# 現在不是一個點：歷史壓縮後的可作用域與可達域

**The Present Is Not a Point: Historically Conditioned Actionable and Reachable Domains**

**Tri-Temporal Cognitive Dynamics — 三生認知耦合動力學系列**  
**TCD-02 / Foundational Paper II**

作者：Neo.K（許筌崴）  
協作形式化：Aletheia  
機構：一言諾科技有限公司（EveMissLab）  
日期：2026-08-17  
版本：v0.1  
狀態：TCD foundational paper / present-domain formalization

---

## Canonical Non-Identity Statement

TCD-01 建立：

$$
\boxed{
\text{Past}
\neq
\text{Memory}
\neq
\text{Current Snapshot}.
}
$$

本文進一步建立：

$$
\boxed{
\text{Present}
\neq
\text{Snapshot Point}.
}
$$

更精確地：

$$
\boxed{
\text{Current Observation}
\neq
\text{Current Full State}
\neq
\text{Present Actionable Domain}
\neq
\text{Present Reachable Domain}.
}
$$

本文不主張：

- 所有系統的現在都必須用高維集合表示；
- 任何 action theoretically imaginable 都是當前可作用選項；
- reachable 等於 desirable；
- reachable 等於 safe；
- safe 等於 authorized；
- empowerment 等於自由、權利或福祉；
- 物理 reachability、制度可達性與認知可達性是同一形式對象；
- 「現在不是點」否定 classical state-space modeling；
- 本文已完成 Future Base Space；
- 本文涉及任何物理逆因果。

---

# 摘要

TCD-01 將 Past 從單純 memory record 升級為 task-relative historical choice lineage，並正式建立：

$$
\boxed{
\mathcal B_t^-.
}
$$

其核心思想是：一個智能體的現在不只繼承「發生過什麼」，還可能繼承歷史所形成的能力、依賴、權限、失去的選項、可恢復性與歷史可見未來空間。

本文進一步處理第二個時間底座：

$$
\boxed{
\mathcal B_t^0.
}
$$

傳統狀態模型常把「現在」表示成：

$$
X_t
$$

或更完整的：

$$
Z_t.
$$

這對大量 prediction / control task 完全合理。本文不否定這種做法，而是指出：對具有行動、規劃、權限、資源、成本與路徑依賴的智能體，若研究問題是：

> **此刻真正能做什麼？從這裡真正能抵達什麼？哪些路徑仍可維持、退出、恢復或分叉？**

則單一 snapshot state 即使是充分的 dynamics state，也未必是最適合的 agent-level cognition object。

因此本文把「現在」分解成至少四層：

$$
\boxed{
\begin{aligned}
X_t &: \text{Observed Present},\\
Z_t &: \text{Latent / Full Present State},\\
\mathcal A_t^{eff} &: \text{Effective Actionable Set},\\
\mathcal R_{t:H}^{eff} &: \text{Effective Reachable Domain}.
\end{aligned}
}
$$

並將 Present Base Space 定義為：

$$
\boxed{
\mathcal B_t^{0,A;(H,\kappa)}
=
\mathfrak P_0
\left(
X_t,
\mathcal B_t^{-,A},
K_t^A,
Cap_t^A,
Res_t^A,
Perm_t^A,
Cost_t,
Risk_t,
Env_t,
H,
\kappa
\right),
}
$$

其中：

- $X_t$：當前 observation；
- $\mathcal B_t^{-,A}$：TCD-01 的 Past Choice Base Space；
- $K_t^A$：當前知識／representation；
- $Cap_t^A$：能力集合；
- $Res_t^A$：資源；
- $Perm_t^A$：權限／制度可行性；
- $Cost_t$：時間、能量、金錢、計算等成本；
- $Risk_t$：安全、失敗與不可逆風險；
- $Env_t$：外部環境與其他 actor；
- $H$：reachability horizon；
- $\kappa$：可行性／安全／任務 contract。

本文提出最小有效 action predicate：

$$
\boxed{
\operatorname{EffAct}_t^A(a)
=
Know_t^A(a)
\land
Can_t^A(a)
\land
Afford_t^A(a)
\land
Authorize_t^A(a)
\land
Admissible_\kappa(a)
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\mathcal A_t^{eff,A}
=
\{
a:
\operatorname{EffAct}_t^A(a)=1
\}.
}
$$

一個 action 即使物理可做，若 agent 不知道、不會做、負擔不起、沒有權限或安全 contract 禁止，便不應自動被算作 agent 的「當前有效行動」。

這使本文正式建立：

$$
\boxed{
\text{Possible}
\neq
\text{Known}
\neq
\text{Executable}
\neq
\text{Affordable}
\neq
\text{Authorized}
\neq
\text{Effective}.
}
$$

接著，給定 system dynamics：

$$
Z_{\tau+1}
=
F(
Z_\tau,
a_\tau,
\xi_\tau
),
$$

本文定義 horizon $H$ 下的 effective reachable domain：

$$
\boxed{
\mathcal R_{t:H}^{eff,A}
=
\left\{
z_H:
\exists
(a_t,\ldots,a_{H-1}),
\;
a_\tau\in\mathcal A_\tau^{eff,A},
\;
z_H
\text{ is reached under }\kappa
\right\}.
}
$$

由於未來可作用集合會隨 action、資源、權限、依賴與風險而改變，本文強調：

$$
\boxed{
\mathcal B_t^0
}
$$

不是靜態 menu，而是一個 **locally actionable, path-conditioned domain**。

外部控制理論中的 Hamilton–Jacobi reachability 已長期把 reachable set 定義成「從某些 states 出發，在控制與擾動條件下可被帶入目標區域的狀態集合」；viability-kernel 方法則研究能保持系統安全／可行的最大狀態集合。強化學習中的 incremental autonomous exploration 也直接研究從 reference state 出發，在給定步數／成本尺度下哪些 states 是 incrementally reachable。Empowerment 則把 current action 對 future state distribution 的影響程度作為 agent control 的資訊量；2024 年的 assistive-agent 研究進一步以 preserving / increasing human influence over future outcomes 作為 assistance criterion。這些外部工作不證明 TCD，但支持一個有限結論：

$$
\boxed{
\text{agent-level present can be functionally characterized by what remains controllable and reachable from now}.
}
$$

本文最後提出 **Present Domain Principle**：

> **一個智能體的「現在」若被用來描述其決策與未來能力，則不應只問它此刻位於哪個 state；還應問它目前有效擁有哪些 actions、哪些 transitions 可承擔、哪些路徑受權限與風險允許，以及在指定 horizon 下仍能抵達哪些 future regions。**

下一篇 TCD-03 將研究：

# **Future as a Generated Base Space**
## **未來不是一張已存在的地圖：未來選擇底空間的生成**

**關鍵詞：** Present Base Space、Actionable Domain、Reachability、Viability、Empowerment、Historical Conditioning、Capability、Permission、Cost、Tri-Temporal Cognitive Dynamics、UCPNP

---

# 1. 為什麼現在不能只寫成 $X_t$？

若研究的是：

> 當前溫度是多少？

那麼：

$$
X_t
$$

當然足夠。

若研究的是：

> 一個 agent 現在真正還能做什麼？

就不一定。

因為兩個 agent 可以：

$$
X_t^A
=
X_t^B
$$

但：

$$
Cap_t^A
\neq
Cap_t^B.
$$

所以：

$$
\mathcal A_t^{eff,A}
\neq
\mathcal A_t^{eff,B}.
$$

---

# 2. Present Observation

定義：

$$
\boxed{
X_t
=
\mathcal O(
Z_t
).
}
$$

它是 observer 得到的 present observation。

它可以是：

- image；
- sensor state；
- database row；
- system metrics；
- body state；
- textual context；
- financial snapshot。

---

# 3. Full / Latent Present State

若存在更完整 system state：

$$
\boxed{
Z_t,
}
$$

則：

$$
X_t
=
\mathcal O(Z_t).
$$

HSV 已經提醒：

$$
\boxed{
SameObservation
\neq
SameFullState.
}
$$

本文接受這一點。

---

# 4. 但 Full State 也不自動等於 Agent Present

即使我們知道：

$$
Z_t
$$

全部物理／系統資訊，

仍可能不知道：

> agent 此刻真正可以採取哪些有效 actions？

因為還需要：

- knowledge；
- capability；
- resource；
- permission；
- cost；
- risk；
- contract。

所以：

$$
\boxed{
Z_t
\neq
\mathcal B_t^0.
}
$$

---

# 5. Present Actionability

本文把：

$$
\boxed{
\mathcal A_t^{eff,A}
}
$$

視為 Present 的第一個核心投影。

它回答：

> 此刻哪些 action 對 agent $A$ 真的是 live actions？

---

# 6. Nominal Action Space

系統 interface 可能宣告：

$$
\boxed{
\mathcal A_t^{nom}.
}
$$

例如：

- API list；
- robot motor commands；
- menu options；
- legal procedures；
- game actions。

---

# 7. Nominal 不等於 Effective

$$
\boxed{
\mathcal A_t^{eff,A}
\subseteq?
\mathcal A_t^{nom}.
}
$$

一般不能假設 equality。

---

# 8. Why an Available Button May Not Be a Real Option

某按鈕存在：

$$
a\in\mathcal A_t^{nom},
$$

但 agent：

- 不知道它；
- 不理解；
- 權限不足；
- 執行成本過高；
- 一按就造成 unacceptable failure；
- 依賴 missing resource。

則：

$$
a
\notin
\mathcal A_t^{eff,A}.
$$

---

# 9. Effective Action Predicate

定義：

$$
\boxed{
\operatorname{EffAct}_t^A(a)
=
K_t(a)
\land
C_t(a)
\land
R_t(a)
\land
P_t(a)
\land
S_t^\kappa(a).
}
$$

其中：

- $K_t(a)$：agent 知道／能表示 action；
- $C_t(a)$：agent capability 足以執行；
- $R_t(a)$：resource / affordability 足夠；
- $P_t(a)$：permission / authority 允許；
- $S_t^\kappa(a)$：安全／任務 contract 允許。

---

# 10. 這是一個可替換 Predicate

不同 domain：

$$
\operatorname{EffAct}
$$

可以增加：

- timing；
- social feasibility；
- physical reach；
- reversibility；
- confidence；
- tool availability。

本文不宣稱五項已完備。

---

# 11. Effective Action Set

$$
\boxed{
\mathcal A_t^{eff,A}
=
\{
a\in\mathcal A_t^{nom}:
\operatorname{EffAct}_t^A(a)=1
\}.
}
$$

---

# 12. Actionability 是 Agent-Relative

同一 system state：

$$
Z_t
$$

對：

$$
A
$$

和：

$$
B
$$

可以有：

$$
\boxed{
\mathcal A_t^{eff,A}
\neq
\mathcal A_t^{eff,B}.
}
$$

---

# 13. Capability Difference

若：

$$
Cap_t^A
\supset
Cap_t^B,
$$

可能：

$$
|\mathcal A_t^{eff,A}|
>
|\mathcal A_t^{eff,B}|.
$$

但不保證。

因為更多 capability 也可能被 permission / risk 限制。

---

# 14. Permission Difference

同樣能力：

$$
Cap_t^A
=
Cap_t^B,
$$

但：

$$
Perm_t^A
\neq
Perm_t^B,
$$

可造成：

$$
\mathcal A_t^{eff,A}
\neq
\mathcal A_t^{eff,B}.
$$

這直接承接 UCPNP：

$$
\boxed{
Capability
\neq
Authority.
}
$$

---

# 15. Resource Difference

同樣 know-how：

$$
K_t^A
=
K_t^B,
$$

但：

$$
Res_t^A
\gg
Res_t^B,
$$

可造成不同現在。

所以：

$$
\boxed{
\text{same knowledge}
\neq
\text{same actionable present}.
}
$$

---

# 16. Historical Conditioning

TCD-01 建立：

$$
\boxed{
\mathcal B_t^-.
}
$$

現在：

$$
Cap_t,
Res_t,
Perm_t,
D_t,
K_t
$$

都可能是：

$$
\mathcal B_t^-
$$

的歷史沉積結果。

因此：

$$
\boxed{
\mathcal B_t^-
\rightarrow
\mathcal B_t^0.
}
$$

這是 TCD 第一條正式 temporal coupling edge。

---

# 17. 這個箭頭不等於 Determinism

$$
\mathcal B_t^-
\rightarrow
\mathcal B_t^0
$$

表示過去參與構造現在。

不表示：

$$
\boxed{
Past
\Rightarrow
UniquePresent.
}
$$

因為可能還有：

- stochasticity；
- external shocks；
- new information；
- other agents；
- exogenous intervention。

---

# 18. Present Actionable Domain

本文將：

$$
\boxed{
\mathcal D_t^{act,A}
}
$$

定義為：

> 當前可由 agent 直接作用的 state–action–resource subdomain。

可以表示：

$$
\boxed{
\mathcal D_t^{act,A}
=
(
Z_t,
\mathcal A_t^{eff,A},
Res_t^A,
Perm_t^A,
Risk_t,
Cost_t
).
}
$$

---

# 19. Actionable Domain 不等於 Reachable Domain

Actionability：

> 現在能做什麼？

Reachability：

> 經多步後能到哪裡？

所以：

$$
\boxed{
\mathcal D_t^{act}
\neq
\mathcal R_{t:H}.
}
$$

---

# 20. One-Step Reachability

給 dynamics：

$$
Z_{t+1}
=
F(
Z_t,a_t,\xi_t
).
$$

一階可達域：

$$
\boxed{
\mathcal R_{t:t+1}^{A}
=
\{
Z_{t+1}:
a_t\in\mathcal A_t^{eff,A}
\}.
}
$$

在 stochastic system 中可改成 distribution / support。

---

# 21. Multi-Step Reachability

到 horizon：

$$
H>t,
$$

定義：

$$
\boxed{
\mathcal R_{t:H}^{eff,A}
=
\left\{
Z_H:
\exists
a_{t:H-1},
\;
a_\tau\in\mathcal A_\tau^{eff,A},
\;
Z_H
=
F_{t:H}
(
Z_t,a_{t:H-1},\xi
)
\right\}.
}
$$

---

# 22. Horizon 很重要

同一現在：

$$
\mathcal R_{t:t+1}
$$

可能很小。

但：

$$
\mathcal R_{t:t+1000}
$$

很大。

所以：

$$
\boxed{
Reachability
=
Reachability(H).
}
$$

---

# 23. Time-Bounded Reachability

如果資源／時間 budget：

$$
B_T,
$$

則：

$$
\boxed{
\mathcal R_{t:H}^{B_T}
}
$$

只包含 deadline 內可達 states。

---

# 24. Cost-Bounded Reachability

定義 path：

$$
\pi
=
(
a_t,\ldots,a_{H-1}
).
$$

其 cost：

$$
C(\pi).
$$

則：

$$
\boxed{
\mathcal R_{t:H}^{B_C}
=
\{
z:
\exists\pi\to z,
\quad
C(\pi)\le B_C
\}.
}
$$

---

# 25. Reachable 不等於 Affordable

如果：

$$
z
$$

物理可達，

但：

$$
\min_{\pi\to z}C(\pi)\gg B_C,
$$

對 agent：

$$
z
$$

不是 effective reachable state。

---

# 26. Risk-Bounded Reachability

令：

$$
Risk(\pi)
$$

表示 failure / harm risk。

要求：

$$
Risk(\pi)\le\theta_R.
$$

則：

$$
\boxed{
\mathcal R_{t:H}^{safe,A}
}
$$

只保留 risk-admissible paths。

---

# 27. Reachability 與 Viability

控制理論的 viability kernel 通常關心：

> 哪些 states 存在 admissible controls，使系統可持續留在 constraint set？

本文借用其結構直覺，

但不直接等同。

---

# 28. Present Viability Domain

對 constraint set：

$$
K,
$$

定義概念性：

$$
\boxed{
\mathcal V_t^A(K)
=
\{
z:
\exists\pi
\text{ s.t. future trajectory remains in }K
\}.
}
$$

---

# 29. Reachable 但不可 Viable

一個 state：

$$
z
$$

可能可以短暫到達，

但到達後無法安全維持。

所以：

$$
\boxed{
Reachable
\neq
Viable.
}
$$

---

# 30. Viable 但未必 Desirable

同樣：

$$
\boxed{
Viable
\neq
Desirable.
}
$$

這是 descriptive / normative 分離。

---

# 31. Hamilton–Jacobi Reachability 的外部校準

Hamilton–Jacobi reachability 研究：

> 在 continuous dynamics、control 與 disturbance 下，哪些 states 可以／必然進入 target set。

它正式展示：

$$
\boxed{
\text{current state}
\rightarrow
\text{reachable set}
}
$$

可以成為嚴格控制對象。

TCD 不把其數學直接複製到 cognition，

只是借用：

$$
\boxed{
\text{set-valued present consequences}.
}
$$

---

# 32. Reachability Depends on Disturbance

若環境 disturbance：

$$
\xi_t
$$

不同，

reachable domain 會變。

因此：

$$
\boxed{
\mathcal R
=
\mathcal R(
Dynamics,
Control,
Disturbance,
Horizon
).
}
$$

---

# 33. Present 不是 Agent 單方面決定

其他 agent：

$$
B_1,\ldots,B_n
$$

的 action 也會改變：

$$
\mathcal R_{t:H}^{A}.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{present domain}
}
$$

可以是 game-relative。

---

# 34. Multi-Agent Reachability

概念性：

$$
\boxed{
\mathcal R_{t:H}^{A\mid\Pi_{-A}}
}
$$

表示：

> 在其他 agents policy family $\Pi_{-A}$ 下，A 的 reachable domain。

---

# 35. Present Domain 可以帶 uncertainty

如果我們不知道 dynamics：

$$
F,
$$

則：

$$
\mathcal R
$$

只能估：

$$
\boxed{
\widehat{\mathcal R}.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{estimated reachability}
\neq
\text{true reachability}.
}
$$

---

# 36. Incremental Reachability 的 RL 校準

Tarbouriech 等人的 incremental autonomous exploration 研究：

> 從 reference state $s_0$ 出發，在 expected $L$ steps 內逐步發現 incrementally reachable states，並學習抵達它們的 goal-conditioned policies。

這提供一個乾淨例子：

$$
\boxed{
\text{present controllability}
}
$$

可以被定義成：

> 哪些 states 在指定步數／成本尺度內可被可靠抵達。

---

# 37. Reachable State Count 仍然不等於 Present Quality

agent 可達：

$$
10^6
$$

個 states，

但全部：

- 相似；
- 低價值；
- 無退出；
- unsafe。

所以：

$$
\boxed{
|\mathcal R|
\not\Rightarrow
\text{high-quality present}.
}
$$

---

# 38. Present Domain Geometry

本文暫提出：

$$
\boxed{
\mathbf G_0
=
(
V,
Conn,
Cost,
Rev,
Fork,
Safe,
Auth,
Rec
).
}
$$

其中：

- $V$：effective volume；
- $Conn$：connectivity；
- $Cost$：transition burden；
- $Rev$：reversibility；
- $Fork$：branchability；
- $Safe$：safe reachability；
- $Auth$：authorized reachability；
- $Rec$：recoverability。

---

# 39. Effective Volume

離散情況可寫：

$$
\boxed{
V_t^{eff}
=
\sum_{z\in\mathcal R_{t:H}^{eff}}
w(z).
}
$$

但：

$$
V
$$

不是完整 present quality。

---

# 40. Connectivity

若 reachable states 彼此難以轉換，

domain 可能高度破碎。

可定義：

$$
\boxed{
Conn_t
=
\frac{
|\operatorname{ReachablePairs}|
}{
|V|(|V|-1)
}.
}
$$

這沿用 Choice Substrate 的連通性思想。

---

# 41. Transition Burden

定義：

$$
\boxed{
C_{trans}(z_i,z_j)
=
\min_{\pi:i\to j}
C(\pi).
}
$$

如果：

$$
C_{trans}\rightarrow\infty,
$$

兩個 nominal options 實際上近乎隔離。

---

# 42. Reversibility

對 transition：

$$
z_i
\rightarrow z_j,
$$

定義：

$$
\boxed{
Rev(z_i,z_j)
=
\mathbb I[
z_i
\in
\mathcal R_{j:H'}
].
}
$$

或使用連續 score。

---

# 43. Irreversible Action

如果：

$$
z_i
\notin
\mathcal R_{j:H'},
$$

則 action 造成：

$$
\boxed{
\text{local irreversibility}.
}
$$

---

# 44. Present Includes Exit Capacity

一個現在：

> 有很多 options

但沒有：

$$
\boxed{
\text{exit}.
}
$$

可能是一個 trap-rich domain。

---

# 45. Exit Set

定義：

$$
\boxed{
\mathcal E_t^A
\subseteq
\mathcal A_t^{eff,A}
}
$$

為可離開當前 commitment / subsystem 的 actions。

---

# 46. Exit Depth

若需要：

$$
k
$$

步才退出，

定義：

$$
\boxed{
D_{exit}=k.
}
$$

或 cost-weighted version。

---

# 47. Forkability

一個 present domain 的真正開放性不只看：

$$
|\mathcal A_t|.
$$

還要看：

> 不同 actions 是否真的帶到不同 future regions？

---

# 48. Forking Power

概念定義：

$$
\boxed{
F_t^A(H)
=
N_{\mathrm{distinct}}
\left(
\{
\mathcal R_{t:H}(a)
:
a\in\mathcal A_t^{eff,A}
\}
\right).
}
$$

---

# 49. 這開始接近 Empowerment

Empowerment 是信息論 intrinsic-control measure。

其核心之一是：

> current actions 對 future states 的影響有多大。

---

# 50. Empowerment

典型形式近似：

$$
\boxed{
\mathcal E_t
=
\max_{p(a)}
I(
A_t;
S_{t+\Delta}
\mid
S_t
).
}
$$

它不是單純 counting reachable states，

而是量化 action 對 future outcome distribution 的 distinguishable influence。

---

# 51. Empowerment 的 TCD 對照

TCD 可把 empowerment 當：

$$
\boxed{
\text{Present-to-Future Control Capacity}
}
$$

的一個外部近鄰量。

但：

$$
\boxed{
Empowerment
\neq
\mathcal B_t^0.
}
$$

---

# 52. 為什麼不等於？

因為 TCD Present 還包含：

- knowledge；
- permissions；
- cost；
- safety；
- social constraints；
- history；
- recoverability。

而 standard empowerment 通常不直接承擔所有這些。

---

# 53. Assistance via Empowerment 的外部校準

2024 年 NeurIPS 的 assistive-agent work 使用 empowerment 思路：

> assistant 不一定先精確推斷 human reward，而可以幫助 human 保留／提高 action 對 future outcomes 的 influence。

這跟 TCD Present 的一個核心直覺相鄰：

$$
\boxed{
\text{good assistance can preserve future actionability}.
}
$$

---

# 54. 但 Empowerment 不是 Normative Freedom

本文明確保留：

$$
\boxed{
Empowerment
\neq
Freedom
\neq
Rights
\neq
Welfare.
}
$$

一個 actor 可以有很高 environment influence，

但這不代表其行為合法或道德。

---

# 55. Present Authorization Domain

定義：

$$
\boxed{
\mathcal R_{t:H}^{auth,A}
}
$$

只包含：

> 透過 authorized action sequence 可抵達的 states。

---

# 56. Unauthorized Reachability

agent 技術上能 hack：

$$
z
$$

不表示：

$$
z
$$

屬於有效 present domain。

所以：

$$
\boxed{
TechnicallyReachable
\neq
AuthorizedReachable.
}
$$

---

# 57. Safe Domain

同樣：

$$
\boxed{
\mathcal R_{t:H}^{safe,A}
}
$$

只保留安全 contract 內 reachable regions。

---

# 58. Effective Present Reachability

因此本文推薦：

$$
\boxed{
\mathcal R_{t:H}^{eff,A}
=
\mathcal R^{physical}
\cap
\mathcal R^{capability}
\cap
\mathcal R^{resource}
\cap
\mathcal R^{authorization}
\cap
\mathcal R^{safety}.
}
$$

這是 conceptual factorization。

不宣稱每個 domain 都能精確集合交集化。

---

# 59. Knowledge-Visible Reachability

如果 agent 根本不知道某 path：

$$
\pi,
$$

則：

$$
z
$$

可能物理 reachable，

但 cognitively inaccessible。

定義：

$$
\boxed{
\mathcal R_{t:H}^{vis,A}.
}
$$

---

# 60. Reachable but Unseen

$$
z
\in
\mathcal R^{physical}
$$

但：

$$
z
\notin
\mathcal R^{vis,A}.
$$

這是：

$$
\boxed{
\text{present blind region}.
}
$$

---

# 61. Blind Region

定義：

$$
\boxed{
G_t^{reach,A}
=
\mathcal R_{t:H}^{eff,true}
\setminus
\widehat{\mathcal R}_{t:H}^{vis,A}.
}
$$

這是 TCD-01 Historical Visibility Gap 的 present 對偶。

---

# 62. Present Omission

如果一個高價值 path 沒有進入：

$$
\mathcal A_t^{eff,A}
$$

是：

$$
\boxed{
\text{action-space omission}.
}
$$

不等於：

$$
\boxed{
\text{selection error}.
}
$$

---

# 63. 再次接回 Search ≠ Generation

若 path 已在：

$$
\mathcal A_t^{vis},
$$

但 agent 選錯：

$$
\text{navigation failure}.
$$

若 path 根本沒有被表示：

$$
\text{generation / representation failure}.
$$

所以 TCD 與 UCPNP Series II 正式接軌。

---

# 64. Present Domain Can Expand Without Physical Movement

agent 即使：

$$
X_t
$$

幾乎不變，

若獲得：

- new knowledge；
- new tool；
- new permission；
- new funding；
- new representation；

則：

$$
\mathcal B_t^0
$$

可以瞬間擴張。

---

# 65. Example: New Tool

如果新增 tool：

$$
m,
$$

使：

$$
Cap_t'
=
Cap_t
\cup
\{m\},
$$

則：

$$
\boxed{
\mathcal R_{t:H}'\supseteq\mathcal R_{t:H}.
}
$$

可能成立。

---

# 66. Example: Permission Revocation

物理 state 不變，

但：

$$
Perm_t
\rightarrow
Perm_t',
$$

可能：

$$
\boxed{
\mathcal B_t^{0'}
\subset
\mathcal B_t^0.
}
$$

---

# 67. Example: Knowledge Discovery

agent 發現一條 hidden route：

$$
\pi^\star.
$$

physical world 沒改，

但：

$$
\mathcal R^{vis}
$$

擴大。

所以：

$$
\boxed{
\text{epistemic present}
}
$$

可以變。

---

# 68. Present Is Typed

至少要區分：

$$
\boxed{
\begin{aligned}
\mathcal B_t^{0,phys} &: \text{physical present},\\
\mathcal B_t^{0,cog} &: \text{cognitive present},\\
\mathcal B_t^{0,inst} &: \text{institutional present},\\
\mathcal B_t^{0,res} &: \text{resource present},\\
\mathcal B_t^{0,safe} &: \text{safety-constrained present}.
\end{aligned}
}
$$

---

# 69. 不同 Typed Present 可以不一致

例如：

$$
z
\in
\mathcal B^{0,phys}
$$

但：

$$
z
\notin
\mathcal B^{0,inst}.
$$

即：

> 做得到，但不被允許。

---

# 70. Present Intersection

對指定 task contract：

$$
\kappa,
$$

effective present 可概念寫：

$$
\boxed{
\mathcal B_t^{0,eff}
=
\bigcap_j
\mathcal B_t^{0,j}.
}
$$

但再次強調：

這是 analytical decomposition，

不是宣稱所有 typed domains 都是同一種集合。

---

# 71. Present Union 也有意義

如果不同 pathway 可替代：

$$
\boxed{
\mathcal R
=
\bigcup_i
\mathcal R^{path_i}.
}
$$

表示多路徑可達。

---

# 72. Multi-Path Robustness

一個 future state：

$$
z
$$

若有多條低相關 path：

$$
\pi_1,\ldots,\pi_k,
$$

比只有一條脆弱 path 更 robust。

---

# 73. Reachability Multiplicity

定義：

$$
\boxed{
m_R(z)
=
|\{
\pi:
\pi\to z,
\;
\pi\ admissible
\}|.
}
$$

實務上通常需近似／分 equivalence class。

---

# 74. Present Robustness

定義概念量：

$$
\boxed{
Q_0^{rob}
=
f(
PathDiversity,
Recoverability,
SafeReach,
DependencyIndependence
).
}
$$

---

# 75. Present Can Be Large but Fragile

$$
|\mathcal R|
\gg0
$$

但所有 paths 都依賴單一 service：

$$
d^\star.
$$

如果：

$$
d^\star
$$

失效，

domain 崩潰。

---

# 76. Dependency-Conditioned Present

因此：

$$
\boxed{
\mathcal B_t^0
=
\mathcal B_t^0(
D_t
).
}
$$

這直接承接 TCD-01 dependency residue。

---

# 77. Dependency Failure Surface

對 dependency：

$$
d_i,
$$

定義：

$$
\boxed{
\Delta\mathcal R(d_i)
=
\mathcal R
-
\mathcal R\mid do(d_i=0).
}
$$

概念上表示其 failure 刪掉多少 reachable region。

---

# 78. Present Centralization

如果很多 paths 都經：

$$
d^\star,
$$

則 present domain 具有：

$$
\boxed{
\text{high dependency centralization}.
}
$$

這對 AI infra、robotics、institutions 都有意義。

---

# 79. Present Is Not Static

即使沒有大 action，

time passage 本身也可能：

- consume resource；
- close deadline；
- decay memory；
- change law；
- change market；
- move other agents。

所以：

$$
\boxed{
\mathcal B_{t+\Delta}^0
\neq
\mathcal B_t^0
}
$$

可能在 agent inactivity 下成立。

---

# 80. Passive Option Decay

定義：

$$
\boxed{
D_{passive}
=
\mathcal B_t^0
\setminus
\mathcal B_{t+\Delta}^0
}
$$

在 no-agent-action baseline 下。

---

# 81. Waiting Is an Action-like Temporal Choice

如果不做事：

$$
a_t=\varnothing
$$

仍改變 reachable domain，

則：

$$
\boxed{
\text{inaction}
}
$$

具有 dynamics consequence。

---

# 82. Present Temporal Thickness

一個現實 decision 不一定是瞬時點。

可能有 decision window：

$$
[t,t+\delta].
$$

所以可定義：

$$
\boxed{
\mathcal B_{[t,t+\delta]}^0.
}
$$

---

# 83. 這不否定 Instantaneous State

控制理論仍可用：

$$
x(t).
$$

TCD 的「厚現在」只是 agent-level decision abstraction。

---

# 84. Present Reachability Frontier

本文提出：

$$
\boxed{
\mathcal F_0^A(H)
=
\operatorname{ParetoFront}
\{
(
Reach,
Safe,
Auth,
Cost,
Rev,
Fork,
Rob
)
\}.
}
$$

---

# 85. Present Quality 不是單一大小

兩個 agent：

### A

reach 很廣但 unsafe。

### B

reach 較窄但 highly reversible。

不能直接：

$$
A>B.
$$

---

# 86. No Universal Scalar Present

因此：

$$
\boxed{
\text{Present Capability}
}
$$

不應壓成一個 scalar。

這延續 UCPNP No Universal Scalar Collapse。

---

# 87. Present Base Space

本文正式定義：

$$
\boxed{
\mathcal B_t^{0,A;(H,\kappa)}
=
(
Z_t^{est},
\mathcal A_t^{eff,A},
\widehat{\mathcal R}_{t:H}^{eff,A},
\mathcal V_t^A,
\mathbf G_0^A,
U_t^0
).
}
$$

其中：

- $Z_t^{est}$：目前 full-state estimate；
- $\mathcal A_t^{eff,A}$：effective actions；
- $\widehat{\mathcal R}_{t:H}^{eff,A}$：effective reachable domain；
- $\mathcal V_t^A$：viability / maintainability structure；
- $\mathbf G_0^A$：domain geometry；
- $U_t^0$：present unknown region。

---

# 88. Present Unknown Region

定義：

$$
\boxed{
U_t^0
}
$$

包含：

- unknown actions；
- unknown dependencies；
- unknown reachable states；
- model uncertainty；
- permission ambiguity；
- hidden hazards。

---

# 89. Unknown Present 不是空集合

如果：

$$
U_t^0
$$

被默認為零，

agent 很容易：

> 把目前看不到的路當不存在。

這是 epistemic overclosure。

---

# 90. Present Closure Error

定義：

$$
\boxed{
E_{closure}^0
=
\text{mistaking represented present for exhaustive present}.
}
$$

---

# 91. Present–Past Coupling

TCD-01：

$$
\mathcal B_t^-.
$$

TCD-02：

$$
\mathcal B_t^0.
$$

第一個正式 coupling：

$$
\boxed{
\mathcal B_t^0
=
\Phi_0(
\mathcal B_t^-,
E_t^{exo}
).
}
$$

其中：

$$
E_t^{exo}
$$

表示外部／新進入因素。

---

# 92. $\Phi_0$ 不是完全可知

對真實複雜系統：

$$
\boxed{
\Phi_0
}
$$

通常只能估計。

這不是 exact universal law。

---

# 93. Historical Compression Error Can Distort Present

如果：

$$
\mathcal B_t^-
$$

壓縮錯，

則：

$$
\widehat{\mathcal B}_t^0
$$

可能：

- 高估可達性；
- 低估 dependency；
- 忽略 lost option；
- 錯判 capability。

---

# 94. Present State Audit

對 agent 現在，至少問：

1. 現在 observation 是什麼？
2. full-state estimate 是什麼？
3. effective action set 是什麼？
4. 哪些 action 只是 nominal？
5. 哪些 resource 限制？
6. 哪些 permission 限制？
7. 哪些 safety 限制？
8. 哪些 dependencies？
9. horizon 下 reachable domain？
10. 哪些 regions unknown？

---

# 95. Present Audit 對 AI Agent 的工程形式

```text
present_id
time
observed_state
latent_state_estimate
effective_actions
nominal_actions
capabilities
resources
permissions
cost_budget
risk_contract
safe_actions
reachable_regions
viable_regions
exit_actions
reversibility
dependencies
unknowns
past_state_ref
```

---

# 96. Present State Versioning

如果：

$$
\mathcal B_t^0
$$

改變，

保存版本：

$$
\boxed{
\mathcal B_{t,0}^0,
\mathcal B_{t,1}^0,
\ldots
}
$$

例如新 tool / permission 突然加入。

---

# 97. Present Benchmark A — Same Snapshot, Different Capabilities

建立：

$$
X_t^A=X_t^B.
$$

但：

$$
Cap_t^A\neq Cap_t^B.
$$

測：

$$
\mathcal R_{t:H}^{A}
\neq
\mathcal R_{t:H}^{B}.
$$

---

# 98. Benchmark B — Same Capability, Different Permission

固定：

$$
Cap.
$$

改：

$$
Perm.
$$

測 effective action / reachable set。

---

# 99. Benchmark C — Same Physical State, Different Knowledge

固定：

$$
Z_t.
$$

給 A hidden map，

B 沒有。

測：

$$
\mathcal R^{vis,A}
\neq
\mathcal R^{vis,B}.
$$

---

# 100. Benchmark D — Same Reach, Different Reversibility

設計兩 domains：

$$
|\mathcal R^A|
\approx
|\mathcal R^B|,
$$

但：

$$
Rev^A\gg Rev^B.
$$

測只用 reachable volume 是否錯判 present quality。

---

# 101. Benchmark E — Safe vs Unsafe Reachability

同一 reachable set，

但 action risk 不同。

比較：

$$
\mathcal R^{physical}
$$

與：

$$
\mathcal R^{safe}.
$$

---

# 102. Benchmark F — Empowerment vs Authorization

構造高 empowerment agent，

但部分 actions unauthorized。

測：

$$
Empowerment
$$

是否高估 effective present freedom。

---

# 103. Benchmark G — Historical Dependence

TCD-01 建立兩個不同：

$$
\mathcal B_t^{-A},
\mathcal B_t^{-B}.
$$

讓 snapshot 對齊。

測：

$$
\mathcal B_t^{0,A}
\neq
\mathcal B_t^{0,B}.
$$

---

# 104. 可否證條件

## F104.1 Snapshot Sufficiency

若：

$$
Z_t
$$

已對所有研究中的 actionability / reachability task 完全充分，

則 Present Base Space 可以退化成簡單 state model。

## F104.2 Actionability Redundancy

若 knowledge、capability、resource、permission、risk decomposition 不改善任何 prediction / control / audit，

應簡化。

## F104.3 Reachability No-Gain

若 reachable-domain representation 不比 point-state representation改善：

- planning；
- failure analysis；
- task resumption；
- safety；
- option preservation；

則不應神化。

## F104.4 Empowerment Overreach

若 empowerment 與 rights / freedom / welfare mapping 不穩定，

不得做 normative inference。

## F104.5 Contract Instability

若 effective action set 對 arbitrary contract 定義高度敏感，

應明示 domain scope，不宣稱 universal present。

## F104.6 Horizon Instability

若不同 horizon 得到完全不同 present geometry，

結果必須附 horizon，而不能叫 timeless property。

---

# 105. Present Domain Principle

本文提出：

$$
\boxed{
\textbf{Present Domain Principle}
}
$$

> **對具有行動與未來可達性的智能系統，「現在」的功能性描述不應自動縮成瞬時狀態點；它可以被表示成在歷史、能力、知識、資源、權限、成本、安全與環境約束下，此刻仍然有效可作用與可達的局部域。**

---

# 106. Effective Action Principle

$$
\boxed{
\textbf{Effective Action Principle}
}
$$

> **只有 nominally available 不足以構成有效 action；agent 必須至少能知道、執行、負擔、獲授權且滿足指定 admissibility contract。**

---

# 107. Reachability Is Typed Principle

$$
\boxed{
\textbf{Reachability Is Typed}
}
$$

必須區分：

$$
\boxed{
Physical
\neq
Cognitive
\neq
Resource
\neq
Authorized
\neq
Safe
\neq
Effective\ Reachability.
}
$$

---

# 108. Present Unknown Principle

$$
\boxed{
\textbf{Present Unknown Principle}
}
$$

> **目前沒有被 agent 表示的 action / path 不得自動視為不存在。**

因此：

$$
\boxed{
\widehat{\mathcal B}_t^0
\neq
\mathcal B_t^{0,true}
}
$$

一般應保持 epistemic humility。

---

# 109. TCD 時間三元組更新

到本文：

$$
\boxed{
\mathfrak T_t^{(3)}
=
(
\mathcal B_t^-,
\mathcal B_t^0,
\mathcal B_t^+
).
}
$$

已有：

$$
\boxed{
\mathcal B_t^-}
$$

與：

$$
\boxed{
\mathcal B_t^0.
}
$$

但：

$$
\boxed{
\mathcal B_t^+
}
$$

尚未正式建立。

---

# 110. 第一條已完成的耦合

現在可以正式寫：

$$
\boxed{
\mathcal B_t^-
\rightarrow
\mathcal B_t^0.
}
$$

也就是：

# **Historical Conditioning of the Present**

---

# 111. 下一步不是「現在直接變未來」

因為：

$$
\mathcal B_t^+
$$

首先要回答：

> agent 目前能生成哪些 future candidates？

這會結合：

- Generative Forecasting；
- PCI；
- $G_S,G_R,G_T$ ；
- present reachability。

---

# 112. 與 TCD-03 的接口

下一篇：

# **TCD-03 — Future as a Generated Base Space**
## **未來不是一張已存在的地圖：未來選擇底空間的生成**

將建立：

$$
\boxed{
\mathcal B_t^+
=
\Gamma_F(
\mathcal B_t^-,
\mathcal B_t^0,
\mathfrak U_t
).
}
$$

核心問題：

> **同一個現在，不同智能體為什麼會看見不同的未來？**

---

# 113. 結論

TCD-01 告訴我們：

$$
\boxed{
Past\neq Memory.
}
$$

TCD-02 再告訴我們：

$$
\boxed{
Present\neq Point.
}
$$

現在不只是：

$$
X_t.
$$

甚至不只是：

$$
Z_t.
$$

對一個真正會決策與行動的智能體，

更重要的問題可能是：

$$
\boxed{
\text{現在還有哪些路活著？}
}
$$

哪些 action：

$$
\boxed{
\text{真的能做？}
}
$$

哪些 future regions：

$$
\boxed{
\text{真的能到？}
}
$$

哪些 paths：

$$
\boxed{
\text{到得了但不能安全維持？}
}
$$

哪些能力：

$$
\boxed{
\text{做得到但沒權限？}
}
$$

哪些選項：

$$
\boxed{
\text{物理存在但 agent 根本沒看見？}
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\textbf{The present is not merely where the agent is; it is the structured domain of what the agent can still do, sustain, exit, recover, and reach from here.}
}
$$

中文：

> **現在不只是主體位於哪裡；現在也是從這裡仍然能做、能維持、能退出、能恢復與能抵達的結構域。**

這使：

$$
\boxed{
\mathcal B_t^-
\rightarrow
\mathcal B_t^0
}
$$

第一次形成真正的三生耦合前半段。

下一篇將把第三格建立起來：

$$
\boxed{
\mathcal B_t^+.
}
$$

---

# Claim Typing

| Claim | Type | Status |
|---|---|---|
| Present observation、full state、actionable domain、reachable domain 非同一 | D | Canonical separation |
| Effective action 可由 knowledge/capability/resource/permission/safety contract 分解 | D | Proposed operational definition |
| Reachability 應附 horizon / cost / risk contract | D / methodology | Canonical requirement |
| Present Base Space 可用 effective actions + reachability + viability + unknown region 表示 | D | TCD formal scaffold |
| Historical Past Base Space 可塑造 current actionability | D / C | Core TCD coupling hypothesis |
| HJ reachability 提供 set-valued reachable-state formalism | E | External control-theory calibration |
| Viability kernel 提供 safety-maintainable state-set formalism | E | External control-theory calibration |
| Incremental RL exploration研究 bounded reachability | E | External RL calibration |
| Empowerment 衡量 current action 對 future outcome 的控制能力 | E | External information-theoretic RL calibration |
| Empowerment 等於自由／權利／福祉 | — | Explicitly rejected |
| 所有現在都必須表示成 TCD Base Space | — | Not claimed |

---

# Evidence Ladder

本文目前主要位於：

- **L0**：Present Base Space 定義；
- **L1–L2**：可建立 finite actionability / reachability benchmarks；
- **L3**：reachability、viability、incremental exploration、empowerment 提供相鄰形式與工程證據；
- **L4**：需要 persistent AI-agent / robot / institutional runtime 的 longitudinal tests；
- **L5+**：Past–Present–Future full coupling 尚未完成。

---

# 參考文獻

## Neo.K 內部正典與譜系

1. Neo.K. *歷史作為狀態變量：路徑依賴、記憶增廣與複雜系統的動力身份*. 2026.
2. Neo.K. *選擇底空間論：從名義選項到可達、可逆與可分叉自由的形式化基礎*. 2026.
3. Neo.K with Aletheia. *Past Is Not Memory*. TCD-01, 2026.
4. Neo.K with Aletheia. *The Four Generative Frontiers*. UCPNP Series II Paper 12, 2026.
5. Neo.K with Aletheia. *Generative Forecasting*. UCPNP Series II Paper 13, 2026.
6. Neo.K with Aletheia. *Prospective Constructive Intelligence*. UCPNP Series II Paper 14, 2026.

## External technical calibration

7. Mitchell, I. M., Bayen, A. M., & Tomlin, C. J. *A Time-Dependent Hamilton–Jacobi Formulation of Reachable Sets for Continuous Dynamic Games*. IEEE Transactions on Automatic Control 50(7), 947–957, 2005.
8. La Rocca, A., Saveriano, M., & Del Prete, A. *VBOC: Learning the Viability Boundary of a Robot Manipulator using Optimal Control*. 2023.
9. Tarbouriech, J., Pirotta, M., Valko, M., & Lazaric, A. *Improved Sample Complexity for Incremental Autonomous Exploration in MDPs*. NeurIPS 2020.
10. Leibfried, F., Pascual-Díaz, S., & Grau-Moya, J. *A Unified Bellman Optimality Principle Combining Reward Maximization and Empowerment*. NeurIPS 2019.
11. Myers, V., Ellis, E., Levine, S., Eysenbach, B., & Dragan, A. *Learning to Assist Humans without Inferring Rewards*. NeurIPS 2024.
12. Mohamed, S., & Rezende, D. J. *Variational Information Maximisation for Intrinsically Motivated Reinforcement Learning*. NeurIPS 2015.

---

## Public Version Disclaimer

本文是一個 agent-relative cognition / control / reachability framework。

本文不聲稱：

- TCD Present Base Space 是標準控制理論物件；
- control-theoretic reachable sets 可直接無損映射到社會、制度或認知 domain；
- viability kernel 等於人類自由；
- empowerment 等於 autonomy、rights 或 welfare；
- 所有 nominal action 都應被保留；
- reachability 越大越好；
- present domain 越大 intelligence 越高；
- 本文建立任何規範性部署權；
- 本文涉及物理 retrocausality；
- 本文對 classical $P$ vs. $NP$ 提供任何新證明。

本文真正建立的是：

$$
\boxed{
\text{Present}
\neq
\text{Snapshot Point}.
}
$$

以及一個更具操作性的現在：

$$
\boxed{
\mathcal B_t^0
=
\text{historically conditioned actionable / reachable domain}.
}
$$