--- original/07__廣義 (mx+r) 系統與 Residue-Class Operation Translation.md
+++ corrected/07
@@ -1,13 +1,14 @@
-# 廣義 \(mx+r\) 系統與 Residue-Class Operation Translation
+# 廣義 $mx+r$ 系統與 Residue-Class Operation Translation
 ## ——從 Collatz 特例到交換標量仿射動力、相變邊界與一般化局部圖冊
 
-**English Title:** *Generalized \(mx+r\) Systems and Residue-Class Operation Translation: Affine Word Closure, Local Atlases, and a Cylinder Phase Boundary*
+**English Title:** *Generalized $mx+r$ Systems and Residue-Class Operation Translation: Affine Word Closure, Local Atlases, and a Cylinder Phase Boundary*
 
 **作者：** Neo.K  
 **機構：** 一言諾科技有限公司（EveMissLab）  
 **系列：** Collatz Operation Translation Series — Paper 07  
-**版本：** v0.1  
-**日期：** 2026-08-10
+**版本：** v0.1.1  
+**日期：** 2026-08-10  
+**修訂日期：** 2026-08-14
 
 ---
 
@@ -15,25 +16,25 @@
 
 前六篇以 modified Collatz map
 
-\[
+$$
 T(n)=
 \begin{cases}
 n/2,&n\text{ even},\\[2mm]
 (3n+1)/2,&n\text{ odd}
 \end{cases}
-\]
-
-建立 finite-word affine closure、parity-word/residue-cylinder 對應、局部 identity 化、雙向 \(2^k\leftrightarrow3^u\) 殘餘類轉譯、有限字收縮邊界與 valuation language。
-
-本文拔除 Collatz 特有的 \(3,1\)，考察正奇整數參數
-
-\[
+$$
+
+建立 finite-word affine closure、parity-word/residue-cylinder 對應、局部 identity 化、雙向 $2^k\leftrightarrow3^u$ 殘餘類轉譯、有限字收縮邊界與 valuation language。
+
+本文拔除 Collatz 特有的 $3,1$，考察正奇整數參數
+
+$$
 m\ge1,\qquad r\ge1,\qquad m,r\text{ odd}
-\]
+$$
 
 所定義的 parity-preserving generalized system
 
-\[
+$$
 \boxed{
 T_{m,r}(n)
 =
@@ -42,111 +43,111 @@
 \dfrac{mn+r}{2},&n\equiv1\pmod2.
 \end{cases}
 }
-\]
+$$
 
 令
 
-\[
+$$
 D(x)=\frac x2,
 \qquad
 U_{m,r}(x)=\frac{mx+r}{2}.
-\]
-
-本文證明，對任意長度 \(k\) 的 finite parity word \(w\in\{D,U\}^k\)，若 \(u=u(w)\)，則形式 composition 恆有 exact affine closure：
-
-\[
+$$
+
+本文證明，對任意長度 $k$ 的 finite parity word $w\in\{D,U\}^k$，若 $u=u(w)$，則形式 composition 恆有 exact affine closure：
+
+$$
 \boxed{
 F_w^{(m,r)}(x)
 =
 \frac{m^u x+b_w^{(m,r)}}{2^k},
 }
-\]
+$$
 
 其中
 
-\[
+$$
 \boxed{
 b_w^{(m,r)}
 =
 r\sum_{t=1}^{u}
 2^{j_t-1}m^{u-t},
 }
-\]
-
-而 \(j_t\) 是第 \(t\) 個 \(U\) 的位置。
+$$
+
+而 $j_t$ 是第 $t$ 個 $U$ 的位置。
 
 因此 generalized system 保留：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{branch counts determine the multiplicative skeleton;}
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 \text{branch order determines the affine correction.}
 }
-\]
-
-更重要的是，因 \(m\) 為奇數，
-
-\[
+$$
+
+更重要的是，因 $m$ 為奇數，
+
+$$
 \gcd(m^u,2^k)=1,
-\]
-
-所以每個 finite parity word 仍對應唯一 residue cylinder modulo \(2^k\)：
-
-\[
+$$
+
+所以每個 finite parity word 仍對應唯一 residue cylinder modulo $2^k$：
+
+$$
 \boxed{
 \Omega_w^{(m,r)}
 =
 (r_w+2^k\mathbb Z)\cap\mathbb Z_{>0},
 }
-\]
+$$
 
 且
 
-\[
+$$
 \boxed{
 r_w
 \equiv
 -b_w^{(m,r)}m^{-u}
 \pmod{2^k}.
 }
-\]
+$$
 
 若
 
-\[
+$$
 s_w
 =
 F_w^{(m,r)}(r_w),
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 T_{m,r}^k(r_w+2^ka)
 =
 s_w+m^ua.
 }
-\]
-
-因此 source \(2^k\)-cylinder 被 exact 送往 target \(m^u\)-progression：
-
-\[
+$$
+
+因此 source $2^k$-cylinder 被 exact 送往 target $m^u$-progression：
+
+$$
 \boxed{
 r_w+2^k\mathbb Z
 \longleftrightarrow
 s_w+m^u\mathbb Z,
 }
-\]
+$$
 
 並在 source/target quotient coordinates 中再次 identity 化：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \psi_w
 \circ
@@ -156,13 +157,13 @@
 =
 \operatorname{id}.
 }
-\]
-
-這證明前六篇最核心的 local-affine/identity structure 並非 \(3x+1\) 特有，而屬於更廣泛的 odd-\(m\), odd-\(r\) residue-class affine family。
-
-對固定 \((k,u)\)，當 \(r>0\) 時，order correction 有 exact bounds：
-
-\[
+$$
+
+這證明前六篇最核心的 local-affine/identity structure 並非 $3x+1$ 特有，而屬於更廣泛的 odd-$m$, odd-$r$ residue-class affine family。
+
+對固定 $(k,u)$，當 $r>0$ 時，order correction 有 exact bounds：
+
+$$
 \boxed{
 r\,\frac{m^u-2^u}{m-2}
 \le
@@ -170,158 +171,158 @@
 \le
 r\,2^{k-u}\frac{m^u-2^u}{m-2}
 }
-\]
-
-（\(m\neq2\)，而本文 \(m\) 為 odd）。最小值由
-
-\[
+$$
+
+（$m\neq2$，而本文 $m$ 為 odd）。最小值由
+
+$$
 U^uD^{k-u}
-\]
+$$
 
 取得，最大值由
 
-\[
+$$
 D^{k-u}U^u
-\]
+$$
 
 取得。
 
 finite-word drift 則由：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 m^u\lessgtr2^k
 }
-\]
+$$
 
 完全決定其 skeleton side。若
 
-\[
+$$
 m^u<2^k,
-\]
+$$
 
 存在 finite threshold 使整個 chart 最終 strict descent；若
 
-\[
+$$
 m^u>2^k,
-\]
-
-則整張 positive admissible cylinder 在該 \(k\)-block 上 strict expansion。
-
-對 \(m>1\)，定義：
-
-\[
+$$
+
+則整張 positive admissible cylinder 在該 $k$-block 上 strict expansion。
+
+對 $m>1$，定義：
+
+$$
 \boxed{
 \alpha_m
 =
 \frac{\ln2}{\ln m}.
 }
-\]
+$$
 
 則 contracting condition 為：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \frac uk<\alpha_m.
 }
-\]
-
-因 odd \(m>1\) 不可能是 2 的冪，\(\alpha_m\) 無理，所以 length-\(k\) contracting cylinder count 為：
-
-\[
+$$
+
+因 odd $m>1$ 不可能是 2 的冪，$\alpha_m$ 無理，所以 length-$k$ contracting cylinder count 為：
+
+$$
 \boxed{
 A_k(m)
 =
 \sum_{u=0}^{\lfloor\alpha_m k\rfloor}
 \binom ku.
 }
-\]
+$$
 
 比例：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 P_k(m)
 =
 \frac{A_k(m)}{2^k}.
 }
-\]
+$$
 
 這導致一條 generalized cylinder phase theorem：
 
-- \(m=1\)：所有 nonempty finite words 均位於 contracting-skeleton side；
-- \(m=3\)：\(\alpha_3>1/2\)，故
-  \[
+- $m=1$：所有 nonempty finite words 均位於 contracting-skeleton side；
+- $m=3$：$\alpha_3>1/2$，故
+  $$
   \boxed{P_k(3)\to1;}
-  \]
-- odd \(m\ge5\)：\(\alpha_m<1/2\)，故
-  \[
+  $$
+- odd $m\ge5$：$\alpha_m<1/2$，故
+  $$
   \boxed{P_k(m)\to0.}
-  \]
+  $$
 
 連續參數意義下的臨界值恰為：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 m_c=4.
 }
-\]
+$$
 
 這個臨界來自：
 
-\[
+$$
 \frac{\ln2}{\ln m}
 =
 \frac12
 \iff
 m=4.
-\]
-
-值得注意的是，Gonçalves–Greenfeld–Madrid 對更一般 \(p,q,r\) Collatz-like maps 的 almost-all theorem 使用條件：
-
-\[
+$$
+
+值得注意的是，Gonçalves–Greenfeld–Madrid 對更一般 $p,q,r$ Collatz-like maps 的 almost-all theorem 使用條件：
+
+$$
 q<p^{p/(p-1)}.
-\]
-
-當 \(p=2\) 時恰為：
-
-\[
+$$
+
+當 $p=2$ 時恰為：
+
+$$
 \boxed{
 q<4.
 }
-\]
-
-因此本文由 finite-word/residue-cylinder 組合計數得到的 parity-family phase boundary，與既有更深 almost-all analytic theory 在 \(p=2\) 截面上出現同一臨界常數。本文不把兩者視為同一定理：前者是 deterministic finite chart density，後者是 actual orbit 的 logarithmic-density theorem；其吻合應被理解為一個重要的結構交叉驗證。
-
-本文亦證明 additive parameter \(r\) 不改變 asymptotic skeleton boundary：
-
-\[
+$$
+
+因此本文由 finite-word/residue-cylinder 組合計數得到的 parity-family phase boundary，與既有更深 almost-all analytic theory 在 $p=2$ 截面上出現同一臨界常數。本文不把兩者視為同一定理：前者是 deterministic finite chart density，後者是 actual orbit 的 logarithmic-density theorem；其吻合應被理解為一個重要的結構交叉驗證。
+
+本文亦證明 additive parameter $r$ 不改變 asymptotic skeleton boundary：
+
+$$
 m^u\lessgtr2^k
-\]
-
-只依賴 \(m,k,u\)。\(r\) 線性縮放 correction，因而主要控制 finite-size threshold、fixed-point位置與局部 orbit geometry，而不移動 cylinder-density phase boundary。
+$$
+
+只依賴 $m,k,u$。$r$ 線性縮放 correction，因而主要控制 finite-size threshold、fixed-point位置與局部 orbit geometry，而不移動 cylinder-density phase boundary。
 
 本文最後把這一類結構定義為 **Residue-Class Operation Translation (RCOT) parity kernel**：只要 branch maps 為交換標量仿射算子，且 odd multiplier 對 binary denominator 為 unit，則 finite-word closure、unique residue chart、local identityization、exact recovery 與 count/order decomposition 全部成立。
 
 下一篇將進一步把係數所在代數逐層擴張至有零因子的交換環、無序域、矩陣／非交換代數、Möbius transformation 與高次 polynomial dynamics，以確定 RCOT 的真正代數判定域與第一個結構斷裂點。
 
-**關鍵詞：** generalized Collatz、\(mx+r\)、residue-class affine map、operation translation、local affine atlas、phase boundary、parity word、binomial cylinder law、exact recovery
-
----
-
-# 1. 從 Collatz 特例拔除 \(3,1\)
+**關鍵詞：** generalized Collatz、$mx+r$、residue-class affine map、operation translation、local affine atlas、phase boundary、parity word、binomial cylinder law、exact recovery
+
+---
+
+# 1. 從 Collatz 特例拔除 $3,1$
 
 Collatz modified branches：
 
-\[
+$$
 D(x)=\frac x2,
 \qquad
 U(x)=\frac{3x+1}{2}.
-\]
+$$
 
 其中真正使用到的局部代數條件其實是：
 
-1. \(D,U\) 都是 affine；
+1. $D,U$ 都是 affine；
 2. odd branch 的 multiplier 為 odd；
 3. translation term 也是 odd，使 odd input 映到 integer；
 4. denominator 為 2；
@@ -329,68 +330,68 @@
 
 所以考慮：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 D(x)=\frac x2,
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 U_{m,r}(x)=\frac{mx+r}{2},
 }
-\]
+$$
 
 其中：
 
-\[
+$$
 m,r\in2\mathbb Z+1,
 \qquad
 m,r>0.
-\]
-
----
-
-# 2. 為什麼 \(m,r\) 必須 odd？
+$$
+
+---
+
+# 2. 為什麼 $m,r$ 必須 odd？
 
 若：
 
-\[
+$$
 n\text{ odd},
-\]
+$$
 
 且：
 
-\[
+$$
 m,r\text{ odd},
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 mn+r
 =
 \text{odd}+\text{odd}
 =
 \text{even}.
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 U_{m,r}(n)
 =
 \frac{mn+r}{2}
 \in\mathbb Z.
-\]
+$$
 
 因此：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{odd branch legality is automatic on odd inputs}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -398,35 +399,35 @@
 
 取：
 
-\[
+$$
 w=\sigma_1\cdots\sigma_k,
 \qquad
 \sigma_i\in\{D,U\}.
-\]
+$$
 
 令：
 
-\[
+$$
 u(w)=u
-\]
-
-為 \(U\) 次數。
+$$
+
+為 $U$ 次數。
 
 形式 composition：
 
-\[
+$$
 F_w^{(m,r)}
 =
 \sigma_k\circ\cdots\circ\sigma_1.
-\]
+$$
 
 與 Collatz 一樣：
 
-\[
+$$
 F_w^{(m,r)}
-\]
-
-可在 \(\mathbb Q\) 上形式計算；
+$$
+
+可在 $\mathbb Q$ 上形式計算；
 
 真正 dynamics 還需 branch admissibility。
 
@@ -438,25 +439,25 @@
 
 對任意：
 
-\[
+$$
 w\in\{D,U\}^k,
-\]
+$$
 
 存在唯一：
 
-\[
+$$
 b_w^{(m,r)}\in\mathbb Z_{\ge0}
-\]
+$$
 
 使：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 F_w^{(m,r)}(x)
 =
 \frac{m^u x+b_w^{(m,r)}}{2^k}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -464,21 +465,21 @@
 
 空字：
 
-\[
+$$
 b_\varepsilon=0.
-\]
-
-若 append \(D\)：
-
-\[
+$$
+
+若 append $D$：
+
+$$
 \boxed{
 b_{wD}=b_w.
 }
-\]
-
-若 append \(U\)：
-
-\[
+$$
+
+若 append $U$：
+
+$$
 U\left(
 \frac{m^u x+b_w}{2^k}
 \right)
@@ -492,58 +493,58 @@
 }{
 2^{k+1}
 }.
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 b_{wU}
 =
 m b_w+r2^k.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
 # 6. Closed Form
 
-若 \(U\) 出現在：
-
-\[
+若 $U$ 出現在：
+
+$$
 1\le j_1<\cdots<j_u\le k,
-\]
-
-則第 \(t\) 個 \(U\) 注入：
-
-\[
+$$
+
+則第 $t$ 個 $U$ 注入：
+
+$$
 r2^{j_t-1},
-\]
+$$
 
 且後面剩：
 
-\[
+$$
 u-t
-\]
-
-個 \(U\)，每個再乘 \(m\)。
+$$
+
+個 $U$，每個再乘 $m$。
 
 因此：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 b_w^{(m,r)}
 =
 r\sum_{t=1}^{u}
 2^{j_t-1}m^{u-t}.
 }
-\]
+$$
 
 Collatz：
 
-\[
+$$
 (m,r)=(3,1)
-\]
+$$
 
 立即恢復 Paper 02。
 
@@ -553,45 +554,45 @@
 
 固定：
 
-\[
+$$
 k,u,
-\]
+$$
 
 leading multiplier 永遠：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \lambda_w
 =
 \frac{m^u}{2^k}.
 }
-\]
-
-不依賴 \(U,D\) 排列。
+$$
+
+不依賴 $U,D$ 排列。
 
 全部 order information 進入：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 b_w^{(m,r)}.
 }
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{counts determine slope;}
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 \text{order determines offset.}
 }
-\]
-
-不是 \(3x+1\) 特例。
+$$
+
+不是 $3x+1$ 特例。
 
 ---
 
@@ -599,7 +600,7 @@
 
 定義：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 M_D
 =
@@ -608,9 +609,9 @@
 0&2
 \end{pmatrix},
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 M_U
 =
@@ -619,11 +620,11 @@
 0&2
 \end{pmatrix}.
 }
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 M_w
 =
@@ -632,7 +633,7 @@
 0&2^k
 \end{pmatrix}.
 }
-\]
+$$
 
 finite-word composition 仍轉為 upper-triangular matrix multiplication。
 
@@ -640,9 +641,9 @@
 
 # 9. Concatenation Law
 
-若先執行 \(w\)，再執行 \(v\)，則：
-
-\[
+若先執行 $w$，再執行 $v$，則：
+
+$$
 \boxed{
 b_{wv}
 =
@@ -650,25 +651,25 @@
 +
 2^{|w|}b_v.
 }
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \Omega(w)
 =
 (k,u,b)
-\]
+$$
 
 的 generalized composition：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 (k_w,u_w,b_w)
 \circ
 (k_v,u_v,b_v)
 }
-\]
+$$
 
 仍具有 semidirect-type structure。
 
@@ -676,33 +677,33 @@
 
 # 10. Residue Cylinder 仍然唯一
 
-真正的關鍵不是 \(m=3\)。
+真正的關鍵不是 $m=3$。
 
 而是：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 m\text{ odd}.
 }
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \gcd(m^u,2^k)=1.
-\]
+$$
 
 因此：
 
-\[
+$$
 m^u
-\]
+$$
 
 在：
 
-\[
+$$
 \mathbb Z/2^k\mathbb Z
-\]
+$$
 
 中為 unit。
 
@@ -710,26 +711,26 @@
 
 # 11. Closed Residue Formula
 
-若 \(w\) admissible，
+若 $w$ admissible，
 
 必須：
 
-\[
+$$
 m^u n+b_w
 \equiv0
 \pmod{2^k}.
-\]
+$$
 
 所以唯一：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 r_w
 \equiv
 -b_wm^{-u}
 \pmod{2^k}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -739,53 +740,53 @@
 
 假設：
 
-\[
+$$
 n=r_w+2^ka.
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 T_{m,r}^k(n)
 =
 s_w+m^ua.
-\]
+$$
 
 因：
 
-\[
+$$
 m^u
-\]
+$$
 
 為 odd，
 
 所以：
 
-\[
+$$
 T_{m,r}^k(n)\pmod2
 =
 s_w+a\pmod2.
-\]
-
-因此下一個 \(D/U\) branch 再次只由：
-
-\[
+$$
+
+因此下一個 $D/U$ branch 再次只由：
+
+$$
 a\bmod2
-\]
+$$
 
 決定。
 
-每個 parent cylinder 唯一分裂成兩個 modulo \(2^{k+1}\) child cylinders。
+每個 parent cylinder 唯一分裂成兩個 modulo $2^{k+1}$ child cylinders。
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \{D,U\}^k
 \longleftrightarrow
 \mathbb Z/2^k\mathbb Z
 }
-\]
+$$
 
 仍成立。
 
@@ -795,39 +796,39 @@
 
 定義：
 
-\[
+$$
 \Omega_w^{(m,r)}
 =
 (r_w+2^k\mathbb Z)\cap\mathbb Z_{>0}.
-\]
+$$
 
 令：
 
-\[
+$$
 s_w
 =
 F_w^{(m,r)}(r_w).
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 T_{m,r}^k(r_w+2^ka)
 =
 s_w+m^ua.
 }
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 r_w+2^k\mathbb Z
 \longleftrightarrow
 s_w+m^u\mathbb Z.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -835,23 +836,23 @@
 
 source chart：
 
-\[
+$$
 \phi_w(n)
 =
 \frac{n-r_w}{2^k}.
-\]
+$$
 
 target chart：
 
-\[
+$$
 \psi_w(y)
 =
 \frac{y-s_w}{m^u}.
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \psi_w
 \circ
@@ -861,15 +862,15 @@
 =
 \operatorname{id}.
 }
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{local identity trivialization survives for all positive odd }m,r.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -877,20 +878,20 @@
 
 若：
 
-\[
+$$
 y\equiv s_w\pmod{m^u},
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 a=
 \frac{y-s_w}{m^u}.
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 n
 =
@@ -899,100 +900,100 @@
 2^k
 \frac{y-s_w}{m^u}.
 }
-\]
+$$
 
 因此 fixed chart transport 仍然 lossless。
 
 ---
 
-# 16. Fixed \((k,u)\) Order Extremes
+# 16. Fixed $(k,u)$ Order Extremes
 
 對：
 
-\[
+$$
 r>0,
-\]
-
-把某個 \(U\) 向右交換過一個 \(D\)：
-
-\[
+$$
+
+把某個 $U$ 向右交換過一個 $D$：
+
+$$
 UD(x)
 =
 \frac{mx+r}{4},
-\]
+$$
 
 而：
 
-\[
+$$
 DU(x)
 =
 \frac{mx+2r}{4}.
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 DU(x)-UD(x)
 =
 \frac r4>0.
-\]
-
-因此 moving \(U\) right increases correction。
+$$
+
+因此 moving $U$ right increases correction。
 
 ---
 
 # 17. Minimum Correction
 
-所有 \(U\) 最左：
-
-\[
+所有 $U$ 最左：
+
+$$
 U^uD^{k-u}.
-\]
+$$
 
 其 correction：
 
-\[
+$$
 b_{\min}
 =
 r
 \sum_{t=1}^{u}
 2^{t-1}m^{u-t}.
-\]
+$$
 
 有限等比和：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 b_{\min}
 =
 r\frac{m^u-2^u}{m-2}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
 # 18. Maximum Correction
 
-所有 \(U\) 最右：
-
-\[
+所有 $U$ 最右：
+
+$$
 D^{k-u}U^u.
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 b_{\max}
 =
 r\,2^{k-u}
 \frac{m^u-2^u}{m-2}.
 }
-\]
+$$
 
 因此：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 r\frac{m^u-2^u}{m-2}
 \le
@@ -1000,49 +1001,49 @@
 \le
 r2^{k-u}\frac{m^u-2^u}{m-2}.
 }
-\]
-
----
-
-# 19. \(m=1\) 需要單獨理解
+$$
+
+---
+
+# 19. $m=1$ 需要單獨理解
 
 當：
 
-\[
+$$
 m=1,
-\]
+$$
 
 公式：
 
-\[
+$$
 \frac{m^u-2^u}{m-2}
-\]
+$$
 
 仍可直接代入：
 
-\[
+$$
 \frac{1-2^u}{-1}
 =
 2^u-1.
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 b_{\min}
 =
 r(2^u-1).
-\]
+$$
 
 沒有奇點。
 
 只是此時 skeleton：
 
-\[
+$$
 \lambda_w=\frac1{2^k}
-\]
-
-與 \(u\) 無關。
+$$
+
+與 $u$ 無關。
 
 ---
 
@@ -1050,25 +1051,25 @@
 
 由：
 
-\[
+$$
 T_{m,r}^k(n)
 =
 \frac{m^un+b_w}{2^k},
-\]
+$$
 
 有：
 
-\[
+$$
 T_{m,r}^k(n)<n
-\]
+$$
 
 iff：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 b_w<(2^k-m^u)n.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -1076,15 +1077,15 @@
 
 若：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 m^u<2^k,
 }
-\]
+$$
 
 則存在 finite threshold：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \theta_w
 =
@@ -1092,21 +1093,21 @@
 \frac{b_w}{2^k-m^u}
 \right\rfloor+1
 }
-\]
+$$
 
 使：
 
-\[
+$$
 n\ge\theta_w
-\]
+$$
 
 時：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 T_{m,r}^k(n)<n.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -1114,56 +1115,56 @@
 
 若：
 
-\[
+$$
 m^u>2^k,
-\]
+$$
 
 因：
 
-\[
+$$
 b_w\ge0,
-\]
+$$
 
 對任何 positive admissible：
 
-\[
+$$
 n,
-\]
+$$
 
 都有：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 T_{m,r}^k(n)>n.
 }
-\]
+$$
 
 因此 generalized family 仍有 strict finite-word two-sided classification。
 
 ---
 
-# 23. \(r\) 不移動 Skeleton Boundary
+# 23. $r$ 不移動 Skeleton Boundary
 
 注意：
 
-\[
+$$
 m^u\lessgtr2^k
-\]
+$$
 
 完全沒有：
 
-\[
+$$
 r.
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 r
 \text{ controls correction and finite thresholds, not the asymptotic skeleton side}.
 }
-\]
+$$
 
 這是 generalized family 很重要的參數分工。
 
@@ -1173,56 +1174,56 @@
 
 對：
 
-\[
+$$
 m>1,
-\]
+$$
 
 定義：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \alpha_m
 =
 \frac{\ln2}{\ln m}.
 }
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 m^u<2^k
-\]
+$$
 
 iff：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \frac uk<\alpha_m.
 }
-\]
-
----
-
-# 25. \(\alpha_m\) 的無理性
+$$
+
+---
+
+# 25. $\alpha_m$ 的無理性
 
 若 odd：
 
-\[
+$$
 m>1
-\]
+$$
 
 且：
 
-\[
+$$
 \alpha_m=\frac pq
 \in\mathbb Q,
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 m^p=2^q.
-\]
+$$
 
 左側為 odd，
 
@@ -1232,13 +1233,13 @@
 
 因此：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \alpha_m\notin\mathbb Q
 }
-\]
-
-對所有 odd \(m>1\)。
+$$
+
+對所有 odd $m>1$。
 
 所以不存在 nonempty neutral-slope word。
 
@@ -1246,152 +1247,152 @@
 
 # 26. Generalized Binomial Cylinder Law
 
-length-\(k\) words 中，
-
-恰含 \(u\) 個 \(U\) 的數量：
-
-\[
+length-$k$ words 中，
+
+恰含 $u$ 個 $U$ 的數量：
+
+$$
 \binom ku.
-\]
+$$
 
 所以 contracting cylinder count：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 A_k(m)
 =
 \sum_{u=0}^{\lfloor\alpha_mk\rfloor}
 \binom ku.
 }
-\]
+$$
 
 比例：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 P_k(m)
 =
 \frac{A_k(m)}{2^k}.
 }
-\]
-
----
-
-# 27. \(m=1\)：完全 Contracting Skeleton
+$$
+
+---
+
+# 27. $m=1$：完全 Contracting Skeleton
 
 若：
 
-\[
+$$
 m=1,
-\]
+$$
 
 則對任意 nonempty word：
 
-\[
+$$
 1=m^u<2^k.
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 P_k(1)=1
 }
-\]
+$$
 
 對所有：
 
-\[
+$$
 k\ge1.
-\]
+$$
 
 注意這只說 finite-word skeleton。
 
-不同 \(r\) 仍可造成 finite correction、cycles 或其他 global structure。
-
----
-
-# 28. \(m=3\)：Collatz Regime
-
-\[
+不同 $r$ 仍可造成 finite correction、cycles 或其他 global structure。
+
+---
+
+# 28. $m=3$：Collatz Regime
+
+$$
 \alpha_3
 =
 \frac{\ln2}{\ln3}
 \approx0.63093
 >
 \frac12.
-\]
+$$
 
 因此由二項分布大數律：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 P_k(3)\to1.
 }
-\]
+$$
 
 這就是 Paper 05 的 Collatz cylinder law。
 
 ---
 
-# 29. \(m=5\)
-
-\[
+# 29. $m=5$
+
+$$
 \alpha_5
 =
 \frac{\ln2}{\ln5}
 \approx0.43068
 <
 \frac12.
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 P_k(5)\to0.
 }
-\]
-
-也就是 length-\(k\) words 中，contracting-skeleton cylinders 的比例反而趨零。
-
----
-
-# 30. odd \(m\ge5\)
+$$
+
+也就是 length-$k$ words 中，contracting-skeleton cylinders 的比例反而趨零。
+
+---
+
+# 30. odd $m\ge5$
 
 對：
 
-\[
+$$
 m\ge5,
-\]
+$$
 
 有：
 
-\[
+$$
 \ln m>\ln4=2\ln2.
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \frac{\ln2}{\ln m}
 <
 \frac12.
-\]
+$$
 
 故：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 P_k(m)\to0
 }
-\]
+$$
 
 對所有 odd：
 
-\[
+$$
 m\ge5.
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -1399,160 +1400,160 @@
 
 考察：
 
-\[
+$$
 \alpha_m=\frac12.
-\]
+$$
 
 解：
 
-\[
+$$
 \frac{\ln2}{\ln m}
 =
 \frac12.
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \ln m=2\ln2=\ln4.
-\]
+$$
 
 得到：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 m_c=4.
 }
-\]
+$$
 
 因此：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 m<4
 \Rightarrow
 \text{typical word lies on contracting side},
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 m>4
 \Rightarrow
 \text{typical word lies on expanding side}.
 }
-\]
+$$
 
 在 odd integer family 中：
 
-- \(m=3\) 位於 contraction regime；
-- 下一個 \(m=5\) 已跨到 expansion regime。
-
----
-
-# 32. 為什麼 \(3\) 特別？
+- $m=3$ 位於 contraction regime；
+- 下一個 $m=5$ 已跨到 expansion regime。
+
+---
+
+# 32. 為什麼 $3$ 特別？
 
 這不需要神秘化。
 
 binomial center：
 
-\[
+$$
 u/k\approx1/2.
-\]
+$$
 
 典型 skeleton multiplier：
 
-\[
+$$
 \left(
 \frac{\sqrt m}{2}
 \right)^k.
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \frac{\sqrt m}{2}<1
 \iff
 m<4.
 }
-\]
+$$
 
 對：
 
-\[
+$$
 m=3,
-\]
+$$
 
 典型 factor：
 
-\[
+$$
 \frac{\sqrt3}{2}<1.
-\]
+$$
 
 對：
 
-\[
+$$
 m=5,
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \frac{\sqrt5}{2}>1.
-\]
-
-所以 \(3\) 恰好是 odd multipliers 中最後一個落在典型 contraction side 的非平凡值。
-
----
-
-# 33. \(r\) 只改 Finite Geometry
+$$
+
+所以 $3$ 恰好是 odd multipliers 中最後一個落在典型 contraction side 的非平凡值。
+
+---
+
+# 33. $r$ 只改 Finite Geometry
 
 對 fixed：
 
-\[
+$$
 m,k,u,w,
-\]
+$$
 
 correction：
 
-\[
+$$
 b_w^{(m,r)}
-\]
-
-對 \(r\) 線性：
-
-\[
+$$
+
+對 $r$ 線性：
+
+$$
 \boxed{
 b_w^{(m,r)}
 =
 r\,b_w^{(m,1)}.
 }
-\]
+$$
 
 所以 threshold：
 
-\[
+$$
 \theta_w
-\]
-
-大致隨 \(r\) 線性移動。
+$$
+
+大致隨 $r$ 線性移動。
 
 但：
 
-\[
+$$
 \alpha_m
-\]
+$$
 
 完全不變。
 
 因此：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 m=\text{phase parameter},
 \qquad
 r=\text{finite correction parameter}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -1560,19 +1561,19 @@
 
 對：
 
-\[
+$$
 n>0,
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 T_{m,r}^k(n)
 =
 \frac{m^un+b_w}{2^k}.
-\]
+$$
 
 取 log：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \ln\frac{T_{m,r}^k(n)}{n}
 =
@@ -1584,17 +1585,17 @@
 1+\frac{b_w}{m^un}
 \right).
 }
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{additive core}=u\ln m-k\ln2,
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 \text{correction}
 =
@@ -1602,64 +1603,64 @@
 1+\frac{b_w}{m^un}
 \right).
 }
-\]
+$$
 
 Series A 的 corrected additivization 在 generalized Collatz family 中仍完整成立。
 
 ---
 
-# 35. Accelerated \(mx+r\) Map
-
-對 odd \(n\) 可定義：
-
-\[
+# 35. Accelerated $mx+r$ Map
+
+對 odd $n$ 可定義：
+
+$$
 \boxed{
 S_{m,r}(n)
 =
 \frac{mn+r}
 {2^{v_2(mn+r)}}.
 }
-\]
-
-因 \(m,r,n\) 都 odd，
+$$
+
+因 $m,r,n$ 都 odd，
 
 numerator even。
 
 因此 generalized valuation language 亦自然存在：
 
-\[
+$$
 \kappa_i
 =
 v_2(mn_{i-1}+r).
-\]
+$$
 
 ---
 
 # 36. Generalized Valuation Skeleton
 
-經 \(q\) 個 odd-to-odd cycles，
+經 $q$ 個 odd-to-odd cycles，
 
 leading multiplier 變成：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \frac{m^q}{2^K}.
 }
-\]
+$$
 
 所以 valuation boundary：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 K/q>\log_2 m.
 }
-\]
+$$
 
 這是 Paper 06：
 
-\[
+$$
 K/q>\log_2 3
-\]
+$$
 
 的直接一般化。
 
@@ -1667,43 +1668,43 @@
 
 # 37. One-Step Valuation Density 仍有幾何結構
 
-因 odd \(m\) 在：
-
-\[
+因 odd $m$ 在：
+
+$$
 \mathbb Z/2^{j+1}\mathbb Z
-\]
+$$
 
 中是 unit。
 
 要求：
 
-\[
+$$
 v_2(mn+r)=j
-\]
+$$
 
 等價於一條唯一 odd residue congruence modulo：
 
-\[
+$$
 2^{j+1}.
-\]
+$$
 
 所以在 odd residue classes 中仍有：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \delta(\kappa=j)=2^{-j}.
 }
-\]
+$$
 
 因此 one-step residue mean：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \mathbb E_{\mathrm{res}}\kappa=2
 }
-\]
-
-與 \(m,r\) 無關，只要二者 odd。
+$$
+
+與 $m,r$ 無關，只要二者 odd。
 
 ---
 
@@ -1711,27 +1712,27 @@
 
 one-step accelerated skeleton：
 
-\[
+$$
 \ln m-\kappa\ln2.
-\]
+$$
 
 residue ensemble mean：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \ln m-2\ln2
 =
 \ln\frac m4.
 }
-\]
+$$
 
 所以平均 skeleton sign 也在：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 m=4
 }
-\]
+$$
 
 翻轉。
 
@@ -1743,95 +1744,95 @@
 
 ### Finite parity-word combinatorics：
 
-\[
+$$
 u/k\approx1/2
-\]
+$$
 
 導致：
 
-\[
+$$
 \frac{\sqrt m}{2}\lessgtr1.
-\]
+$$
 
 ### Accelerated valuation residue mean：
 
-\[
+$$
 \mathbb E\kappa=2
-\]
+$$
 
 導致：
 
-\[
+$$
 \frac m4\lessgtr1.
-\]
+$$
 
 兩者都給：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 m_c=4.
 }
-\]
+$$
 
 這是一個內部交叉驗證。
 
 ---
 
-# 40. 與更一般 \(p,q,r\) 文獻的交叉
+# 40. 與更一般 $p,q,r$ 文獻的交叉
 
 Gonçalves–Greenfeld–Madrid 研究一類更一般的 Collatz-like maps：
 
-- divisible by \(p\) 時除以 \(p\)；
-- 其他 residue classes 使用 \(qN+r(j)\)；
+- divisible by $p$ 時除以 $p$；
+- 其他 residue classes 使用 $qN+r(j)$；
 - 再研究其 Syracuse acceleration。
 
 其 almost-all theorem 的重要條件之一：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 q<p^{p/(p-1)}.
 }
-\]
+$$
 
 對 parity case：
 
-\[
+$$
 p=2,
-\]
+$$
 
 變成：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 q<4.
 }
-\]
+$$
 
 若把本文：
 
-\[
+$$
 q=m,
-\]
+$$
 
 則恰好得到同一臨界：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 m<4.
 }
-\]
-
----
-
-# 41. 但兩個 \(m<4\) 不是同一定理
+$$
+
+---
+
+# 41. 但兩個 $m<4$ 不是同一定理
 
 本文證：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 P_k(m)\to1
 }
-\]
+$$
 
 只是一個 finite-word / residue-cylinder combinatorial theorem。
 
@@ -1839,13 +1840,13 @@
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{same critical constant}
 \neq
 \text{same mathematical result}.
 }
-\]
+$$
 
 其吻合應視為 structural consistency check。
 
@@ -1855,15 +1856,15 @@
 
 一般 Collatz-like map 可寫：
 
-\[
+$$
 T(N)=a_NN+b_N
-\]
+$$
 
 其中：
 
-\[
+$$
 a_N,b_N
-\]
+$$
 
 週期性依賴 residue class。
 
@@ -1871,11 +1872,11 @@
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{不能期待 RCOT 的局部簡化自動產生所有 Collatz-like systems 的 global classification}.
 }
-\]
+$$
 
 這也再次說明本文必須限制在特定 affine parity kernel。
 
@@ -1889,47 +1890,47 @@
 2. branch domain由 parity 決定；
 3. branch maps 為 scalar affine maps；
 4. common denominator 為 2；
-5. odd multiplier \(m\) 是 modulo \(2^k\) 的 unit；
-6. translation \(r\) 保持 odd branch integer-valued；
+5. odd multiplier $m$ 是 modulo $2^k$ 的 unit；
+6. translation $r$ 保持 odd branch integer-valued；
 7. scalar coefficient multiplication commutative。
 
 在此 domain 中，以下全部成立：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{finite affine closure},
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 \text{count/order decomposition},
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 \text{unique residue cylinder},
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 \text{local identityization},
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 \text{exact inverse recovery},
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 \text{binomial cylinder law}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -1937,29 +1938,29 @@
 
 Collatz-specific：
 
-\[
+$$
 m=3,\qquad r=1.
-\]
+$$
 
 因此具體：
 
-\[
+$$
 \alpha=\frac{\ln2}{\ln3},
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 2^k\leftrightarrow3^u,
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 R_\kappa(t)=\frac{2^\kappa t-1}{3},
-\]
+$$
 
 以及：
 
-\[
+$$
 \frac{4^j-1}{3}
-\]
+$$
 
 等 family。
 
@@ -1967,16 +1968,16 @@
 
 # 45. 哪些不是 Collatz-specific？
 
-以下全部其實屬於 generalized odd-\(m,r\) RCOT：
+以下全部其實屬於 generalized odd-$m,r$ RCOT：
 
 - finite-word affine closure；
 - upper-triangular matrix representation；
-- word/residue bijection mod \(2^k\)；
-- source cylinder ↔ target \(m^u\)-progression；
+- word/residue bijection mod $2^k$；
+- source cylinder ↔ target $m^u$-progression；
 - quotient-label identityization；
 - exact recovery；
 - branch-order correction；
-- \(m^u\lessgtr2^k\) finite-word phase boundary；
+- $m^u\lessgtr2^k$ finite-word phase boundary；
 - generalized binomial cylinder law；
 - valuation run-length compression。
 
@@ -1988,15 +1989,15 @@
 
 由：
 
-\[
+$$
 b_{\max}
 =
 2^{k-u}b_{\min},
-\]
+$$
 
 有：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 W_{k,u}^{(m,r)}
 =
@@ -2004,13 +2005,13 @@
 \left(2^{k-u}-1\right)
 \frac{m^u-2^u}{m-2}.
 }
-\]
+$$
 
 所以 branch-order sensitivity：
 
-- 隨 \(r\) 線性放大；
-- 隨 \(k-u\) 增長；
-- 受 \(m^u-2^u\) 控制。
+- 隨 $r$ 線性放大；
+- 隨 $k-u$ 增長；
+- 受 $m^u-2^u$ 控制。
 
 這提供 generalized affine correction 的 exact finite width。
 
@@ -2020,21 +2021,21 @@
 
 contracting：
 
-\[
+$$
 m^u<2^k.
-\]
+$$
 
 使用最大 correction：
 
-\[
+$$
 b_{\max}
 =
 r2^{k-u}\frac{m^u-2^u}{m-2},
-\]
+$$
 
 得到：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \Theta_{k,u}^{(m,r)}
 =
@@ -2046,75 +2047,75 @@
 }
 \right\rfloor+1.
 }
-\]
-
-則所有 fixed \((k,u)\) words：
-
-\[
+$$
+
+則所有 fixed $(k,u)$ words：
+
+$$
 n\ge\Theta_{k,u}^{(m,r)}
-\]
+$$
 
 時都 strict descent。
 
-所以 generalized family 同樣可以把完整 word 壓成 conservative \((k,u)\) certificate。
-
----
-
-# 48. \(m=3\) 為何是特殊但不是神秘
+所以 generalized family 同樣可以把完整 word 壓成 conservative $(k,u)$ certificate。
+
+---
+
+# 48. $m=3$ 為何是特殊但不是神秘
 
 在 odd multiplier family：
 
-\[
+$$
 1,3,5,7,\ldots,
-\]
-
-\(m=1\) 是近乎純 contraction 的退化情況。
+$$
+
+$m=1$ 是近乎純 contraction 的退化情況。
 
 真正第一個具有 multiplicative growth 的 nontrivial odd multiplier：
 
-\[
+$$
 m=3
-\]
+$$
 
 仍位於：
 
-\[
+$$
 m<4.
-\]
+$$
 
 下一個：
 
-\[
+$$
 m=5
-\]
+$$
 
 已跨越 phase boundary。
 
-所以 Collatz 的 \(3\) 位於一個非常窄的參數窗口：
-
-\[
+所以 Collatz 的 $3$ 位於一個非常窄的參數窗口：
+
+$$
 \boxed{
 \text{nontrivial growth}
 +
 \text{typical finite-word contraction}.
 }
-\]
-
-這可能是 \(3x+1\) 系統既簡單又長期呈現下降傾向的重要結構原因之一。
-
----
-
-# 49. 但 \(m=3\) 的 Cylinder Density 仍不是 Convergence
+$$
+
+這可能是 $3x+1$ 系統既簡單又長期呈現下降傾向的重要結構原因之一。
+
+---
+
+# 49. 但 $m=3$ 的 Cylinder Density 仍不是 Convergence
 
 即使：
 
-\[
+$$
 P_k(3)\to1,
-\]
-
-仍然不能推出所有 \(3x+r\) systems global bounded。
-
-不同 \(r\) 可以改變：
+$$
+
+仍然不能推出所有 $3x+r$ systems global bounded。
+
+不同 $r$ 可以改變：
 
 - periodic points；
 - cycles；
@@ -2124,13 +2125,13 @@
 
 因此：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{skeleton phase}
 \neq
 \text{complete global dynamics}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -2138,69 +2139,75 @@
 
 ## Theorem A — Generalized Affine Closure
 
-\[
+$$
 \boxed{
 F_w^{(m,r)}(x)
 =
 \frac{m^ux+b_w^{(m,r)}}{2^k}.
 }
-\]
+$$
 
 ## Theorem B — Correction Closed Form
 
-\[
+$$
 \boxed{
 b_w^{(m,r)}
 =
 r\sum_{t=1}^{u}
 2^{j_t-1}m^{u-t}.
 }
-\]
+$$
 
 ## Theorem C — Unique Residue Cylinder
 
-\[
+$$
 \boxed{
 r_w
 \equiv
 -b_wm^{-u}
 \pmod{2^k}.
 }
-\]
+$$
 
 ## Theorem D — Local Identityization
 
-\[
+$$
 \boxed{
 T_{m,r}^k(r_w+2^ka)
 =
 s_w+m^ua,
 }
-\]
+$$
 
 hence：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \psi_wT_{m,r}^k\phi_w^{-1}
 =
 \operatorname{id}.
 }
-\]
+$$
 
 ## Theorem E — Generalized Contraction Boundary
 
-\[
+對 odd $m>1$：
+
+$$
 \boxed{
 m^u<2^k
 \iff
 u/k<\ln2/\ln m.
 }
-\]
+$$
+
+對 $m=1$，任意 nonempty word 都滿足 $m^u=1<2^k$，須獨立處理而不能代入 $\ln m$ 分母。
 
 ## Theorem F — Generalized Binomial Cylinder Law
 
-\[
+對 odd $m>1$：
+
+$$
 \boxed{
 P_k(m)
 =
@@ -2208,33 +2215,39 @@
 \sum_{u=0}^{\lfloor k\ln2/\ln m\rfloor}
 \binom ku.
 }
-\]
+$$
+
+而：
+
+$$
+\boxed{P_k(1)=1.}
+$$
 
 ## Theorem G — Cylinder Phase Classification
 
-\[
+$$
 \boxed{
 P_k(3)\to1,
 }
-\]
+$$
 
 而對 odd：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 m\ge5
 \Rightarrow
 P_k(m)\to0.
 }
-\]
+$$
 
 ## Theorem H — Critical Parameter
 
-\[
+$$
 \boxed{
 m_c=4.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -2242,7 +2255,7 @@
 
 前六篇從 Collatz 出發建立：
 
-\[
+$$
 \text{finite word}
 \to
 \text{affine operator}
@@ -2254,61 +2267,61 @@
 \text{contraction law}
 \to
 \text{valuation language}.
-\]
+$$
 
 本文顯示這條鏈的核心部分並不依賴：
 
-\[
+$$
 3,\qquad1.
-\]
+$$
 
 只要：
 
-\[
+$$
 m,r
-\]
+$$
 
 為正奇整數，
 
 整個 local RCOT structure 仍然成立：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 T_{m,r}^k(r_w+2^ka)
 =
 s_w+m^ua.
 }
-\]
+$$
 
 因此：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{Collatz is one member of a larger residue-class affine translation family}.
 }
-\]
-
-而真正由 \(m\) 控制的 phase boundary：
-
-\[
+$$
+
+而真正由 $m$ 控制的 phase boundary：
+
+$$
 \boxed{
 m_c=4
 }
-\]
+$$
 
 在三種不同層次中同時出現：
 
 1. binomial parity-cylinder majority；
 2. accelerated one-step valuation mean；
-3. 更一般 \(p,q,r\) almost-all theory 在 \(p=2\) 時的已知 analytic condition。
+3. 更一般 $p,q,r$ almost-all theory 在 $p=2$ 時的已知 analytic condition。
 
 這種一致性不等於全域證明，但清楚指出：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 m=3
 }
-\]
+$$
 
 位於 generalized family 中一個特殊的 subcritical regime。
 
@@ -2316,7 +2329,7 @@
 
 我們將真正換**代數**：
 
-\[
+$$
 \mathbb Z
 \to
 \text{commutative rings}
@@ -2330,7 +2343,7 @@
 \text{Möbius maps}
 \to
 \text{nonlinear polynomials}.
-\]
+$$
 
 目標是回答：
 
@@ -2355,10 +2368,10 @@
 
 核心任務：
 
-1. 從 \(\mathbb Z/\mathbb Q\) 推到一般交換整域；
+1. 從 $\mathbb Z/\mathbb Q$ 推到一般交換整域；
 2. 檢查 multiplier 非 unit 時 residue uniqueness 如何分裂；
 3. 檢查 zero divisor 如何破壞 exact inverse recovery；
-4. 檢查 \(\mathbb C\)、\(p\)-adic domain 中「下降」語義如何改變；
+4. 檢查 $\mathbb C$、$p$-adic domain 中「下降」語義如何改變；
 5. 進入 matrix / noncommutative algebra，證明 order dependence 進入 leading operator；
 6. 推到 Möbius transformations，辨認 finite-dimensional closure 尚存但 progression transport 消失；
-7. 推到 degree \(>1\) polynomial maps，辨認 fixed-dimensional affine closure 的斷裂。
+7. 推到 degree $>1$ polynomial maps，辨認 fixed-dimensional affine closure 的斷裂。