--- original/09__Collatz_OT_Series_Paper_09_Finite_Certificate_Frontier_v0.1.md
+++ corrected/09
@@ -6,8 +6,9 @@
 **作者：** Neo.K  
 **機構：** 一言諾科技有限公司（EveMissLab）  
 **系列：** Collatz Operation Translation Series — Paper 09  
-**版本：** v0.1  
-**日期：** 2026-08-11
+**版本：** v0.1.1  
+**日期：** 2026-08-11  
+**修訂日期：** 2026-08-14
 
 ---
 
@@ -15,17 +16,17 @@
 
 本系列前八篇已將 modified Collatz map
 
-\[
+$$
 T(n)=
 \begin{cases}
 n/2,&n\equiv0\pmod2,\\[2mm]
 (3n+1)/2,&n\equiv1\pmod2
 \end{cases}
-\]
+$$
 
 的有限局部動力分解為：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{finite parity word}
 \longleftrightarrow
@@ -35,71 +36,71 @@
 \longrightarrow
 \text{local identity chart}
 }
-\]
+$$
 
 並建立：
 
-\[
+$$
 T^k(r_w+2^ka)=m_w+3^{u(w)}a,
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 T^k(n)<n
 \iff
 b_w<(2^k-3^{u(w)})n,
-\]
-
-以及 exact inverse recovery、valuation language、generalized \(mx+r\) 與 RCOT algebraic boundary。
+$$
+
+以及 exact inverse recovery、valuation language、generalized $mx+r$ 與 RCOT algebraic boundary。
 
 本文完成最後一步：將上述局部結構整理為**有限精確證書系統**，並明確標示 finite verification 與 Collatz 全域猜想之間最後不能被跨越的量詞鴻溝。
 
-本文首先採用 coefficient stopping-time 形式。對 \(n>1\)，定義：
-
-\[
+本文首先採用 coefficient stopping-time 形式。對 $n>1$，定義：
+
+$$
 \boxed{
 \sigma(n)
 =
 \inf\{j\ge1:T^j(n)<n\}.
 }
-\]
-
-若所有 \(n>1\) 都有有限 \(\sigma(n)\)，則由 strong induction 可推出所有正整數最終進入 \(1\leftrightarrow2\) cycle。因此：
-
-\[
+$$
+
+若所有 $n>1$ 都有有限 $\sigma(n)$，則由 strong induction 可推出所有正整數最終進入 $1\leftrightarrow2$ cycle。因此：
+
+$$
 \boxed{
 \text{Collatz conjecture}
 \iff
 \forall n>1,\ \sigma(n)<\infty.
 }
-\]
+$$
 
 對 finite parity word
 
-\[
+$$
 w=w_1\cdots w_k
-\]
-
-及其每個 prefix \(w_{\le j}\)，令：
-
-\[
+$$
+
+及其每個 prefix $w_{\le j}$，令：
+
+$$
 u_j=u(w_{\le j}),
 \qquad
 b_j=b_{w_{\le j}},
 \qquad
 \Delta_j=2^j-3^{u_j}.
-\]
+$$
 
 由前文 exact affine formula：
 
-\[
+$$
 T^j(n)-n
 =
 \frac{b_j-\Delta_jn}{2^j}.
-\]
-
-因此一個輸入在前 \(k\) 步內**尚未下降**的條件可以完全 exact 化。定義 hard-prefix domain：
-
-\[
+$$
+
+因此一個輸入在前 $k$ 步內**尚未下降**的條件可以完全 exact 化。定義 hard-prefix domain：
+
+$$
 \boxed{
 H_w
 =
@@ -108,36 +109,36 @@
 T^j(n)\ge n,\ 1\le j\le k
 \right\}.
 }
-\]
-
-若 prefix \(w_{\le j}\) 為 expanding-skeleton：
-
-\[
+$$
+
+若 prefix $w_{\le j}$ 為 expanding-skeleton：
+
+$$
 \Delta_j<0,
-\]
-
-則 \(T^j(n)>n\) 對所有 positive admissible \(n\) 自動成立，不對 hard domain 加任何上界。
+$$
+
+則 $T^j(n)>n$ 對所有 positive admissible $n$ 自動成立，不對 hard domain 加任何上界。
 
 若：
 
-\[
+$$
 \Delta_j>0,
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 T^j(n)\ge n
 \iff
 n\le
 \left\lfloor
 \frac{b_j}{\Delta_j}
 \right\rfloor.
-\]
+$$
 
 因此：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 H_w
 =
@@ -145,11 +146,11 @@
 \cap
 [1,h(w)]
 }
-\]
+$$
 
 其中：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 h(w)
 =
@@ -160,25 +161,25 @@
 \frac{b_j}{\Delta_j}
 \right\rfloor
 }
-\]
+$$
 
 若沒有 contracting prefix，定義：
 
-\[
+$$
 h(w)=+\infty.
-\]
+$$
 
 這是本文的第一個核心結果：**一個有限 parity prefix 的「尚未下降集合」不是模糊的動力集合，而是 unique residue cylinder 與一個 exact integer height bound 的交集。**
 
 接著對有限驗證域：
 
-\[
+$$
 I_N=[2,N]\cap\mathbb Z
-\]
-
-定義 depth-\(k\) hard frontier：
-
-\[
+$$
+
+定義 depth-$k$ hard frontier：
+
+$$
 \boxed{
 \mathfrak F_k(N)
 =
@@ -187,27 +188,27 @@
 H_w\cap I_N\neq\varnothing
 \}.
 }
-\]
+$$
 
 本文證明：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \mathfrak F_k(N)=\varnothing
 }
-\]
+$$
 
 當且僅當：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \sigma(n)\le k
 \quad
 \forall\,2\le n\le N.
 }
-\]
-
-因此，對固定有限 \(N\)，Collatz verification 可完全重寫為：
+$$
+
+因此，對固定有限 $N$，Collatz verification 可完全重寫為：
 
 > 持續 refine residue cylinders，直到 finite hard frontier 為空。
 
@@ -215,220 +216,220 @@
 
 本文定義五類 finite certificates：
 
-1. **Terminal Certificate**：直接到達 \(1\) 或 \(2\)；
-2. **Descent Certificate**：某 finite prefix 滿足 \(T^j(n)<n\)；
+1. **Terminal Certificate**：直接到達 $1$ 或 $2$；
+2. **Descent Certificate**：某 finite prefix 滿足 $T^j(n)<n$；
 3. **Cylinder Threshold Certificate**：一整個 residue cylinder 在某 exact threshold 以上都下降；
 4. **Merge Certificate**：軌跡在有限時間與一個已由較小起點證明的 trajectory 合流；
 5. **Inverse/Preimage Certificate**：利用 exact inverse fiber 證明某 state 位於已證明較小起點的 path 上。
 
 一個 finite certificate family：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \mathcal C_N
 }
-\]
+$$
 
 稱為 coverage-complete，若：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 I_N
 \subseteq
 \bigcup_{\gamma\in\mathcal C_N}D_\gamma
 }
-\]
+$$
 
 且每個 certificate 都可由有限整數算術、有限 word recurrence、congruence、transport identity 或明確 dependency graph 檢查。
 
 在最簡 strong-induction 版本中，只需 descent / terminal certificates。若：
 
-\[
+$$
 T^j(n)<n,
-\]
-
-則 \(T^j(n)\) 已由較小起點假設證明收斂，所以 \(n\) 收斂。Merge / preimage certificates 則進一步允許：
-
-\[
+$$
+
+則 $T^j(n)$ 已由較小起點假設證明收斂，所以 $n$ 收斂。Merge / preimage certificates 則進一步允許：
+
+$$
 T^j(n)=T^\ell(n_0),
 \qquad
 n_0<n,
-\]
-
-即使共同 merge state 本身未小於 \(n\)，仍可由 \(n_0\) 的已知軌跡繼承收斂。
+$$
+
+即使共同 merge state 本身未小於 $n$，仍可由 $n_0$ 的已知軌跡繼承收斂。
 
 本文把早期 BCCP 修正成：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{finite bidirectional coverage-complete certification}.
 }
-\]
-
-其合理目標不是直接宣稱「全體自然數已被雙向構造覆蓋」，而是對每個有限 \(N\) 建立一個 exact proof-object family：
-
-\[
+$$
+
+其合理目標不是直接宣稱「全體自然數已被雙向構造覆蓋」，而是對每個有限 $N$ 建立一個 exact proof-object family：
+
+$$
 \mathcal C_N.
-\]
+$$
 
 本文亦將先前實驗中的 residue threshold compiler 納入純數學框架。對：
 
-\[
+$$
 n=r+2^ka,
-\]
+$$
 
 若：
 
-\[
+$$
 T^k(n)=m_r+3^ua,
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 T^k(n)<n
-\]
+$$
 
 等價於：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 (2^k-3^u)a>m_r-r.
 }
-\]
+$$
 
 所以每張 contracting chart 可預先編譯成 exact integer quotient threshold：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 a>
 \frac{m_r-r}{2^k-3^u}.
 }
-\]
-
-這就是 earlier \(k=16\) threshold certificates 的數學本體。先前對 \(1\le n<2^{20}\) 的 prototype 中，\(k=16\) 直接 strict-descent certificate 數為：
-
-\[
+$$
+
+這就是 earlier $k=16$ threshold certificates 的數學本體。先前對 $1\le n<2^{20}$ 的 prototype 中，$k=16$ 直接 strict-descent certificate 數為：
+
+$$
 938413,
-\]
-
-並可由 Paper 05 的 \(58651\) 個 contracting residue classes 加 finite boundary corrections 完整解釋。
+$$
+
+並可由 Paper 05 的 $58651$ 個 contracting residue classes 加 finite boundary corrections 完整解釋。
 
 本文進一步處理最容易被誤用的「無限 hard tree」。對每個 formal infinite parity sequence，其 nested residues：
 
-\[
+$$
 r_k\bmod2^k
-\]
-
-自然定義一個 \(2\)-adic integer；但該 \(2\)-adic integer 不一定是 ordinary positive integer。因此：
-
-\[
+$$
+
+自然定義一個 $2$-adic integer；但該 $2$-adic integer 不一定是 ordinary positive integer。因此：
+
+$$
 \boxed{
 \text{infinite formal hard branch}
 \not\Rightarrow
 \text{positive-integer Collatz counterexample}.
 }
-\]
+$$
 
 為了精確對應普通正整數，本文定義 **integer-anchored branch**。若一條 nested branch 的 canonical residues：
 
-\[
+$$
 0\le r_k<2^k
-\]
+$$
 
 存在某個固定：
 
-\[
+$$
 n\in\mathbb Z_{>0}
-\]
+$$
 
 使：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 r_k=n
 }
-\]
-
-對所有 sufficiently large \(k\) 成立，則稱該 branch anchored at \(n\)。這一 eventual stabilization 條件恰好刻畫 ordinary positive integer embedded in \(\mathbb Z_2\)。
+$$
+
+對所有 sufficiently large $k$ 成立，則稱該 branch anchored at $n$。這一 eventual stabilization 條件恰好刻畫 ordinary positive integer embedded in $\mathbb Z_2$。
 
 本文證明：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \sigma(n)=\infty
 }
-\]
-
-當且僅當 \(n\) 的 parity-prefix chain 構成一條 anchored hard branch，亦即：
-
-\[
+$$
+
+當且僅當 $n$ 的 parity-prefix chain 構成一條 anchored hard branch，亦即：
+
+$$
 \boxed{
 n\in H_{w_{\le k}(n)}
 \quad
 \forall k.
 }
-\]
+$$
 
 因此：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{Collatz conjecture}
 \iff
 \text{there exists no integer-anchored infinite hard branch for }n>1.
 }
-\]
-
-這個表述比「hard-prefix tree well-founded」更精確。若要求**所有 formal \(2\)-adic hard branches** 都消失，則會得到一個過強條件；Collatz 只需排除由 ordinary positive integer anchor 的無限 obstruction。
+$$
+
+這個表述比「hard-prefix tree well-founded」更精確。若要求**所有 formal $2$-adic hard branches** 都消失，則會得到一個過強條件；Collatz 只需排除由 ordinary positive integer anchor 的無限 obstruction。
 
 本文同時得到另一個 exact 全域形式：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \forall N\ge2,\ \exists K(N)<\infty:
 \mathfrak F_{K(N)}(N)=\varnothing.
 }
-\]
+$$
 
 這與：
 
-\[
+$$
 \forall n>1,\ \sigma(n)<\infty
-\]
+$$
 
 等價，但不能一般交換成：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \exists K\ \forall N:
 \mathfrak F_K(N)=\varnothing.
 }
-\]
+$$
 
 後者等價於所有 stopping times 有一個全域 uniform bound，遠強於 Collatz，而且與已知／觀察到的 unbounded stopping-time behavior 不相容。
 
 這正是本系列最後的量詞邊界：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \forall N\,\exists K(N)
 \not\Rightarrow
 \exists K\,\forall N.
 }
-\]
-
-2026 年 Angeltveit 的 finite verification algorithm 與本文的 certificate viewpoint 高度一致：其演算法按最低 \(k\) bits 遞迴分裂，使用 descent sieve、preimage sieve 與 path-merging sieve，且明確指出需要 explicit checking 的比例可趨近 0，但實際待檢整數數量仍趨向無限。Barina 的公開驗證則已將完整 verification frontier 推進至 \(2^{71}\)。這些成果都支持本文最後的定位：**有限 residue-class pruning 可以極強，甚至讓 survivor density 趨零，但 finite computational completeness 與 infinite universal proof 仍是不同命題。**
+$$
+
+2026 年 Angeltveit 的 finite verification algorithm 與本文的 certificate viewpoint 高度一致：其演算法按最低 $k$ bits 遞迴分裂，使用 descent sieve、preimage sieve 與 path-merging sieve，且明確指出需要 explicit checking 的比例可趨近 0，但實際待檢整數數量仍趨向無限。Barina 的公開驗證則已將完整 verification frontier 推進至 $2^{71}$。這些成果都支持本文最後的定位：**有限 residue-class pruning 可以極強，甚至讓 survivor density 趨零，但 finite computational completeness 與 infinite universal proof 仍是不同命題。**
 
 本文因此以以下句子封頂整個九篇系列：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \textbf{Collatz dynamics is locally affine-trivializable,
 finitely certificate-compressible,
 but globally itinerary-unresolved.}
 }
-\]
+$$
 
 中文：
 
@@ -444,12 +445,12 @@
 
 Collatz 猜想可以寫成：
 
-\[
+$$
 \forall n>0,\quad
 T^j(n)\in\{1,2\}
-\]
-
-對某個 \(j\)。
+$$
+
+對某個 $j$。
 
 但對 strong induction，更方便使用 stopping-time form。
 
@@ -459,121 +460,121 @@
 
 對：
 
-\[
+$$
 n>1,
-\]
+$$
 
 定義：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \sigma(n)
 =
 \inf\{j\ge1:T^j(n)<n\}.
 }
-\]
+$$
 
 若不存在，令：
 
-\[
+$$
 \sigma(n)=\infty.
-\]
+$$
 
 注意：
 
-\[
+$$
 \sigma(1)
-\]
-
-不需要定義成 finite，因 \(1\) 是 induction base / terminal cycle 成員。
-
----
-
-# 3. Finite Stopping Time \(\Rightarrow\) Collatz
+$$
+
+不需要定義成 finite，因 $1$ 是 induction base / terminal cycle 成員。
+
+---
+
+# 3. Finite Stopping Time $\Rightarrow$ Collatz
 
 ## Theorem 3.1
 
 若：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \sigma(n)<\infty
 \quad
 \forall n>1,
 }
-\]
+$$
 
 則 Collatz conjecture 成立。
 
 ### 證明
 
-對 \(n\) strong induction。
+對 $n$ strong induction。
 
 base：
 
-\[
+$$
 1
-\]
+$$
 
 已在 terminal cycle。
 
 對：
 
-\[
+$$
 n>1,
-\]
+$$
 
 存在：
 
-\[
+$$
 j
-\]
+$$
 
 使：
 
-\[
+$$
 T^j(n)<n.
-\]
+$$
 
 由 induction hypothesis：
 
-\[
+$$
 T^j(n)
-\]
+$$
 
 最終到 1。
 
-故 \(n\) 亦最終到 1。
+故 $n$ 亦最終到 1。
 
 證畢。
 
 ---
 
-# 4. Collatz \(\Rightarrow\) Finite Stopping Time
-
-若 \(n>1\) 最終到：
-
-\[
+# 4. Collatz $\Rightarrow$ Finite Stopping Time
+
+若 $n>1$ 最終到：
+
+$$
 1<n,
-\]
-
-則沿途第一次落到 \(n\) 以下即給：
-
-\[
+$$
+
+則沿途第一次落到 $n$ 以下即給：
+
+$$
 \sigma(n)<\infty.
-\]
+$$
 
 所以：
 
 ## Theorem 4.1
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{Collatz}
 \iff
 \forall n>1,\ \sigma(n)<\infty.
 }
-\]
+$$
 
 這是本文 global equivalence 的基礎。
 
@@ -581,49 +582,49 @@
 
 # 5. Prefix Affine Data
 
-對 length-\(k\) word：
-
-\[
+對 length-$k$ word：
+
+$$
 w=w_1\cdots w_k,
-\]
+$$
 
 令 prefix：
 
-\[
+$$
 w_{\le j}=w_1\cdots w_j.
-\]
+$$
 
 記：
 
-\[
+$$
 u_j=u(w_{\le j}),
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 b_j=b_{w_{\le j}}.
-\]
+$$
 
 則 Paper 02：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 T^j(n)
 =
 \frac{3^{u_j}n+b_j}{2^j}
 }
-\]
+$$
 
 對：
 
-\[
+$$
 n\in\Omega_w
-\]
+$$
 
 及：
 
-\[
+$$
 1\le j\le k
-\]
+$$
 
 成立。
 
@@ -633,23 +634,23 @@
 
 定義：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \Delta_j
 =
 2^j-3^{u_j}.
 }
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 T^j(n)-n
 =
 \frac{b_j-\Delta_jn}{2^j}.
 }
-\]
+$$
 
 每個 prefix 是否已經 strict descent 因而是一個 exact linear inequality。
 
@@ -659,7 +660,7 @@
 
 ## Definition 7.1
 
-\[
+$$
 \boxed{
 H_w
 =
@@ -670,11 +671,11 @@
 \forall\,1\le j\le k
 \right\}.
 }
-\]
+$$
 
 也就是：
 
-> 所有具有 prefix \(w\)，但到 depth \(k\) 仍沒有取得 strong-induction descent certificate 的正整數。
+> 所有具有 prefix $w$，但到 depth $k$ 仍沒有取得 strong-induction descent certificate 的正整數。
 
 ---
 
@@ -682,33 +683,33 @@
 
 若：
 
-\[
+$$
 \Delta_j<0,
-\]
+$$
 
 即：
 
-\[
+$$
 3^{u_j}>2^j,
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 b_j-\Delta_jn
 =
 b_j+(3^{u_j}-2^j)n>0.
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 T^j(n)>n
 }
-\]
-
-對所有 positive admissible \(n\)。
+$$
+
+對所有 positive admissible $n$。
 
 因此此 prefix 不可能提供 descent certificate。
 
@@ -718,25 +719,25 @@
 
 若：
 
-\[
+$$
 \Delta_j>0,
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 T^j(n)\ge n
-\]
+$$
 
 iff：
 
-\[
+$$
 b_j\ge\Delta_jn.
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 n
 \le
@@ -744,7 +745,7 @@
 \frac{b_j}{\Delta_j}
 \right\rfloor.
 }
-\]
+$$
 
 因此 contracting prefix 對仍未下降者產生一個 exact upper bound。
 
@@ -754,7 +755,7 @@
 
 定義：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 h(w)
 =
@@ -765,25 +766,25 @@
 \frac{b_j}{\Delta_j}
 \right\rfloor
 }
-\]
+$$
 
 若沒有：
 
-\[
+$$
 \Delta_j>0,
-\]
+$$
 
 令：
 
-\[
+$$
 h(w)=+\infty.
-\]
+$$
 
 則：
 
 ## Theorem 10.1
 
-\[
+$$
 \boxed{
 H_w
 =
@@ -791,38 +792,38 @@
 \cap
 [1,h(w)].
 }
-\]
+$$
 
 若：
 
-\[
+$$
 h(w)=+\infty,
-\]
+$$
 
 即：
 
-\[
+$$
 H_w=\Omega_w.
-\]
+$$
 
 ---
 
 # 11. 證明
 
-\(n\in H_w\) iff 對所有 prefix：
-
-\[
+$n\in H_w$ iff 對所有 prefix：
+
+$$
 T^j(n)\ge n.
-\]
+$$
 
 expanding prefix 自動成立。
 
 contracting prefix 要求：
 
-\[
+$$
 n\le
 \left\lfloor b_j/\Delta_j\right\rfloor.
-\]
+$$
 
 所以全部條件的交集就是最小 upper bound。
 
@@ -834,29 +835,29 @@
 
 一個 hard domain 不需要保存：
 
-\[
+$$
 T(n),T^2(n),\ldots,T^k(n)
-\]
+$$
 
 的整條 numerical path。
 
 只需保存：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 (r_w,2^k,h(w)).
 }
-\]
+$$
 
 即：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{one residue cylinder}
 \cap
 \text{one height cap}.
 }
-\]
+$$
 
 這是 finite obstruction 的高度壓縮形式。
 
@@ -866,29 +867,29 @@
 
 若 word 到目前為止至少出現一個 contracting prefix：
 
-\[
+$$
 h(w)<\infty,
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 H_w
-\]
+$$
 
 是 finite set。
 
 若所有 prefixes 都在 expanding-skeleton side：
 
-\[
+$$
 h(w)=\infty,
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 H_w=\Omega_w
-\]
+$$
 
 仍是一個 infinite arithmetic progression。
 
@@ -903,31 +904,31 @@
 
 固定：
 
-\[
+$$
 N\ge2.
-\]
+$$
 
 定義：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 I_N
 =
 \{2,3,\ldots,N\}.
 }
-\]
+$$
 
 我們只問：
 
-> \(I_N\) 內每個 starting value 是否已取得 finite stopping-time certificate？
-
----
-
-# 15. Depth-\(k\) Hard Frontier
+> $I_N$ 內每個 starting value 是否已取得 finite stopping-time certificate？
+
+---
+
+# 15. Depth-$k$ Hard Frontier
 
 定義：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \mathfrak F_k(N)
 =
@@ -936,11 +937,11 @@
 H_w\cap I_N\neq\varnothing
 \right\}.
 }
-\]
+$$
 
 每個 element 是：
 
-> 到 depth \(k\) 仍至少含一個未下降 starting value 的 parity cylinder。
+> 到 depth $k$ 仍至少含一個未下降 starting value 的 parity cylinder。
 
 ---
 
@@ -948,31 +949,31 @@
 
 ## Theorem 16.1
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \mathfrak F_k(N)=\varnothing
 }
-\]
+$$
 
 iff：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \sigma(n)\le k
 \quad
 \forall n\in I_N.
 }
-\]
+$$
 
 ### 證明
 
-如果 frontier 為空，則任意 \(n\le N\) 的 length-\(k\) parity word \(w_k(n)\) 不含 \(n\) 於 \(H_w\)，所以存在 \(j\le k\)：
-
-\[
+如果 frontier 為空，則任意 $n\le N$ 的 length-$k$ parity word $w_k(n)$ 不含 $n$ 於 $H_w$，所以存在 $j\le k$：
+
+$$
 T^j(n)<n.
-\]
-
-反之，若所有 \(n\le N\) 在 \(k\) 步內下降，則沒有任何 hard domain 能和 \(I_N\) 相交。
+$$
+
+反之，若所有 $n\le N$ 在 $k$ 步內下降，則沒有任何 hard domain 能和 $I_N$ 相交。
 
 證畢。
 
@@ -980,21 +981,21 @@
 
 # 17. Finite Verification 的 Frontier Form
 
-所以對 fixed \(N\)：
-
-\[
+所以對 fixed $N$：
+
+$$
 \boxed{
 \text{verify Collatz on }[2,N]
 }
-\]
+$$
 
 等價於：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{refine hard cylinders until }\mathfrak F_k(N)=\varnothing.
 }
-\]
+$$
 
 這不是 heuristic。
 
@@ -1006,13 +1007,13 @@
 
 一個 finite certificate：
 
-\[
+$$
 \gamma
-\]
+$$
 
 包含：
 
-1. source domain \(D_\gamma\)；
+1. source domain $D_\gamma$；
 2. finite word / affine data；
 3. claim type；
 4. exact target relation；
@@ -1020,11 +1021,11 @@
 
 並要求：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{all checks terminate in finite exact arithmetic}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -1032,17 +1033,17 @@
 
 若：
 
-\[
+$$
 T^j(n)\in\{1,2\},
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \gamma_T(n,j)
 }
-\]
+$$
 
 直接證明收斂。
 
@@ -1054,19 +1055,19 @@
 
 若：
 
-\[
+$$
 T^j(n)<n,
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \gamma_D(n,j)
 }
-\]
-
-透過 strong induction 證明 \(n\) 收斂。
+$$
+
+透過 strong induction 證明 $n$ 收斂。
 
 這是最基本 finite certificate。
 
@@ -1074,33 +1075,33 @@
 
 # 21. Cylinder Threshold Certificate
 
-對 word \(w\)：
-
-\[
+對 word $w$：
+
+$$
 T^k(n)
 =
 \frac{3^un+b_w}{2^k}.
-\]
+$$
 
 若：
 
-\[
+$$
 3^u<2^k,
-\]
+$$
 
 定義：
 
-\[
+$$
 \theta_w
 =
 \left\lfloor
 \frac{b_w}{2^k-3^u}
 \right\rfloor+1.
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 D_{\gamma_w}
 =
@@ -1108,7 +1109,7 @@
 n\in\Omega_w:n\ge\theta_w
 \}
 }
-\]
+$$
 
 中的全部 starting values 共享同一 descent proof。
 
@@ -1120,55 +1121,55 @@
 
 寫：
 
-\[
+$$
 n=r_w+2^ka,
-\]
+$$
 
 以及：
 
-\[
+$$
 T^k(n)=m_w+3^ua.
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 T^k(n)<n
-\]
+$$
 
 iff：
 
-\[
+$$
 m_w+3^ua
 <
 r_w+2^ka.
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 (2^k-3^u)a
 >
 m_w-r_w.
 }
-\]
+$$
 
 若：
 
-\[
+$$
 2^k>3^u,
-\]
+$$
 
 可以預先編譯：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 a
 >
 \frac{m_w-r_w}{2^k-3^u}.
 }
-\]
+$$
 
 這是 integer hot-loop certificate，而不是 floating log approximation。
 
@@ -1178,7 +1179,7 @@
 
 可定義：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 q_w
 =
@@ -1187,11 +1188,11 @@
 {2^k-3^u}
 \right\rfloor+1.
 }
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 a\ge q_w
 \Rightarrow
@@ -1199,39 +1200,39 @@
 <
 r_w+2^ka.
 }
-\]
+$$
 
 所以 certificate payload 可縮成：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 (r_w,k,u,m_w,q_w).
 }
-\]
-
----
-
-# 24. 與 Earlier \(k=16\) Prototype 的對接
+$$
+
+---
+
+# 24. 與 Earlier $k=16$ Prototype 的對接
 
 先前 prototype 對：
 
-\[
+$$
 1\le n<2^{20}
-\]
+$$
 
 使用：
 
-\[
+$$
 k=16.
-\]
+$$
 
 Paper 05 已證 length-16 contracting residue classes：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 58651
 }
-\]
+$$
 
 個。
 
@@ -1239,21 +1240,21 @@
 
 實際 direct strict-descent certificate：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 938413
 }
-\]
+$$
 
 個 starting values。
 
 因此早期 benchmark 的「pruning」可以完全重新解讀為：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{finite certificate coverage ratio}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -1263,63 +1264,63 @@
 
 若：
 
-\[
+$$
 T^j(n)
 =
 T^\ell(n_0)
-\]
+$$
 
 且：
 
-\[
+$$
 n_0<n,
-\]
+$$
 
 則由 induction hypothesis：
 
-\[
+$$
 n_0
-\]
+$$
 
 收斂。
 
 因此其後續 state：
 
-\[
+$$
 T^\ell(n_0)
-\]
+$$
 
 收斂。
 
-所以 \(n\) 也收斂。
+所以 $n$ 也收斂。
 
 定義：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \gamma_M
 =
 (n,n_0,j,\ell)
 }
-\]
+$$
 
 為 merge certificate。
 
 ---
 
-# 26. Path Merging 不要求 Merge State 小於 \(n\)
+# 26. Path Merging 不要求 Merge State 小於 $n$
 
 重要的是：
 
-\[
+$$
 n_0<n,
-\]
+$$
 
 而不是：
 
-\[
+$$
 T^j(n)<n.
-\]
+$$
 
 所以 merge sieve 可以比單純 descent sieve 排除更多 starting values。
 
@@ -1331,37 +1332,37 @@
 
 如果可證：
 
-\[
+$$
 n=T^\ell(n_0)
-\]
+$$
 
 對某：
 
-\[
+$$
 n_0<n,
-\]
-
-則 \(n\) 本身位於已證明較小 starting value 的 trajectory 上。
+$$
+
+則 $n$ 本身位於已證明較小 starting value 的 trajectory 上。
 
 例如 modified inverse：
 
-\[
+$$
 n\equiv2\pmod3
-\]
+$$
 
 時：
 
-\[
+$$
 n=T\left(\frac{2n-1}{3}\right).
-\]
+$$
 
 若：
 
-\[
+$$
 \frac{2n-1}{3}<n,
-\]
-
-則可直接排除 \(n\) 作為新 starting case。
+$$
+
+則可直接排除 $n$ 作為新 starting case。
 
 這是 preimage certificate。
 
@@ -1371,19 +1372,19 @@
 
 accelerated odd map：
 
-\[
+$$
 R_\kappa(t)
 =
 \frac{2^\kappa t-1}{3}.
-\]
+$$
 
 若：
 
-\[
+$$
 2^\kappa t\equiv1\pmod3,
-\]
-
-則 \(R_\kappa(t)\) 是 \(t\) 的 exact odd predecessor。
+$$
+
+則 $R_\kappa(t)$ 是 $t$ 的 exact odd predecessor。
 
 所以 inverse-fiber data 可以作：
 
@@ -1399,31 +1400,31 @@
 
 strong induction 本身提供 dependency：
 
-\[
+$$
 n\to m<n.
-\]
+$$
 
 如果加入 merge / preimage，
 
 可建立 directed dependency graph：
 
-\[
+$$
 \gamma_i\to\gamma_j.
-\]
+$$
 
 要求存在 rank：
 
-\[
+$$
 \rho:\mathcal C_N\to\mathbb N
-\]
+$$
 
 使每條 dependency edge：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \rho(\gamma_j)<\rho(\gamma_i).
 }
-\]
+$$
 
 則 finite dependency graph 無 cycle，
 
@@ -1437,36 +1438,36 @@
 
 對：
 
-\[
+$$
 I_N=[2,N],
-\]
+$$
 
 finite family：
 
-\[
+$$
 \mathcal C_N
-\]
+$$
 
 若滿足：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 I_N
 \subseteq
 \bigcup_{\gamma\in\mathcal C_N}D_\gamma
 }
-\]
+$$
 
 且所有 certificate claims / dependencies 都 exact-valid，
 
 則稱：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \mathcal C_N
 \text{ coverage-complete}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -1474,9 +1475,9 @@
 
 若：
 
-\[
+$$
 \mathcal C_N
-\]
+$$
 
 coverage-complete，
 
@@ -1484,11 +1485,11 @@
 
 則：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{Collatz is verified for every }2\le n\le N.
 }
-\]
+$$
 
 這是 finite theorem。
 
@@ -1498,13 +1499,13 @@
 
 舊 BCCP：
 
-\[
+$$
 \text{Forward}
 +
 \text{Backward}
 +
 \text{Coverage}.
-\]
+$$
 
 現在可以重寫為：
 
@@ -1518,21 +1519,21 @@
 
 ### Coverage completeness
 
-\[
+$$
 I_N
 \subseteq
 \cup D_\gamma.
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{BCCP}_{\mathrm{finite}}
 =
 \text{bidirectional finite proof-object coverage}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -1540,9 +1541,9 @@
 
 因為對固定：
 
-\[
+$$
 N,
-\]
+$$
 
 所有：
 
@@ -1568,7 +1569,7 @@
 
 概念上，一個 chart certificate 可以保存：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \gamma=
 (
@@ -1579,31 +1580,31 @@
 \text{dependencies}
 ).
 }
-\]
+$$
 
 其中：
 
-- \(w\)：parity word；
-- \(k\)：depth；
-- \(u\)：odd-step count；
-- \(b\)：affine correction；
-- \(r\)：source residue；
-- \(m\)：target base；
-- \([L,U]\)：有限 coverage range；
-- \(\theta\)：descent threshold；
+- $w$：parity word；
+- $k$：depth；
+- $u$：odd-step count；
+- $b$：affine correction；
+- $r$：source residue；
+- $m$：target base；
+- $[L,U]$：有限 coverage range；
+- $\theta$：descent threshold；
 - dependencies：merge/preimage reference。
 
 checker 只需驗：
 
-\[
+$$
 F_w(x)
 =
 \frac{3^ux+b}{2^k},
-\]
-
-\[
+$$
+
+$$
 r\equiv-b3^{-u}\pmod{2^k},
-\]
+$$
 
 及對應 inequality / merge identity。
 
@@ -1613,27 +1614,27 @@
 
 trajectory log 保存：
 
-\[
+$$
 n,T(n),T^2(n),\ldots.
-\]
+$$
 
 certificate 保存：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{an entire congruence family plus a finite proof rule}.
 }
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{trajectory enumeration}
 \to
 \text{structural proof compression}.
 }
-\]
+$$
 
 這是 operation translation 對 finite verification 的核心價值。
 
@@ -1646,13 +1647,13 @@
 1. 按 least significant bits recursive split；
 2. 對同 residue family 同時處理；
 3. 使用 descent sieve；
-4. 使用 mod-\(9\) preimage sieve；
+4. 使用 mod-$9$ preimage sieve；
 5. 使用 path-merging sieve；
 6. 對剩餘 survivors 再 explicit iterate。
 
 這與本文：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{residue frontier}
 +
@@ -1660,7 +1661,7 @@
 +
 \text{inverse/merge certificates}
 }
-\]
+$$
 
 高度一致。
 
@@ -1674,11 +1675,11 @@
 
 本文的工作是：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{把前八篇 local algebra 統一成 certificate semantics}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -1686,27 +1687,27 @@
 
 Barina 已公開報告：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 n<2^{71}
 }
-\]
+$$
 
 的完整 convergence verification。
 
 Angeltveit 2026 則提出：
 
-> 從 \(2^N\) 擴張到 \(2^{N+1}\) 所需時間成長可壓到小於 factor 2，
+> 從 $2^N$ 擴張到 $2^{N+1}$ 所需時間成長可壓到小於 factor 2，
 
 並估計其方法可能用近似資源推到更高範圍。
 
 這些都是：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{finite certificate / computation frontier}
 }
-\]
+$$
 
 的進展，
 
@@ -1714,29 +1715,29 @@
 
 ---
 
-# 39. Survivor Fraction \(\to0\) 仍不等於 Proof
+# 39. Survivor Fraction $\to0$ 仍不等於 Proof
 
 Angeltveit 指出：
 
 隨：
 
-\[
+$$
 N\to\infty,
-\]
+$$
 
 需要 explicit checking 的 fraction 可趨近：
 
-\[
+$$
 0.
-\]
+$$
 
 但他同時明確指出：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{the number of integers to check still goes to infinity}.
 }
-\]
+$$
 
 這一句幾乎就是本文 global quantifier gap 的 computational version。
 
@@ -1746,49 +1747,49 @@
 
 因為：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \frac{|E_N|}{N}\to0
 }
-\]
+$$
 
 不代表：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 E_N=\varnothing
 }
-\]
-
-對 sufficiently large \(N\)。
+$$
+
+對 sufficiently large $N$。
 
 甚至可能：
 
-\[
+$$
 |E_N|\to\infty
-\]
+$$
 
 同時：
 
-\[
+$$
 |E_N|/N\to0.
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{density-zero survivors}
 \neq
 \text{no survivors}.
 }
-\]
+$$
 
 這和 Paper 05：
 
-\[
+$$
 P_k\to1
-\]
+$$
 
 的量詞警告完全一致。
 
@@ -1804,51 +1805,51 @@
 
 但若把它當成 equivalent condition，會過強。
 
-原因在 \(2\)-adic completion。
-
----
-
-# 42. Infinite Parity Prefix Defines a \(2\)-adic Integer
+原因在 $2$-adic completion。
+
+---
+
+# 42. Infinite Parity Prefix Defines a $2$-adic Integer
 
 Paper 03：
 
 每個 finite parity prefix對應：
 
-\[
+$$
 r_k\bmod2^k.
-\]
+$$
 
 nested prefixes：
 
-\[
+$$
 r_{k+1}\equiv r_k\pmod{2^k}.
-\]
+$$
 
 所以：
 
-\[
+$$
 (r_k)
-\]
+$$
 
 定義一個 inverse-limit point：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 x\in\mathbb Z_2.
 }
-\]
+$$
 
 但：
 
-\[
+$$
 x
-\]
+$$
 
 未必在：
 
-\[
+$$
 \mathbb Z_{>0}.
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -1856,33 +1857,33 @@
 
 因此可能存在：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{an infinite formal parity/hard branch}
 }
-\]
-
-但其 \(2\)-adic limit：
-
-\[
+$$
+
+但其 $2$-adic limit：
+
+$$
 x
-\]
+$$
 
 是：
 
 - negative integer；
-- nonordinary \(2\)-adic integer；
+- nonordinary $2$-adic integer；
 - 或其他不在 positive naturals 的點。
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{formal branch existence}
 \not\Rightarrow
 \text{positive-integer counterexample}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -1890,33 +1891,33 @@
 
 每個 modulo：
 
-\[
+$$
 2^k
-\]
+$$
 
 class 選 canonical representative：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 0\le r_k<2^k.
 }
-\]
-
-若 branch 來自固定普通正整數 \(n\)，
+$$
+
+若 branch 來自固定普通正整數 $n$，
 
 則當：
 
-\[
+$$
 2^k>n,
-\]
+$$
 
 有：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 r_k=n.
 }
-\]
+$$
 
 所以 canonical residues 會 eventually stabilize。
 
@@ -1928,59 +1929,59 @@
 
 一條 infinite nested parity branch：
 
-\[
+$$
 w_1\prec w_2\prec\cdots
-\]
+$$
 
 稱為 anchored at：
 
-\[
+$$
 n\in\mathbb Z_{>0}
-\]
+$$
 
 若存在：
 
-\[
+$$
 K
-\]
+$$
 
 使：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 r_{w_k}=n
 \quad
 \forall k\ge K.
 }
-\]
-
-這等價於其 \(2\)-adic point正好是 ordinary positive integer \(n\)。
+$$
+
+這等價於其 $2$-adic point正好是 ordinary positive integer $n$。
 
 ---
 
 # 46. Anchored Hard Branch
 
-若さらに：
-
-\[
+若進一步：
+
+$$
 \boxed{
 n\in H_{w_k}
 \quad
 \forall k,
 }
-\]
+$$
 
 則稱為：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{integer-anchored infinite hard branch}.
 }
-\]
+$$
 
 也就是：
 
-> 同一個 ordinary positive integer \(n\) 在所有 finite depths 都沒有取得 descent certificate。
+> 同一個 ordinary positive integer $n$ 在所有 finite depths 都沒有取得 descent certificate。
 
 ---
 
@@ -1990,28 +1991,28 @@
 
 對：
 
-\[
+$$
 n>1,
-\]
+$$
 
 以下等價：
 
-1. \(\sigma(n)=\infty\)；
-2. 對所有 \(k\)：
-   \[
+1. $\sigma(n)=\infty$；
+2. 對所有 $k$：
+   $$
    T^j(n)\ge n
    \quad
    1\le j\le k;
-   \]
-3. \(n\) 的 parity-prefix chain 是 integer-anchored infinite hard branch。
+   $$
+3. $n$ 的 parity-prefix chain 是 integer-anchored infinite hard branch。
 
 ### 證明
 
-(1)\(\Rightarrow\)(2)：stopping time infinite 的定義。
-
-(2)\(\Rightarrow\)(3)：\(n\) 的 canonical residue 在 \(2^k>n\) 後等於 \(n\)，且每個 prefix hard。
-
-(3)\(\Rightarrow\)(1)：若某 finite \(j\) descent，則所有更長 prefix 不再 hard，矛盾。
+(1)$\Rightarrow$(2)：stopping time infinite 的定義。
+
+(2)$\Rightarrow$(3)：$n$ 的 canonical residue 在 $2^k>n$ 後等於 $n$，且每個 prefix hard。
+
+(3)$\Rightarrow$(1)：若某 finite $j$ descent，則所有更長 prefix 不再 hard，矛盾。
 
 證畢。
 
@@ -2023,20 +2024,20 @@
 
 ## Theorem 48.1
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{Collatz conjecture}
 }
-\]
+$$
 
 等價於：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{不存在 anchored at }n>1
 \text{ 的 infinite hard branch}.
 }
-\]
+$$
 
 這是本文認為最乾淨的 global remainder statement。
 
@@ -2046,33 +2047,33 @@
 
 如果要求：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{no infinite formal hard branch in }\mathbb Z_2,
 }
-\]
-
-那會排除所有 nonordinary \(2\)-adic obstruction。
+$$
+
+那會排除所有 nonordinary $2$-adic obstruction。
 
 Collatz 猜想本身沒有要求這一點。
 
 因此：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{2-adic global well-foundedness}
 }
-\]
+$$
 
 是更強命題。
 
 本文只保留：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{positive-integer anchored well-foundedness}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -2080,15 +2081,15 @@
 
 若 Collatz 對：
 
-\[
+$$
 [2,N]
-\]
+$$
 
 已驗證，
 
 定義：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 K(N)
 =
@@ -2098,15 +2099,15 @@
 \mathfrak F_k(N)=\varnothing
 \}.
 }
-\]
+$$
 
 它就是：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 K(N)=\max_{2\le n\le N}\sigma(n)
 }
-\]
+$$
 
 在 strict stopping-time 定義下。
 
@@ -2118,20 +2119,20 @@
 
 Collatz 等價：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \forall N\ge2,\ \exists K(N)<\infty:
 \mathfrak F_{K(N)}(N)=\varnothing.
 }
-\]
+$$
 
 注意量詞順序：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \forall N\,\exists K(N).
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -2139,20 +2140,20 @@
 
 更強命題：
 
-\[
+$$
 \exists K\ \forall N:
 \mathfrak F_K(N)=\varnothing.
-\]
+$$
 
 等價於：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \sigma(n)\le K
 \quad
 \forall n>1.
 }
-\]
+$$
 
 即所有 stopping times 有 uniform global bound。
 
@@ -2160,13 +2161,13 @@
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \forall N\,\exists K(N)
 \not\equiv
 \exists K\,\forall N.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -2174,30 +2175,30 @@
 
 前八篇可以：
 
-- 對 fixed \(w\) exact；
-- 對 fixed \(k\) exact；
-- 對 fixed \(N\) exact；
+- 對 fixed $w$ exact；
+- 對 fixed $k$ exact；
+- 對 fixed $N$ exact；
 - 對 finite family exact。
 
 但 Collatz 是：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \forall n
 }
-\]
+$$
 
 的無界 statement。
 
 因此任何 finite certificate framework 若沒有額外 theorem 控制：
 
-\[
+$$
 K(N)
-\]
+$$
 
 或 anchored hard branches，
 
-都不能單靠「對每個已測 \(N\) 成功」升級成 global proof。
+都不能單靠「對每個已測 $N$ 成功」升級成 global proof。
 
 ---
 
@@ -2205,11 +2206,11 @@
 
 本文最終把：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \mathfrak F_k(N)
 }
-\]
+$$
 
 稱為 **Finite Certificate Frontier** 的 hard side。
 
@@ -2224,7 +2225,7 @@
 
 因此：
 
-\[
+$$
 I_N
 =
 \boxed{
@@ -2232,7 +2233,7 @@
 \sqcup
 \text{Hard Frontier}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -2240,21 +2241,21 @@
 
 從 depth：
 
-\[
+$$
 k
-\]
+$$
 
 到：
 
-\[
+$$
 k+1,
-\]
+$$
 
 只需展開：
 
-\[
+$$
 \mathfrak F_k(N)
-\]
+$$
 
 中的 cylinders。
 
@@ -2262,11 +2263,11 @@
 
 所以 algorithmic search tree 是：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{expand only surviving proof obligations}.
 }
-\]
+$$
 
 這是 certificate-oriented computation 的自然形式。
 
@@ -2274,40 +2275,40 @@
 
 # 56. Hard Frontier 的 Monotonicity
 
-對 fixed \(N\)，考慮未證明 starting-value set：
-
-\[
+對 fixed $N$，考慮未證明 starting-value set：
+
+$$
 E_k(N)
 =
 \{
 n\in I_N:
 \sigma(n)>k
 \}.
-\]
+$$
 
 則：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 E_{k+1}(N)\subseteq E_k(N).
 }
-\]
+$$
 
 而：
 
-\[
+$$
 \mathfrak F_k(N)
-\]
-
-只是 \(E_k(N)\) 在 level-\(k\) residue atlas 中的 compressed representation。
+$$
+
+只是 $E_k(N)$ 在 level-$k$ residue atlas 中的 compressed representation。
 
 所以：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{frontier refinement is monotone in obligations}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -2315,39 +2316,39 @@
 
 可定義：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \eta_k(N)
 =
 1-
 \frac{|E_k(N)|}{N-1}.
 }
-\]
-
-表示 depth-\(k\) 已取得 descent certificate 的 starting-value fraction。
+$$
+
+表示 depth-$k$ 已取得 descent certificate 的 starting-value fraction。
 
 也可定義 chart-level：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \eta_k^{\mathrm{chart}}
 =
 1-
 \frac{|\mathfrak F_k(N)|}{2^k}
 }
-\]
+$$
 
 但兩者不應混淆。
 
 Paper 05 已展示：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{chart density}
 \neq
 \text{finite strict certificate density}
 }
-\]
+$$
 
 在 finite boundary 下會有小差異。
 
@@ -2357,9 +2358,9 @@
 
 一個 finite range 可能有很多不同 certificate families：
 
-\[
+$$
 \mathcal C_N.
-\]
+$$
 
 可以追求：
 
@@ -2379,9 +2380,9 @@
 
 Collatz 對：
 
-\[
+$$
 [2,N]
-\]
+$$
 
 為真，
 
@@ -2389,21 +2390,21 @@
 
 RCOT certificate framework 關心的是：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{能否用更結構化、更小、更可重用的 proof objects 表達}.
 }
-\]
+$$
 
 因此：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{verification complexity}
 \neq
 \text{mathematical truth}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -2411,55 +2412,55 @@
 
 Paper 01：
 
-\[
+$$
 \text{舊研究證據校正}.
-\]
+$$
 
 Paper 02：
 
-\[
+$$
 \text{finite word}\to\text{affine operator}.
-\]
+$$
 
 Paper 03：
 
-\[
+$$
 \text{word}\leftrightarrow2^k\text{ cylinder}\to\text{identity chart}.
-\]
+$$
 
 Paper 04：
 
-\[
+$$
 2^k\text{ source}\leftrightarrow3^u\text{ target}.
-\]
+$$
 
 Paper 05：
 
-\[
+$$
 \text{exact contraction boundary}.
-\]
+$$
 
 Paper 06：
 
-\[
+$$
 \text{valuation-language compression}.
-\]
+$$
 
 Paper 07：
 
-\[
+$$
 mx+r\text{ generalization}.
-\]
+$$
 
 Paper 08：
 
-\[
+$$
 \text{algebraic domain / breakage ladder}.
-\]
+$$
 
 Paper 09：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{all local results}
 \to
@@ -2467,7 +2468,7 @@
 \to
 \text{global quantifier boundary}.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -2475,77 +2476,77 @@
 
 ## Theorem A — Collatz / Finite Stopping-Time Equivalence
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{Collatz}
 \iff
 \forall n>1,\sigma(n)<\infty.
 }
-\]
+$$
 
 ## Theorem B — Hard Height Formula
 
-\[
+$$
 \boxed{
 H_w
 =
 \Omega_w\cap[1,h(w)].
 }
-\]
+$$
 
 ## Theorem C — Frontier Extinction
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \mathfrak F_k(N)=\varnothing
 \iff
 \sigma(n)\le k
 \quad\forall2\le n\le N.
 }
-\]
+$$
 
 ## Theorem D — Cylinder Quotient Certificate
 
-\[
+$$
 \boxed{
 (2^k-3^u)a>m_w-r_w
 \Rightarrow
 T^k(n)<n.
 }
-\]
+$$
 
 ## Theorem E — Finite Coverage Completeness
 
-\[
+$$
 \boxed{
 I_N
 \subseteq
 \bigcup_{\gamma\in\mathcal C_N}D_\gamma
 }
-\]
-
-plus valid ranked dependencies implies convergence for all \(n\le N\).
+$$
+
+plus valid ranked dependencies implies convergence for all $n\le N$.
 
 ## Theorem F — Anchored Hard Branch Equivalence
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \sigma(n)=\infty
 \iff
 n\text{ anchors an infinite hard branch}.
 }
-\]
+$$
 
 ## Theorem G — Global Frontier Form
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{Collatz}
 \iff
 \forall N\ge2,\exists K(N):
 \mathfrak F_{K(N)}(N)=\varnothing.
 }
-\]
+$$
 
 ---
 
@@ -2553,17 +2554,17 @@
 
 本文沒有證明：
 
-\[
+$$
 \mathfrak F_k(N)
-\]
-
-對所有 \(N\) 具有 uniform extinction depth。
+$$
+
+對所有 $N$ 具有 uniform extinction depth。
 
 沒有證明：
 
-\[
+$$
 K(N)
-\]
+$$
 
 的 closed asymptotic upper bound。
 
@@ -2571,13 +2572,13 @@
 
 沒有把：
 
-\[
+$$
 P_k\to1
-\]
-
-或 survivor density \(\to0\) 轉換成 emptiness。
-
-沒有因為 finite verification 已達 \(2^{71}\) 就推斷 infinite domain。
+$$
+
+或 survivor density $\to0$ 轉換成 emptiness。
+
+沒有因為 finite verification 已達 $2^{71}$ 就推斷 infinite domain。
 
 因此本文不是 Collatz proof。
 
@@ -2589,61 +2590,61 @@
 
 ### 已完成
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{finite-word arithmetic}
 }
-\]
+$$
 
 可 exact affine compression。
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{finite itinerary legality}
 }
-\]
+$$
 
 可 exact residue coding。
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{fixed-chart dynamics}
 }
-\]
+$$
 
 可 identity trivialization。
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{forward / inverse local transport}
 }
-\]
+$$
 
 可 exact recovery。
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{finite contraction}
 }
-\]
+$$
 
 有 exact threshold。
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{finite range verification}
 }
-\]
+$$
 
 可重寫成 certificate coverage / frontier extinction。
 
 ### 尚未完成
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{all ordinary positive-integer itineraries}
 }
-\]
+$$
 
 是否都在有限時間取得 descent / merge / terminal certificate。
 
@@ -2653,13 +2654,13 @@
 
 本系列最終核心句為：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \textbf{Collatz dynamics is locally affine-trivializable,
 finitely certificate-compressible,
 but globally itinerary-unresolved.}
 }
-\]
+$$
 
 中文：
 
@@ -2667,19 +2668,19 @@
 
 因此真正未解的不是：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{how to compute one finite Collatz block}.
 }
-\]
+$$
 
 而是：
 
-\[
+$$
 \boxed{
 \text{whether every positive-integer anchored itinerary eventually leaves the hard frontier}.
 }
-\]
+$$
 
 至此，本系列封頂。
 
@@ -2687,13 +2688,13 @@
 
 # 參考文獻
 
-1. Vigleik Angeltveit, *An improved algorithm for checking the Collatz conjecture for all \(n<2^N\)*, arXiv:2602.10466 (2026).
+1. Vigleik Angeltveit, *An improved algorithm for checking the Collatz conjecture for all $n<2^N$*, arXiv:2602.10466 (2026).
 2. David Barina, *Improved verification limit for the convergence of the Collatz conjecture*, The Journal of Supercomputing 81, 810 (2025).
 3. David Barina, *Convergence verification of the Collatz problem*, The Journal of Supercomputing 77 (2021).
 4. Terence Tao, *Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values*, Forum of Mathematics, Pi 10 (2022), arXiv:1909.03562.
 5. Olivier Rozier, Claude Terracol, *Paradoxical behavior in Collatz sequences*, arXiv:2502.00948.
 6. Tong Niu, *Parity vectors and paradoxical sequences in the accelerated Collatz map*, arXiv:2605.13886.
-7. Mike Winkler, *Deterministic Structures in the Stopping Time Dynamics of the \(3x+1\) Problem* (2026 preprint).
+7. Mike Winkler, *Deterministic Structures in the Stopping Time Dynamics of the $3x+1$ Problem* (2026 preprint).
 8. Collatz Operation Translation Series — Papers 01–08.
 9. Operation Translation Series A — Papers 01–07.
 
@@ -2711,7 +2712,7 @@
 - certificate minimization complexity；
 - formal proof assistant verification；
 - accelerated valuation-code frontier；
-- generalized \(mx+r\) certificate phase diagrams；
+- generalized $mx+r$ certificate phase diagrams；
 - RCOT in noncommutative/state-machine systems。
 
 上述皆屬新系列，而非本文未完成章節。