# Series B / Paper 02
# 從局部順序差到全域阻塞：非交換缺陷、Čech 1-cocycle 與 H¹ 橋接條件
## From Local Order Defects to Global Obstructions: Noncommutative Defects, Čech 1-Cocycles, and the Conditions for an H¹ Lift

**系列：** Series B — 觀察者、局部關係、非交換與全域守恆  
**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-08-10  
**性質：** 形式橋接稿／方法論修正版  
**前篇：** Series B / Paper 01《非交換缺陷與關係順序：從局部二步差到有序路徑差》

---

## 摘要

Series B / Paper 01 將 DPE 的二步非交換缺陷

$$
\delta_{f,g}(x)
=
d\!\left(f(g(x)),g(f(x))\right)
$$

推廣為有序路徑差

$$
\Delta_x(\gamma,\eta)
=
d\!\left(F_\gamma(x),F_\eta(x)\right),
$$

並證明局部相鄰交換缺陷如何在 Lipschitz 後綴下傳播至完整路徑終態。然而，局部順序敏感本身並不等於「局部資料無法黏成全域對象」。本文處理兩者之間的缺口：**什麼額外條件下，一族局部順序差可以被提升為 Čech 1-cocycle，並由一個非平凡的 $H^1$ 類刻畫全域黏合阻塞？**

本文首先修正既有 NSF 草圖中的一個形式問題：兩元素覆蓋配合 $\mathbb Z/2$ 並以 $0\leftrightarrow1$ 的 swap 作 restriction，可作為「界面異框」直覺，但 swap 不是 $\mathbb Z/2$ 加法群的同態，因此不能直接充當阿貝爾預層中的限制映射。本文改以標準 Čech 架構重新定義橋接。

給定覆蓋

$$
\mathcal U=\{U_i\}_{i\in I}
$$

與阿貝爾係數預層 $\mathcal A$，在每個非空重疊 $U_{ij}=U_i\cap U_j$ 上定義**界面順序殘餘**

$$
c_{ij}\in\mathcal A(U_{ij}).
$$

若滿足：

$$
c_{ji}=-c_{ij},
$$

以及每個三重重疊上的一致性條件

$$
c_{ij}+c_{jk}+c_{ki}=0,
$$

則 $c=\{c_{ij}\}$ 是 Čech 1-cocycle。若存在局部校正

$$
b_i\in\mathcal A(U_i)
$$

使

$$
c_{ij}=b_j|_{U_{ij}}-b_i|_{U_{ij}},
$$

則 $c$ 為 coboundary，故

$$
[c]=0\in\check H^1(\mathcal U;\mathcal A).
$$

此時所有界面順序殘餘都能被重新選擇局部 frame／局部 gauge 吸收。反之，若

$$
[c]\neq0,
$$

則不存在任何一族局部重定義能同時消除全部界面差；順序殘餘已不再只是某個點上的非交換量，而成為一個**全域不可消去的黏合阻塞**。

本文因此提出 Series B 的第二層判準：

$$
\boxed{
\text{局部非交換}
\;\not\Rightarrow\;
H^1\text{ 阻塞}
}
$$

但在「可比較、可阿貝爾化、滿足 cocycle 一致性」三項橋接條件下，可形成：

$$
\boxed{
\text{局部順序殘餘}
\longrightarrow
1\text{-cocycle}
\longrightarrow
[c]\in H^1.
}
$$

本文另給出一個嚴格的最小非平凡例：三個局部脈絡形成環狀 nerve，無三重交；以 $\mathbb Z/2$ 為係數，在三條重疊邊上賦值 $(1,1,1)$。此 1-cochain 自動為 cocycle，但不是任何 0-cochain 的 coboundary，因此代表

$$
[c]\neq0.
$$

它精確表達：「每一個界面都可局部描述，但繞完整個環後留下不可被局部重標記消去的關係殘餘。」

**關鍵詞：** 非交換缺陷、Čech 上同調、1-cocycle、coboundary、全域截面、局部黏合、關係殘餘、不可分、contextuality、observer-local mathematics

---

## 1. 前篇留下的問題

Paper 01 已建立：

$$
\delta_{f,g}(x)
=
d(fg(x),gf(x))
$$

以及一般路徑差

$$
\Delta_x(\gamma,\eta)
=
d(F_\gamma(x),F_\eta(x)).
$$

這些量回答：

> 如果我改變局部關係的順序，局部狀態或完整路徑終態會不會改變？

但 NSF 要處理的是另一個更強問題：

> 一族各自合法、各自自洽的局部描述，能不能黏成同一個全域描述？

前者是**路徑比較問題**。

後者是**局部—全域黏合問題**。

兩者形狀相近，但不能直接等同。

因此本文的中心問題是：

$$
\boxed{
\text{何種條件把 path defect 變成 gluing obstruction？}
}
$$

---

## 2. 三層物件必須分開

本文先區分三種完全不同的「差」。

### 2.1 點態非交換缺陷

$$
\delta_{f,g}(x)
=
d(fg(x),gf(x)).
$$

它活在一個狀態 $x$ 上。

---

### 2.2 路徑差

$$
\Delta_x(\gamma,\eta)
=
d(F_\gamma(x),F_\eta(x)).
$$

它比較同一初始狀態上的兩條完整合法路徑。

---

### 2.3 界面黏合殘餘

若世界被局部脈絡

$$
\mathcal U=\{U_i\}
$$

覆蓋，局部描述在 $U_i$ 與 $U_j$ 的交集上可能留下：

$$
c_{ij}
\in
\mathcal A(U_i\cap U_j).
$$

這個 $c_{ij}$ 不是單純「兩條路走多遠」，而是：

> 兩個局部 frame 在共同界面上無法直接一致時，必須加入多少轉換／殘餘才能互相對齊？

只有第三種量才天然進入 Čech 1-cochain。

因此橋接不是：

$$
\delta=[\delta].
$$

而是：

$$
\delta
\longrightarrow
\text{interface residual }c_{ij}
\longrightarrow
[c].
$$

---

## 3. 覆蓋、預層與係數結構

### 定義 3.1（局部脈絡覆蓋）

令 $X$ 為底層狀態／事件空間，取覆蓋

$$
\mathcal U=\{U_i\}_{i\in I},
$$

滿足

$$
X=\bigcup_{i\in I}U_i.
$$

每個 $U_i$ 表示一個局部脈絡、局部觀察框或局部合法關係域。

---

### 定義 3.2（局部狀態預層）

令 $\mathcal E$ 為局部狀態預層。對每個 $U_i$ 指派：

$$
\mathcal E(U_i),
$$

若

$$
V\subseteq U,
$$

則有合法限制映射：

$$
\rho^U_V:
\mathcal E(U)\to\mathcal E(V).
$$

---

### 定義 3.3（缺陷係數預層）

為了承載「差」，另取一個阿貝爾群值預層：

$$
\mathcal A.
$$

對每個重疊區 $U_{ij}$，

$$
\mathcal A(U_{ij})
$$

是允許的界面殘餘空間。

這一步不能省略。

原因是一般 DPE 缺陷值

$$
\delta_{f,g}(x)\in\mathbb R_{\ge0}
$$

只有大小，沒有符號、方向或可加法結構；而標準 Čech cohomology 需要能做餘鏈加法與 coboundary。

所以要進 $H^1$，局部缺陷至少要被**提升／定向／阿貝爾化**成一個可加的係數對象。

---

## 4. 第一個橋接條件：缺陷必須可比較

假設 $U_i,U_j$ 在重疊區都有自己的局部順序描述。

例如：

$$
s_i\in\mathcal E(U_i),
\qquad
s_j\in\mathcal E(U_j).
$$

限制到共同界面：

$$
\rho_i(s_i),
\qquad
\rho_j(s_j)
\in
\mathcal E(U_{ij}).
$$

若界面存在一個「差算子」

$$
D_{ij}:
\mathcal E(U_{ij})\times\mathcal E(U_{ij})
\to
\mathcal A(U_{ij}),
$$

則定義

$$
\boxed{
c_{ij}
=
D_{ij}\!\left(
\rho_i(s_i),
\rho_j(s_j)
\right).
}
$$

此為**界面順序殘餘**。

### 橋接條件 B1（共同界面可比較性）

只有當兩個局部描述在 $U_{ij}$ 上能投到同一可比較界面， $c_{ij}$ 才有定義。

所以局部非交換：

$$
\delta_{f_i,g_i}>0
$$

本身完全不足。

如果 $U_i$ 與 $U_j$ 根本沒有共同語言／共同界面，則還沒有 cochain，只有兩份彼此不可比較的局部資料。

---

## 5. 第二個橋接條件：缺陷必須可定向、可加

對標準阿貝爾 Čech 1-cochain，需要：

$$
c_{ji}=-c_{ij}.
$$

因此純距離

$$
d(a,b)
$$

不夠，因為：

$$
d(a,b)=d(b,a).
$$

它抹掉方向。

所以從 Paper 01 的

$$
\delta_{f,g}(x)\ge0
$$

到 $c_{ij}$ 必須增加一個**方向／frame 差**。

在線性情形，可以直接用：

$$
fg-gf
$$

或其投影。

在群值情形，可用：

$$
g_{ij}
$$

與

$$
g_{ji}=g_{ij}^{-1}.
$$

在阿貝爾化後，可寫成：

$$
c_{ji}=-c_{ij}.
$$

### 橋接條件 B2（可定向阿貝爾化）

存在一個映射

$$
A:
\text{local order discrepancy}
\to
\mathcal A(U_{ij}),
$$

使順序反轉對應：

$$
A(j,i)=-A(i,j).
$$

沒有這一步，最多得到 defect magnitude field，不能直接得到標準 $H^1$ 類。

---

## 6. 第三個橋接條件：三重重疊的一致性

若

$$
U_i\cap U_j\cap U_k\neq\varnothing,
$$

則三個界面殘餘不能任意獨立。

### 定義 6.1（Čech 1-cocycle 條件）

一族

$$
c=\{c_{ij}\}
$$

為 1-cocycle，若：

$$
\boxed{
c_{ij}+c_{jk}+c_{ki}=0
}
$$

在每個三重重疊上成立。

用 Čech differential 記號：

$$
\check d c=0.
$$

### 橋接條件 B3（三重一致性）

局部順序殘餘若要代表「同一個全域黏合問題」，必須在所有三重重疊上滿足 cocycle consistency。

如果：

$$
\check d c\neq0,
$$

那甚至還不是 $H^1$ 阻塞。

它代表的是更前一層失敗：

> 局部界面規則彼此自己就不一致。

因此：

$$
\boxed{
\text{non-cocycle}
\neq
\text{nontrivial cohomology}.
}
$$

前者是「局部規則尚未形成一致 descent data」。

後者才是「局部規則一致，但無法全域消去」。

---

## 7. Coboundary：什麼叫順序差其實只是局部座標選擇

即使 $c$ 是 cocycle，也不代表存在真正的全域阻塞。

如果存在局部 frame 修正：

$$
b_i\in\mathcal A(U_i)
$$

使得

$$
\boxed{
c_{ij}
=
b_j|_{U_{ij}}
-
b_i|_{U_{ij}},
}
$$

則

$$
c=\check d b.
$$

這叫 coboundary。

因此：

$$
[c]=0.
$$

### 物理解讀／關係解讀

每個界面看起來都有非零差：

$$
c_{ij}\neq0,
$$

但可以重新選擇每個局部 frame：

$$
s_i\mapsto s_i+b_i
$$

讓所有界面同時一致。

因此：

$$
\boxed{
c_{ij}\neq0
\not\Rightarrow
[c]\neq0.
}
$$

這是本文最重要的結論之一。

它精確地說明：

> 「每個局部地方都有非交換／框差」仍然可能只是局部座標選擇造成；只有無法被一族局部重定義同時消除的差，才是全域阻塞。

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## 8. 主橋接定理

### 定理 8.1（局部順序殘餘的 H¹ 提升條件）

給定覆蓋

$$
\mathcal U=\{U_i\}
$$

與阿貝爾係數預層 $\mathcal A$。

假設每個非空重疊 $U_{ij}$ 上可由局部順序資料構造：

$$
c_{ij}\in\mathcal A(U_{ij}),
$$

並滿足：

1. **界面可比較性：** $c_{ij}$ 在共同界面上良定義；
2. **定向反對稱：**
   $$
   c_{ji}=-c_{ij};
   $$
3. **三重一致性：**
   $$
   c_{ij}+c_{jk}+c_{ki}=0.
   $$

則

$$
c\in Z^1(\mathcal U;\mathcal A),
$$

即 $c$ 定義一個 Čech 1-cocycle，因此存在上同調類：

$$
\boxed{
[c]\in
\check H^1(\mathcal U;\mathcal A).
}
$$

若另不存在任何

$$
b\in C^0(\mathcal U;\mathcal A)
$$

使

$$
c=\check d b,
$$

則：

$$
\boxed{
[c]\neq0.
}
$$

此時不存在一族局部 frame 修正能同時消除全部界面順序殘餘。

**證明。**

前三條正是 $c$ 成為 Čech 1-cocycle 的定義條件；故 $c\in Z^1$。若 $c$ 不屬於 $B^1=\operatorname{im}\check d$, 則其商類在

$$
H^1=Z^1/B^1
$$

中非零。∎

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## 9. 從 Paper 01 的 δ 到 c：不是唯一映射

本文不假裝存在唯一的：

$$
\delta
\mapsto c.
$$

這一步依系統結構而定。

至少有三種自然路徑。

### 9.1 線性算子版本

若局部關係是線性算子，

$$
[f,g]=fg-gf.
$$

可選一個界面投影

$$
\Pi_{ij}
$$

並定義：

$$
c_{ij}
=
\Pi_{ij}
\left(
[f_i,g_i]-[f_j,g_j]
\right).
$$

若此 $c_{ij}$ 落在共同阿貝爾係數模組並滿足 cocycle 條件，才能進 $H^1$。

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### 9.2 群值 transition 版本

若局部 frame 間以群元素：

$$
g_{ij}
$$

轉換，標準 descent 條件為：

$$
g_{ij}g_{jk}g_{ki}=e.
$$

這是**非阿貝爾 1-cocycle** 的自然形式。

若群可阿貝爾化：

$$
G\to G_{\mathrm{ab}},
$$

則可把：

$$
g_{ij}
$$

投到加法形式：

$$
c_{ij}\in G_{\mathrm{ab}}.
$$

所以對真正強非交換系統，非阿貝爾 Čech cohomology／torsor 語言可能比先硬壓成阿貝爾 $H^1$ 更自然。

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### 9.3 度量缺陷版本

若只知道：

$$
\delta_{ij}\in\mathbb R_{\ge0},
$$

則它只能作「不可一致程度」的大小估計。

它本身沒有方向，所以不能直接成為 Čech 1-cocycle。

需要額外選擇：

$$
\sigma_{ij}\in\{-1,+1\}
$$

或更一般的方向資料，使：

$$
c_{ij}
=
\sigma_{ij}\delta_{ij}
$$

且：

$$
c_{ji}=-c_{ij}.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{metric defect}
\to
\text{cohomological defect}
}
$$

不是自動過程，而需要額外結構。

---

## 10. 修正 NSF 的兩元素最小例

NSF 附錄 C′ 曾提出：

$$
E(A)=E(B)=E(A\cap B)=\mathbb Z/2
$$

並令一個 restriction 為 identity，另一個為：

$$
0\leftrightarrow1.
$$

這個例子的直覺是清楚的：兩個局部 frame 在界面上不同。

但若 $E$ 被當成阿貝爾群值預層，則

$$
0\leftrightarrow1
$$

的 swap 不保單位元 $0$，因此不是 $\mathbb Z/2$ 群同態。

所以它不能直接充當標準阿貝爾 Čech cohomology 中的 restriction morphism。

本文不否定該例子的直覺，而是把它降格為：

> **集合值／仿射 frame mismatch 的直覺模型。**

若要得到標準 $H^1$，需要換一個真正合法的係數系統與 cover topology。

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## 11. 嚴格最小非平凡例：三脈絡環

取三個局部脈絡：

$$
U_1,U_2,U_3
$$

滿足：

$$
U_{12}\neq\varnothing,
\qquad
U_{23}\neq\varnothing,
\qquad
U_{31}\neq\varnothing,
$$

但：

$$
U_1\cap U_2\cap U_3=\varnothing.
$$

其 nerve 是一個三邊形的**邊界**，沒有填入 2-simplex，因此拓撲型態為：

$$
S^1.
$$

取常係數：

$$
\mathcal A=\underline{\mathbb Z/2}.
$$

在三條邊上定義：

$$
c_{12}=1,
\qquad
c_{23}=1,
\qquad
c_{31}=1.
$$

因為沒有三重交，1-cocycle 條件沒有額外限制，所以：

$$
c\in Z^1.
$$

現在問是否存在：

$$
b_1,b_2,b_3\in\mathbb Z/2
$$

使：

$$
c_{12}=b_2-b_1,
$$

$$
c_{23}=b_3-b_2,
$$

$$
c_{31}=b_1-b_3.
$$

在 $\mathbb Z/2$ 中加總三式：

$$
c_{12}+c_{23}+c_{31}
=
0
$$

對所有 coboundary 必須成立，因為右側望遠鏡相消。

但本例：

$$
1+1+1=1
\qquad
(\mathrm{mod}\ 2).
$$

矛盾。

因此不存在 $b$ 使：

$$
c=\check d b.
$$

故：

$$
\boxed{
[c]\neq0
\in
\check H^1(\mathcal U;\mathbb Z/2).
}
$$

這是一個真正的最小「繞一圈後剩下一個不可消去殘餘」例子。

---

## 12. 這個例子和「關係記憶」的意義

三個脈絡任取一個局部起點，都可以在相鄰界面上完成合法比較。

也就是：

$$
U_1\leftrightarrow U_2,
$$

$$
U_2\leftrightarrow U_3,
$$

$$
U_3\leftrightarrow U_1
$$

每一步都沒壞。

問題只在：

$$
\boxed{
\text{繞完整個環後，局部差無法同時被 frame 重標記消去。}
}
$$

所以：

$$
[c]\neq0
$$

不是「某一步失敗」。

它是：

> **全部局部步驟 individually admissible，但整圈 global closure 失敗。**

這正是 Series B 要找的第一種真正 local-to-global obstruction。

---

## 13. 四階分類：不要只分「交換／不交換」

本文現在可以把 Series B 的關係差分成四階。

### Level 0：交換／無缺陷

$$
\delta=0.
$$

局部交換順序不改變結果。

---

### Level 1：局部非交換

$$
\delta>0.
$$

順序造成局部終態差，但尚未形成界面 cochain。

---

### Level 2：可黏合 cocycle

$$
c\in Z^1,
\qquad
[c]=0.
$$

局部界面都有結構差，但可由局部 frame 修正全部消除。

這是：

$$
\boxed{
\text{local nontriviality without global obstruction}.
}
$$

---

### Level 3：全域阻塞

$$
[c]\neq0.
$$

局部界面差滿足一致性，卻不存在任何局部重定義能全域消去。

這才是：

$$
\boxed{
\text{cohomological non-separability witness}.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\delta>0
\;\not\Rightarrow\;
[c]\neq0.
}
$$

中間至少隔著：

$$
\text{interface construction}
+
\text{cocycle condition}
+
\text{quotient by coboundaries}.
$$

---

## 14. 與 contextuality 文獻的誠實對齊

Abramsky–Brandenburger 的 sheaf-theoretic framework 把 contextuality／non-locality 表成**全域截面的不存在**。

後續 Abramsky–Mansfield–Barbosa 使用由模型 support 衍生出的阿貝爾 presheaf 建構 Čech cohomological obstruction。

重要的是：

$$
\boxed{
[c]\neq0
}
$$

可作為 contextuality 的 witness；

但一般而言：

$$
[c]=0
$$

並不能保證模型非 contextual。

亦即 cohomological obstruction 可能有 false negatives。

所以 Series B 不應把：

$$
H^1=0
$$

直接解讀成：

$$
\text{全域對象一定存在}.
$$

在特定模型與特定係數系統中， $H^1$ 可能只是**充分阻塞檢測器**，不是完整分類器。

因此本文採保守語句：

$$
\boxed{
[c]\neq0
\Rightarrow
\text{此係數系統下存在不可消去的黏合阻塞}.
}
$$

而不寫：

$$
[c]=0
\Rightarrow
\text{世界必可分}.
$$

除非後續另證 completeness。

---

## 15. 非阿貝爾情形：真正的 Series B 可能不能永遠停在 H¹ 群

如果局部 transition 本身落在非交換群：

$$
G,
$$

則自然條件不是：

$$
c_{ij}+c_{jk}+c_{ki}=0,
$$

而是：

$$
\boxed{
g_{ij}g_{jk}g_{ki}=e.
}
$$

局部 frame 改變：

$$
h_i
$$

作用為：

$$
g_{ij}
\mapsto
h_i^{-1}g_{ij}h_j.
$$

此時等價類通常形成的是 pointed set／torsor 類結構，而不一定是一個阿貝爾群。

所以 Series B 後續可能需要區分：

$$
\boxed{
H^1_{\mathrm{ab}}
}
$$

與：

$$
\boxed{
H^1_{\mathrm{nonab}}
}
$$

兩條路。

這點尤其重要，因為我們研究的起點恰好就是**非交換關係**。

如果為了進普通 $H^1$ 而先把所有非交換資訊全部阿貝爾化，可能會再次發生 NSF 所批判的「把真正關係結構坍縮成較弱全域物件」問題。

因此阿貝爾 $H^1$ 是第一個可計算橋，不應被誤認為最終形式。

---

## 16. 觀察者索引版本

對觀察者 $o$，其可取得覆蓋記為：

$$
\mathcal U_o.
$$

其局部缺陷係數預層：

$$
\mathcal A_o.
$$

則可得到：

$$
[c_o]
\in
\check H^1(\mathcal U_o;\mathcal A_o).
$$

另一觀察者 $p$ 可能有：

$$
[c_p]
\in
\check H^1(\mathcal U_p;\mathcal A_p).
$$

即使兩者都描述同一世界，

$$
[c_o]
$$

與

$$
[c_p]
$$

也不能在尚未定義 observer transport 前直接比較。

所以 Paper 02 只得到：

$$
\boxed{
\text{observer-local obstruction class}.
}
$$

下一階段需要研究函子／pullback／pushforward 或其他 transport，回答：

$$
[c_o]
\stackrel{?}{\longleftrightarrow}
[c_p].
$$

---

## 17. 對 NSF 的正式修正版

NSF 的核心直覺可保留，但需要從：

$$
\boxed{
[\delta]=0
\Longleftrightarrow
\text{可坍縮}
}
$$

修正為更保守的兩層陳述。

### 強版本（待證）

若能找到一個**完整**的 obstruction theory，使：

$$
[\delta]=0
\Longleftrightarrow
\text{global section exists},
$$

則 $[\delta]$ 可作可分性的完備判準。

### 本文目前可保證的版本

對本文構造出的合法 Čech obstruction：

$$
\boxed{
[\delta]\neq0
\Rightarrow
\text{不存在能把該 defect cocycle 全域消去的局部 frame family}.
}
$$

如果此 cocycle 確實忠實編碼所研究的 global-section 問題，則它提供真不可分的 sufficient witness。

但：

$$
[\delta]=0
$$

只表示「這一個 obstruction 消失」，不能自動排除其他更高階或不同係數的阻塞。

這個修正使 Series B 更接近既有 sheaf-cohomological contextuality 的嚴格用法。

---

## 18. 與 Paper 01 的合併圖

到目前為止，Series B 的數學鏈條為：

$$
\boxed{
\text{local operations}
}
$$

$$
\downarrow
$$

$$
\boxed{
\delta_{f,g}(x)
=
d(fg(x),gf(x))
}
$$

$$
\downarrow
$$

$$
\boxed{
\Delta_x(\gamma,\eta)
}
$$

$$
\downarrow
$$

在共同界面上加入方向／係數結構：

$$
\boxed{
c_{ij}\in\mathcal A(U_{ij})
}
$$

$$
\downarrow
$$

檢查：

$$
\check d c=0
$$

$$
\downarrow
$$

形成：

$$
\boxed{
[c]\in\check H^1
}
$$

$$
\downarrow
$$

若：

$$
[c]\neq0,
$$

得到：

$$
\boxed{
\text{不可由局部重定義消去的全域關係殘餘}.
}
$$

這是從「順序不同」到「全域黏不起來」的第一條合法橋。

---

## 19. 尚未完成的事

本文仍然沒有證明以下命題：

### 未完成 A

$$
[f,g]\neq0
\Longleftrightarrow
[c]\neq0.
$$

一般情況下這顯然太強。

---

### 未完成 B

任意 DPE 度量缺陷：

$$
\delta(x)
$$

都能 canonical 地提升為 $c_{ij}$。

目前沒有。

---

### 未完成 C

$$
[c]=0
$$

足以推出所有類型的 global section 存在。

依 contextuality cohomology 已知結果，這一般不成立。

---

### 未完成 D

observer-local obstruction 如何跨觀察者比較。

留給後續 observer transport。

---

### 未完成 E

真正強非交換系統應使用阿貝爾 $H^1$ 、非阿貝爾 Čech $H^1$ 、groupoid cocycle，還是更高範疇 descent。

這仍是 Series B 的方法選擇問題。

---

## 20. 結論

本文回答 Paper 01 留下的問題：

> 局部順序差何時能變成全域阻塞？

答案不是「只要不交換就行」。

至少需要三個橋接條件：

$$
\boxed{
B1:\text{共同界面可比較}
}
$$

$$
\boxed{
B2:\text{缺陷可定向並落入合適係數結構}
}
$$

$$
\boxed{
B3:\text{界面殘餘滿足 cocycle 一致性}
}
$$

滿足後，局部殘餘才定義：

$$
c\in Z^1.
$$

再除去所有可以由局部 frame 重定義造成的 coboundary：

$$
B^1,
$$

才得到真正的全域殘餘類：

$$
\boxed{
[c]\in H^1.
}
$$

因此 Series B 現在有了一條清楚的階梯：

$$
\boxed{
\text{順序敏感}
\neq
\text{全域阻塞}
}
$$

而是：

$$
\boxed{
\text{順序敏感}
\rightarrow
\text{界面殘餘}
\rightarrow
\text{cocycle}
\rightarrow
\text{cohomology class}.
}
$$

其中最重要的分界是：

$$
\boxed{
c\neq0
\quad\text{但}\quad
[c]=0
}
$$

代表「局部看起來處處有差，但這些差只是局部 frame 的選擇」；

只有：

$$
\boxed{
[c]\neq0
}
$$

才代表這些局部差無法被任何一致的局部重定義同時消除。

這就是 Series B 第一個真正的 local-to-global obstruction。

下一篇將進一步處理另一個更致命的二分：

$$
\boxed{
\text{全域截面不存在}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{全域截面存在，但嵌入觀察者不可達}
}
$$

這兩種情況在 NSF 與 CONV 中曾被放在相鄰位置；Series B / Paper 03 將把它們正式拆開。

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## 參考文獻與既有工作

1. EveMissLab, **EML-OO-2026-DPE-v0.1**, *過程即存在：對話算子、回合映射與 agent 的本體論*, 2026-06-15.
2. EveMissLab, **EML-OO-2026-NSF-v0.2**, *關係先於物件：不可分數學的三根支柱與對話算子的上同調升級*, 2026-06-15.
3. EveMissLab, **EML-OO-2026-CONV-v0.1**, *殊途同歸：信息守恆封閉宇宙下「不可分數學」與「閉合性理論」的收斂猜想*, 2026-06-15.
4. S. Abramsky and A. Brandenburger, *The Sheaf-Theoretic Structure of Non-Locality and Contextuality*, New Journal of Physics 13 (2011), arXiv:1102.0264.
5. S. Abramsky, S. Mansfield, R. S. Barbosa, *The Cohomology of Non-Locality and Contextuality*, arXiv:1111.3620.
6. G. Carù, *On the Cohomology of Contextuality*, arXiv:1701.00656.
7. C. A. Rossi, *Principal bundles with groupoid structure: local vs. global theory and nonabelian Čech cohomology*, arXiv:math/0404449.
8. M. Ionescu and A. Kumjian, *Obstructions to lifting cocycles on groupoids and the associated C*-algebras*, arXiv:1612.07257.

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**系列定位：** Series B / Paper 02  
**下一篇：** *嵌入觀察者與兩種不可全域性：全域截面的不存在、存在與不可達*