$$

哪一個 domain 本體上更 fundamental，

仍是後續理論問題。

---

# 51. 物質世界是否能包含所有 abstraction？

Paper 02 不能回答：

$$
\mathcal A
\subseteq
\mathcal P?
$$

但它可以提供證明義務。

若有人主張：

$$
\mathcal A
\simeq
\mathcal P_A,
$$

至少必須說明：

1. abstract identity；
2. realization fibres；
3. unrealized candidates；
4. modal realizability；
5. multiple realization；
6. section dependence。

否則：

$$
\boxed{
\text{all abstract things are physical}
}
$$

仍只是口號級命題。

---

# 52. 反過來，抽象論也有證明義務

如果有人主張：

$$
\mathcal R
$$

只是：

$$
\mathcal A
$$

的 realization，

也要回答：

1. realization constraints 從何而來？
2. 為何這個 fibre 中是這個 token 被 actualized？
3. causal dynamics 怎麼產生？
4. material difference 如何被解釋？
5. token history 為何存在？

所以：

$$
\boxed{
\text{abstract-first ontology}
}
$$

也不能靠：

> 世界只是結構的投影。

直接完成。

---

# 53. 兩邊真正共享的問題

不管 physical-first 或 abstract-first，

都必須處理：

$$
\boxed{
\text{Why this realization?}
}
$$

也就是：

$$
a
\rightsquigarrow
r
$$

的 selection / generation problem。

這就是之後：

$$
\boxed{
\text{Meta-Causal Grounding Problem}
}
$$

的前身。

---

# 54. 三種可能的 realization explanation

對：

$$
a
\rightsquigarrow
r,
$$

至少有三類答案：

## R1 — Selection

$$
r
$$

從既有 fibre 中被某條件選出。

## R2 — Construction

有 physical process：

$$
C
$$

建立 $r$。

## R3 — Grounding / Necessitation

某更深結構：

$$
G
$$

使 $r$ 必須或容許實現 $a$。

三者不能混為同一個「湧現」。

---

# 55. 本篇對下一篇的接口

Paper 03 不再只畫：

$$
\mathcal R
\leftrightarrow
\mathcal A.
$$

而會研究：

$$
\boxed{
\mathcal R_t
\xrightarrow{\alpha_t}
\mathcal A_t
\xrightarrow{\Gamma_t}
\mathcal R_{t+1},
}
$$

其中：

$$
\Gamma_t
$$

不是 inverse，

而是 design / realization / intervention operator。

因此知識循環不是來回復原，

而是：

$$
\boxed{
\text{observe}
\rightarrow
\text{abstract}
\rightarrow
\text{generalize}
\rightarrow
\text{re-realize}
\rightarrow
\text{change the observable world}.
}
$$

---

# 56. 可證偽／可修正條件

## F1 — Token-Separating Universal Abstraction

若某 abstraction：

$$
\alpha^\star
$$

能同時保留全部 relevant generality 且對所有 token 單射，

則本文「抽象必伴隨 token ambiguity」只適用於非單射 abstraction。

## F2 — Unique Realization

若對某 domain：

$$
\forall a,
\quad
|\operatorname{Real}(a)|=1,
$$

則該 domain 的 realization 可以成為單值 inverse candidate。

本文不禁止這種特殊情況。

## F3 — Canonical Selection Principle

若存在由 abstract structure 本身唯一推出的 canonical section：

$$
s^\star(a),
$$

且無需額外 selection data，

則 realization ambiguity 會減少。

但仍需檢查：

$$
s^\star\circ\alpha
=
\operatorname{id}_{\mathcal R}
$$

是否成立。

## F4 — No Unrealized Abstract Candidates

若某 ontology 證明：

$$
\mathcal A_{\mathrm{cand}}
=
\mathcal A_{\mathrm{act}},
$$

則本文 actual / candidate split 在該 ontology 下塌縮。

---

# 57. 六條最終邊界

$$
\boxed{
\text{Abstraction}
\neq
\text{Lossless Encoding}.
}
$$

$$
\boxed{
\text{Realization}
\neq
\text{Inverse Abstraction}.
}
$$

$$
\boxed{
\text{Multiple Realization}
\Rightarrow
\text{No Unique Token Recovery}.
}
$$

$$
\boxed{
\text{Section}
\neq
\text{Inverse}.
}
$$

$$
\boxed{
\text{Abstract Definability}
\not\Rightarrow
\text{Actual Realization}.
}
$$

$$
\boxed{
\text{Non-Invertibility}
\not\Rightarrow
\text{Ontological Independence}.
}
$$

---

# 結論

實在到抽象與抽象到實在不是一組普通 inverse maps。

只要 abstraction 的工作是從不同 token 中保留共同不變量，

就自然得到：

$$
\mathcal A_{\mathcal J}
=
\mathcal R/{\sim_{\mathcal J}},
$$

以及：

$$
\alpha_{\mathcal J}(r)
=
[r]_{\mathcal J}.
$$

而 realization 最自然的形式不是：

$$
\rho(a)=r,
$$

而是：

$$
\boxed{
\operatorname{Real}_{\mathcal J}(a)
=
\alpha_{\mathcal J}^{-1}(a).
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\alpha_{\mathcal J}
[
\operatorname{Real}_{\mathcal J}(a)
]
=
\{a\},
}
$$

但：

$$
\boxed{
\operatorname{Real}_{\mathcal J}
(
\alpha_{\mathcal J}(r)
)
=
[r]_{\mathcal J}
}
$$

一般不是：

$$
\{r\}.
$$

這就是本文最核心的非互逆性。

若想得到單值 realization，

必須加入 section：

$$
s:
\mathcal A_{\mathcal J}
\rightarrow
\mathcal R.
$$

即使：

$$
\alpha_{\mathcal J}\circ s
=
\operatorname{id}_{\mathcal A_{\mathcal J}},
$$

一般仍有：

$$
s\circ\alpha_{\mathcal J}
\neq
\operatorname{id}_{\mathcal R}.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{structural recovery}
\neq
\text{token recovery}.
}
$$

而這個「缺失」並不只是缺陷。

它同時產生通用性：

$$
\boxed{
\text{many concrete tokens}
\rightarrow
\text{one reusable abstract structure}
\rightarrow
\text{many new concrete realizations}.
}
$$

也就是：

$$
\boxed{
\text{abstraction compresses backward identity while expanding forward realization freedom}.
}
$$

這正是下一篇「觀察—抽象—實現循環」真正的動力來源。

---

# 參考文獻

[1] Assadian, B. (2024). Mathematical structuralism and bundle theory. *Ratio*, 37, 123–133. DOI: 10.1111/rati.12397.

[2] Assadian, B. (2024). Linnebo on reference by abstraction. *Analytic Philosophy*. DOI: 10.1111/phib.12300.

[3] Fregean / Neo-Russellian abstraction literature: Neo-Russellian Abstractionism. *Erkenntnis* (2025). DOI: 10.1007/s10670-025-00970-4.

[4] Reck, E., & Price, M. (2025 edition). Structuralism in the Philosophy of Mathematics. *Stanford Encyclopedia of Philosophy*.

[5] Polger, T. W. (2007/2010). Realization and the metaphysics of mind. *Australasian Journal of Philosophy*, 85(2), 233–259.

[6] Polger, T. W. (2018). Physicalism, realization, and structure. *Studies in History and Philosophy of Science Part A*, 68, 31–36. DOI: 10.1016/j.shpsa.2017.11.006.

[7] Bickle, J. (2025 edition). Multiple Realizability. *Stanford Encyclopedia of Philosophy*.

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[9] McGrath, S. W., & Russin, J. (2024). *Multiple Realizability and the Rise of Deep Learning*. arXiv:2405.13231.

[10] deRosset, L. (2024). Abstraction and grounding. *Philosophy and Phenomenological Research*. DOI: 10.1111/phpr.13036.

[11] Linnebo, Ø., & Pettigrew, R. (2019). Two kinds of abstraction for structuralism. Related abstractionist structuralism literature.

[12] Neo.K. (2026). *實在域與抽象域的觀察非對稱*. Reality–Abstraction Asymmetry and Meta-Causal Grounding Series, Paper 01.

---

## 版本聲明

v0.1 已完成：

1. invariant-induced equivalence；
2. quotient abstraction；
3. realization fibre；
4. relation-valued realization；
5. Abstraction–Realization Non-Invertibility Theorem；
6. Token-Separating Abstraction criterion；
7. abstraction / encoding distinction；
8. section / inverse distinction；
9. multiple-realization corollary；
10. token-detail residual；
11. refinement order；
12. actual / candidate abstract-domain split；
13. unrealized abstract candidates；
14. causal-production / realization distinction；
15. approximate abstraction / fibre；
16. dynamic abstraction / realization；
17. abstraction utility與 realization freedom；
18. backward ambiguity；
19. four failure / revision conditions；
20. six final guardrails。

下一篇：

**Paper 03 — 觀察—抽象—實現循環：抽象規律如何重新設計觀察通道與擴張可接取實在。**