# 語義候選尋址、搜尋相位與當下適切性場：三域記憶中的精確恢復與動態召回

## Semantic Candidate Addressing, Search Phase, and the Present-Appropriateness Field: Exact Restoration and Dynamic Recall in Three-Domain Memory

**TDCD Series I / Paper 03 — v0.1**  
**Date:** 2026-08-15

## 摘要

三域上下文動力學（Three-Domain Context Dynamics, TDCD）將長程智能體記憶區分為工作域、投影域與典範域，並在 Paper 02 中進一步把上下文清理描述為治理問題。然而，只要系統仍以單一語義相似度、單一時間衰減或單一排序分數決定哪些記憶應進入現在，就仍會混淆三種不同問題：哪一筆記憶是同一個典範對象、哪些記憶在語義上值得成為候選，以及某個候選在當前任務、版本、分支、證據與持續性條件下是否真正適合進入工作域。

本文在重新對齊 EveMissLab Phase Canon v1.2 與 Identity-Phase Fiber Calculus（IPFC）後，提出一個五層記憶召回架構：Canonical Address、Semantic Candidate Address、Typed Search Phase、Present-Appropriateness Observable 與 Exact Expansion。本文刻意拒絕把 embedding、相似度分數或當下適切性分數本身稱為「相位」。依 Phase Canon，搜尋相位只在其被明確 typed、具有 identity criterion、context/reference/task base、可定義差異與更新，並且在聲稱動力學或 holonomy 時具備合法 transport 的條件下成立。對記憶檢索而言，其預設分類為 PH-6 搜尋／認識相位；若它描述的是記憶物件與當前 query/moment 物件之間的關係，則通常屬於 IF-3；若只是同一記憶物件在條件改變下的內部狀態，則可屬於 IF-1；只有建立封閉路徑與可組合 transport 後，才可進入 IF-2。

本文定義 canonical memory identity、exact restoration address、semantic candidate addressing、typed search-phase extractor，以及當下適切性場

$$
\Psi_\tau:\mathcal M\to\mathbb R\cup\{-\infty\}.
$$

其中相位提供 relational coordinates，而 $\Psi_\tau$ 是由身份、相位、持續性、版本、分支、來源與任務條件共同產生的治理 observable。本文證明：語義地址只有在 canonical identity 對其 fiber 為常數時才能唯一恢復身份；搜尋相位與適切性分數一般都不能替代典範身份；hard validity gate 可以阻止高語義相似度重新活化已失效記憶；只要最後一步由可驗證 canonical address 執行 exact expansion，前段候選搜尋可以是近似的，而返回的 authoritative object 仍可保持 byte-exact。

因此本文的核心結論是：

$$
\boxed{
\text{Search finds candidates; phase locates relations; governance admits; canonical address restores.}
}
$$

這使「記憶存在」、「記憶相似」、「記憶適合現在」與「記憶被精確恢復」四個命題正式分離。

## 關鍵詞

三域上下文動力學、語義尋址、搜尋相位、當下適切性、典範記憶、精確恢復、長程記憶、Agent Memory、PH-6、IPFC、Context Governance

---

# 1. 問題：Recall 不是單一操作

考慮長程記憶集合

$$
\mathcal M_t=\{m_1,m_2,\ldots,m_n\}.
$$

當新的 query 或任務狀態 $\tau$ 到來時，常見做法是建立一個查詢表示，計算語義相似度，再取 top- $k$：

$$
C_k(\tau)
=
\operatorname{TopK}_{m\in\mathcal M_t}
S_{\mathrm{sem}}(m,\tau).
$$

這個機制回答的是：

> 哪些記憶在某個表示空間中與現在的查詢較相近？

它沒有自動回答：

1. 這些候選是否仍是有效版本；
2. 是否屬於目前 branch；
3. 是否具有足夠 provenance；
4. 是否是同一個 canonical object 的不同投影；
5. 是否只是語義相似但任務角色相反；
6. 是否應進入工作域；
7. 若要使用，如何返回原始 authoritative bytes。

近期長程記憶研究也逐漸把這些問題分離。RaMem 指出壓縮後的記憶可能因 context collapse 而在內容上相關、卻不構成當前 query 的有效證據；APEX-MEM 使用 append-only temporal memory 與 query-time conflict resolution 保留完整演化史；Supersede 則把 stale fact activation 單獨識別為 memory-update gap；MemCon 進一步把 retrieve、consolidate 與 forget 當成 context-dependent control action，而非固定檢索規則。[1-4]

因此本文將 recall 拆成：

$$
\boxed{
\text{candidate retrieval}
\neq
\text{contextual qualification}
\neq
\text{active admission}
\neq
\text{canonical restoration}.
}
$$

---

# 2. Phase Canon 對本問題的約束

本文不是重新發明「phase」一詞，而是把 TDCD 接到現有 Phase Canon / IPFC 的 type discipline。

Phase Canon 的基本原則是：

$$
\boxed{
\text{No type jump without a map.}
}
$$

相位聲明必須至少給出：

$$
\mathrm{PhaseClaim}
=
(PH\text{-}k,IF\text{-}j,\mathfrak M,\mathsf E),
$$

其中 $PH$ 表示相位類型， $IF$ 表示 identity-fiber role， $\mathfrak M$ 為 phase module， $\mathsf E$ 為證據或可檢驗條件。

對記憶與搜尋問題，本文採用以下限制。

## 2.1 Embedding 不等於 phase

令

$$
E:\mathcal X\to\mathbb R^d
$$

為 embedding map。 $E(x)$ 可以提供語義座標，但只有座標本身不足以推出：

$$
E(x)=\Theta(x,c).
$$

若缺少明確的 identity criterion、comparison base、context、receiver/reference/task，以及相位差異或合法 transport，則 embedding 只是一個表示。

因此：

$$
\boxed{
\text{Embedding} \neq \text{Phase}.
}
$$

## 2.2 Similarity score 不等於 phase

令

$$
s(x,y)=\cos(E(x),E(y)).
$$

 $s$ 是 scalar observable。即使它源自兩個表示之間的關係，也不能反向推出完整 typed relational state。

因此：

$$
\boxed{
\text{Similarity score} \neq \text{Phase state}.
}
$$

## 2.3 $\Psi_\tau$ 不等於 phase

本文稍後定義的 $\Psi_\tau(m)$ 是治理 observable。它可以讀取相位資訊，但它本身是 task-dependent scalarization 或 decision quantity。

因此：

$$
\boxed{
\Psi_\tau \neq \Theta_{\mathrm{mem},T}.
}
$$

## 2.4 一次性 typed reranking 仍不自動取得 phase ontology

如果系統只有一組 feature vector：

$$
z(m,\tau)=(z_1,\ldots,z_r),
$$

再經模型輸出排序，而沒有相位 type、comparison base、更新律、transport 或可反駁的 phase-specific contribution，則最保守的名稱仍應是 typed relational state，而不是新的相位機制。

這一限制對避免「把所有 state 都重新命名成 phase」是必要的。

---

# 3. Canonical memory identity

令 $\mathcal X_M$ 表示記憶系統中所有可見表示，包括：

- 原始 turn；
- canonical document；
- chunk；
- summary；
- embedding record；
- graph node；
- projection entry；
- cached retrieval result。

這些表示不一定是不同記憶身份。

首先指定 memory identity criterion：

$$
\kappa_M.
$$

並定義 identity projection：

$$
q_{\kappa_M}:\mathcal X_M\twoheadrightarrow\mathcal O_M,
$$

其中 $\mathcal O_M$ 是 canonical memory object space。

對任意 canonical object $O\in\mathcal O_M$，其 identity fiber 為：

$$
F_O^{\kappa_M}
=
q_{\kappa_M}^{-1}(O).
$$

因此同一份 canonical 記憶可以具有多個 derivative representation：

$$
\{x_{raw},x_{summary},x_{embed},x_{graph},x_{projection}\}
\subseteq
F_O^{\kappa_M}.
$$

這一點直接阻止一個常見錯誤：把「summary node」、「embedding vector」與「原始記憶」當成三份彼此獨立而等權威的事實。

---

# 4. Canonical address 與 exact restoration

對每個可恢復 canonical object $O$，定義 canonical address：

$$
a_D:\mathcal O_M\to\mathcal A_D.
$$

典範域提供 restoration operator：

$$
R_D:\mathcal A_D\times\mathcal D\to\mathcal O_M.
$$

理想條件為：

$$
R_D(a_D(O),\mathcal D)=O.
$$

如果 canonical object 以 bytes 表示為 $b(O)$，並具有 digest $h(O)$，則可加入完整性條件：

$$
H(b(R_D(a_D(O),\mathcal D)))=h(O).
$$

本文把這稱為 **Exact Restoration Condition**。

它與 semantic retrieval accuracy 是不同量。

語義搜尋可以找錯 object；但若最後被選中的 canonical address 是正確的，restoration 仍可以 byte-exact。

反過來，搜尋找對語義片段但只能返回重新生成的 paraphrase，則它沒有滿足 exact restoration。

---

# 5. Semantic candidate address

投影域 $\mathcal P_t$ 可以建立語義表示：

$$
E_M:\mathcal O_M\to\mathcal Z_S.
$$

query 或當下 moment 的語義表示為：

$$
E_Q:\mathcal Q\to\mathcal Z_S.
$$

候選函數為：

$$
\operatorname{Cand}_S(\tau)
=
\operatorname{TopK}_{O\in\mathcal O_M}
S_S(E_M(O),E_Q(\tau)).
$$

這裡的 $\mathcal Z_S$ 是 semantic candidate space，而不是 canonical identity space。

因此我們刻意使用名稱：

$$
\boxed{
\text{Semantic Candidate Address}
}
$$

而不是 canonical address。

語義地址的作用是降低搜尋空間：

$$
\mathcal O_M
\longrightarrow
C_\tau
\subseteq
\mathcal O_M.
$$

它是 recall 的候選生成器。

---

# 6. 定理一：語義地址的身份可恢復條件

令

$$
E:\mathcal X_M\to\mathcal Z_S
$$

為語義表示，且

$$
q_{\kappa_M}:\mathcal X_M\to\mathcal O_M
$$

為 canonical identity projection。

## 定理 1：Semantic-Address Identity Factorization Theorem

存在函數

$$
R_S:\mathcal Z_S\to\mathcal O_M
$$

使得：

$$
q_{\kappa_M}=R_S\circ E
$$

若且唯若：

$$
E(x_1)=E(x_2)
\Rightarrow
q_{\kappa_M}(x_1)=q_{\kappa_M}(x_2).
$$

### 證明

這是 fiber factorization principle 的直接應用。

若 $q_{\kappa_M}=R_S\circ E$，則 $E(x_1)=E(x_2)$ 推出：

$$
q_{\kappa_M}(x_1)
=
R_S(E(x_1))
=
R_S(E(x_2))
=
q_{\kappa_M}(x_2).
$$

反之，若 canonical identity 在所有 $E$ -fiber 上為常數，則可對每個 $z\in E(\mathcal X_M)$ 定義：

$$
R_S(z)=q_{\kappa_M}(x)
$$

其中任取滿足 $E(x)=z$ 的 $x$。fiber-constancy 保證定義良好。

證畢。

### 推論

一般 embedding 不具有此保證。因此通常：

$$
\boxed{
\text{semantic coordinate does not uniquely determine canonical memory identity}.
}
$$

這也是 semantic address 必須最後解析回 canonical address 的理論理由。

---

# 7. Contextual moment

本文不把 $\tau$ 簡化為 wall-clock time。

定義當下 contextual moment：

$$
\tau
=
(\xi_\tau,c_\tau,b_\tau,r_\tau,T_\tau,s_\tau,e_\tau),
$$

其中：

- $\xi_\tau$：當前 query / goal；
- $c_\tau$：局部上下文；
- $b_\tau$：active branch；
- $r_\tau$：reference / comparison base；
- $T_\tau$：task；
- $s_\tau$：agent/runtime state；
- $e_\tau$：目前 evidence state。

因此兩個 clock time 很接近的 moment 仍可能在任務上相距很遠；兩個 clock time 相隔很久的 moment，也可能因相同研究目標而重新形成高度耦合。

這使：

$$
\tau
\neq
\text{timestamp only}.
$$

---

# 8. Memory search phase

對候選 memory object $O$ 與 contextual moment $\tau$，定義搜尋相位 extractor：

$$
\Theta_{\mathrm{mem},T}:
\mathcal O_M\times\mathcal C_\tau
\to
\Phi_{\mathrm{mem},T}.
$$

其中 $\mathcal C_\tau$ 保存 query、context、branch、reference、task、agent state 與 evidence state。

一個可用的 typed phase space 可以寫成：

$$
\Phi_{\mathrm{mem},T}
=
\Phi_{\mathrm{sem}}
\times
\Phi_{\mathrm{dep}}
\times
\Phi_{\mathrm{temp}}
\times
\Phi_{\mathrm{branch}}
\times
\Phi_{\mathrm{ver}}
\times
\Phi_{\mathrm{prov}}
\times
\Phi_{\mathrm{task}}
\times
\Phi_{\mathrm{unc}}.
$$

因此：

$$
\phi_\tau(O)
=
\Theta_{\mathrm{mem},T}(O,\tau)
$$

可以寫成：

$$
\phi_\tau(O)
=
(
\phi_{sem},
\phi_{dep},
\phi_{temp},
\phi_{branch},
\phi_{ver},
\phi_{prov},
\phi_{task},
\phi_{unc}
).
$$

這不是要求八個分量永遠固定。不同 module 可以增加、刪除或重新定義分量，但必須保留 type declaration 與 provenance。

---

# 9. PH / IF 分類

依 Phase Canon，本文不把 memory search phase 提升為 physical phase。

其預設 phase type 是：

$$
PH\text{-}6,
$$

也就是 epistemic / search phase。

IF role 依實際 module 而定。

## 9.1 Query-relative module

如果：

$$
\Theta(O,\tau)
$$

描述的是 memory object $O$ 與一個可區分的 query/moment object 之間的相對關係，則通常為：

$$
PH\text{-}6\times IF\text{-}3.
$$

## 9.2 Intra-memory contextual state

若同一 canonical memory identity 在不同 context 中具有不同有效角色，而 module 只追蹤該 identity fiber 內的狀態，則可為：

$$
PH\text{-}6\times IF\text{-}1.
$$

## 9.3 Path-dependent module

只有當存在可組合 transport：

$$
T^\Phi_{\tau_i\to\tau_j},
$$

並存在封閉 contextual path：

$$
\gamma:
\tau_0\to\tau_1\to\cdots\to\tau_n=\tau_0,
$$

才有資格討論：

$$
PH\text{-}6\times IF\text{-}2
$$

以及 search/semantic holonomy。

因此 ordinary retrieval 不應被描述成 holonomy。

---

# 10. Typed phase difference

對兩個候選 $O_i,O_j$，或同一候選在兩個 moment 的狀態，可以定義 typed phase difference：

$$
\Delta\Phi_T
=
(
\delta_{sem},
\delta_{dep},
\delta_{temp},
\delta_{branch},
\delta_{ver},
\delta_{prov},
\delta_{task},
\delta_{unc}
).
$$

Phase Canon / IPFC 的重要限制是：不要過早 scalarize。

因此一般情況下：

$$
\Delta\Phi_T
\notin
\mathbb R.
$$

如果某個下游 task 需要 scalar score，可以定義：

$$
D_T(O_i,O_j)
=
f_T(\Delta\Phi_T(O_i,O_j)).
$$

但：

$$
\boxed{
D_T\neq\Delta\Phi_T.
}
$$

這一分離使系統可以在不同任務中重用同一個 typed phase representation，而不必把所有關係永久壓成同一個權重和。

---

# 11. Persistence-conditioned time relation

Paper 01 已定義 persistence class：

$$
\tau_p(O)
\in
\{I,A,P,T\},
$$

其中分別對應 instantaneous、active、persistent、trajectory。

因此 temporal phase component 不能只使用：

$$
\exp(-\lambda\Delta t).
$$

更合理的是 class-conditioned temporal kernel：

$$
K_{temp}(O,\tau)
=
k_{\tau_p(O)}(\Delta t,\tau).
$$

例如 persistent method 與 long-term trajectory 可以具有比 instantaneous state 更慢的衰減，甚至在新任務重新耦合時上升。

所以：

$$
\boxed{
\text{recency} \neq \text{persistence} \neq \text{present appropriateness}.
}
$$

---

# 12. Hard validity gate

僅靠加權分數存在一個危險：如果 semantic similarity 足夠高，它可能蓋過版本失效、分支不合法或 provenance 不足。

因此本文引入 hard validity gate：

$$
\chi_\tau(O)
\in
\{0,1\}.
$$

可分解為：

$$
\chi_\tau(O)
=
\chi_{id}
\chi_{ver}
\chi_{branch}
\chi_{prov}
\chi_{access}.
$$

其中任何必要 gate 為零，都得到：

$$
\chi_\tau(O)=0.
$$

例如若 $O_{old}$ 已被 $O_{new}$ 在 active branch 上 supersede，且當前任務不是歷史比較，則：

$$
\chi_{ver}(O_{old})=0.
$$

這使 stale memory 不會僅因語義高度相似而重新進入現在。

---

# 13. 當下適切性場

現在才定義治理量：

$$
\Psi_\tau:
\mathcal O_M
\to
\mathbb R\cup\{-\infty\}.
$$

令：

$$
z_\tau(O)
=
(
\phi_\tau(O),
\tau_p(O),
\nu(O),
\ell(O),
\rho(O),
\eta(O)
),
$$

其中可分別包含 persistence、version state、lineage、reliability 與治理 metadata。

定義：

$$
\Psi_\tau(O)
=
\begin{cases}
G_\tau(z_\tau(O)), & \chi_\tau(O)=1,\\
-\infty, & \chi_\tau(O)=0.
\end{cases}
$$

這裡 $G_\tau$ 可以是 deterministic rule、learned reranker、contextual bandit、LLM judge 或 hybrid controller。

最重要的是：

$$
\boxed{
\Psi_\tau \text{ is an observable over phase and memory state, not the phase itself.}
}
$$

---

# 14. Shared present set

令 threshold 為：

$$
\theta_\tau.
$$

則當下適切記憶集合為：

$$
\mathcal E^{(\tau)}
=
\left\{
O\in\mathcal O_M:
\Psi_\tau(O)\geq\theta_\tau
\right\}.
$$

這個集合不是：

$$
\text{all stored memory},
$$

也不是：

$$
\text{top semantic matches}.
$$

它表示：

> 在當前 contextual moment 下，哪些記憶具有進一步進入 active context 的資格。

因此：

$$
\boxed{
\text{still in memory} \neq \text{still in the present}.
}
$$

---

# 15. 定理二：Hard-Gate Anti-Resurrection Theorem

假設 admission threshold 有限：

$$
\theta_\tau\in\mathbb R.
$$

若某候選 $O$ 滿足：

$$
\chi_\tau(O)=0,
$$

則：

$$
O\notin\mathcal E^{(\tau)}.
$$

### 證明

依定義：

$$
\chi_\tau(O)=0
\Rightarrow
\Psi_\tau(O)=-\infty.
$$

對所有有限 $\theta_\tau$：

$$
-\infty<\theta_\tau.
$$

因此：

$$
\Psi_\tau(O)<\theta_\tau,
$$

故 $O\notin\mathcal E^{(\tau)}$。證畢。

### 意義

此定理形式化一個非常實際的控制原則：

$$
\boxed{
\text{semantic similarity cannot resurrect an invalid memory across a hard gate.}
}
$$

這直接針對 stale-value、branch leakage 與 provenance contamination。

---

# 16. $\Psi_\tau$ 的非身份性

即使兩個 memory object 具有相同適切性分數：

$$
\Psi_\tau(O_1)=\Psi_\tau(O_2),
$$

一般也不能推出：

$$
O_1=O_2.
$$

同樣地，高分：

$$
\Psi_\tau(O)\gg\theta_\tau
$$

只表示它適合當前 moment，而不是它在本體上更真、更重要或更接近某種全域 identity。

因此：

$$
\boxed{
\text{appropriateness} \neq \text{identity} \neq \text{truth}.
}
$$

真值、來源可信度與任務適切性可以耦合，但必須保持 typed distinction。

---

# 17. 定理三：近似候選搜尋與精確恢復可分離

令候選生成器為：

$$
C_\tau=A(\tau,\mathcal P),
$$

其中 $A$ 可以是近似搜尋。

令 governor 最終選出：

$$
O^*\in C_\tau.
$$

假設 $O^*$ 帶有正確 canonical address $a_D(O^*)$，且 restoration/digest verification 成立：

$$
R_D(a_D(O^*),\mathcal D)=O^*.
$$

則最終返回物件的 byte fidelity 不依賴候選生成器是否為 exact nearest-neighbor search。

### 證明

候選生成器 $A$ 只決定 $O^*$ 是否出現在候選集合。當 $O^*$ 已被選定後，最終 object 由 $R_D$ 依 canonical address 取得，而非由 $A$ 重建。

因此 restoration fidelity 的充分條件位於 canonical resolution path，而不是 semantic approximation path。

故：

$$
\boxed{
\text{approximate discovery can compose with exact restoration}.
}
$$

但若 $A$ 漏掉正確 object，則 recall completeness 仍會失敗。故 exact restoration 不等於 perfect retrieval recall。

---

# 18. Candidate Recall 與 Canonical Expand

完整 pipeline 因而可以寫為：

$$
\xi_\tau
\xrightarrow{E_Q}
\operatorname{Cand}_S
\xrightarrow{\Theta_{\mathrm{mem},T}}
\Phi_{\mathrm{mem},T}
\xrightarrow{\chi_\tau}
\operatorname{ValidCand}_\tau
\xrightarrow{\Psi_\tau}
\mathcal E^{(\tau)}
\xrightarrow{a_D}
\mathcal A_D
\xrightarrow{R_D}
\mathcal W_{t+1}.
$$

用自然語言表示：

$$
\boxed{
\text{Query}
\to
\text{Semantic Candidates}
\to
\text{Typed Search Phase}
\to
\text{Validity Gate}
\to
\text{Appropriateness}
\to
\text{Canonical Address}
\to
\text{Exact Expansion}.
}
$$

這裡任何一層都不能偷偷取代另一層。

---

# 19. Reparameterization invariance

搜尋相位的座標表示不應被誤認為本體。

令：

$$
\eta:\Phi_{\mathrm{mem},T}\to\Phi'_{\mathrm{mem},T}
$$

為雙射 reparameterization。

若新的 governor 定義為：

$$
G'_\tau
=
G_\tau\circ\eta^{-1},
$$

則對任意 $O$：

$$
G'_\tau(\eta(\phi_\tau(O)))
=
G_\tau(\phi_\tau(O)).
$$

因此 ranking 與 admission decision 不變。

## 命題 4：Phase-Coordinate Reparameterization Invariance

若 phase coordinate transformation 為可逆且 governor 同步 transport，則：

$$
\mathcal E'^{(\tau)}
=
\mathcal E^{(\tau)}.
$$

這說明真正重要的是 phase relation 與其可操作結構，而不是某一組特定數值座標。

---

# 20. Task sufficiency 與 identity recoverability 必須分開

依 IPFC semantic phase theorem，若 task output $H_T$ 能完全由 phase 決定，則存在：

$$
\widehat H_T:\Phi\to\mathcal Y_T
$$

使：

$$
H_T
=
\widehat H_T\circ\Theta
$$

若且唯若 $H_T$ 在所有 phase fibers 上為常數。

但即使這成立，也不推出 canonical identity 可以由 phase 恢復。

因此可能存在：

$$
\text{phase sufficient for task}
$$

但：

$$
\text{phase insufficient for identity}.
$$

對 memory runtime，這尤其重要。

例如某兩份不同 canonical source 對當前任務給出完全相同答案，則它們在 task output 上可等價，但在 provenance、版本、authoritative source 上仍不能合併成同一 object。

---

# 21. Semantic search phase 的 transport

如果系統只處理單輪 query，可以停在 typed relational state。

若要真正研究 search phase dynamics，必須定義 moment transport：

$$
T^{\tau}_{i\to j}:\mathcal C_{\tau_i}\to\mathcal C_{\tau_j},
$$

以及 phase transport：

$$
T^\Phi_{i\to j}:\Phi_i\to\Phi_j.
$$

理想 commuting relation 為：

$$
\Theta_j(O,T^{\tau}_{i\to j}\tau_i)
\approx
T^\Phi_{i\to j}\Theta_i(O,\tau_i).
$$

偏差可定義為：

$$
\varepsilon_{\Phi}(O;i,j)
=
d_\Phi
\left(
\Theta_j(O,\tau_j),
T^\Phi_{i\to j}\Theta_i(O,\tau_i)
\right).
$$

這個 defect 可以用來測試 phase model 是否真的追蹤了 contextual evolution，而不是每次 query 都重新產生一個沒有跨時一致性的分數。

---

# 22. Holonomy gate

只有當存在封閉 contextual path：

$$
\gamma:
\tau_0\to\tau_1\to\cdots\to\tau_n=\tau_0,
$$

且 phase transports 可組合：

$$
T^\Phi_\gamma
=
T^\Phi_{n-1\to n}\circ\cdots\circ T^\Phi_{0\to1},
$$

才可以定義：

$$
\operatorname{Hol}^\Phi_\gamma.
$$

若 canonical memory identity 保持：

$$
q_{\kappa_M}(O_{after})
=
q_{\kappa_M}(O_{before}),
$$

但 relational/search phase 不返回原點：

$$
\operatorname{Hol}^\Phi_\gamma(\phi_0)
\neq
\phi_0,
$$

才有 search-phase holonomy candidate。

本文不宣稱 ordinary memory retrieval 已證明具有此現象。

這只是合法性 gate 與未來 benchmark 方向。

---

# 23. Version、branch 與 lineage 在 phase 外部保留

Paper 02 已定義 supersession relation：

$$
O_i\prec_v O_j.
$$

本文刻意不把 supersession 完全吸收到 phase vector 裡。

原因是：版本關係可能具有 canonical lineage 意義，而 phase 是 context-relative relational state。

因此：

$$
\boxed{
\text{version lineage} \neq \text{phase drift}.
}
$$

同樣地：

$$
\boxed{
\text{branch fork} \neq \text{phase bifurcation by default}.
}
$$

只有在 identity criterion 與 phase-transition criterion 被分別聲明後，才可以研究二者是否耦合。

這直接延續 IPFC Paper 03 對 phase boundary、identity boundary 與 realization boundary 的區分。

---

# 24. 三域中的配置

TDCD 三域為：

$$
\mathfrak M_t
=
(\mathcal W_t,\mathcal P_t,\mathcal D_t).
$$

本文建議其責任分配如下。

## 24.1 典範域 $\mathcal D_t$

保存：

- authoritative bytes；
- canonical identity；
- version / lineage history；
- provenance；
- stable restoration address；
- integrity digest。

## 24.2 投影域 $\mathcal P_t$

保存或快取：

- semantic embeddings；
- chunk index；
- graph edges；
- summary/projection；
- persistence class；
- branch metadata；
- version head；
- phase schema；
- cached $\phi_\tau$ 或可計算它的中間量；
- canonical pointers。

## 24.3 工作域 $\mathcal W_t$

只放入：

$$
O\in\mathcal E^{(\tau)}
$$

且已依 budget、dependency、conflict 與 governor policy 收斂後的內容。

因此：

$$
\boxed{
\mathcal P \text{ supports recall; }\mathcal D\text{ guarantees authority; }\mathcal W\text{ executes the present.}
}
$$

---

# 25. 與最新長程記憶研究的關係

本文不主張「context-aware retrieval」本身是新的。

RaMem 已明確指出 content relevance 不足以判定 retrieved memory 是否在當前 query 下構成有效證據，並透過 evidence anchoring、recall condition induction 與 validity-aware retrieval 處理 context collapse。[1]

APEX-MEM 使用 append-only storage 保存完整 temporal evolution，再於 query time 處理 conflicting/evolving information，與本文「canonical history 不因 active cleanup 被覆寫」的方向高度相容。[2]

Semantic XPath 顯示結構化 memory access 可以顯著優於 flat RAG，支持候選搜尋不應只有單一向量平面。[5]

MemCon 把 memory operations 視為 learned controlled process，支持 $\Psi_\tau$ 與 governor 應為 context-dependent，而非固定權重。[3]

Supersede 則顯示 memory budget 增大本身不能消除 stale activation，支持本文把 version validity 放進 hard gate，而不是僅作小幅排序懲罰。[4]

本文相對這些工作新增的理論主張，不是另一個特定 retrieval algorithm，而是以下分層：

$$
\boxed{
\text{identity/address}
\to
\text{candidate semantics}
\to
\text{typed search phase}
\to
\text{appropriateness observable}
\to
\text{exact restoration}.
}
$$

其目的是防止不同層級的「相似、相關、有效、真實、可恢復」被同一個 scalar score 吞掉。

---

# 26. Phase-specific benchmark gate

為避免把普通 typed reranker 重新命名成 phase system，本文採用 Phase Canon Audit 中的 ablation discipline。

至少比較：

$$
M_0
=
\text{lexical / recency baseline},
$$

$$
M_1
=
\text{embedding retrieval},
$$

$$
M_2
=
\text{typed non-phase reranker},
$$

$$
M_\phi
=
\text{typed search-phase model with explicit update/transport structure},
$$

$$
M_G
=
\text{full governor + canonical restoration}.
$$

若要聲稱 phase mechanics 對工程性能具有獨立貢獻，至少要求：

$$
\Delta S_\phi
=
S(M_\phi)-S(M_2)>0.
$$

若：

$$
\Delta S_\phi\approx0,
$$

則應保守描述為 typed relational reranking，而不是宣稱 phase mechanism 已被驗證。

---

# 27. Benchmark 指標

沿用 Paper 02，可量測：

## 27.1 Active Context Precision

$$
ACP
=
\frac{|\mathcal W_t\cap\mathcal N_t^*|}{|\mathcal W_t|}.
$$

## 27.2 Active Context Recall

$$
ACR
=
\frac{|\mathcal W_t\cap\mathcal N_t^*|}{|\mathcal N_t^*|}.
$$

## 27.3 Stale Activation Rate

$$
SAR
=
\frac{N_{stale-active}}{N_{versioned-active}}.
$$

## 27.4 Branch Leakage Rate

$$
BLR
=
\frac{N_{unjustified-cross-branch}}{N_{active}}.
$$

## 27.5 Restoration Fidelity

$$
RF
=
\Pr[H(x)=H(\hat x)].
$$

## 27.6 Candidate Recall

$$
CR@k
=
\Pr[O^*\in\operatorname{Cand}_S^k(\tau)].
$$

## 27.7 Validity Precision

$$
VP
=
\frac{N_{context-valid\ admitted}}{N_{admitted}}.
$$

## 27.8 Phase Gain

$$
PG
=
S(M_\phi)-S(M_2).
$$

## 27.9 Phase Transport Defect

$$
PTD
=
\mathbb E[\varepsilon_\Phi(O;i,j)].
$$

這使 phase claim 可以被實際削弱或推翻。

---

# 28. 一個最小實例

假設典範域有三條記憶：

$$
O_1=\text{old project deadline},
$$

$$
O_2=\text{new project deadline},
$$

$$
O_3=\text{another branch with similar project name}.
$$

且：

$$
O_1\prec_v O_2.
$$

query 要求目前 active branch 的 deadline。

embedding retrieval 可能得到：

$$
S_{sem}(O_1)>S_{sem}(O_2)>S_{sem}(O_3).
$$

如果只做 top- $1$，系統返回 stale fact。

在本文模型中：

$$
\chi_{ver}(O_1)=0,
$$

$$
\chi_{branch}(O_3)=0,
$$

因此：

$$
\Psi_\tau(O_1)=\Psi_\tau(O_3)=-\infty.
$$

只剩：

$$
O_2\in\mathcal E^{(\tau)}.
$$

最後由：

$$
a_D(O_2)
$$

返回 canonical source，而不是由 embedding record 或 LLM 自行重建 deadline。

這個例子表明：

$$
\boxed{
\text{search relevance can be wrong while governance remains correct, if the right candidate survives retrieval.}
}
$$

---

# 29. 與 ANLA 類 archive/context runtime 的對接

對具有 exact archive 與 projection/expansion 功能的實作，可以把本文層級直接對應為：

$$
\text{archive object}
\leftrightarrow
\mathcal D,
$$

$$
\text{projection / index}
\leftrightarrow
\mathcal P,
$$

$$
\text{current context}
\leftrightarrow
\mathcal W.
$$

對應操作為：

$$
\text{candidate address}
\to
\text{context qualification}
\to
\text{canonical pointer}
\to
\text{exact expand}.
$$

如果實作目前只有 lexical channel，則必須明確標記 lexical fallback，而不能把它寫成 semantic phase。

如果 semantic vector 已存在但沒有 Phase Canon 所要求的 typed relation / transport，則也只能稱 semantic channel。

因此 implementation maturity 可以分成：

$$
L_0=\text{lexical address},
$$

$$
L_1=\text{semantic candidate address},
$$

$$
L_2=\text{typed contextual qualification},
$$

$$
L_3=\text{search-phase dynamics},
$$

$$
L_4=\text{governed exact restoration}.
$$

這個分級避免工具表面上「有搜尋、有向量、有摘要」就被直接視為完整 autonomous memory runtime。

---

# 30. Safety 與 non-inference boundary

本文的 $\Psi_\tau$ 只表示：

$$
\text{appropriateness to surface into the present context}.
$$

它不能自動推出：

- 使用者在乎這筆記憶；
- AI 對該記憶具有感情；
- 某種第一人稱經驗存在；
- 高 phase compatibility 代表人際關係；
- semantic resonance 是物理共振；
- PH-6 可以無映射提升成 PH-0。

因此：

$$
\boxed{
\text{Recall} \neq \text{Care}.
}
$$

以及：

$$
\boxed{
PH\text{-}6 \not\Rightarrow PH\text{-}0.
}
$$

這延續 Phase Canon 的 first-person non-inference boundary 與 no-type-jump rule。

---

# 31. 本文的主要非等價關係

本文最重要的結構可以濃縮成以下非等價鏈：

$$
\boxed{
\text{same semantic coordinate}
\not\Rightarrow
\text{same canonical identity}
}
$$

$$
\boxed{
\text{semantic similarity}
\not\Rightarrow
\text{context validity}
}
$$

$$
\boxed{
\text{search phase}
\not\Rightarrow
\text{task sufficiency}
}
$$

$$
\boxed{
\text{task sufficiency}
\not\Rightarrow
\text{identity recoverability}
}
$$

$$
\boxed{
\Psi_\tau\text{ high}
\not\Rightarrow
\text{canonical truth}
}
$$

$$
\boxed{
\text{retrieved}
\not\Rightarrow
\text{admitted}
\not\Rightarrow
\text{expanded}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{approximate discovery}
\text{ can coexist with }
\text{exact canonical restoration}.
}
$$

---

# 32. TDCD 的完整召回方程

將本文與 Paper 01、Paper 02 合併，可以把一次記憶進入當下的過程寫成：

$$
\begin{aligned}
C_\tau
&=
\operatorname{Cand}_S(\tau;\mathcal P_t),\\
\phi_\tau(O)
&=
\Theta_{\mathrm{mem},T}(O,\tau),\\
\Psi_\tau(O)
&=
\chi_\tau(O)\,G_\tau(\phi_\tau(O),p(O),v(O),b(O),r(O)),\\
\mathcal E^{(\tau)}
&=
\{O\in C_\tau:\Psi_\tau(O)\geq\theta_\tau\},\\
\widetilde{\mathcal W}_t
&=
\mathcal W_t
\cup
R_D(a_D(\mathcal E^{(\tau)}),\mathcal D_t),\\
\mathcal W_{t+1}
&=
\mathcal C_t
\circ
\mathcal L_t
(\widetilde{\mathcal W}_t).
\end{aligned}
$$

其中若使用 hard gate，實作上應把：

$$
\chi_\tau(O)=0
$$

直接映射為：

$$
\Psi_\tau(O)=-\infty,
$$

而不是單純乘零，以避免 score range 與 threshold 定義歧義。

這條方程顯示：

- semantic retrieval 只負責 candidate generation；
- phase 描述 memory 與 present 的 typed relational position；
- governor 計算 admissibility；
- canonical database 負責 authoritative restoration；
- convergence 最後決定真正進入下一工作域的內容。

---

# 33. 結論

長程 AI 記憶不能只靠「更好的向量搜尋」或「更大的上下文」完成。

真正需要的是把四個不同命題分開：

$$
\boxed{
\text{What is it?}
}
$$

由 canonical identity 回答；

$$
\boxed{
\text{What resembles the present query?}
}
$$

由 semantic candidate addressing 回答；

$$
\boxed{
\text{Where does it stand relative to the present?}
}
$$

由 typed search phase 回答；

$$
\boxed{
\text{Should it enter the present now?}
}
$$

由 $\Psi_\tau$ 與 Context Governor 回答；

最後：

$$
\boxed{
\text{What were the authoritative bytes?}
}
$$

由 canonical address 與 exact expansion 回答。

因此 TDCD 的 recall 不再是一個單一 retrieval function，而是一條帶有身份、相位、治理與典範恢復的分層路徑。

本文最核心的結論為：

$$
\boxed{
\text{Phase provides relational coordinates; }\Psi_\tau\text{ decides present admissibility.}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{Semantic search may be approximate; canonical restoration should not be.}
}
$$

這使壓縮投影可以保持低成本、搜尋可以保持近似、工作上下文可以積極清理，同時不必犧牲完整歷史與 authoritative source。

因此三域架構真正形成閉環：

$$
\boxed{
\mathcal D
\xrightarrow{\text{compile}}
\mathcal P
\xrightarrow{\text{candidate + phase + govern}}
\mathcal W
\xrightarrow{\text{interaction}}
\mathcal D'.
}
$$

而下一步的問題也因此變得非常明確：如何讓 $\Psi_\tau$ 不只是人工定義的評分式，而成為一個可以學習、校準、比較、穩定化並接受 phase-specific ablation 的動態治理場。

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# 參考文獻

[1] Yang, W., Kan, B., Li, S., Li, L., Qin, Y., Li, J., Bogdan, P., & Thomason, J. (2026). *RaMem: Contextual Reinstatement for Long-term Agentic Memory*. arXiv:2606.22844.

[2] Banerjee, P., Moshtaghi, M., Subramanian, S., Misra, A., & Chadha, A. (2026). *APEX-MEM: Agentic Semi-Structured Memory with Temporal Reasoning for Long-Term Conversational AI*. Proceedings of ACL 2026, 16470--16489. DOI: 10.18653/v1/2026.acl-long.749.

[3] Jiang, E. H., Zhang, Z., Wu, Y., et al. (2026). *Memory as a Controlled Process: Learned Adaptive Memory Management for LLM Agents*. arXiv:2607.13591.

[4] Patel, V. (2026). *Supersede: Diagnosing and Training the Memory-Update Gap in LLM Agents*. arXiv:2606.27472.

[5] Liu, Y. S., Wu, R., Gallagher, L., Liang, J., Toroghi, A., & Sanner, S. (2026). *Semantic XPath: Structured Agentic Memory Access for Conversational AI*. Proceedings of ACL 2026 System Demonstrations, 286--296. DOI: 10.18653/v1/2026.acl-demo.28.

[6] Yu, Y., Yao, L., Xie, Y., Tan, Q., Feng, J., Li, Y., & Wu, L. (2026). *Agentic Memory: Learning Unified Long-Term and Short-Term Memory Management for Large Language Model Agents*. arXiv:2601.01885.

[7] EveMissLab. (2026). *EveMissLab Phase Canon v1.2 — IPFC Integration Edition*.

[8] EveMissLab. (2026). *Identity-Phase Fiber Calculus Paper 01: Identity Fibers and Phase Typing*.

[9] EveMissLab. (2026). *Identity-Phase Fiber Calculus Paper 02: Semantic Phase and Semantic Holonomy*.

[10] EveMissLab. (2026). *Identity-Phase Fiber Calculus Paper 03: Phase Transition and Identity Bifurcation*.

[11] EveMissLab. (2026). *Identity-Phase Fiber Calculus Paper 05: Phase Module Calculus*.

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# Canonical-source status

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