--- original/03__Parity Word、Residue Cylinder 與局部 Identity 化.md
+++ corrected/03
@@ -6,8 +6,9 @@
 **作者：** Neo.K  
 **機構：** 一言諾科技有限公司（EveMissLab）  
 **系列：** Collatz Operation Translation Series — Paper 03  
-**版本：** v0.1  
-**日期：** 2026-08-10
+**版本：** v0.1.1  
+**日期：** 2026-08-10  
+**修訂日期：** 2026-08-14
 
 ---
 
@@ -308,10 +309,16 @@
 
 假設對某個長度 $k$ 的字 $w$，
 
-已存在唯一：
-
-$$
-r_w\pmod{2^k}
+已存在唯一 residue class：
+
+$$
+r_w\pmod{2^k},
+$$
+
+並取其 canonical representative：
+
+$$
+0\le r_w<2^k.
 $$
 
 使：
@@ -338,13 +345,22 @@
 \frac{3^ur_w+b_w}{2^k}.
 $$
 
-因：
-
-$$
-r_w\in\Omega_w,
-$$
-
-故：
+由 cylinder hypothesis，無論 $r_w$ 是否為 $0$，都有：
+
+$$
+r_w+2^k\in\Omega_w.
+$$
+
+因此 $F_w$ 在這個正整數 admissible input 上等於真正的 $T^k$，故：
+
+$$
+F_w(r_w+2^k)
+=
+m_w+3^u
+\in\mathbb Z.
+$$
+
+因 $3^u\in\mathbb Z$，遂得：
 
 $$
 m_w\in\mathbb Z.