--- original/08__代數判定域與結構斷裂定理.md
+++ corrected/08
@@ -6,14 +6,15 @@
 **作者：** Neo.K  
 **機構：** 一言諾科技有限公司（EveMissLab）  
 **系列：** Collatz Operation Translation Series — Paper 08  
-**版本：** v0.1  
-**日期：** 2026-08-10
+**版本：** v0.1.1  
+**日期：** 2026-08-10  
+**修訂日期：** 2026-08-14
 
 ---
 
 ## 摘要
 
-前七篇從 modified Collatz map 出發，建立了 finite-word affine closure、parity-word/residue-cylinder bijection、local identity trivialization、exact inverse recovery、finite contraction law、valuation language 與 generalized odd-\(m,r\) family。這些結果顯示：Collatz 並不是孤立案例，而落在一個更大的 **Residue-Class Operation Translation (RCOT)** 局部仿射類別中。
+前七篇從 modified Collatz map 出發，建立了 finite-word affine closure、parity-word/residue-cylinder bijection、local identity trivialization、exact inverse recovery、finite contraction law、valuation language 與 generalized odd-$m,r$ family。這些結果顯示：Collatz 並不是孤立案例，而落在一個更大的 **Residue-Class Operation Translation (RCOT)** 局部仿射類別中。
 
 本文回答本系列最重要的判定域問題之一：
 
@@ -21,9 +22,9 @@
 
 本文以一般交換標量仿射 word operator
 
-\[
+$$
 F_w(x)=\frac{A_wx+B_w}{D_w}
-\]
+$$
 
 為起點，區分五種彼此獨立的結構需求：
 
@@ -35,29 +36,29 @@
 
 本文首先證明：在交換係數環中，finite affine composition 保持仿射 closure。若每個 branch 為
 
-\[
+$$
 F_i(x)=\frac{a_ix+b_i}{d_i},
-\]
-
-則對 word \(w=i_1\cdots i_k\)：
-
-\[
+$$
+
+則對 word $w=i_1\cdots i_k$：
+
+$$
 \boxed{
 F_w(x)=\frac{A_wx+B_w}{D_w},
 }
-\]
+$$
 
 其中：
 
-\[
+$$
 A_w=\prod_{j=1}^{k}a_{i_j},
 \qquad
 D_w=\prod_{j=1}^{k}d_{i_j},
-\]
+$$
 
 而：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 B_w=
 \sum_{j=1}^{k}
@@ -65,25 +66,25 @@
 \left(\prod_{\ell=j+1}^{k}a_{i_\ell}\right)
 \left(\prod_{\ell=1}^{j-1}d_{i_\ell}\right).
 }
-\]
-
-在交換環中，\(A_w,D_w\) 只依 branch counts；真正的 word order 進入 \(B_w\)。因此前七篇的「counts determine multiplicative skeleton; order determines affine correction」具有一個清楚的交換性判定域。
+$$
+
+在交換環中，$A_w,D_w$ 只依 branch counts；真正的 word order 進入 $B_w$。因此前七篇的「counts determine multiplicative skeleton; order determines affine correction」具有一個清楚的交換性判定域。
 
 對 residue equation：
 
-\[
+$$
 A_wx+B_w\equiv0\pmod I,
-\]
+$$
 
 本文證明其唯一解條件的抽象形式為：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 [A_w]\in(R/I)^\times.
 }
-\]
-
-即 \(A_w\) 在 quotient ring \(R/I\) 中必須是 unit。若不是 unit，word-to-residue chart 可能出現三種情況：
+$$
+
+即 $A_w$ 在 quotient ring $R/I$ 中必須是 unit。若不是 unit，word-to-residue chart 可能出現三種情況：
 
 - 無解；
 - 唯一解（在特殊右端下偶然出現）；
@@ -91,125 +92,125 @@
 
 例如在：
 
-\[
+$$
 \mathbb Z/6\mathbb Z
-\]
+$$
 
 中：
 
-\[
+$$
 2x\equiv2\pmod6
-\]
+$$
 
 有：
 
-\[
+$$
 x\equiv1,4\pmod6,
-\]
+$$
 
 而：
 
-\[
+$$
 2x\equiv1\pmod6
-\]
+$$
 
 無解。這說明：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{affine closure survives while unique residue coding fails}.
 }
-\]
+$$
 
 若底層環含 zero divisors，exact inverse recovery 亦可失敗。例如：
 
-\[
+$$
 2\cdot1\equiv2\cdot4\pmod6,
-\]
-
-所以乘法 \(x\mapsto2x\) 不是 injective。本文因此將第二個結構斷裂點定位為：
-
-\[
+$$
+
+所以乘法 $x\mapsto2x$ 不是 injective。本文因此將第二個結構斷裂點定位為：
+
+$$
 \boxed{
 \text{zero divisor / non-regular multiplier}
 \Rightarrow
 \text{lossless recovery may fail}.
 }
-\]
+$$
 
 另一方面，若係數位於 integral domain 或 field，非零 scalar multiplication 仍 injective；因此「non-unit modulo a lattice」與「zero divisor in the state algebra」必須分開，不能混成同一種失效。
 
-本文接著研究 order / metric semantics。進入 \(\mathbb C\) 後，affine closure 與 exact inversion均可保留，但不存在與 field operations 相容的 total order，因此原始：
-
-\[
+本文接著研究 order / metric semantics。進入 $\mathbb C$ 後，affine closure 與 exact inversion均可保留，但不存在與 field operations 相容的 total order，因此原始：
+
+$$
 F(n)<n
-\]
+$$
 
 型 descent theorem 失去自然意義。若選定 norm，則 contraction 應改為：
 
-\[
+$$
 \|F(x)-F(y)\|
 <
 \|x-y\|.
-\]
+$$
 
 更一般地，對 affine operator：
 
-\[
+$$
 F(x)=\lambda x+c,
-\]
+$$
 
 其 Lipschitz factor 是：
 
-\[
+$$
 |\lambda|_v
-\]
-
-相對於所選 absolute value / valuation \(v\)。
+$$
+
+相對於所選 absolute value / valuation $v$。
 
 本文以 Collatz word：
 
-\[
+$$
 w=UUDD
-\]
+$$
 
 為例：
 
-\[
+$$
 F_w(x)=\frac{9x+5}{16},
 \qquad
 \lambda=\frac9{16}.
-\]
+$$
 
 在不同幾何中：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 |\lambda|_\infty=\frac9{16}<1,
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 |\lambda|_2=16>1,
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 |\lambda|_3=\frac19<1.
 }
-\]
+$$
 
 因此同一個 operator 同時是：
 
 - real contraction；
-- \(2\)-adic expansion；
-- \(3\)-adic strong contraction。
+- $2$-adic expansion；
+- $3$-adic strong contraction。
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{contraction}
 =
@@ -217,35 +218,35 @@
 +
 \text{chosen valuation / norm}.
 }
-\]
-
-這把 Series A 中「判定域決定定理語義」具體化到 Collatz affine charts。既有 \(2\)-adic Collatz 研究確實將 parity sequences 與 \(2\)-adic integers 建立一一對應並研究其 induced dynamics；本文的作用不是重新發明 \(2\)-adic Collatz，而是用它作為 RCOT contraction semantics 的邊界案例。
+$$
+
+這把 Series A 中「判定域決定定理語義」具體化到 Collatz affine charts。既有 $2$-adic Collatz 研究確實將 parity sequences 與 $2$-adic integers 建立一一對應並研究其 induced dynamics；本文的作用不是重新發明 $2$-adic Collatz，而是用它作為 RCOT contraction semantics 的邊界案例。
 
 真正的第一個**乘法骨架級大斷裂**發生在非交換代數。若 branch 為：
 
-\[
+$$
 F_i(x)=A_ix+b_i
-\]
-
-而 \(A_i\) 為矩陣或非交換 algebra 元素，則：
-
-\[
+$$
+
+而 $A_i$ 為矩陣或非交換 algebra 元素，則：
+
+$$
 \boxed{
 F_w(x)
 =
 A_{i_k}\cdots A_{i_1}x+B_w.
 }
-\]
+$$
 
 一般：
 
-\[
+$$
 A_iA_j\neq A_jA_i.
-\]
+$$
 
 因此即使兩個 words 有完全相同 branch counts，也可能有不同 leading operator。本文給出：
 
-\[
+$$
 A=
 \begin{pmatrix}
 1&1\\
@@ -257,11 +258,11 @@
 1&0\\
 1&1
 \end{pmatrix},
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 AB=
 \begin{pmatrix}
 2&1\\
@@ -273,138 +274,138 @@
 1&2
 \end{pmatrix}
 =BA.
-\]
+$$
 
 因此：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{commutative scalar RCOT: order affects correction only;}
 }
-\]
+$$
 
 但：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{noncommutative RCOT: order affects leading drift and correction}.
 }
-\]
-
-這直接破壞 Paper 05–07 中僅以 \((k,u)\) 或 branch counts 計算 cylinder phase 的二項式壓縮。若 matrices 彼此 commute，尤其可 simultaneous diagonalize 時，則部分 count-based structure 可以在各 eigendirection 中恢復；因此真正邊界是「commutativity of the leading multipliers」，而非「dimension \(>1\)」本身。
+$$
+
+這直接破壞 Paper 05–07 中僅以 $(k,u)$ 或 branch counts 計算 cylinder phase 的二項式壓縮。若 matrices 彼此 commute，尤其可 simultaneous diagonalize 時，則部分 count-based structure 可以在各 eigendirection 中恢復；因此真正邊界是「commutativity of the leading multipliers」，而非「dimension $>1$」本身。
 
 本文再推至 Möbius / projective transformations：
 
-\[
+$$
 F(x)=\frac{ax+b}{cx+d}.
-\]
+$$
 
 此類映射仍由：
 
-\[
+$$
 \begin{pmatrix}
 a&b\\
 c&d
 \end{pmatrix}
-\]
+$$
 
 表示，composition 仍等於 matrix multiplication，所以保持固定四參數 projective closure：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{finite-dimensional operator closure survives}.
 }
-\]
+$$
 
 然而 arithmetic progression 一般不再送到 arithmetic progression；因此前七篇的：
 
-\[
+$$
 r+D\mathbb Z
 \longleftrightarrow
 m+A\mathbb Z
-\]
+$$
 
 型 linear cylinder transport 失效。這形成另一級邊界：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{projective closure survives while affine lattice transport fails}.
 }
-\]
-
-最後，若 branch 進入 degree \(>1\) polynomial maps，一般 composition degree 依：
-
-\[
+$$
+
+最後，若 branch 進入 degree $>1$ polynomial maps，一般 composition degree 依：
+
+$$
 \boxed{
 \deg(f\circ g)=\deg f\cdot\deg g
 }
-\]
+$$
 
 增長（在 integral-domain、非退化 leading coefficient 條件下）。因此 degree 至少 2 的 repeated iteration 通常產生：
 
-\[
+$$
 2,4,8,\ldots
-\]
+$$
 
 或一般乘法式 degree growth。這意味不存在一個固定 degree bound 的 polynomial family 能容納全部 word compositions。已有 polynomial dynamical systems 文獻專門研究 iteration 下的 degree growth；本文則將其作為 RCOT「固定 affine/projective operator class closure」之外的結構斷裂點。
 
 綜合以上，本文提出 **Algebraic Breakage Ladder**：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{unique affine atlas}
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \downarrow\quad\text{non-unit modulo quotient}
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 \text{branched / missing residue atlas}
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \downarrow\quad\text{zero divisor / non-regular multiplier}
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 \text{non-faithful recovery}
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \downarrow\quad\text{noncommutative leading multipliers}
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 \text{order-sensitive leading drift}
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \downarrow\quad\text{projective non-affinity}
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 \text{finite closure without lattice transport}
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \downarrow\quad\text{degree}>1\text{ nonlinear composition}
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 \text{loss of fixed-degree affine/projective closure}.
 }
-\]
+$$
 
 因此 RCOT 的核心域不是「任何可以寫公式的動力系統」，而是一個精確的代數判定域：
 
@@ -412,7 +413,7 @@
 
 Collatz 恰好位於這個判定域的一個極為乾淨的位置：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{scalar}
 +
@@ -424,11 +425,11 @@
 +
 \text{ordered positive-integer domain}.
 }
-\]
+$$
 
 所以它的局部算術幾乎可以完全平凡化，而全域困難集中在 chart itinerary。這也解釋了 Collatz 的特殊困難型態：它不是局部 operator 很複雜，而是**局部高度可解、全域選圖仍非平凡**。
 
-**關鍵詞：** Residue-Class Operation Translation、commutative ring、zero divisor、unit、\(p\)-adic norm、noncommutative algebra、Möbius transformation、polynomial dynamics、Collatz conjecture、algebraic boundary
+**關鍵詞：** Residue-Class Operation Translation、commutative ring、zero divisor、unit、$p$-adic norm、noncommutative algebra、Möbius transformation、polynomial dynamics、Collatz conjecture、algebraic boundary
 
 ---
 
@@ -436,15 +437,15 @@
 
 前七篇在：
 
-\[
+$$
 \mathbb Z_{>0}
-\]
+$$
 
 與：
 
-\[
+$$
 \mathbb Q
-\]
+$$
 
 上反覆使用以下結構：
 
@@ -469,43 +470,43 @@
 
 而問：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{Which algebraic property supports which theorem?}
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
 # 2. 一般交換標量仿射 Branch
 
-令 \(R\) 為交換環或其適當 localization。
+令 $R$ 為交換環或其適當 localization。
 
 每個 branch：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 F_i(x)
 =
 \frac{a_ix+b_i}{d_i}.
 }
-\]
+$$
 
 形式上可記成 triple：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 (a_i,b_i,d_i).
 }
-\]
+$$
 
 若 denominator 在所選 localization 中可逆，
 
 則：
 
-\[
+$$
 F_i:R'\to R'
-\]
+$$
 
 為合法 affine map。
 
@@ -515,19 +516,19 @@
 
 先：
 
-\[
+$$
 F_1(x)=\frac{a_1x+b_1}{d_1},
-\]
+$$
 
 再：
 
-\[
+$$
 F_2(x)=\frac{a_2x+b_2}{d_2}.
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 F_2(F_1(x))
 =
 \frac{
@@ -535,11 +536,11 @@
 }{
 d_2d_1
 }.
-\]
+$$
 
 所以 triple composition：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 (a_2,b_2,d_2)\circ(a_1,b_1,d_1)
 =
@@ -547,7 +548,7 @@
 a_2b_1+b_2d_1,\,
 d_2d_1).
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -555,43 +556,43 @@
 
 對 word：
 
-\[
+$$
 w=i_1\cdots i_k
-\]
+$$
 
 （由左到右執行），
 
 有：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 F_w(x)
 =
 \frac{A_wx+B_w}{D_w},
 }
-\]
+$$
 
 其中：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 A_w
 =
 \prod_{j=1}^{k}a_{i_j},
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 D_w
 =
 \prod_{j=1}^{k}d_{i_j},
 }
-\]
+$$
 
 以及：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 B_w
 =
@@ -604,7 +605,7 @@
 \prod_{\ell=1}^{j-1}d_{i_\ell}
 \right).
 }
-\]
+$$
 
 這是 RCOT 的一般 affine mother formula。
 
@@ -612,41 +613,41 @@
 
 # 5. 第一個關鍵：交換性
 
-若 \(R\) commutative，
+若 $R$ commutative，
 
 則：
 
-\[
+$$
 A_w
-\]
-
-只看每種 \(a_i\) 出現幾次。
+$$
+
+只看每種 $a_i$ 出現幾次。
 
 同理：
 
-\[
+$$
 D_w
-\]
+$$
 
 只看每種 denominator 的 counts。
 
 但是：
 
-\[
+$$
 B_w
-\]
+$$
 
 仍依賴各 branch 的位置。
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{commutative leading multipliers}
 \Rightarrow
 \text{counts determine skeleton}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -656,47 +657,47 @@
 
 ### L1 — Operator Closure
 
-\[
+$$
 \text{finite word}
 \to
 \text{same operator class}.
-\]
+$$
 
 ### L2 — Count/Order Split
 
-\[
+$$
 \text{counts}\to\text{leading skeleton},
 \qquad
 \text{order}\to\text{correction}.
-\]
+$$
 
 ### L3 — Unique Residue Chart
 
-\[
+$$
 \text{word}
 \leftrightarrow
 \text{one residue class}.
-\]
+$$
 
 ### L4 — Exact Recovery
 
-\[
+$$
 \text{target coordinate}
 \to
 \text{unique source}.
-\]
+$$
 
 ### L5 — Contraction Semantics
 
-\[
+$$
 F(x)<x
-\]
+$$
 
 或：
 
-\[
+$$
 \|F(x)-F(y)\|<\|x-y\|.
-\]
+$$
 
 這五層不是同一個條件。
 
@@ -706,33 +707,33 @@
 
 在整數 Collatz 中：
 
-\[
-A_wr+B_w
+$$
+A_wx+B_w
 \equiv0
 \pmod{D_w}.
-\]
-
-一般化到環 \(R\) 與 ideal \(I\)：
-
-\[
+$$
+
+一般化到環 $R$ 與 ideal $I$：
+
+$$
 \boxed{
 A_wx+B_w
 \equiv0
 \pmod I.
 }
-\]
+$$
 
 在 quotient：
 
-\[
+$$
 R/I
-\]
+$$
 
 中即：
 
-\[
+$$
 [A_w][x]=-[B_w].
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -740,23 +741,23 @@
 
 如果：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 [A_w]\in(R/I)^\times,
 }
-\]
-
-即 \(A_w\) 在 quotient ring 中為 unit，
+$$
+
+即 $A_w$ 在 quotient ring 中為 unit，
 
 則：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 [x]
 =
 -[A_w]^{-1}[B_w]
 }
-\]
+$$
 
 唯一。
 
@@ -764,27 +765,27 @@
 
 ## Theorem 8.1 — Quotient-Unit Criterion
 
-\[
+$$
 \boxed{
 [A_w]\text{ unit in }R/I
 \Rightarrow
 \text{unique residue chart}.
 }
-\]
+$$
 
 Collatz：
 
-\[
+$$
 A_w=3^u,
 \qquad
 I=(2^k),
-\]
+$$
 
 而：
 
-\[
+$$
 \gcd(3^u,2^k)=1,
-\]
+$$
 
 所以條件自動成立。
 
@@ -794,25 +795,25 @@
 
 若：
 
-\[
+$$
 [A_w]
-\]
+$$
 
 不是 unit，
 
 則 multiplication map：
 
-\[
+$$
 M_{A_w}:R/I\to R/I
-\]
+$$
 
 不再保證 bijective。
 
 所以：
 
-\[
+$$
 A_wx=-B_w
-\]
+$$
 
 可能：
 
@@ -822,13 +823,13 @@
 
 因此：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{one word}
 \leftrightarrow
 \text{one residue}
 }
-\]
+$$
 
 不再是結構定理。
 
@@ -838,81 +839,81 @@
 
 在：
 
-\[
+$$
 \mathbb Z/6\mathbb Z,
-\]
+$$
 
 考慮：
 
-\[
+$$
 2x\equiv2\pmod6.
-\]
+$$
 
 有：
 
-\[
+$$
 x\equiv1,
-\]
+$$
 
 亦有：
 
-\[
+$$
 x\equiv4.
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{one equation has multiple residue charts}.
 }
-\]
+$$
 
 另一方面：
 
-\[
+$$
 2x\equiv1\pmod6
-\]
+$$
 
 無解。
 
 因此 non-unit 使 atlas 變成：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{zero / one / multiple charts}.
 }
-\]
-
----
-
-# 11. 第一個斷裂：Unique Atlas \(\to\) Branched Atlas
+$$
+
+---
+
+# 11. 第一個斷裂：Unique Atlas $\to$ Branched Atlas
 
 注意這時：
 
-\[
+$$
 F_w(x)
 =
 \frac{A_wx+B_w}{D_w}
-\]
+$$
 
 的 affine formula 完全沒有壞。
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{operator closure survives}.
 }
-\]
+$$
 
 真正壞的是：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{residue uniqueness}.
 }
-\]
+$$
 
 這是 RCOT 第一級結構斷裂。
 
@@ -922,42 +923,42 @@
 
 現在看：
 
-\[
+$$
 R=\mathbb Z/6\mathbb Z.
-\]
+$$
 
 乘法：
 
-\[
+$$
 x\mapsto2x.
-\]
+$$
 
 有：
 
-\[
+$$
 2\cdot1
 =
 2
 \pmod6,
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 2\cdot4
 =
 8
 \equiv2
 \pmod6.
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 1\neq4
 \quad\text{but}\quad
 2\cdot1=2\cdot4.
 }
-\]
+$$
 
 此 map 非 injective。
 
@@ -965,50 +966,50 @@
 
 # 13. Regular Multiplier Criterion
 
-對一般 ring \(R\)，
+對一般 ring $R$，
 
 若：
 
-\[
+$$
 Ax=Ay,
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 A(x-y)=0.
-\]
+$$
 
 要推出：
 
-\[
+$$
 x=y,
-\]
-
-需要 multiplication by \(A\) 沒有非零 kernel。
+$$
+
+需要 multiplication by $A$ 沒有非零 kernel。
 
 也就是：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 A\text{ is regular / non-zero-divisor on the relevant module}.
 }
-\]
+$$
 
 因此：
 
 ## Theorem 13.1 — Recovery Criterion
 
-\[
+$$
 \boxed{
 A\text{ regular}
 \Rightarrow
 x\mapsto Ax+B
 \text{ injective}.
 }
-\]
-
-若 \(A\) 是 zero divisor，
+$$
+
+若 $A$ 是 zero divisor，
 
 lossless recovery 可失敗。
 
@@ -1018,37 +1019,37 @@
 
 例如在：
 
-\[
+$$
 R=\mathbb Z,
-\]
-
-\(2\) 不是 unit，
+$$
+
+$2$ 不是 unit，
 
 但：
 
-\[
+$$
 2x=2y
 \Rightarrow
 x=y.
-\]
+$$
 
 因：
 
-\[
+$$
 \mathbb Z
-\]
+$$
 
 是 integral domain。
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{non-unit}
 \not\Rightarrow
 \text{non-injective}.
 }
-\]
+$$
 
 真正要分：
 
@@ -1059,35 +1060,35 @@
 
 # 15. Integral Domain 的位置
 
-若 \(R\) 為 integral domain，
+若 $R$ 為 integral domain，
 
 則任何：
 
-\[
+$$
 A\neq0
-\]
+$$
 
 都不是 zero divisor。
 
 所以：
 
-\[
+$$
 x\mapsto Ax+B
-\]
+$$
 
 injective。
 
 若再進入 fraction field：
 
-\[
+$$
 \operatorname{Frac}(R),
-\]
+$$
 
 所有：
 
-\[
+$$
 A\neq0
-\]
+$$
 
 皆可逆。
 
@@ -1099,37 +1100,37 @@
 
 現在從 algebraic invertibility 轉到 order semantics。
 
-\[
+$$
 \mathbb Q,\mathbb R
-\]
+$$
 
 可以用：
 
-\[
+$$
 <
-\]
+$$
 
 定義：
 
-\[
+$$
 F(n)<n.
-\]
+$$
 
 但：
 
-\[
+$$
 \mathbb C
-\]
+$$
 
 不存在與 field addition/multiplication 相容的 total order。
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 F(z)<z
 }
-\]
+$$
 
 沒有自然 field-theoretic 意義。
 
@@ -1139,41 +1140,41 @@
 
 對：
 
-\[
+$$
 F(x)=\lambda x+c,
-\]
+$$
 
 任意兩點：
 
-\[
+$$
 F(x)-F(y)
 =
 \lambda(x-y).
-\]
+$$
 
 因此在 multiplicative absolute value：
 
-\[
+$$
 |\cdot|_v
-\]
+$$
 
 下：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 |F(x)-F(y)|_v
 =
 |\lambda|_v|x-y|_v.
 }
-\]
+$$
 
 所以 contraction 的真正 metric criterion：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 |\lambda|_v<1.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -1181,67 +1182,67 @@
 
 取 Collatz word：
 
-\[
+$$
 w=UUDD.
-\]
+$$
 
 Paper 02：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 F_w(x)
 =
 \frac{9x+5}{16}.
 }
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \lambda=\frac9{16}.
-\]
+$$
 
 ---
 
 # 19. Real Absolute Value
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \left|\frac9{16}\right|_\infty
 =
 \frac9{16}<1.
 }
-\]
+$$
 
 因此它是 real contraction。
 
 ---
 
-# 20. \(2\)-adic Absolute Value
+# 20. $2$-adic Absolute Value
 
 標準 normalization：
 
-\[
+$$
 |2|_2=\frac12.
-\]
+$$
 
 因：
 
-\[
+$$
 v_2(9)=0,
 \qquad
 v_2(16)=4,
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 v_2(9/16)=-4.
-\]
+$$
 
 故：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \left|\frac9{16}\right|_2
 =
@@ -1249,21 +1250,21 @@
 =
 16>1.
 }
-\]
-
-同一 operator 是 \(2\)-adic expansion。
-
----
-
-# 21. \(3\)-adic Absolute Value
-
-\[
+$$
+
+同一 operator 是 $2$-adic expansion。
+
+---
+
+# 21. $3$-adic Absolute Value
+
+$$
 v_3(9/16)=2.
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \left|\frac9{16}\right|_3
 =
@@ -1271,9 +1272,9 @@
 =
 \frac19<1.
 }
-\]
-
-因此是 \(3\)-adic strong contraction。
+$$
+
+因此是 $3$-adic strong contraction。
 
 ---
 
@@ -1281,23 +1282,23 @@
 
 所以不能只寫：
 
-\[
+$$
 \text{word }w\text{ is contracting}.
-\]
+$$
 
 更完整應寫：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 (w,v)\text{ is contracting}
 }
-\]
+$$
 
 其中：
 
-\[
+$$
 v
-\]
+$$
 
 指定 valuation / norm。
 
@@ -1305,11 +1306,11 @@
 
 選的是：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{Archimedean order / absolute value}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -1317,79 +1318,79 @@
 
 主 multiplier：
 
-\[
+$$
 \lambda_w=\frac{3^u}{2^k}.
-\]
+$$
 
 所以：
 
 ### Archimedean
 
-\[
+$$
 \boxed{
 |\lambda_w|_\infty
 =
 3^u/2^k.
 }
-\]
-
-### \(2\)-adic
-
-\[
+$$
+
+### $2$-adic
+
+$$
 \boxed{
 |\lambda_w|_2
 =
 2^k.
 }
-\]
-
-### \(3\)-adic
-
-\[
+$$
+
+### $3$-adic
+
+$$
 \boxed{
 |\lambda_w|_3
 =
 3^{-u}.
 }
-\]
+$$
 
 因此只要：
 
-\[
+$$
 k>0,
-\]
-
-固定 finite Collatz word 在 \(2\)-adic metric 的 difference dynamics 是 expansion；
+$$
+
+固定 finite Collatz word 在 $2$-adic metric 的 difference dynamics 是 expansion；
 
 只要：
 
-\[
+$$
 u>0,
-\]
-
-在 \(3\)-adic metric 則是 contraction。
-
----
-
-# 24. 這與 \(2\)-adic Collatz 文獻的關係
+$$
+
+在 $3$-adic metric 則是 contraction。
+
+---
+
+# 24. 這與 $2$-adic Collatz 文獻的關係
 
 既有研究已建立：
 
-\[
+$$
 \mathbb Z_2
-\]
+$$
 
 與 Collatz parity sequences 的 one-to-one coding，並研究 induced automorphism / conjugacy dynamics。
 
-本文不宣稱 \(2\)-adic Collatz 是新結果。
+本文不宣稱 $2$-adic Collatz 是新結果。
 
 本文使用：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 |\lambda_w|_2
 }
-\]
+$$
 
 來指出一件 RCOT 的一般原則：
 
@@ -1401,41 +1402,41 @@
 
 現在令 state：
 
-\[
+$$
 x\in V
-\]
+$$
 
 為向量，
 
 branch：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 F_i(x)=A_ix+b_i.
 }
-\]
+$$
 
 其中：
 
-\[
+$$
 A_i\in\operatorname{End}(V).
-\]
+$$
 
 對 word：
 
-\[
+$$
 w=i_1\cdots i_k,
-\]
+$$
 
 有：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 F_w(x)
 =
 A_{i_k}\cdots A_{i_1}x+B_w.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -1443,7 +1444,7 @@
 
 取：
 
-\[
+$$
 A=
 \begin{pmatrix}
 1&1\\
@@ -1455,37 +1456,37 @@
 1&0\\
 1&1
 \end{pmatrix}.
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 AB
 =
 \begin{pmatrix}
 2&1\\
 1&1
 \end{pmatrix},
-\]
+$$
 
 但：
 
-\[
+$$
 BA
 =
 \begin{pmatrix}
 1&1\\
 1&2
 \end{pmatrix}.
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 AB\neq BA.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -1493,38 +1494,38 @@
 
 words：
 
-\[
+$$
 AB
-\]
+$$
 
 與：
 
-\[
+$$
 BA
-\]
+$$
 
 都含：
 
-- 一個 \(A\)；
-- 一個 \(B\)。
+- 一個 $A$；
+- 一個 $B$。
 
 branch counts 完全相同。
 
 但：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 L_{AB}\neq L_{BA}.
 }
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{counts no longer determine the leading drift}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -1532,22 +1533,22 @@
 
 交換標量：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{order}\to\text{correction only}.
 }
-\]
+$$
 
 非交換：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{order}\to
 \text{leading operator}
 +
 \text{correction}.
 }
-\]
+$$
 
 這是比 residue branching 更深的結構斷裂。
 
@@ -1559,21 +1560,21 @@
 
 固定：
 
-\[
+$$
 k,u
-\]
+$$
 
 就知道：
 
-\[
+$$
 \lambda_w=\frac{3^u}{2^k}.
-\]
+$$
 
 因此所有：
 
-\[
+$$
 \binom ku
-\]
+$$
 
 個 words 共用同一 skeleton side。
 
@@ -1583,15 +1584,15 @@
 
 不同排列仍有不同 product：
 
-\[
+$$
 A_{i_k}\cdots A_{i_1}.
-\]
+$$
 
 所以不能再用：
 
-\[
+$$
 \binom ku
-\]
+$$
 
 一次分類整族 words。
 
@@ -1601,17 +1602,17 @@
 
 scalar：
 
-\[
+$$
 \lambda_w\in\mathbb R.
-\]
+$$
 
 matrix：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 L_w=A_{i_k}\cdots A_{i_1}.
 }
-\]
+$$
 
 若要談 contraction，
 
@@ -1625,13 +1626,13 @@
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{one-dimensional phase boundary}
 \to
 \text{spectral/operator phase structure}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -1639,75 +1640,77 @@
 
 若所有：
 
-\[
+$$
 A_iA_j=A_jA_i,
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 L_w
-\]
+$$
 
 仍只看 counts。
 
 若還能 simultaneous diagonalize：
 
-\[
+$$
 A_i=P\Lambda_iP^{-1},
-\]
-
-則每個 eigendirection \(q\) 都有 scalar-like multiplier：
-
-\[
+$$
+
+則每個 eigendirection $q$ 都有 scalar-like multiplier：
+
+$$
 \boxed{
 \lambda_{w,q}
 =
 \prod_i
 \lambda_{i,q}^{\,c_i(w)}.
 }
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{dimension}>1
 \text{ does not itself kill count/order decomposition}.
 }
-\]
+$$
 
 真正的斷裂條件是：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{noncommutativity of leading multipliers}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
 # 32. Möbius / Projective Layer
 
-考慮：
-
-\[
+本節先令係數位於一個 field $K$。考慮：
+
+$$
 \boxed{
 F(x)
 =
 \frac{ax+b}{cx+d},
 }
-\]
-
-其中：
-
-\[
+$$
+
+其中 $a,b,c,d\in K$，且：
+
+$$
 ad-bc\neq0.
-\]
+$$
+
+在 field 上這正是 matrix invertibility 的條件。若改在一般 commutative ring $R$ 上工作，則應把條件改成 $ad-bc\in R^\times$，projective rescaling 也只允許乘以 units。
 
 它對應 matrix：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 M_F=
 \begin{pmatrix}
@@ -1715,9 +1718,9 @@
 c&d
 \end{pmatrix}
 }
-\]
-
-up to nonzero scalar multiple。
+$$
+
+up to nonzero scalar multiple in $K$。
 
 ---
 
@@ -1725,39 +1728,39 @@
 
 若：
 
-\[
+$$
 F\leftrightarrow M_F,
 \qquad
 G\leftrightarrow M_G,
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 G\circ F
 \leftrightarrow
 M_GM_F.
 }
-\]
+$$
 
 因此任意 finite word 仍由四個 projective coefficients 描述：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 F_w(x)
 =
 \frac{A_wx+B_w}{C_wx+D_w}.
 }
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{fixed-dimensional closure survives}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -1765,29 +1768,29 @@
 
 affine：
 
-\[
+$$
 x=r+qa
-\]
+$$
 
 代入：
 
-\[
+$$
 F(x)=\alpha x+\beta
-\]
+$$
 
 仍得到：
 
-\[
+$$
 F(r+qa)
 =
 r'+q'a.
-\]
-
-所以 quotient label \(a\) 線性保留。
+$$
+
+所以 quotient label $a$ 線性保留。
 
 Möbius：
 
-\[
+$$
 F(r+qa)
 =
 \frac{
@@ -1795,29 +1798,29 @@
 }{
 c_0(r+qa)+d_0
 },
-\]
+$$
 
 分母本身依賴：
 
-\[
+$$
 a.
-\]
+$$
 
 一般不能整理成：
 
-\[
+$$
 s+pa.
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{arithmetic progression}
 \not\to
 \text{arithmetic progression}
 }
-\]
+$$
 
 一般成立。
 
@@ -1831,15 +1834,15 @@
 - matrix representation：✓
 - exact inversion（away from poles）：✓
 - simple affine lattice transport：✗
-- quotient-label identity \(a\mapsto a\)：一般 ✗
+- quotient-label identity $a\mapsto a$：一般 ✗
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{operator closure can survive after RCOT lattice geometry dies}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -1847,9 +1850,9 @@
 
 任何 invertible local map 都可以透過把 target coordinate 定義成：
 
-\[
+$$
 F^{-1}
-\]
+$$
 
 而形式上 trivialize。
 
@@ -1857,59 +1860,59 @@
 
 RCOT 更強的地方是：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{source and target charts are simple arithmetic quotient coordinates}.
 }
-\]
+$$
 
 即：
 
-\[
+$$
 \frac{x-r}{D}
 \quad\leftrightarrow\quad
 \frac{y-s}{A}.
-\]
+$$
 
 Möbius 一般失去這個簡單 lattice-coordinate structure。
 
 ---
 
-# 37. Degree \(>1\) Polynomial Layer
+# 37. Degree $>1$ Polynomial Layer
 
 考慮：
 
-\[
+$$
 f(x)=x^2+1.
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 f^{\circ2}(x)
 =
 (x^2+1)^2+1
-\]
+$$
 
 degree：
 
-\[
+$$
 4.
-\]
+$$
 
 再 iteration：
 
-\[
+$$
 \deg f^{\circ3}=8.
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \deg f^{\circ k}=2^k.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -1917,35 +1920,35 @@
 
 對 nonconstant polynomials over an integral domain：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \deg(f\circ g)
 =
 \deg f\cdot\deg g.
 }
-\]
+$$
 
 因此若 branch degrees：
 
-\[
+$$
 d_i\ge1,
-\]
+$$
 
 word degree：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \deg F_w
 =
 \prod_jd_{i_j}.
 }
-\]
+$$
 
 只要反覆出現某個：
 
-\[
+$$
 d_i>1,
-\]
+$$
 
 degree 可無界增長。
 
@@ -1955,15 +1958,15 @@
 
 affine：
 
-\[
+$$
 \deg=1
-\]
+$$
 
 composition 後仍：
 
-\[
+$$
 \deg=1.
-\]
+$$
 
 Möbius：
 
@@ -1973,23 +1976,23 @@
 
 一般 polynomial：
 
-\[
+$$
 \deg>1
-\]
+$$
 
 composition 後 degree 乘法增長。
 
 所以不存在固定：
 
-\[
+$$
 D<\infty
-\]
+$$
 
 使所有 finite words 都落在：
 
-\[
+$$
 \{\deg f\le D\}
-\]
+$$
 
 之內，除非系統有特殊退化。
 
@@ -1999,21 +2002,21 @@
 
 例如單一：
 
-\[
+$$
 x\mapsto x^2
-\]
-
-的第 \(k\) 次 iteration：
-
-\[
+$$
+
+的第 $k$ 次 iteration：
+
+$$
 x^{2^k}
-\]
+$$
 
 仍可用：
 
-\[
+$$
 k
-\]
+$$
 
 簡短描述。
 
@@ -2023,13 +2026,13 @@
 
 本文只主張：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{generic degree}>1
 \Rightarrow
 \text{fixed affine/projective coefficient class is not closed}.
 }
-\]
+$$
 
 這是嚴格且足夠的判定域邊界。
 
@@ -2051,17 +2054,17 @@
 
 | Algebra / Operator Class | Finite Closure | Count→Leading Skeleton | Unique Residue | Exact Recovery | Natural Descent |
 |---|---:|---:|---:|---:|---:|
-| \(\mathbb Z,\mathbb Q\) scalar affine | ✓ | ✓ | unit/gcd 下 ✓ | ✓ | ✓ |
+| $\mathbb Z,\mathbb Q$ scalar affine | ✓ | ✓ | unit/gcd 下 ✓ | ✓ | ✓ |
 | commutative integral domain affine | ✓ | ✓ | quotient-unit 下 ✓ | ✓ for nonzero multiplier | 若可排序 |
 | quotient / non-unit multiplier | ✓ | ✓ | ✗ / branched | 可局部保留 | 視結構 |
 | zero-divisor ring | ✓ | ✓ | 不保證 | ✗ 可失敗 | 通常無自然序 |
-| \(\mathbb C\) affine | ✓ | ✓ | 視 quotient | ✓ | \(<\) 無；可用 norm |
-| \(p\)-adic field affine | ✓ | ✓ | 視 lattice | ✓ | valuation-relative |
+| $\mathbb C$ affine | ✓ | ✓ | 視 quotient | ✓ | $<$ 無；可用 norm |
+| $p$-adic field affine | ✓ | ✓ | 視 lattice | ✓ | valuation-relative |
 | commuting matrices affine | ✓ | 部分 ✓ | 不再是 scalar residue 問題 | invertibility 下 ✓ | norm/spectral |
 | noncommuting matrices affine | ✓ | ✗ | scalar cylinder law失效 | invertibility 下 ✓ | norm/spectral |
 | Möbius / projective | ✓ | matrix-order dependent | affine residue law一般失效 | away from poles ✓ | projective/norm dependent |
-| degree \(>1\) polynomial | polynomial class ✓ but degree grows | 一般 ✗ | affine cylinder law ✗ | map-dependent | map-dependent |
-| fixed-degree affine/projective class | degree \(>1\) 後 ✗ | — | — | — | — |
+| degree $>1$ polynomial | polynomial class ✓ but degree grows | 一般 ✗ | affine cylinder law ✗ | map-dependent | map-dependent |
+| fixed-degree affine/projective class | degree $>1$ 後 ✗ | — | — | — | — |
 
 ---
 
@@ -2081,11 +2084,11 @@
 
 得到：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{closure + unique residue + recovery + count/order split}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -2093,19 +2096,19 @@
 
 當：
 
-\[
+$$
 [A_w]
-\]
+$$
 
 不是 quotient unit。
 
 失去：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{unique residue coding}.
 }
-\]
+$$
 
 但 affine closure 還在。
 
@@ -2117,11 +2120,11 @@
 
 失去：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{exact inverse recovery}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -2129,17 +2132,17 @@
 
 當：
 
-\[
+$$
 A_iA_j\neq A_jA_i.
-\]
+$$
 
 失去：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{counts determine leading skeleton}.
 }
-\]
+$$
 
 order 進入主 operator。
 
@@ -2151,25 +2154,25 @@
 
 但失去：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{arithmetic-progression transport}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
 ## Level 5 — Nonlinear Growing Operator Space
 
-degree \(>1\) composition 導致 degree growth。
+degree $>1$ composition 導致 degree growth。
 
 失去：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{fixed affine/projective operator-family closure}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -2181,7 +2184,7 @@
 
 形式上：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{RCOT Core}
 =
@@ -2191,7 +2194,7 @@
 +
 \text{regular recovery multiplier}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -2205,41 +2208,41 @@
 
 state domain 具有與 algebra 相容的 order：
 
-\[
+$$
 <
-\]
+$$
 
 可比較：
 
-\[
+$$
 F(n)<n.
-\]
+$$
 
 ### Metric RCOT
 
 或指定：
 
-\[
+$$
 |\cdot|_v,\quad\|\cdot\|
-\]
+$$
 
 再以：
 
-\[
+$$
 |\lambda|_v<1
-\]
+$$
 
 定義 contraction。
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{algebraic RCOT}
 \neq
 \text{ordered/metric RCOT}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -2247,43 +2250,43 @@
 
 Collatz：
 
-\[
+$$
 D(x)=x/2,
 \qquad
 U(x)=(3x+1)/2.
-\]
+$$
 
 具有：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{scalar}
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 \text{affine}
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 \text{commutative}
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 3^u\in(\mathbb Z/2^k\mathbb Z)^\times
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 3^u\neq0
 }
-\]
+$$
 
 以及 positive-integer order。
 
@@ -2309,21 +2312,21 @@
 
 固定 finite word 時：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{local arithmetic is almost maximally simple}.
 }
-\]
+$$
 
 甚至：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \psi_wT^k\phi_w^{-1}
 =
 \operatorname{id}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -2331,9 +2334,9 @@
 
 不在：
 
-\[
+$$
 3n+1
-\]
+$$
 
 單步公式。
 
@@ -2343,7 +2346,7 @@
 
 而在：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \mathcal A_{w_0}
 \to
@@ -2352,15 +2355,15 @@
 \mathcal A_{w_2}
 \to\cdots.
 }
-\]
+$$
 
 也就是：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{global chart itinerary}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -2368,19 +2371,19 @@
 
 一個系統可以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{locally exactly trivializable}
 }
-\]
+$$
 
 但：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{global transition law remains nontrivial}.
 }
-\]
+$$
 
 Collatz 正是這種 case。
 
@@ -2398,16 +2401,16 @@
 - 所有 noncommutative systems 都不可分析；
 - Möbius systems 無法 local trivialize；
 - nonlinear systems 無法壓縮；
-- \(p\)-adic contraction 可以替代正整數 Collatz descent；
+- $p$-adic contraction 可以替代正整數 Collatz descent；
 - RCOT 是 generalized Collatz literature 的替代品。
 
 本文只建立：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{which specific RCOT theorem depends on which algebraic property}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -2415,50 +2418,50 @@
 
 ## Theorem A — Commutative Affine Closure
 
-\[
+$$
 \boxed{
 F_w(x)=\frac{A_wx+B_w}{D_w}.
 }
-\]
+$$
 
 ## Theorem B — Quotient-Unit Residue Criterion
 
-\[
+$$
 \boxed{
 [A_w]\in(R/I)^\times
 \Rightarrow
 \text{unique residue}.
 }
-\]
+$$
 
 ## Theorem C — Regular-Multiplier Recovery Criterion
 
-\[
+$$
 \boxed{
 A_w\text{ regular}
 \Rightarrow
 x\mapsto A_wx+B_w
 \text{ injective}.
 }
-\]
+$$
 
 ## Theorem D — Geometry-Relative Contraction
 
-\[
+$$
 \boxed{
 |F(x)-F(y)|_v
 =
 |\lambda|_v|x-y|_v.
 }
-\]
+$$
 
 ## Theorem E — Noncommutative Skeleton Breakage
 
 若：
 
-\[
+$$
 A_iA_j\neq A_jA_i,
-\]
+$$
 
 則 equal branch counts 不足以決定 leading word operator。
 
@@ -2470,13 +2473,13 @@
 
 對 nonconstant polynomials over an integral domain：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \deg(f\circ g)=\deg f\,\deg g.
 }
-\]
-
-所以 degree \(>1\) iteration 一般離開所有固定-degree affine/projective classes。
+$$
+
+所以 degree $>1$ iteration 一般離開所有固定-degree affine/projective classes。
 
 ---
 
@@ -2490,69 +2493,69 @@
 
 而是：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{the theorem breaks when a supporting algebraic property disappears}.
 }
-\]
+$$
 
 具體而言：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{non-unit}
 \Rightarrow
 \text{residue uniqueness breaks},
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 \text{zero divisor}
 \Rightarrow
 \text{faithful recovery may break},
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 \text{loss of order}
 \Rightarrow
 \text{descent semantics changes},
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 \text{noncommutativity}
 \Rightarrow
 \text{leading drift becomes order-sensitive},
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 \text{projective non-affinity}
 \Rightarrow
 \text{lattice transport breaks},
 }
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 \boxed{
 \text{nonlinear degree growth}
 \Rightarrow
 \text{fixed affine/projective closure breaks}.
 }
-\]
+$$
 
 因此前七篇的 Collatz local atlas 應被定位在：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \textbf{commuting scalar affine residue-class dynamics}
 }
-\]
+$$
 
 這一非常精確的數學區域中。
 
@@ -2564,13 +2567,13 @@
 
 Paper 09 將回答這個問題，建立 **Finite Certificate Frontier**，將本系列所有 local results 統合成 finite exact coverage objects，並正式標出：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{finite coverage completeness}
 \quad\text{與}\quad
 \text{infinite universal convergence}
 }
-\]
+$$
 
 之間最後不能被偷渡的量詞鴻溝。
 
@@ -2594,14 +2597,14 @@
 核心任務：
 
 1. 定義 finite chart certificate；
-2. 定義 finite certificate family \(\mathcal C_N\)；
+2. 定義 finite certificate family $\mathcal C_N$；
 3. 定義 exact coverage completeness：
-   \[
+   $$
    [1,N]\subseteq\bigcup_{\gamma\in\mathcal C_N}D_\gamma;
-   \]
+   $$
 4. 將 descent、merge、terminal、inverse-fiber certificates 統一；
 5. 形式化 strong-induction closure；
-6. 把先前 \(k=16\) threshold certificates 放入統一 proof-object schema；
+6. 把先前 $k=16$ threshold certificates 放入統一 proof-object schema；
 7. 定義 certificate frontier / hard-cylinder frontier；
-8. 證明 finite \(N\) 的 certificate completeness 不等於 infinite universal frontier；
+8. 證明 finite $N$ 的 certificate completeness 不等於 infinite universal frontier；
 9. 最終把 Collatz 全域困難壓縮為 itinerary well-foundedness / absence of infinite uncertified branch 的形式。