# 上下文治理算子與動態工作集理論：三域上下文動力學的控制層

## Context Governance Operator and Dynamic Working-Set Theory: The Control Layer of Three-Domain Context Dynamics

**Series I / Paper 02 — v0.1**

## 摘要

本文承接「三域上下文動力學」（Three-Domain Context Dynamics, TDCD），進一步研究其核心控制問題：在外部典範記憶可長期保存、投影記憶可低成本尋址的條件下，如何決定什麼資訊應在當下工作上下文中存在、退出、重新召回、被新版本覆寫、與其他分支隔離或重新連接。

本文將上下文治理從一般性的記憶檢索或壓縮問題中分離，定義治理算子

$$
\mathcal G_t:(\mathcal W_t,\mathcal P_t,\mathcal D_t,s_t)\rightarrow A_t,
$$

其中 $\mathcal W_t$ 為工作域， $\mathcal P_t$ 為投影域， $\mathcal D_t$ 為典範域， $s_t$ 為當前任務狀態， $A_t$ 為一組治理行為。本文定義上下文污染量、動態工作集、版本偏序、分支隔離、召回與驅逐遲滯、治理震盪與穩定條件，並提出安全驅逐、版本頭唯一性、非單調上下文效用與遲滯抑制震盪等命題。

本文的核心觀點是：長程智能體的問題不只是「記憶是否存在」，而是「當下工作集是否處於適合推理的狀態」。因此：

$$
\boxed{
\text{More accessible memory does not imply a better active context.}
}
$$

上下文治理的目的，是在保留典範可恢復性的同時，使工作域持續逼近當前任務的最小充分工作集。

## 關鍵詞

上下文治理、工作集、智能體記憶、記憶覆寫、分支隔離、上下文污染、召回、驅逐、遲滯、典範記憶、長程智能體、TDCD

---

# 1. 從記憶容量問題進入控制問題

在 TDCD Paper 01 中，系統記憶被區分為三個域：

$$
\mathfrak M_t=(\mathcal W_t,\mathcal P_t,\mathcal D_t),
$$

其中：

$$
\mathcal W_t=\text{Working Context Domain},
$$

$$
\mathcal P_t=\text{Projection / Compiled Domain},
$$

$$
\mathcal D_t=\text{Canonical External Domain}.
$$

這個區分解決了一個基本混淆：完整保存、低成本表示與當下推理並不是同一個問題。

若系統已經具有近乎無界的外部資料庫，仍不能推出：

$$
\text{the agent always has the right context}.
$$

同樣地，即使存在高品質壓縮：

$$
C(\mathcal D_t)=\mathcal P_t,
$$

也不能推出：

$$
\mathcal P_t=\mathcal W_t^*.
$$

因此本文研究的是一個控制問題：

$$
\boxed{
\text{How should the active context state evolve?}
}
$$

這一問題與經典 working-set 思想存在結構類比：Denning 的 working-set model 研究執行中的程式在某段時間真正需要哪些 pages，而非要求所有 pages 同時駐留主記憶體。[1] 然而，AI 上下文中的「工作集」不能只由 recency 決定，因為語義依賴、版本有效性、任務分支、持續性與來源可信度皆可能使很久以前的資訊重新成為當下核心。

因此本文把 working set 從「近期被引用的資訊集合」推廣為「在當前任務狀態下具有主動參與資格的資訊集合」。

---

# 2. 記憶物件與治理狀態

令一個可治理記憶物件為：

$$
m=(x,a,b,v,p,r,d,c),
$$

其中：

- $x$：內容或 canonical object；
- $a$：canonical restoration address；
- $b$：branch identifier；
- $v$：version state；
- $p$：persistence class；
- $r$：relations；
- $d$：dependency metadata；
- $c$：confidence / validation state。

系統在時間 $t$ 的治理狀態定義為：

$$
S_t=(\mathcal W_t,\mathcal P_t,\mathcal D_t,\mathcal R_t,q_t,B_t),
$$

其中 $\mathcal R_t$ 是目前已知的關係結構， $q_t$ 是當前任務或問題狀態， $B_t$ 是工作上下文預算。

治理算子作用為：

$$
\mathcal G_t(S_t)\rightarrow A_t,
$$

其中：

$$
A_t\subseteq
\{
\operatorname{retain},
\operatorname{admit},
\operatorname{evict},
\operatorname{recall},
\operatorname{compress},
\operatorname{merge},
\operatorname{supersede},
\operatorname{fork},
\operatorname{bridge},
\operatorname{flag},
\operatorname{archive}
\}.
$$

治理因而不是單一函數，而是根據狀態輸出操作集合的 policy。

---

# 3. 上下文效用不是單調函數

對任意工作上下文集合 $W$，定義其任務效用為：

$$
U_t(W)=U(W\mid q_t,S_t).
$$

直覺上，人們容易假定加入更多可用資訊不會使結果變差：

$$
W\subseteq W'
\Rightarrow
U_t(W')\geq U_t(W).
$$

本文拒絕這個假設。

在長上下文模型中，無關內容、位置效應與累積歷史可能造成 reasoning degradation；近期研究亦持續測量 context rot 與長程任務中因歷史累積造成的效能下降。[2][3]

因此一般情況下：

$$
\boxed{
W\subseteq W'
\not\Rightarrow
U_t(W')\geq U_t(W).
}
$$

### 命題 1：上下文效用非單調命題

存在 $W$ 與 $m$，使得：

$$
U_t(W\cup\{m\})<U_t(W).
$$

### 證明構想

令 $m$ 為與當前任務高度詞彙相似、但已被更新版本取代的舊資訊。加入 $m$ 後，模型可能在舊值與新值之間產生錯誤競爭，因此工作域增大而任務效用降低。

故上下文治理不能以：

$$
\max |W|
$$

作為目標，而必須尋找：

$$
\max U_t(W)
$$

subject to

$$
C(W)\leq B_t.
$$

---

# 4. 上下文污染量

令記憶物件 $m$ 在時間 $t$ 的污染向量為：

$$
\mathbf K_t(m)
=
(K_t^{dup},K_t^{stale},K_t^{conf},K_t^{branch},K_t^{irr},K_t^{prov}).
$$

分別表示：

- 重複污染；
- 過期污染；
- 衝突污染；
- 分支洩漏；
- 當下無關；
- provenance 不足。

定義標量污染量：

$$
K_t(m)
=
\sum_i \lambda_iK_t^{(i)}(m),
$$

其中：

$$
\lambda_i\geq0.
$$

對整個工作域：

$$
K_t(\mathcal W_t)
=
\sum_{m\in\mathcal W_t}K_t(m)
+
\sum_{i\neq j}\kappa_t(m_i,m_j),
$$

其中 $\kappa_t$ 表示 pairwise interference，例如兩個互斥版本同時出現在工作域。

因此 context noise 不是只有單一物件自身的問題，也可能由物件之間的關係產生。

---

# 5. 動態工作集

定義記憶物件 $m$ 的當下適格度為：

$$
\Psi_t(m)
=
\alpha R_t(m)
+\beta D_t(m)
+\gamma P_t(m)
+\delta V_t(m)
+\epsilon Q_t(m)
-\zeta K_t(m),
$$

其中：

- $R_t$：與當前任務的 relevance；
- $D_t$：dependency necessity；
- $P_t$：persistence value；
- $V_t$：version validity；
- $Q_t$：source / validation quality；
- $K_t$：污染量。

則理論有效工作集定義為：

$$
\mathcal W_t^*
=
\arg\max_{W\subseteq\mathcal M_t}
\left[
\sum_{m\in W}\Psi_t(m)
-\Omega_t(W)
\right]
$$

subject to

$$
C(W)\leq B_t
$$

以及 dependency closure：

$$
m\in W,\ d(m_j,m)=1
\Rightarrow
m_j\in W
$$

或存在足以替代 $m_j$ 的有效投影。

 $\Omega_t(W)$ 是集合級干擾成本。

這使工作集不再是單純 top- $k$ retrieval，而是一個帶有依賴、版本與衝突限制的 constrained selection problem。

---

# 6. Admission 與 Retention 必須分離

新資訊進入工作域與舊資訊繼續停留在工作域，是兩種不同決策。

定義 admission threshold：

$$
\theta_{in},
$$

以及 retention / eviction threshold：

$$
\theta_{out}.
$$

若單純使用同一閾值：

$$
\theta_{in}=\theta_{out},
$$

則當 $\Psi_t(m)$ 在臨界值附近震盪時，容易形成：

$$
\operatorname{admit}\rightarrow
\operatorname{evict}\rightarrow
\operatorname{recall}\rightarrow
\operatorname{evict}\rightarrow\cdots
$$

本文稱之為 **Context Thrashing**。

因此設定遲滯帶：

$$
\theta_{in}>\theta_{out}.
$$

Admission rule：

$$
m\notin\mathcal W_t,
\quad
\Psi_t(m)\geq\theta_{in}
\Rightarrow
\operatorname{admit}(m).
$$

Retention rule：

$$
m\in\mathcal W_t,
\quad
\Psi_t(m)>\theta_{out}
\Rightarrow
\operatorname{retain}(m).
$$

Eviction rule：

$$
m\in\mathcal W_t,
\quad
\Psi_t(m)\leq\theta_{out}
\Rightarrow
\operatorname{evict}(m).
$$

這使單次小幅 relevance 波動不會立即觸發狀態切換。

---

# 7. 上下文震盪與遲滯穩定性

定義時間區間 $[t_0,t_1]$ 內物件 $m$ 的上下文切換次數：

$$
N_{switch}(m;t_0,t_1).
$$

總震盪率：

$$
\Gamma_{t_0:t_1}
=
\frac{
\sum_mN_{switch}(m;t_0,t_1)
}{t_1-t_0}.
$$

### 命題 2：遲滯抑制局部震盪命題

若：

$$
\theta_{in}-\theta_{out}=h>0
$$

且單步適格度擾動滿足：

$$
|\Psi_{t+1}(m)-\Psi_t(m)|<h,
$$

則單一小擾動不能同時完成一次完整的 admit-evict 往返。

### 證明

若 $m$ 由外部進入工作域，必有：

$$
\Psi_t(m)\geq\theta_{in}.
$$

要在下一步被驅逐，必須：

$$
\Psi_{t+1}(m)\leq\theta_{out}.
$$

因此需要：

$$
\Psi_t(m)-\Psi_{t+1}(m)
\geq
\theta_{in}-\theta_{out}
=h,
$$

與假設矛盾。

故小於遲滯帶的單步擾動不足以形成完整往返。證畢。

這並不保證全域穩定，但提供一個最基本的 anti-thrashing 條件。

---

# 8. 安全驅逐與可恢復性

對任意：

$$
m\in\mathcal W_t,
$$

若存在：

$$
m\in\mathcal D_t
$$

以及 canonical address：

$$
a(m),
$$

且 restoration operator 滿足：

$$
R(a(m),\mathcal D_t)=m,
$$

則可以定義：

$$
\operatorname{evict}_{safe}(m).
$$

### 定理 1：安全驅逐定理

若 canonical domain 在 $[t,t']$ 期間保持完整，且地址 $a(m)$ 有效，則：

$$
m\notin\mathcal W_{t+1}
$$

不導致：

$$
m\notin\mathfrak M_{t+1}.
$$

並且存在未來時間 $t'>t$，使：

$$
\operatorname{recall}(a(m))=m.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{Active forgetting can coexist with lossless archival memory.}
}
$$

此定理就是 aggressive context cleaning 能安全成立的基礎。

---

# 9. 版本不是重複資料：Supersession Relation

長程記憶最危險的情況之一，是同一 predicate 在不同時間具有不同有效值。

例如：

$$
m_1=(k=v_1,t_1),
$$

$$
m_2=(k=v_2,t_2),
$$

且：

$$
t_2>t_1.
$$

若 $m_2$ 明確取代 $m_1$，定義：

$$
m_1\prec_v m_2.
$$

 $\prec_v$ 稱為 supersession relation。

近期 Supersede 工作顯示，bounded self-maintained memory 在事實更新情境中仍存在明顯的 stale-memory failure，而單純增加記憶容量不必然解決問題。[4] 因此 version freshness 應被視為獨立治理維度。

令某語義鍵 $k$ 的所有版本為：

$$
V(k)=\{m_1,\ldots,m_n\}.
$$

若 $\prec_v$ 在 $V(k)$ 上形成有向無環偏序，定義 active head：

$$
\operatorname{head}_t(k)
=
\max_{\prec_v}V_t(k).
$$

對一般事實型 context，治理器預設只允許 active head 直接參與工作域：

$$
\mathcal W_t\cap V(k)
=
\{\operatorname{head}_t(k)\},
$$

除非當前任務明確需要版本比較或歷史追蹤。

---

# 10. 版本頭唯一性命題

### 命題 3：版本頭唯一性

若 $V(k)$ 上的 supersession relation 是有限 DAG，且所有不可比較的極大元素均被標記為 unresolved conflict 或 branch-specific state，則在任一已解決 branch 中存在唯一有效 active head。

### 說明

若存在兩個不同極大元素：

$$
m_i\neq m_j,
$$

且二者不可比較，系統不能任意把「較新時間戳」當作唯一真值，而應進入：

$$
\operatorname{conflict}(m_i,m_j)
$$

或：

$$
b(m_i)\neq b(m_j).
$$

因此 uniqueness 不是資料天然具有，而是由「偏序 + branch/conflict resolution」共同產生。

這避免系統把真正存在的分歧錯誤壓縮成單一結論。

---

# 11. Supersede 不等於 Delete

若：

$$
m_1\prec_v m_2,
$$

治理行為應是：

$$
\operatorname{supersede}(m_1,m_2),
$$

而不是：

$$
\operatorname{delete}(m_1).
$$

因為舊版本仍可能具有：

- provenance value；
- historical value；
- debugging value；
- causal reconstruction value；
- branch recovery value。

因此：

$$
\boxed{
\text{Superseded from active context}
\neq
\text{erased from canonical history}.
}
$$

在三域模型中，典型狀態轉換為：

$$
m_1:\mathcal W\rightarrow\mathcal P/\mathcal D,
$$

$$
m_2:\mathcal D\rightarrow\mathcal P\rightarrow\mathcal W.
$$

---

# 12. 分支隔離

對每個 memory object 定義 branch label：

$$
b(m)\in\mathcal B.
$$

當前任務 branch 為：

$$
b_t^*.
$$

最簡單的 branch admission penalty 可寫成：

$$
K_t^{branch}(m)
=
\begin{cases}
0,&b(m)=b_t^*,\\
\lambda_b,&b(m)\neq b_t^*\text{ and no bridge exists},\\
\lambda_b(1-\rho_{bridge}),&\text{valid bridge exists}.
\end{cases}
$$

其中：

$$
0\leq\rho_{bridge}\leq1.
$$

橋接物件 $g$ 必須記錄：

$$
g=(b_i,b_j,r,scope,provenance).
$$

亦即不能因為兩個分支詞彙相似，就自動融合。

---

# 13. 分支污染與橋接原則

### 命題 4：無橋接跨分支加入可以降低工作域效用

存在 branches $b_1,b_2$ 及：

$$
m_1\in b_1,
\quad
m_2\in b_2,
$$

使得在任務屬於 $b_1$ 時：

$$
U_t(W\cup\{m_2\})<U_t(W).
$$

因此跨 branch retrieval 需要比同 branch retrieval 更高的 admission evidence。

但 branch isolation 不能退化為完全封閉：若存在 dependency、method reuse 或明確 bridge，則：

$$
b(m)\neq b_t^*
$$

仍可能有：

$$
\Psi_t(m)\geq\theta_{in}.
$$

故理論上應實施的是：

$$
\boxed{
\text{Isolation by default, connection by evidence.}
}
$$

而不是永久分割。

---

# 14. Conflict 與 Supersession 必須分開

兩個互斥資訊：

$$
m_i\perp m_j
$$

可能有至少三種語義：

1. $m_i\prec_v m_j$：舊版本被新版本取代；
2. $b(m_i)\neq b(m_j)$：不同 branch 各自有效；
3. unresolved contradiction：尚不能判定哪一個成立。

因此 conflict classifier：

$$
\chi(m_i,m_j)
\in
\{
\operatorname{supersession},
\operatorname{branch},
\operatorname{unresolved}
\}.
$$

如果系統把三者全部視為 duplication，壓縮器就可能刪除必要資訊；若全部視為平等共存，又會污染工作域。

所以治理發生在 compression 之前與之後，而不是 compression 的附帶功能。

---

# 15. Recall 不等於 Search

令外部記憶中候選集合為：

$$
\mathcal C_t(q_t).
$$

搜尋只回答：

$$
\operatorname{match}(m,q_t).
$$

召回治理則必須回答：

$$
\operatorname{admissible}(m\mid S_t).
$$

因此召回函數應寫成：

$$
\operatorname{Recall}_t(q_t)
=
\left\{
m\in\mathcal C_t(q_t):
\Psi_t(m)\geq\theta_{in}
\right\}.
$$

這意味：

$$
\boxed{
\text{Retrieved}
\neq
\text{Admitted}.
}
$$

retriever 可以找到十個高度相關物件，governor 仍可能只允許其中兩個進入 $\mathcal W_t$。

---

# 16. 缺失成本：清理也可能過度

治理不能只有污染成本，還必須考慮「該存在卻不在工作域」的缺失成本。

定義：

$$
M_t(\mathcal W_t)
=
\sum_{m\in\mathcal N_t^*\setminus\mathcal W_t}
\omega_t(m),
$$

其中 $\mathcal N_t^*$ 為當前任務真正需要的記憶集合。

因此治理目標不能只最小化：

$$
K_t(\mathcal W_t).
$$

否則最乾淨的上下文將退化為空集合。

更完整的目標是：

$$
J_t(\mathcal W_t)
=
K_t(\mathcal W_t)
+\alpha M_t(\mathcal W_t)
+\beta C_t(\mathcal W_t)
+\gamma T_t,
$$

其中：

- $K_t$：污染成本；
- $M_t$：必要資訊缺失成本；
- $C_t$：token / latency / compute cost；
- $T_t$：狀態切換與重取成本。

治理器目標：

$$
\boxed{
\min_{\mathcal W_t}J_t(\mathcal W_t).
}
$$

---

# 17. Context Governor 的動態方程

令：

$$
F_t
=
\mathcal C_t\circ\mathcal L_t\circ\mathcal E_t\circ\mathcal G_t,
$$

則：

$$
\mathfrak M_{t+1}=F_t(\mathfrak M_t,q_t).
$$

如果任務在一段期間內近似穩定：

$$
q_{t+1}\approx q_t,
$$

我們希望工作域收斂到近似固定點：

$$
\mathcal W_{t+1}\approx\mathcal W_t.
$$

理想情況：

$$
\mathcal W^*=F(\mathcal W^*).
$$

這裡的固定點不是「永遠不變」，而是在任務狀態未顯著改變時，不應無原因持續清理與重新召回同一批資訊。

---

# 18. 治理穩定性

定義上下文距離：

$$
d_W(\mathcal W_t,\mathcal W_{t+1}),
$$

可以由 weighted symmetric difference 表示：

$$
d_W(A,B)
=
\sum_{m\in A\triangle B}\omega(m).
$$

若任務變化量：

$$
d_q(q_t,q_{t+1})\rightarrow0,
$$

而：

$$
d_W(\mathcal W_t,\mathcal W_{t+1})
$$

長期仍維持高值，則系統可能處於治理震盪。

定義局部穩定條件：對任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使：

$$
d_q(q_t,q_{t+1})<\delta
$$

時有：

$$
d_W(\mathcal W_t,\mathcal W_{t+1})<\varepsilon
$$

在排除外部 canonical update 的條件下。

這提供未來 benchmark 一個比單純 recall accuracy 更重要的量：**工作上下文是否在穩定任務下不必要地持續抖動。**

---

# 19. Context Thrashing 與經典 Working Set 的差異

Denning 的 working-set 理論用 locality 管理 page residency 並研究 thrashing。[1][5]

本文借用的只是結構：

$$
\text{有限高成本工作空間}
\leftrightarrow
\text{較大外部空間}.
$$

但 AI context thrashing 額外包含：

- semantic recall thrashing；
- branch switching；
- version reactivation；
- summary expansion / recompression；
- tool-output reloading；
- conflicting memory oscillation。

因此 AI 工作集不能只定義為最近使用窗口：

$$
\mathcal W_t\neq
\{m:\operatorname{recent}(m,t)\geq\tau\}.
$$

它是任務條件化、版本條件化、依賴條件化的動態集合。

---

# 20. Governance Policy

治理器可抽象為 policy：

$$
\pi_G(A_t\mid S_t).
$$

它可以由：

- deterministic rules；
- learned policy；
- contextual bandit；
- reinforcement learning；
- LLM judgment；
- hybrid controller

實作。

近期 MemCon 已將 retrieve、plan injection、consolidate 與 forget 等操作建模為 context-dependent control policy，顯示這個問題可以從固定 heuristic 推進為 learned control。[6]

本文與此類工作並不衝突。TDCD 的目的不是指定唯一的 policy learner，而是定義 policy 必須治理的狀態結構與安全條件。

換言之：

$$
\boxed{
\text{TDCD specifies what must be governed;}
}
$$

$$
\boxed{
\text{a learned controller may decide how to govern it.}
}
$$

---

# 21. 治理安全不變量

為避免 autonomous governor 在清理時破壞長期記憶，提出以下 invariants。

## Invariant A：Canonical Preservation

若物件尚未被明確授權永久刪除：

$$
m\in\mathcal D_t
\Rightarrow
m\in\mathcal D_{t+1}
$$

或存在版本化 successor 能恢復其歷史狀態。

## Invariant B：Address Preservation

若投影層提及 canonical object：

$$
p(m)\in\mathcal P_t,
$$

則必須存在：

$$
a(m).
$$

## Invariant C：Supersession Traceability

若：

$$
m_i\prec_v m_j,
$$

則 canonical history 必須可回答：

$$
\operatorname{why}(m_i\rightarrow m_j).
$$

## Invariant D：Branch Provenance

跨 branch 進入工作域的物件應保留來源：

$$
b(m),
$$

不可在 merge 後失去其原始 scope。

## Invariant E：Reversible Active Eviction

在正常清理模式中：

$$
\operatorname{evict}
$$

不得等價於：

$$
\operatorname{destroy}.
$$

---

# 22. MCP 在治理架構中的位置

MCP 2026-07-28 將 protocol core 改為 stateless request/response，並明確允許需要持久狀態的應用透過顯式 handle 自行管理跨呼叫狀態。[7]

因此 TDCD 的治理狀態不應寄生在 transport session 中。

更適合的結構是：

$$
\boxed{
\text{Agent / Context Governor}
\leftrightarrow
\text{MCP Bus}
\leftrightarrow
\text{Memory Services / Databases}.
}
$$

例如：

$$
\text{Governor}
\rightarrow
\operatorname{recall}(memory\_handle),
$$

$$
\text{Governor}
\rightarrow
\operatorname{expand}(canonical\_address),
$$

$$
\text{Governor}
\rightarrow
\operatorname{store}(snapshot\_handle).
$$

MCP 負責能力暴露與傳輸； $\mathcal G$ 負責狀態判斷。

---

# 23. 可觀測量與 Benchmark

若 TDCD 只能提出抽象概念而沒有量測方式，就無法成為可驗證理論。

因此提出第一組治理指標。

## 23.1 Active Context Precision

$$
ACP
=
\frac{|\mathcal W_t\cap\mathcal N_t^*|}{|\mathcal W_t|}.
$$

衡量目前上下文有多少內容真正需要。

## 23.2 Active Context Recall

$$
ACR
=
\frac{|\mathcal W_t\cap\mathcal N_t^*|}{|\mathcal N_t^*|}.
$$

衡量必要資訊有多少已在工作域。

## 23.3 Stale Activation Rate

$$
SAR
=
\frac{N_{stale-active}}{N_{versioned-active}}.
$$

衡量已被 supersede 的資訊錯誤進入 active context 的比例。

## 23.4 Branch Leakage Rate

$$
BLR
=
\frac{N_{unjustified-cross-branch}}{N_{active}}.
$$

## 23.5 Restoration Fidelity

若原始 bytes 為 $x$，恢復結果為 $\hat x$：

$$
RF
=
\Pr[H(x)=H(\hat x)].
$$

理想 canonical restoration：

$$
RF=1.
$$

## 23.6 Context Thrashing Rate

$$
CTR
=
\frac{N_{admit}+N_{evict}+N_{recall}}{T}.
$$

需與任務狀態變化量共同解讀。

## 23.7 Governance Cost

$$
GC
=
C_{retrieval}
+C_{compression}
+C_{LLM-judgment}
+C_{transfer}
+C_{latency}.
$$

最終系統不能以節省 prompt tokens 為名，產生更高的隱藏治理成本。

---

# 24. Governance Frontier

上下文治理存在至少四個互相競爭的目標：

$$
\mathbf O_t
=(
\text{task utility},
\text{fidelity},
\text{cost},
\text{stability}
).
$$

一般不存在單一設定同時最大化全部維度。

例如 aggressive eviction 可以降低 token cost，但可能提高 recall latency；保留大量版本可以提高 auditability，卻降低 active context precision。

因此合理系統追求的是 Pareto frontier：

$$
\mathcal F_G
=
\operatorname{Pareto}
(U,RF,-GC,-CTR).
$$

這也意味不同任務應具有不同 governor profile，而不是一組通用固定閾值。

---

# 25. 最小治理循環

本文最小可執行治理循環如下：

$$
\boxed{
\text{Observe}
\rightarrow
\text{Score}
\rightarrow
\text{Admit/Evict}
\rightarrow
\text{Resolve Version}
\rightarrow
\text{Check Branch}
\rightarrow
\text{Execute}
\rightarrow
\text{Archive}
\rightarrow
\text{Re-evaluate}.
}
$$

以三域表示：

$$
\mathcal D_t
\xrightarrow{\Pi}
\mathcal P_t
\xrightarrow{\mathcal G}
\mathcal W_t
\xrightarrow{\text{interaction}}
\Delta_t
\xrightarrow{\text{canonicalize}}
\mathcal D_{t+1}.
$$

再由：

$$
\mathcal D_{t+1}
\rightarrow
\mathcal P_{t+1}
\rightarrow
\mathcal W_{t+1}
$$

形成閉環。

---

# 26. 本文的主要理論結果

本文得到以下結論。

第一：

$$
\boxed{
\text{Context utility is generally non-monotonic in context size.}
}
$$

因此「能塞更多」不等價於「應塞更多」。

第二：

$$
\boxed{
\text{Eviction from }\mathcal W
\neq
\text{deletion from }\mathcal D.
}
$$

只要 canonical restoration 成立，工作域可以積極清理。

第三：

$$
\boxed{
\text{Version management is a partial-order problem, not a deduplication problem.}
}
$$

第四：

$$
\boxed{
\text{Branch isolation should be default; cross-branch linking requires evidence.}
}
$$

第五：

$$
\boxed{
\theta_{in}>\theta_{out}
}
$$

提供一個簡單但重要的 anti-thrashing mechanism。

第六：

$$
\boxed{
\text{Retrieval produces candidates; governance produces active context.}
}
$$

---

# 27. 結論

長期記憶系統真正困難的地方，不只是如何儲存更多資訊，也不是如何把更多歷史壓縮進有限 token window。

真正的問題是：

$$
\boxed{
\text{What belongs in the present?}
}
$$

本文因此把 TDCD 的核心控制層形式化為 Context Governor，並把工作域視為一個持續變化的 semantic working set。

完整系統不是：

$$
\text{Memory}
\rightarrow
\text{Search}
\rightarrow
\text{Prompt}.
$$

而是：

$$
\boxed{
\text{Canonical Memory}
\rightarrow
\text{Projection}
\rightarrow
\text{Governance}
\rightarrow
\text{Working Set}
\rightarrow
\text{Execution}
\rightarrow
\text{Canonical Update}.
}
$$

其最核心的治理原則可以濃縮為：

$$
\boxed{
\text{記憶的安全保存，使上下文可以勇敢地清理；}
}
$$

$$
\boxed{
\text{上下文的持續清理，使長期記憶真正變得可用。}
}
$$

因此，對長程 AI 而言，理想狀態不是永遠記住所有事情，而是：

$$
\boxed{
\text{完整地保存過去，選擇性地形成現在，必要時精確地重新展開。}
}
$$

---

# 參考文獻

[1] Denning, P. J. (1968). *The Working Set Model for Program Behavior*. Communications of the ACM, 11(5), 323–333. DOI: 10.1145/363095.363141.

[2] *Positional Failures in Long-Context LLMs: A Blind Spot in Reasoning Benchmarks*. arXiv:2605.23170, 2026.

[3] *Diagnosing and Mitigating Context Rot in Long-horizon Search*. arXiv:2606.29718, 2026.

[4] Patel, V. (2026). *Supersede: Diagnosing and Training the Memory-Update Gap in LLM Agents*. arXiv:2606.27472.

[5] Denning, P. J. (1968). *Thrashing: Its Causes and Prevention*. AFIPS Fall Joint Computer Conference.

[6] Jiang, E. H., Zhang, Z., Wu, Y., et al. (2026). *Memory as a Controlled Process: Learned Adaptive Memory Management for LLM Agents*. arXiv:2607.13591.

[7] Model Context Protocol Core Maintainers. (2026). *The 2026-07-28 Specification*.